1、函数及其性质多选题函数及其性质多选题 1一般地，若函数 f x 的定义域为 , a b，值域为,ka kb，则称为 的“k倍跟随区间”；若函数的定义域为 , a b，值域也为, a b，则称 , a b为 f x的“跟随区间”.下列结论正确的是（） A若 1,b为 2 22f xxx 的跟随区间，则2b B函数 1 1f x x 存在跟随区间 C若函数 1f xmx 存在跟随区间，则 1 ,0 4 m D二次函数 2 1 2 f xxx 存在“3 倍跟随区间” 2若实数2a ，则下列不等式中一定成立的是（） A 21 (1)(2) aa aa B 1 log (1)log(2) aa aa C
2、 1 log (1) a a a a D 1 2 log(2) 1 a a a a 3定义“正对数”： 0,01 ln ln ,1 x x x x ，若0a ，0b ，则下列结论 中正确的是（）. A lnln b aba B lnlnlnabab C lnlnlna bab D lnlnlnln2abab 4已知函数 2 1,0 log,0 kxx f x x x ，下列是关于函数 1yffx 的 零点个数的判断，其中正确的是（） A当0k 时，有 3 个零点B当k0时，有 2 个零点 C当0k 时，有 4 个零点D当k0时，有 1 个零点 5设 x 表示不超过x的最大整数，如： 1.21
3、， 1.22 ， yx 又称为取整函数，在现实生活中有着广泛的应用，诸如停车收费， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 2 页 共 95 页 出租车收费等均按“取整函数”进行计费，以下关于“取整函数”的 描述，正确的是（） AxR ， 22xx B , x yR ，若 xy ，则 1xy CxR ， 1 2 2 xxx D不等式 2 230 xx的解集为|0 x x 或2x 6对于实数x，符号 x 表示不超过x的最大整数，例如 3 ， 1.082 ， 定义函数 fxxx， 则下列命题中正确的是 （） A 3.94.1ff B函数 f x 的最大值为 1
4、 C函数 f x 的最小值为 0D方程 1 0 2 fx 有无数个根 7 狄利克雷函数是高等数学中的一个典型函数， 若 1, ( ) 0, R xQ f x xQ ， 则称 f x 为狄利克雷函数.对于狄利克量函数 f x ，给出下面 4 个 命题：其中真命题的有（） A对任意xR，都有 1ffx B对任意xR，都有 0fxf x C对任意 1 xR ，都存在 2 x Q， 121 ()f xxf x D若 0a ，1b ，则有 |x f xax f xb 8把方程 | | 1 4 x x y y 表示的曲线作为函数 yf x 的图象，则下 列结论正确的有（） A函数 f x 的图象不经过第三
5、象限 B函数 f x 在 R 上单调递增 C函数 f x 的图象上的点到坐标原点的距离的最小值为 1 D函数 2g xf xx 不存在零点 9设函数 ( )f x 是定义在区间I上的函数， 若对区间I中的任意两个 实数12 ,x x，都有 1212 ( )() (), 22 xxf xf x f 则称 ( )f x 为区间I上的下凸 函数.下列函数中是区间(1,3)上的下凸函数的是（） A ( )21f xx B ( )2f xx C 3 ( )5f xxD 21 ( ) 1 x f x x 10已知函数 1 ( ),f xx x 2 2 1 ( )g xx x 则下列结论中正确的是 （） A
6、 ( )( )f xg x 是奇函数B ( )( )f xg x 是偶函数 C ( )( )f xg x 的最小值为4D ( )( )f xg x 的最小值为 2 11函数 1() ( ) 0() x f x x 为有理数 为无理数 ， 则下列结论正确的是（） A ( )f x 是偶函数 B ( )f x 的值域是0,1 C方程 ( ( )f f xx 的解为1x D方程 ( ( )( )f f xf x 的解为1x 12数学的对称美在中国传统文化中多有体现，譬如如图所示的 太极图是由黑白两个鱼形纹组成的圆形图案，充分展现了相互转 化对称统一的和谐美.如果能够将圆的周长和面积同时平分的函 数称
