1、立体几何多选题立体几何多选题 1 如图， 在直三棱柱 111 ABCABC 中， 1 2ACBCAA ，90ACB， D， E， F 分别为 AC， 1 AA， AB 的中点 则下列结论正确的是 （ ） A1 AC与 EF 相交 B 11/ / BC 平面 DEF C.EF 与1 AC所成的角为90 D点 1 B到平面 DEF 的距离为 3 2 2 2如图，在四棱锥EABCD中，底面ABCD是边长为 2 的正方形， CDE是正三角形，M 为线段DE的中点，点 N 为底面ABCD内的 动点，则下列结论正确的是（ ） A若BCDE，则平面CDE 平面ABCD B若BCDE，则直线EA与平面ABCD
2、所成的角的正弦值为 6 4 C若直线BM和EN异面，则点 N 不可能为底面ABCD的中心 D若平面CDE 平面ABCD，且点 N 为底面ABCD的中心，则 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 2 页 共 60 页 BMEN 3正方体 1111 ABCDABC D 中，E 是棱 1 DD的中点，F 在侧面 11 CDD C上 运动，且满足1 / /B F 平面 1 ABE.以下命题正确的有（ ） A侧面11 CDD C上存在点 F，使得 11 B FCD B直线 1 BF与直线BC所成角可能为30 C平面 1 ABE与平面 11 CDD C所成锐二面角的
3、正切值为2 2 D设正方体棱长为 1，则过点 E，F，A 的平面截正方体所得的 截面面积最大为 5 2 4已知边长为 2 的等边ABC，点D、E分别是边AC、AB上的 点， 满足/DE BC且 AD AC （0,1 ） ， 将ADE沿直线DE折到A DE 的位置，在翻折过程中，下列结论成立的是（） A在边AE 上存在点F，使得在翻折过程中，满足/BF平面ACD B 存在 1 0 2 , ， 使得在翻折过程中的某个位置， 满足平面A BC 平面BCDE C若 1 2 ，当二面角ADEB 等于 60时， 7 2 A B D 在翻折过程中， 四棱锥ABCDE 体积的最大值记为 f ， f 的最大值为
4、 2 3 9 5 如图， 已知四棱锥PABCD所有棱长均为 4， 点 M 是侧棱PC上 的一个动点（不与点 ,P C重合） ，若过点 M 且垂直于PC的截面将 该四棱锥分成两部分，则下列结论正确的是（） A截面的形状可能为三角形、四边形、五边形 B截面和底面ABCD所成的锐二面角为 4 C当1PM 时，截面的面积为5 2 D当2PM 时，记被截面分成的两个几何体的体积分别为 1212 ,V VVV ，则 12 3VV 6如图，在矩形ABCD中， 2,ABAD E 为边AB的中点，将ADE沿 直线DE翻转成 1 ADE ( 1 A 平面ABCD).若,M O分别为线段 1 ,AC DE 的中点，
5、则在ADE翻转过程中，下列说法正确的是（） A与平面 1 ADE垂直的直线必与直线BM垂直 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 4 页 共 60 页 B异面直线BM与 1 AE所成的角是定值 C一定存在某个位置，使DEMO D三棱锥1 AADE 外接球半径与棱AD的长之比为定值 7如图，正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 a，线段 11 BD上有两个动 点 E，F，且 2 2 EFa，以下结论正确的有（） AACBE B点 A 到BEF所在平面的距离为定值 C三棱锥ABEF的体积是正方体 1111 ABCDABC D 体积的 1 24 D异
6、面直线 AE，BF 所成的角为定值 8在正方体 1111 ABCDABC D 中，如图， ,M N分别是正方形ABCD， 11 BCC B的中心.则下列结论正确的是（ ） A平面 1 DMN与 11 BC的交点是 11 BC的中点 B平面 1 DMN与BC的交点是BC的三点分点 C平面 1 DMN与AD的交点是AD的三等分点 D平面 1 DMN将正方体分成两部分的体积比为 11 9已知正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 2，点 O 为 11 AD的中点，若 以 O 为球心，6为半径的球面与正方体 1111 ABCDABC D 的棱有四 个交点 E，F，G，H，则下列结论正确的是（）
