1、高考数学培优专题库教师版 第四十一讲高中数学中的对称问题高中数学中的对称问题 A A 组组 1.1.已知点M（a，b）与N关于x轴对称，点P与点N关于y轴对称，点Q与 点P关于直线0 xy对称，则点Q的坐标为（） A.（a，b）B.（b，a）C.（a，b）D.（b，a） 解析：N（a，b） ，P（a，b） ，则Q（b，a） 2.2.曲线 2 4yx关于直线2x 对称的曲线方程是（） A. 2 84yx B. 2 48yxC. 2 164yxD. 2 416yx解析：设曲 线 2 4yx关于直线x=2 对称的曲线为C， 在曲线C上任取一点P（x，y） ， 则P（x， y）关于直线x=2 的对称点
2、为Q（4x，y）.因为Q（4x，y）在曲线y 2=4x 上， 所以 2 4 4yx（ ），即 2 164 .yx 3.3.已知直线l1：50 xmy和直线l2：0 xnyp，则l1、l2关于y轴对称 的充要条件是（） A. m 5 = n p B.p=5C.m=n且p=5D. m 1 = n 1 且p=5 解析：直线l1关于y轴对称的直线方程为50 xmy（ ），即50 xmy， 与l2比较， m=n且p=5.反之亦验证成立. 4.4.定义在 R 上的非常数函数满足：)10(xf为偶函数，且)5()5(xfxf， 则)(xf一定是（） A. 是偶函数，也是周期函数B. 是偶函数，但不是周期函数
3、 C. 是奇函数，也是周期函数D. 是奇函数，但不是周期函数 解：因为)10(xf为偶函数，所以)10()10(xfxf。 所以)(xf有两条对称轴105xx与，因此)(xf是以 10 为其一个周期的 高考数学培优专题库教师版 周期函数，所以 x0 即 y 轴也是)(xf的对称轴，因此)(xf还是一个偶函数。故 选（A） 。 5.5.直线240 xy 上有一点P，它与两定点A（4，1） 、B（3，4）的距离 之差最大，则P点的坐标是_. 解析：易知A（4，1） 、B（3，4）在直线l：240 xy 的两侧.作A关于 直线l的对称点A1（0，1） ，当A1、B、P共线时距离之差最大. 6.若0,
4、yx，且1 yx，则) 1 )( 1 ( y y x x的最小值为 解（利用基本不等式、对勾函数） 2 2 2)(1 1 1 ) 1 )( 1 ( 2 22 xy xy xy xyyx xy xy xy xy xy xy y x x y xy xy y y x x 又 4 1 2 2 yx xy，由对勾函数性质知，当 4 1 xy时， 4 25 2 4 1 2 4 1 2 1 ) 1 )( 1 ( xy xy y y x x 此处，用到基本不等式，当且仅当 2 1 yx时，等号成立，即当 2 1 yx时， ) 1 )( 1 ( y y x x有最小值 4 25 三、解答题 7.7.求直线04y
5、x3关于点 P（2，1）对称的直线 l 的方程。 高考数学培优专题库教师版 分析：由已知条件可得出所求直线与已知直线平行，所以可设所求直线 方程为0byx3。 解：由直线 l 与04yx3平行，故设直线 l 方程为0byx3。 由已知可得，点 P 到两条直线距离相等，得. 13 |b16| 13 |416| 22 解得10b，或4b（舍） 。则直线 l 的方程为. 010yx3 8.8.如图双曲线 y= x k (k0)与直线 y=kx（k0）交于点 A、B，过点 A 作 AC 垂 直 y 轴于点 C，求 S ABC。 解：因为反比例函数的图象关于原点对称， 直线 y=kx 过原点，所以 A、
6、B 两点必关于原点对称。 所以 OA=OB,所以 BOC S AOC S 。 设点 A 坐标为（a，b）,由题意得 AC=|a| ,OC=|b|， 则 S AOC= 2OCAC= | 2 ab |。所以 S ABC=|ab| 9.9.光线从点A（3，4）发出，经过x轴反射，再经过y轴反射，光线经过 点B（2，6） ，求射入y轴后的反射线的方程. 解：A（3，4）关于x轴的对称点A1（3，4）在经x轴反射的光线 上， 同样A1（3，4）关于y轴的对称点A2（3，4）在经过射入y轴的反 射线上， k BA2 = 32 46 =2. 故所求直线方程为y6=2（x+2） ， 即 2x+y2=0. 10
7、.10.已知ABC的一个顶点A（1，4） ，B、C的平分线所在直线的方 高考数学培优专题库教师版 程分别为l1：y+1=0，l2：x+y+1=0，求边BC所在直线的方程. 解：设点A（1，4）关于直线y+1=0 的对称点为A（x1，y1） ，则x1= 1，y1=2（1）（4）=2，即A（1，2）. 在直线BC上，再设点A（1，4）关于l2：x+y+1=0 的对称点为A（x2， y2） ，则有 1 4 2 2 x y （1）=1， 2 1 2 x + 2 4 2 y +1=0. x2=3， y2=0， 即A（3，0）也在直线BC上，由直线方程的两点式得 20 2 y = 13 1 x ，即x+2
8、y 3=0 为边BC所在直线的方程. 11.11.已知点M（3， 5） ， 在直线l：x2y+2=0和y轴上各 找一点P和Q，使MPQ的周长最小 解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）同样 容易求得点M关于y轴的对称点M2（3，5） 据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y7=0 令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0， 2 7 ） 解方程组 270 220 xy xy 得交点P（ 2 5 ， 4 9 ） 故点P（ 2 5 ， 4 9 ） 、Q（0， 2 7 ）即为所求 解得 ? 4 ? 3 ? 2 ? 1 ? Q ? M ? 2 ? M ? 1 ?