7、为这个圆的“优美函数“，下列说法正确的是（） 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 4 页 共 95 页 A对于任意一个圆，其“优美函数”有有限数个 B正弦函数 y=sinx 可以同时是无数个圆的“优美函数” C函数 y=f(x)是“优美函数”的充要条件为函数 y=f(x)的图象是中 心对称图形 D 3 ( )f xx可以是某个圆的“优美函数” 13对于具有相同定义域 D 的函数 f x 和 g x ，若存在函数 h xkxb（k，b 为常数） ，对任给的正数 m，存在相应的 0 xD ， 使得当xD且 0 xx 时，总有 0 0 fxh xm h xg
8、 xm ，则称直线 : l ykxb 为曲线 yf x 与 yg x 的“分渐近线”.给出定义域均为 |1Dx x的四组函数，其中曲线 yf x与 yg x存在“分渐近 线”的是（） A 2 f xx ， g xx B 102 x f x ， 23x g x x C 2 1x f x x ， ln1 ln xx g x x D 2 2 1 x f x x ， 21 x g xxe 14已知当0 x 时， 2 ( )24f xxx ；0 x 时(2)yf x，以下结论 正确的是（） A f x 在区间 6, 4 上是增函数； B 220212ff ； C函数 yf x 周期函数，且最小正周期为
9、2； D 若方程 ( )1f xkx 恰有 3 个实根， 则 1 42 2 2 k 或2 24k ； 15德国著名数学家狄利克雷(Dirichlet,18051859)在数学领域成 就显著.19 世纪,狄利克雷定义了一个“奇怪的函数” 1, 0, R xQ yf x xC Q 其中 R 为实数集,Q 为有理数集.则关于函数 f x有如下四个命题,正确的为() A函数 f x 是偶函数 B 1 x , 2R xC Q , 1212 f xxf xf x 恒成立 C任取一个不为零的有理数 T,()( ) fx Tfx+= 对任意的xR恒成 立 D不存在三个点 11 ,A x f x , 22 ,B
10、 xf x , 33 C xf x， ,使得ABC为 等腰直角三角形 16下列关于函数 32 32f xxxx 的叙述正确的为() A函数 f x 有三个零点 B点(1，0)是函数 f x 图象的对称中心 C函数 f x 的极大值点为 3 1 3 x D存在实数 a，使得函数 2 ( ) ( )( )g xf xaf x为增函数 17若 f x 满足对任意的实数a，b都有 f abf a f b 且 12f，则下列判断正确的有（） A f x 是奇函数 B f x 在定义域上单调递增 C当 0,x 时，函数 1fx D 246201620182020 2020 135201520172019
11、ffffff ffffff 18已知函数 2 2,1 , 12 xx f x xx ，关于函数 fx 的结论正确的是 （） 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 6 页 共 95 页 A fx 的定义域为RB fx 的值域为 ,4 C 13f D若 3fx ，则 x 的值是3 E. 1f x 的解集为 1,1 19已知函数 4 ( ) n n f xx x (n 为正整数)，则下列判断正确的是 （） A函数 ( )f x 始终为奇函数 B当 n 为偶数时，函数 ( )f x 的最小值为 4 C当 n 为奇数时，函数 ( )f x 的极小值为 4 D当1n
12、 时，函数 ( )yf x 的图象关于直线 2yx 对称 20已知函数 sin x f xex ，则下列结论正确的是（） A f x 是以2为周期的函数 B f x 是奇函数 C f x 在 3 , 44 上为增函数 D f x 在 10 ,10 内有 20 个极值点 21 已知函数 xx f xee ， 2 2g xxx ， 以下结论正确的有 （） A f x 是偶函数 B当0a 时， 1yafx 与 yg x 有相同的单调性 C当0a 时，若 1yafx 与 yg x 的图象有交点，那么交点 的个数是偶数 D若 1yafx 与 yg x 的图象只有一个公共点，则 1 2 a 22已知函数