7、 A 11/ AD 平面EFGH B 1 AC 平面EFGH C 11 AB与平面EFGH所成的角的大小为 45 D平面EFGH将正方体 1111 ABCDABC D 分成两部分的体积的比为 1:7 10如图，线段AB为圆O的直径，点E，F在圆O上， /EFAB， 矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，且2AB ，1EFAD， 则下述正确的是（） A/ /OF平面BCE BBF 平面ADF C点A到平面CDFE的距离为 21 7 D三棱锥CBEF外接球的体积为5 11 向体积为 1 的正方体密闭容器内注入体积为 01xx 的液体， 旋转容器，下列说法正确的是（） A当 1 2 x 时，容器被
8、液面分割而成的两个几何体完全相同 B 0,1x ，液面都可以成正三角形形状 C 当液面与正方体的某条体对角线垂直时， 液面面积的最大值为 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 6 页 共 60 页 3 3 4 D 当液面恰好经过正方体的某条体对角线时， 液面边界周长的最 小值为2 5 12如图，正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 1，线段 11 BD上有两个 动点E，F，且 2 2 EF .则下列结论正确的是（） A三棱锥ABEF的体积为定值 B当E向 1 D运动时，二面角A EFB逐渐变小 CEF在平面 11 ABB A内的射影长为 1 2
9、 D当E与 1 D重合时，异面直线AE与BF所成的角为 4 13如图四棱锥PABCD，平面PAD 平面ABCD，侧面PAD是边 长为2 6的正三角形，底面ABCD为矩形，2 3CD ，点Q是PD的 中点，则下列结论正确的是（） ACQ 平面PAD BPC与平面AQC所成角的余弦值为 2 2 3 C三棱锥B ACQ 的体积为6 2 D四棱锥Q ABCD 外接球的内接正四面体的表面积为24 3 14如图，在长方体 1111 ABCDABC D 中， 1 333ABADAA， 点P为线段 1 AC上的动点，则下列结论正确的是（ ） A当 11 2ACAP 时， 1, , B P D三点共线 B当 1
10、 APAC 时， 1 APDP C当 11 3ACAP 时， 1 /DP 平面 1 BDC D当 11 5ACAP 时， 1 AC 平面 1 D AP 15如图，矩形ABCD中，22ABAD，E为边AB的中点.将ADE 沿直线DE翻折成 1 ADE （点 1 A不落在底面BCDE内） ， 若M在线段 1 AC上（点M与 1 A，C不重合） ，则在 ADE翻转过程中，以下命题 正确的是（） A存在某个位置，使 1 DEAC 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 8 页 共 60 页 B存在点M，使得BM 平面 1 ADC成立 C存在点M，使得/MB平面 1
11、 ADE成立 D四棱锥 1 ABCDE 体积最大值为 2 4 16如图，在直三棱柱 111 ABCABC 中， 1 6CC ，2ABBC， 2 2AC ，点 M 是棱 1 AA的中点，则下列说法正确的是（ ） A异面直线 BC 与 1 BM所成的角为90 B在 1 BC上存在点 D，使/ /MD 平面 ABC C二面角 1 BACB 的大小为60 D 1 B MCM 17 已知直三棱柱 111 ABCABC 中，ABBC， 1 ABBCBB ，D是AC 的中点，O为 1 AC的中点.点P是 1 BC上的动点，则下列说法正确的 是（） A当点P运动到 1 BC中点时，直线 1 AP与平面 111
12、 ABC所成的角的正 切值为 5 5 B无论点P在 1 BC上怎么运动，都有 11 APOB C当点P运动到 1 BC中点时，才有 1 AP与 1 OB相交于一点，记为Q， 且 1 1 3 PQ QA D无论点P在 1 BC上怎么运动，直线 1 AP与AB所成角都不可能是 30 18 已知正方体 1111 ABCDABC D 棱长为2， 如图，M为1 CC上的动点， AM 平面.下面说法正确的是（） A直线AB与平面所成角的正弦值范围为 32 , 32 B 点M与点 1 C重合时， 平面截正方体所得的截面， 其面积越大， 周长就越大 C点M为1 CC的中点时，若平面经过点B，则平面截正方体 所