9、M ? P ? 1 ? -2 ? o ? y ? x 高考数学培优专题库教师版 B B 组组 1.1.已知圆C与圆 22 11xy（ ）关于直线yx对称，则圆C的方程为 A. 22 11xy（）B 22 .1xy C. 22 11xy（）D. 22 11xy（ ） 解析：由M（x，y）关于y=x的对称点为（y，x） ， 即得 22 11.xy（） 2.2.与直线210 xy关于点（1，1）对称的直线方程为 A.2xy5=0B.x+2y3=0 C.x+2y+3=0D.2xy1=0 解析：将x+2y1=0 中的x、y分别代以 2x，2y，得（2x）+2（ 2y）1=0，即x+2y+3=0.故选 C
10、 3.3.设定义域为 R 的函数)(xfy 、)(xgy 都有反函数， 并且) 1( xf和)2( 1 xg 的函数图像关于直线xy 对称，若2002) 5(g，那么) 4(f（） A. 2002B. 2003C. 2004D. 2005 解：因为)2() 1( 1 xgyxfy和的函数图像关于直线xy 对称，所以 )2( 1 xgy的反函数是) 1( xfy，而)2( 1 xgy的反函数是)(2xgy，所以 )(2) 1(xgxf，所以有2004)5(2) 15(gf 故2004) 4(f，应选（C） 。 4.4.函数) 2 5 2sin( xy的图像的一条对称轴的方程是（） 4 5 . 8
11、 . 4 . 2 . xDxC xBxA 高考数学培优专题库教师版 解： 函数) 2 5 2sin( xy的图像的所有对称轴的方程是 22 5 2 kx， 所以 2 k x， 显然取1k时的对称轴方程是 2 x，故选（A） 。 5.5.已知点 A（1，3） 、B（5，2） ，在 x 轴上找一点 P，使得|PA|+|PB|最小， 则最小值为_，P 点的坐标为_. 答案： 41 （ 5 17 ，0） 6.6. 设)(xf是定义在 R 上的偶函数，且)1 ()1 (xfxf，当01x时，xxf 2 1 )(，则 ) 6 . 8 (f_ 解：因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数，所以)(0 xfyx
12、 是的对称轴； 又因为)(1)1 ()1 (xfyxxfxf也是所以的对称轴。故)(xfy 是以 2 为周期的周期 函数，所以3 . 0)6 . 0()6 . 0()6 . 08()6 . 8(ffff 7.7.已知f(x)是定义在R上的函数,f(10+x)=f(10-x),且f(20-x)=f(20+x), 试判断 f(x)的奇偶性与周期性. 解:一方面,f(10+x)=f(10-x)f(x)=f(20-x) f(-x)=f(20+x) 另一方面,f(20-x)=f(20+x) (1)由得 f(x)=f(x+20) 由得 f(x)=f(x) f(x)为奇函数. (2) 再由得 f(x+20)
13、=f(x) 高考数学培优专题库教师版 f(x+40)=f(x+20)=f(x) 即 f(x)是周期函数,且 40 是它的一个周期, 于是由(1)、 (2)知,这里的 f(x)为奇函数,并且是以 40 为一个周期的周期函 数。 8.8. 求直线 l1:y=2x+3 关于直线 l:y=x+1 对称的直线 l2的方程. 解解方法一方法一由 1 32 xy xy 知直线 l1与 l 的交点坐标为（-2，-1） ， 设直线 l2的方程为 y+1=k(x+2), 即 kx-y+2k-1=0. 在直线 l 上任取一点（1，2） ， 由题设知点（1，2）到直线 l1、l2的距离相等， 由点到直线的距离公式得