13、2 2 ,0 ( ) (2),0 xx x f x f xx ，以下结论正确的是（） A ( 3)(2019)3ff B f x 在区间 4,5上是增函数 C若方程 ( )1f xk x 恰有 3 个实根，则 11 , 24 k D若函数 ( )yf xb 在( ,4) 上有 6 个零点 (1,2,3,4,5,6) i x i ，则 6 1 ii i x f x 的取值范围是 0,6 23已知函数 3x f xex ，则以下结论正确的是() A f x 在R上单调递增B 1 2 5 log 2lnffef C方程 1f x 有实数解D存在实数k，使得方程 f xkx有4个实数解 24已知函数
14、2 2 21,0 21,0 xxx f x xxx ,则下列判断正确的是（） A fx 为奇函数 B对任意 1 x, 2 xR ,则有 1212 0 xxf xf x C对任意xR,则有 2f xfx D 若函数 yfxmx 有两个不同的零点,则实数 m 的取值范围是 ,04, 25已知定义在 R 上的函数 f x 的图象连续不断，若存在常数 ()t tR ，使得 ()( )0f xttf x 对任意的实数 x 成立，则称 f x 是回旋 函数.给出下列四个命题中，正确的命题是（） A常值函数 ( )(0)f xa a 为回旋函数的充要条件是1t ； B若(01) x yaa为回旋函数，则1t
15、 ； C函数 2 ( )f xx不是回旋函数； D若 f x 是2t 的回旋函数，则 f x 在0 4030， 上至少有 2015 个 零点. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 8 页 共 95 页 26已知函数 ln,0 2,2 xx e f x fexexe ，若方程 F（x）f（x） ax 有 4 个零点，则 a 的可能的值为（） A 1 4 B 1 3 C 1 2 D 1 e 27已知 1,abe 为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的 是（） A ab aebeBlnlnabbaClnlnaabbD ab beae 28对于函数 1 3
16、cos, 2 2 13 2 , 22 x x f x f xx ，下面结论正确的是 （） A任取 12 1 , 2 x x ，都有 12 2f xf x 恒成立 B对于一切 1 , 2 x ，都有 * 22N k fxfxkk C函数 1 ln 2 yf xx 有 3 个零点 D对任意0 x ，不等式 k f x x 恒成立，则实数k的取值范围是 1 , 2 29对于定义域为 D 的函数 f（x） ，若存在区间m，nD，同时 满足下列条件：f（x）在m，n上是单调的；当定义域是m， n时，f（x）的值域也是m，n，则称m，n为该函数的“和谐区 间”.下列函数存在“和谐区间”的有（） A 3 2
17、1f xx B 2 f x x C -2 x f xe D ln1f xx 30 对 x R， x表示不超过x的最大整数 十八世纪， yx 被“数 学王子”高斯采用，因此得名为高斯函数，人们更习惯称为“取整 函数”，则下列命题中的真命题是（） A , 1xxx R B , x yxyxyR C函数 ()yxx xR 的值域为0,1) D若t R，使得 345 1,2,3,2 n ttttn L 同时成立，则 正整数n的最大值是 5 31设函数 cos2cos2 ( )22 xx f x ，则（） A ( )f x 在 0, 2 单调递增 B ( )f x 的值域为 3 3 , 2 2 C f
18、x 的一个周期为 D 4 fx 的图像关于点 ,0 4 对称 32某同学在研究函数 2 11f xxx 的性质时，联想到两点 间的距离公式，从而将函数变形为 2222 00 1100f xxx，则下列结论正确的是 （） A函数 f x 在区间 ,0 上单调递减， 1,上单调递增 B函数 f x 的最小值为2，没有最大值 C存在实数t，使得函数 f x 的图象关于直线x t 对称 D方程 2f x 的实根个数为 2 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 10 页 共 95 页 33设0a ，函数 2 1axx ye 的图象可能是（） AB CD 34已知函