13、得截面图形是等腰梯形 D己知N为 1 DD中点，当AMMN 的和最小时，M为1 CC的中点 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 10 页 共 60 页 19如图，点E为正方形ABCD边CD上异于点C，D的动点，将 ADE沿AE翻折成SAE，在翻折过程中，下列说法正确的是 （） A存在点E和某一翻折位置，使得SBSE B存在点E和某一翻折位置，使得 / /AE平面SBC C存在点E和某一翻折位置，使得直线SB与平面ABC所成的角 为 45 D存在点E和某一翻折位置，使得二面角SABC的大小为 60 20 （多选题）在四面体PABC中，以上说法正确的有（）
14、 A若 12 33 ADACAB ，则可知3BCBD B若Q为ABC的重心，则 111 333 PQPAPBPC C若0PA BC ，0PC AB ，则0PB AC D若四面体PABC各棱长都为 2，M N，分别为,PA BC的中点， 则 1MN 21在长方体 1111 ABCDABC D 中，2 3AB ， 1 2ADAA ， ,P Q R分 别是 11 ,AB BB AC上的动点，下列结论正确的是（ ） A对于任意给定的点P，存在点Q使得 1 D PCQ B对于任意给定的点Q，存在点R使得 1 D RCQ C当 1 ARAC 时， 1 ARDR D当 11 3ACAR 时， 1 /DR 平
15、面 1 BDC 22在边长为 2 的等边三角形ABC中，点 ,D E分别是边,AC AB上 的点，满足 /DEBC 且 AD AC ， （ 01，） ，将 ADE沿直线DE折到 A DE的位置.在翻折过程中，下列结论不成立的是（） A在边A E上存在点F，使得在翻折过程中，满足/BF平面ACD B 存在 1 0 2 , ， 使得在翻折过程中的某个位置， 满足平面A BC 平面BCDE C若 1 2 ，当二面角ADEB为直二面角时，| 10 4 A B D 在翻折过程中， 四棱锥ABCDE体积的最大值记为 f ， f 的最大值为 2 3 9 23如图，正三棱柱 11 ABCABC 中， 11 B
16、CAB 、点D为AC中点， 点E为四边形 11 BCC B内（包含边界）的动点则以下结论正确的是 （） A 11 1 2 DAA AB ABC B若/DE平面 11 ABB A，则动点E的轨迹的长度等于 2 2 AC C异面直线AD与 1 BC，所成角的余弦值为 6 6 D若点E到平面 11 ACC A的距离等于 3 2 EB，则动点E的轨迹为抛 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 12 页 共 60 页 物线的一部分 24已知四棱锥PABCD，底面ABCD为矩形，侧面PCD 平面 ABCD，2 3BC ，2 6CDPCPD.若点M为PC的中点，则下
17、列说法正确的为（） ABM 平面PCD B/ /PA面MBD C四棱锥MABCD外接球的表面积为36 D四棱锥MABCD的体积为 6 25 正方体 1111 ABCDABC D 的棱长为 2， 已知平面 1 AC ， 则关于 截此正方体所得截面的判断正确的是（） A截面形状可能为正三角形B截面形状可能为正方形 C截面形状可能为正六访形D截面面积最大值为3 3 26 如图1， 点E为正方形ABCD边BC上异于点 ,B C的动点， 将 ABE 沿AE翻折，得到如图 2 所示的四棱锥B AECD，且平面BAE 平 面AECD，点F为线段BD上异于点 ,B D的动点，则在四棱锥 BAECD中，下列说法
18、正确的有() A直线BE与直线CF必不在同一平面上 B存在点E使得直线BE平面DCE C存在点F使得直线CF与平面BAE平行 D存在点E使得直线BE与直线CD垂直 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 13 页 共 60 页 参考答案参考答案,经供参考经供参考 1BCD 【分析】利用异面直线的位置关系，线面平行的判定方法，利用空间 直角坐标系异面直线所成角和点到面的距离，对各个选项逐一判断 【解析】对选项 A，由图知 1 AC 平面 11 ACC A，EF I平面 11 ACC AE ， 且 1. EAC 由异面直线的定义可知1 AC与 EF 异面，故
19、A 错误； 对于选项 B，在直三棱柱 111 ABCABC 中， 11 BC / / BC DQ，F 分别是 AC，AB 的中点， / /FDBC， 11 BC/ / FD 又 11 BC 平面 DEF，DF 平面 DEF， 11 BC/ /平面.DEF故 B 正确； 对于选项 C，由题意，建立如图所示的空间直角坐标系， 则 (0C ，0，0)，(2A ， 0，0)， (0B，2，0)， 1(2 A， 0，2)， 1(0 B，2，2)， 1(0 C， 0， 2)，(1D ， 0，0)， (2E， 0，1)， (1F ，1，0) ( 1EF ，1， 1) ， 1 ( 2AC ，0，2) 1 20