14、22 1 122 k kk = 22 ) 1(2 322 ， 解得 k= 2 1 (k=2 舍去)， 直线 l2的方程为 x-2y=0. 方法二方法二设所求直线上一点 P（x,y）, 则在直线 l1上必存在一点 P1（x0,y0）与点 P 关于直线 l 对称. 由题设：直线 PP1与直线 l 垂直，且线段 PP1的中点 P2 2 , 2 00 yyxx 在直线 l 上. 1 22 11 00 0 0 xxyy xx yy ，变形得 1 1 0 0 xy yx , 代入直线 l1:y=2x+3，得 x+1=2(y-1)+3, 整理得 x-2y=0. 高考数学培优专题库教师版 所以所求直线方程为
15、x-2y=0. 9.9. 已知点M（3，5） ，在直线l：x2y+2=0 和y轴上各找一点P和Q，使 MPQ的周长最小. 剖析：如下图，作点M关于直线l的对称点M1，再作点M关于y轴的对称 点M2，连结MM1、MM2，连线MM1、MM2与l及y轴交于P与Q两点，由轴对称及平 面几何知识，可知这样得到的MPQ的周长最小. l Ox y P Q M M M 1 2 解：由点M（3，5）及直线l，可求得点M关于l的对称点M1（5，1）.同 样容易求得点M关于y轴的对称点M2（3，5）. 据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y7=0. 令x=0，得到M1M2与y轴的交点Q（0， 2 7 ）
16、. x+2y7=0， x2y+2=0， 故点P（ 2 5 ， 4 9 ） 、Q（0， 2 7 ）即为所求. 11.已知已知 f(x)(2)34( 2 RaaxxaaR)，求，求 f(x)在在0,1上的最大值上的最大值 解方程组 得交点 P（ 2 5 ， 4 9 ）. max max 4 1430 3 4 2. 3 0,1 4 0. 3 4 430 3 41 ( )4300 343 0,10. 2 aa fxx fx fxf aa aax a fxfxfa 【 解 析 】若 ， 则 ， 所 以 由 于在上 是 减 函 数 ， 所 以 若， 即， 分 两 种 情 况 讨 论 ： 若， 即， 因 为
17、 对 称 轴 ， 所 以在上 是 减 函 数 ， 所 以 高考数学培优专题库教师版 C C 组组 1.1.已知函数32 2 xxy在闭区间, 0m上有最大值 3，最小值 2，则m的取 值范围是（） (A), 1 (B)2 , 0(C)2 , 1 (D)2 ,( 解析：有图知：1m2 2.2.已知:ABC 的内界圆与外切圆的半径分比别为 r 和 R,则 r 和 R 比值等于 () max max 41 ( )4300 343 112 0 4323 122 1124 0,)给出四个论断. 它的图象关于直线 x=对称;它的图象关于点(,0)对称; 它的周期为;它在区间,0上为单调增函数. 以其中的两
18、个论断作为条件,余下的两个论断作为结论,写出你认为正确的命 题,它是. 解.、或、 6.6.已知甲、乙、丙三人在 3 天节日中值班，每人值班一天，那么甲排在乙 前面值班的概率为 解析：本题考查的是古典概型，我们可以将甲、乙、丙三人排序，共 6 种 不同的情况，并且这 6 种情况是等可能的，其中甲排在乙前面的共 3 种情况， 因而概率为 2 1 6 3 ；其实，我们看甲和乙这两个人，他们在这个事件中的地位是 相同的，因而可以认为甲排在乙前面和乙排在甲前面的概率应该是相同的，而 这两种情形构成了整个排序值班事件，故甲排在乙前面和乙排在甲前面值班的 概率都为 2 1 7.设 f()是定义在 R 上的
19、偶函数，其图象关于直线=2 对称，已知当 -2，2时，f()= +，求当-，2时的 f()的解析式. 解：从进一步认知 f()的性质切入，由函数 f()的图象关于直线 =2 对称知， 高考数学培优专题库教师版 对任意都有 f(-)= f(+4)（为便于与“f()为偶函数”这一条 件建立联系而作出这一选择） 又 f() 为偶函数f(-) =f() 由以上两式得 f(+4) =f() f()为周期函数且 4 是 f()的一个周期. 而当-，2时 4+-2，2 由已知条件得f(4+) =-(+4) 2+1 于是由，得f() =-(+4) 2+1， 即当-，2时，f()= -8-15 8.8. 已知正