19、数 f x 满足：当 3 0 x时， 1 x fxex ，下列命 题正确的是（） A若 f x 是偶函数，则当03x时， 1 x fxex B若 33fxf x ，则 3 2 g xf x e 在 6,0 x 上有 3 个零 点 C若 f x 是奇函数，则 1 x ， 2 3,3x ， 12 2f xf x D若 3f xf x ，方程 2 0f xkf x 在 3,3x 上有 6 个不 同的根，则k的范围为 23 12 k ee 35设函数 2 sin 1 x fx xx ，则（） A 4 3 fx B 5fxx C曲线 yf x 存在对称轴D曲线 yf x 存在对称中心 36已知函数 2
20、3 ,0 3 ,0 xx x f x f xx ，以下结论正确的是（） A f x 在区间 4,6上是增函数 B 220204ff C若函数 yf xb 在 ,6 上有 6 个零点 1,2,3,4,5,6 i x i ，则 6 1 9 i i x D若方程 1fxkx 恰有 3 个实根，则 1 1,1 3 k 37若函数 f x 在定义域D内的某个区间I上是单调增函数，且 f x F x x 在区间I上也是单调增函数，则称 yf x 是I上的“一 致递增函数”.已知 x e fxx x ，若函数 f x 是区间I上的“一致递 增函数”，则区间I可能是（） A , 2 B ,0 C 0, D 2
21、, 38已知 f x 是定义域为( ,) 的奇函数， 1f x 是偶函数，且 当 0,1x 时， 2f xx x ，则（） A f x 是周期为 2 的函数 B 201920201ff C f x 的值域为-1，1 D f x 的图象与曲线 cosyx 在 0,2 上有 4 个交点 39设函数2 sin ( ) 5 4 x f x xx ，则下列结论正确的是（） A 1f x B 4f xx C曲线 yf x 存在对称轴 D曲线 yf x 存在对称轴中心 40某同学对函数 sin ee xx x f x 进行研究后，得出以下结论，其中 正确的有（） 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解
22、题研究群 416652117 第 12 页 共 95 页 A函数 yf x 的图象关于原点对称 B对定义域中的任意实数x的值，恒有 1fx 成立 C函数 yf x 的图象与x轴有无穷多个交点，且每相邻两交点 间距离相等 D对任意常数0m ，存在常数bam，使函数 yf x 在 , a b上 单调递减，且1ba 41函数 ( )cos|cos|f xxx ，xR是（） A最小正周期是 B区间0，1上的减函数 C图象关于点(k，0)( )kZ 对称 D周期函数且图象有无数条对称轴 42下列命题正确的是（） A已知幂函数 21 ( )(1) m f xmx 在(0,)上单调递减则0m 或 2m B函
23、数 2 ( )(24)3f xxmxm的有两个零点，一个大于 0，一个 小于 0 的一个充分不必要条件是1m C已知函数 3 1 ( )sinln 1 x f xxx x ，若 (21)0fa ，则a的取值 范围为 1 , 2 D已知函数 ( )f x 满足 ()( )2fxf x ， 1 ( ) x g x x ，且 ( )f x 与 ( )g x的 图像的交点为 112288 ,x yxyx y 则 128128 xxxyyy 的值为 8 43若存在实常数k和b，使得函数 F x 和 G x 对其公共定义域上 的任意实数x都满足： F xkxb 和 G xkxb 恒成立，则称此直 线y k
24、xb 为 F x 和 G x 的“隔离直线”，已知函数 2 f xxRx ， 1 0g xx x ， 2 lnh xex ，下列命题为真命题的是（） A F xf xg x 在 3 1 ,0 2 内单调递减 B f x 和 g x 之间存在“隔离直线”，且b的最小值为4 C f x 和 g x 之间存在“隔离直线”，且k的取值范围是 4,0 D f x 和 h x 之间存在唯一的“隔离直线”2yexe 44新型冠状病毒属于属的冠状病毒，有包膜，颗粒常为多形 性，其中包含着结构为数学模型的 cosyB ，y kb ，人体肺 部结构中包含 sinyA ， lny 的结构，新型冠状病毒肺炎是由 它们