20、20EF AC ， 1 EFAC ， 1 EFAC 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 14 页 共 60 页 EF与 1 AC所成的角为90，故 C 正确； 对于选项 D，设向量 (nx ， y， ) z 是平面 DEF 的一个法向量 (1DE ，0，1)，(0DF ，1，0)， 由 nDE nDF ， ， ，即 0 0 n DE n DF ， ， ，得 0 0. xz y ， 取1x ，则1z ， (1n ，0，1) ， 设点 1 B到平面 DEF 的距离为 d 又 1 ( 1DB ，2，2)， 11 023 2 22 DB n d n ， 点 1
21、 B到平面 DEF 的距离为 3 2 2 ，故 D 正确 故选：BCD 【点评】本题主要考查异面直线的位置关系，线面平行的判定，异面 直线所成角以及点到面的距离，还考查思维能力及综合分析能力，属 难题 2ABC 【分析】根据面面垂直的判定，线面夹角的求解办法，以及异面直线 的定义，结合面面垂直的性质，对每个选项进行逐一分析，即可容易 判断选择. 【解析】BCCD，BCDE，CD DED ， ,CD DE 平面CDE， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 15 页 共 60 页 BC平面CDE， BC 平面ABCD，平面ABCD 平面CDE，A 项正确；
22、 设CD的中点为 F，连接EFAF，则EFCD. 平面ABCD 平面CDE，平面ABCD平面CDECD，EF 平面CDE EF 平面ABCD，设EA与平面ABCD所成的角为，则EAF， 22 3EFCECF， 22 5AFADFD， 22 2 2AEEFAF ， 则 6 sin 4 EF AE ，B 项正确； 连接BD，易知BM 平面BDE，由 BME 确定的面即为平面BDE， 当直线BM和EN异面时，若点 N 为底面ABCD的中心，则NBD， 又E平面BDE，则EN与BM共面，矛盾，C 项正确； 连接FN，FN 平面ABCD，EF 平面ABCD，EF FN， FN 分别为CDBD的中点，则
23、1 1 2 FNBC， 又3EF，故 22 2ENEFFN， 22 7BMBCCM， 则BM EN，D 项错误. 故选：ABC. 【点评】本题综合考查面面垂直的判定以及性质、异面直线的定义、 线面夹角的求解，属综合困难题. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 16 页 共 60 页 3AC 【分析】取 11 C D中点 M， 1 CC中点 N，连接 11 ,B M B N MN，易证得平面 1 /BMN 平面 1 ABE，可得点 F 的运动轨迹为线段MN取MN的中点 F， 根据等腰三角形的性质得 1 B FMN ，即有 11 B FCD ，A 正确；当
24、点 F 与点 M 或点 N 重合时，直线 1 BF与直线BC所成角最大，可判断 B 错 误；根据平面 1 /BMN 平面 1 ABE， 11 B FC 即为平面 1 B MN与平面 11 CDD C所 成的锐二面角，计算可知 C 正确； 【解析】取 11 C D中点 M， 1 CC中点 N，连接 11 ,B M B N MN，则易证得 11 / /B NAE， 1 / /MNAB，从而平面 1 /BMN 平面 1 ABE，所以点 F 的运动 轨迹为线段MN 取MN的中点 F，因为 1 BMN 是等腰三角形，所以 1 B FMN ，又因为 1 / /MNCD，所以 11 B FCD ，故 A 正
25、确； 设正方体的棱长为 a，当点 F 与点 M 或点 N 重合时，直线 1 BF与直线 BC所成角最大，此时 11 tanC B F 11 tan30 23 ，所以 B 错误； 平面 1 /BMN 平面 1 ABE，取 F 为MN的中点，则 1 MNC F ， 1 MNB F ， 11 B FC 即为平面 1 B MN与平面 11 CDD C所成的锐二面角， 11 11 1 tan BC B FC C F 2 2，所以 C 正确； 因为当 F 为 1 C E与MN的交点时， 截面为菱形 1 AGC E（G为 1 BB的交点） ， 面积为 6 2 ，故 D 错误. 故选：AC. 欢迎关注微信公众