20、比例函数 y=ax (a0)和反比例函数 y= x b (b0)（ab0）的图像 相交于点 A、B，已知点 A 坐标为（6，-2） ，求点 B 的坐标。 分析分析：学生在求 B 点坐标的过程中，很多学生都会顺着常规的解题思路， 将 A（6，-2）,代入函数解析式求出 a、b，再联立方程组进而求得点 B 的坐标。 确实这样的解题方法很容易就让学生理解，但计算量很大，也很复杂，若利用 函数图象的对称性，则很容易求得 B 点的坐标。 解：因为正比例函数 y=ax 和反比例函数 y= x b 的图象都关于原点对称，所以 两交点的坐标也关于原点对称，所以 B（-6，2） 。 9.9.若抛物线 2 1ya
21、x上总存在关于直线0 xy的异于交点的两个对称点， 试求实数a的取值范围 解法一： （对称曲线相交法） 曲线 2 1yax关于直线0 xy对称的曲线方程为 2 1xay 如果抛物线 2 1yax上总存在关于直线0 xy对称的两点，则两曲线 高考数学培优专题库教师版 2 1yax与 2 1xay 必有不在直线0 xy上的两个不同的交点(如图所示)， 从而可由： 2 2 1 1 yax xay 22 ()yxa xy 0,xy 1 yx a 代入 2 1yax得 2 1 10axx a 有两个不同的解， 2 13 ( 1)4 (1)0 4 aa a 解法二： （对称点法） 设抛物线 2 1yax上
22、存在异于于直线0 xy 的交点的点 00 (,)A xy，且 00 (,)A xy关于直线0 xy 的对称点 00 (,)Ayx 也在抛物线 2 1yax上 则 2 00 2 00 (1)1 (2)()1 yax xay 必有两组解 (1)-(2)得 22 0000 ()yxa xy必有两个不同解 00 0yx， 00 ()1a xy有解 从而有 2 00 (1)1a xax有两个不等的实数解 即 22 00 10a xaxa 有两个不等的实数解 22 ()4(1)0aaa 0a ， 3 4 a 10. 已知两点A（2，3） 、B（4，1） ，直线l：x+2y2=0，在直线l上求一 ? -x=
23、a ? y ? 2 ? -1 ? y=a ? x ? 2 ? -1 ? x+y=0 ? -1 ? A ? A ? o ? y ? x ? y=a ? x ? 2 ? -1 ? x+y=0 ? -1 ? A ? A ? o ? y ? x 高考数学培优专题库教师版 点P. （1）使|PA|+|PB|最小； （2）使|PA|PB|最大. 解： （1）可判断A、B在直线l的同侧，设A点关于l的对称点A1的坐标为 （x1，y1）. 2 2 1 x +2 2 3 1 y 2=0， 2 3 1 1 x y （ 2 1 ）=1. x1= 5 2 ， y1= 5 9 . 由两点式求得直线A1B的方程为y= 1
24、1 7 （x4）+1，直线A1B与l的交点可求 得为P（ 25 56 ， 25 3 ）. 由平面几何知识可知|PA|+|PB|最小. （2）由两点式求得直线AB的方程为y1=（x4） ，即x+y5=0. 直线AB与l的交点可求得为P（8，3） ，它使|PA|PB|最大. 11. 直线l经过点（1，1） ，若抛物线y 2=x 上存在两点关于直线l对称，求 直线l斜率的取值范围. 解法一：设直线l的方程为y1=k（x1） ，弦的两个端点分别是A（x1， y1） 、B（x2，y2） ，代入抛物线方程并作差得（y1+y2） （y1y2）=x1x2. kAB= 21 21 xx yy = k 1 ， y1+y2=k.注意到AB的中点在直线l：y1=k（x1）上，x1+x2=1 k 2 . y1 2+y 2 2=x 1+x2=1 k 2 . 由y1 2+y 2 2 2 )( 2 21 yy ，得 1 k 2 2 2 k k kkk 2 )22)(2( 2 02k0 k kkk)22)(2( 2 02k0. 则