26、号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 17 页 共 60 页 【点评】本题主要考查线面角，二面角，截面面积的求解，空间几何 中的轨迹问题，意在考查学生的直观想象能力和数学运算能力，综合 性较强，属于较难题 4CD 【分析】假设结论成立，推出矛盾结论判断A，B，利用勾股定理计 算| |A B 判断C，求出 ( )f 解析式，利用导数求出最大值判断D 【解析】 解： 对于A， 连接AA，A B，AC， 显然平面A BE平面ACD AA， 若A E上存在点F使得 / /BFACD ，则 / /BFAA，显然BF与AA为相交直 线，矛盾，故A错误； 对于B，设BC中点M，DE中
27、点O，由等边三角形性质可知DEAO， DEAO ， 若平面A BC 平面BCDE，则A在底面BCDE上的射影为M，于是 AOOM ， 1 2 ，与 1 (0, ) 2 矛盾，故B错误； 对于C，若 1 2 ，二面角ADEB 等于60，则 13 22 OAOMAM ， 设A在底面BCDE上的射影为N， 则 3 sin60 4 A NOA ， 3 cos60 4 ONOA ， 3 4 MN， 22 19 4 BNMNBM， 22 7 | 2 ABBNA N ，故C正确； 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 18 页 共 60 页 对于D， AOADDE A
28、MACBC ， 2DE ，3OAOA ， 2 11 23233 1 22 BCDE S 梯形， 显然在翻折过程中，当平面A DE平面BCDE时， 四棱锥的体积最大， 故 23 1 ( )3(1)3 3 f ， 2 ( )13f ， 令 ( )0f 可得 3 3 ， 当 3 0 3 时， ( )0f ， 当 3 1 3 时， ( )0f ， 当 3 3 时， ( )f 取得最大值 32 3 () 39 f，故D正确 故选：CD 【点评】本题考查了线面平行的性质，考查棱锥的体积计算，属于中 档题 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 19 页 共 60 页
29、5BCD 【分析】点 M 是侧棱PC上的一个动点，根据其不同位置，对选项逐 一进行判断即可. 【解析】A 选项中，如图，连接 BD，当 M 是 PC 中点时，2MC ， 由题意知三角形 PDC 与三角形 PBC 都是边长为 4 的正三角形，所以 DMPC,BMBC，又 DM，BM 在面 MBD 内，且相交，所以PC 平 面 PBD，三角形 MBD 即为过点 M 且垂直于PC的截面，此时是三角 形，点 M 向下移动时， 2MC ，如图，仍是三角形； 若点 M 由中点位置向上移动， 2MC ，在平面 PDC 内作EMPC， 交 PD 于 E， 在平面 PBC 内作FMPC交 PB 于 F，平面 M
30、EF 交平面 PAD 于 EG， 交 PAB 于 FH，即交平面 ABCD 于 GH，则五边形 MEGHF 即为过点 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 20 页 共 60 页 M 且垂直于PC的截面，此时是五边形； 故截面的形状可能为三角形、五边形，A 错误； B 选项中，因为截面总与 PC 垂直，所以不同位置的截面均平行，截 面与平面 ABCD 所成的锐角为定值， 不妨取 M 是中点，连接 AC，BD，MB，MD，设 AC，BD 交点是 N， 连接 PN，由题意知，四边形 ABCD 是边长为 4 的菱形，BDAC， 因为 MB=MD，所以MNBD，
31、故MNC是截面与平面 ABCD 所成的 锐角， 过点 M 作MQ AC ， 垂足 Q.在三角形 PAC 中， MN=2， NQ=2， 故在直角三角形 MNQ 中， 2 cos 2 NQ MNC MN ，故 4 MNC ，故 B 正确； C 选项中，当 PM=1 时，M 是 PC 中点，如图，五边形 MEGHF 即为 过点 M 且垂直于PC的截面，依题意，直角三角形 PME 中， 2 cos PM PE EPM ，故 E 为 PD 的中点，同理，F 是 PB 的中点，则 EF 是三角形 PBD 的中位线， 1 2 2 2 EFBD ，G，H 分别在 ,AD AB的 中点上，证明如下，当 G，H，
32、也是中点时， 1 / /, 2 GHBD GHBD ，有 /,2 2GHEF GHEF，四边形 EFHG 是平行四边形.依题意，三角形 PAC 中4,4 2PAPCAC，故PAPC，故PC GE，易见，正四棱 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 21 页 共 60 页 锥中BD 平面 PAC，故BDPC， GHPC， 因为 ,GE GH均在平面 EFHG 内，且相交， 所以PC 平面 EFHG， 故此时平面 EFHG 和平面 MEF 即同一平面. 又BD 平面 PAC，有GH 面平面 PAC，GH GM，根据对称性有 GHGE， 四边形 EFHG 是矩
33、形. 即五边形 MEGHF 即为过点 M 且垂直于PC的截面，平面图如下: 依题意，2 2GHEF， 2EGFG， 三角形高为 22 321h ， 面积是 1 2 212 2 ， 四边形面积是2 224 2， 故截面面积是5 2. 故 C 正确； D 选项中，若 PM=2，看 B 选项中的图可知， 2 11 24 MBCDP BCDP ABCD VVVV ，故剩余部分 1 3 4 P ABCD VV ，所以 12 3VV， 故 D 正确. 故选：BCD. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 22 页 共 60 页 【点评】本题考查了棱锥的截面问题，考查
34、了二面角、体积等计算问 题，属于难题. 6ABD 【分析】对 A，由面面平行可知正确；对 B，取 1 AD的中点为F，作 出异面直线所成的角， 并证明为定值； 对 C， 利用反证法证明 1 DEAE ， 与已知矛盾； 对 D， 确定O为三棱锥1 AADE 的外接球球心， 即可得证； 【解析】取DC中点N，连接 ,MN NB. M为 1 AC的中点， 1 / /MNAD . 又E为AB的中点， / /DNEB且DNEB， 四边形BNDE为平行四边形， / /NBDE. 1 ,ADDED MNNBN ， 平面/ /MNB平面 1 ,/ADEMB 平面 1 ADE， 与平面 1 ADE垂直的直线必与
35、直线BM垂直，故 A 正确. 取 1 AD的中点为F，连接,MF EF，则/ /MFEB且MF EB， 四边形BEFM是平行四边形， 1 /,BMEFAEF 为异面直线BM与 1 AE所成的角.设 1AD ，则22ABAD， 1111 11 1,tan 22 ADAEAFAEF ， 故异面直线BM与 1 AE所成的角为定值，故 B 正确. 连接 1 AO. 1 ADE 为等腰直角三角形且O为斜边DE中点， 1 DEAO .若DEMO，则DE 平面 11 ,AMODEAC . 又 222 2,2,DEECDCDEECDC，DEEC. 又 1 ,ECACCDE 平面 1 AEC， 1 DEAE ，
36、与已知矛盾，故 C 错误. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 23 页 共 60 页 1, ODOEOAOAO 为三棱锥1 AADE 的外接球球心. 又 2 2 OA AD 为定值，故 D 正确. 故选：ABD. 【点评】本题考查空间几何体的翻折问题、异面直线所成角、外接球 等问题，考查转化与化归思想，考查空间想象能力、运算求解能力， 求解时注意翻折前后的不变量. 7AB 【分析】由线面垂直推出异面直线垂直可判断 A；由点到平面的距离 可判断 B；运用三棱锥的体积公式可判断 C；根据异面直线所成角的 定义判断 D. 【解析】如图： 对于 A，根据题意
37、，ACBD， 1 ACDD ，AC 平面 11 BDD B， 所以ACBE，故 A 正确； 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 24 页 共 60 页 对于 B，A 到平面11 CDD C的距离是定值，所以点 A 到 BEF的距离为定 值，故 B 正确； 对于 C，三棱锥ABEF的体积为 1 11 sin45 32 A BEF VEFABBB 三棱锥 3 11221 322212 aaaa ，三棱锥ABEF的体积是正方体 1111 ABCDABC D 体积的 1 12 ，故 C 错误； 对于 D，当点 E 在 1 D处，F 为 11 DB的中点时，异面
38、直线 AE，BF 所成 的角是 1 FBC ，当E在 11 DB的中点时，F 在 1 B的位置，异面直线 AE， BF 所成的角是 1 EAA ，显然两个角不相等，命题 D 错误； 故选：AB 【点评】本题考查命题真假的判断，以正方体为载体，考查了空间中 的平行与垂直关系的应用问题，也考查了面积与体积的计算问题，考 查运算求解能力，是中档题. 8BC 【分析】取BC的中点E，延长DE，1 D N，并交于点F，连FM并延长 分别交 ,BC AD于,P Q， 连 1 ,DQ PN并延长交 11 BC与H， 平面四边形 1 D HPQ 为所求的截面，进而求出 ,P Q H在各边的位置，利用割补法求出
39、多面 体 11 QPHD C CD的体积，即可求出结论. 【解析】如图，取BC的中点E，延长DE，1 D N，并交于点F， 连接FM并延长，设FM BCP，FMADQ， 连接PN并延长交 11 BC于点H.连接 1 DQ， 1 D H， 则平面四边形 1 D HPQ就是平面 1 DMN与正方体的截面，如图所示. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 25 页 共 60 页 1111 11 / / /, 22 NECCDD NECCDD ， NE为 1 DD F 的中位线，E为DF中点，连BF， ,90DCEFBE BFDCABFBEDCE ， ,A B
40、F 三点共线，取AB中点S，连MS， 则 12 / /, 23 BPFB MSBP MSBC MSFS ， 22111 , 33236 BPMSBCBCPEBC ， E为DF中点， 11 / /,2 33 PEDQDQPEBCAD N分别是正方形 11 BCC B的中心， 111 1 3 C HBPC B 所以点P是线段BC靠近点B的三等分点， 点Q是线段AD靠近点D的三等分点， 点H是线段 11 BC靠近点 1 C的三等分点. 做出线段BC的另一个三等分点 P ， 做出线段 11 AD靠近 1 D的三等分点G， 连接QP，HP，QG，GH， 1 H QPPQ GHD VV ， 所以 1 11
41、1 1 3 QPHD C CDQPHQ DCC D VVV 多面体长方体正方体 从而平面 1 DMN将正方体分成两部分体积比为 21. 故选:BC. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 26 页 共 60 页 【点评】本题考查直线与平面的交点及多面体的体积，确定出平面与 正方体的交线是解题的关键，考查直观想象、逻辑推理能力，属于较 难题. 9ACD 【分析】如图，计算可得 ,E F G H分别为所在棱的中点，利用空间中 点线面的位置关系的判断方法可判断 A、B 的正确与否，计算出直线 AB与平面EFGH所成的角为45后可得C正确， 而几何体BHECGF
42、为 三棱柱，利用公式可求其体积，从而可判断 D 正确与否. 【解析】 如图，连接OA，则 2 1 15OAAA ，故棱 1111 ,A A AD D D AD与球面没 有交点. 同理，棱 111111 ,AB BC C D与球面没有交点. 因为棱 11 AD与棱BC之间的距离为2 2 6，故棱BC与球面没有交点. 因为正方体的棱长为 2，而26， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 27 页 共 60 页 球面与正方体 1111 ABCDABC D 的棱有四个交点 E，F，G，H， 所以棱 11 ,AB CD CC B B与球面各有一个交点， 如图各记
43、为,E F G H. 因为OAE为直角三角形，故 22 651AEOEOA，故E为棱AB 的中点. 同理 ,F G H分别为棱 11 ,CD CC B B的中点. 由正方形ABCD、 ,E F为所在棱的中点可得/EF BC， 同理/GH BC，故 /EF GH，故,E F G H共面. 由正方体 1111 ABCDABC D 可得 11/ ADBC，故 11/ ADEF 因为 11 AD 平面EFGH，EF 平面EFGH，故 11/ AD 平面EFGH，故 A 正确. 因为在直角三角 1 BAC中， 1 2 2AB ，2BC ， 1 90ABC， 1 AC与BC不垂直，故 1 AC与GH不垂直
44、，故 1 AC 平面EFGH不成立， 故 B 错误. 由正方体 1111 ABCDABC D 可得BC平面 11 AAB B，而 1 AB 平面 11 AAB B， 所以 1 BCAB ，所以 1 EFAB 在正方形 11 AAB B中，因为,E H分别为 1 ,AB BB的中点，故 1 EHAB ， 因为EF EHE ，故 1 AB 平面EFGH， 所以BEH为直线AB与平面EFGH所成的角，而45BEH， 故直线AB与平面EFGH所成的角为45， 因为 11 /AB AB，故 11 AB与平面EFGH所成的角的大小为 45.故 C 正确. 因为 ,E F G H分别为所在棱的中点，故几何体
45、BHECGF 为三棱柱， 其体积为 1 1 1 21 2 ，而正方体的体积为 8， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 28 页 共 60 页 故平面EFGH将正方体 1111 ABCDABC D 分成两部分的体积的比为1:7， 故 D 正确. 故选：ACD. 【点评】本题考查空间中线面位置的判断、空间角的计算和体积的计 算，注意根据球的半径确定哪些棱与球面有交点，本题属于中档题. 10ABC 【分析】由 1EFOB，/EFOB，易证/ /OF平面BCE，A 正确； B， 由所矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直， 易证AD平面 ABEF，所以ADB
46、F，由线段AB为圆O的直径，所以BFFA，易证 故 B 正确. C，由 C DAFA CDF VV 可求点A到平面CDFE的距离为 21 7 ，C 正确. D，确定线段DB的中点M是三棱锥CBEF外接球心，进一步可求其 体积，可判断 D 错误. 【解析】解： 1EFOB，/EFOB，四边形OFEB为平行四边形，所 以 / /OFBE， OF 平面BCE，BE 平面BCE，所以/OF 平面BCE，故 A 正确. 线段AB为圆O的直径，所以BFFA， 矩形ABCD所在平面和圆O所在平面垂直，平面ABCD平面 ABEFAB，AD平面 ABCD，所以AD平面ABEF，BF 平面ABEF，所以ADBF
47、AD平面ADF，AF 平面ADF，ADAFA， 所以BF 平面ADF，故 B 正确. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 29 页 共 60 页 1OFOEEF ， OFE 是正三角形，所以1EFBEAF， / /DABC，所以BC平面ABEF，BCBF， 3BF ， 22 3 12CFCBBF， 22 1 12DFDAAF ， 2ABCD，CDF是等腰三角形，CDF的边DF上的高 2 2 22 214 2 222 DF CF ， 1147 2 222 CDF S ， / /DABC，AD平面ADF，BC 平面ADF， /BC 平面ADF，点C到平面A
48、DF的距离为3BF ， 11 1 1 22 DAF S ， C DAFA CDF VV ， 设点A到平面CDFE的距离为h， 11 33 ADFCFD SFBSh ， 1117 3 3232 h， 所以 21 7 h ，故 C 正确. 取DB的中点M，则/MOAD， 1 2 MO ，所以MO 平面CDFE， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 30 页 共 60 页 所以 2 15 1 22 MEMFMBMC 所以M是三棱锥CBEF外接球的球心，其半径 5 2 ， 三棱锥CBEF外接球的体积为 3 3 4455 5 3326 Vr ，故 D 错 误，
49、故选：ABC. 【点评】综合考查线面平行与垂直的判断，求点面距离以及三棱锥的 外接球的体积求法，难题. 11ACD 【分析】根据正方体的截面性质依次判断每个选项：根据对称性知 A 正确， 取 1 2 x 得到 B 错误， 液面为正六边形时面积最大， 计算得到 C 正确，将 1111 DCBA 绕 11 C D旋转 2 ，根据两点间线段最短得到 D 正确，得 到答案. 【解析】 当 1 2 x 时， 题目等价于过正方体中心的平面截正方体为两部 分，根据对称性知两部分完全相同，A 正确； 取 1 2 x ，此时液面过正方体中心，截面不可能为三角形，故 B 错误； 当液面与正方体的体对角线垂直时，
50、液面为如图所示正六边形时面积 最大，其中正六边形的顶点均为对应棱的中点， 12233 3 6 22224 S ， C 正确； 当液面过 1 DB时，截面为四边形 1 B NDG，将 1111 DCBA 绕 11 C D旋转 2 ，如 图所示： 则 111 1 45DNB NDNB NDB，当 1 DNB共线时等号成立，故 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 31 页 共 60 页 周长最小值为2 5，故 D 正确. 故选：ACD. 【点评】本题考查了正方体的截面问题，意在考查学生的计算能力和 空间想象能力. 12AC 【分析】对选项分别作图，研究计算可