25、复合而成的，表现为 f .则下列结论正确的是（） A若 2 1 0 2 fffaa ，则 f 为周期函数 B对于 0, 2 ， sin 的最小值为 2 C若 sin 1lnaf 在区间(0,1)上是增函数，则 0a D若 sin2cosf ，0 ，满足 11ff，则 4 sin2 5 45已知定义在R上的函数 f x 满足： 0f xfx ，且当0 x 时，( ) x f xex b .若 ( (2sin)(sin)0f kbxfx .在xR上恒成立， 则k的可能取值为() A1B0C1D2 46已知函数 32 ( )f xxaxbxc，下列结论中正确的是() A 0 xR ， 0 0f x
26、B函数 ( )yf x 的图象一定关于原点成中心对称 C若0 x是( )f x的极小值点，则( )f x在区间 0 ,x 单调递减 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 14 页 共 95 页 D若 0 x是( )f x的极值点，则 0 0fx 47定义：若函数 F x 在区间 ab， 上的值域为 ab， ，则称区间 ab，是函数 F x的“完美区间”，另外，定义区间 F x的“复区间 长度”为 2 ba ，已知函数 2 1f xx ，则（） A 0,1是 f x 的一个“完美区间” B 15 15 , 22 是 f x 的一个“完美区间” C f x
27、的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为35 D f x 的所有“完美区间”的“复区间长度”的和为32 5 48函数 ( )f x 在a， b 上有定义，若对任意 1 x， 2 xa ， b ，有 12 12 1 () ()() 22 xx ff xf x ，则称 ( )f x 在a， b 上具有性质P设 ( )f x 在1，3上具有性质P，下列命题正确的有（） A ( )f x 在1，3上的图象是连续不断的 B 2 ()f x在1，3上具有性质P C若 ( )f x 在2x 处取得最大值 1，则 ( )1f x ， 1x ，3 D对任意 1 x， 2 x， 3 x， 4 1x ，3，有 12
28、34 1234 1 () ()()()() 44 xxxx ff xf xf xf x 49已知 ( )f x 为R上的奇函数，且当0 x 时， ( )lgf xx .记 ( )sin( ) cosg xxf xx ，下列结论正确的是（） A ( )g x 为奇函数 B若 ( )g x 的一个零点为 0 x，且 0 0 x ，则 00 lgtan0 xx C ( )g x 在区间 , 2 的零点个数为 3 个 D 若 ( )g x大于 1 的零点从小到大依次为 12 ,x x ， 则 12 23xx 50 定义在R上的函数 ( )( ), ( )22( 2)f xxg x g xxgx ,若
29、( )f x 在 区间 1, ) 上为增函数,且存在20t ,使得 (0)( )0ff t .则下列 不等式一定成立的是() A 2 1 (1)( ) 2 f ttf B ( 2)0( )ff t C (2)(1)f tf t D (1)( )f tf t 51已知集合 ,Mx yyf x ，若对于任意实数对 11 ,x yM ， 存在 22 ,x yM ， 使 1212 0 x xy y 成立， 则称集合M是“垂直对点集”； 下列四个集合中，是“垂直对点集”的是（） A 2 1 ,Mx yy x B ,sin1Mx yyx C ,22 x Mx yy D 2 ,logMx yyx 52对于定
30、义域为 D 的函数 yf x ,若同时满足下列条件: f x 在 D 内单调递增或单调递减;存在区间 , a bD ,使 f x 在 , a b上 的值域为 , a b.那么把 yf xxD 称为闭函数.下列结论正确的 是() A函数 2 1yx是闭函数 B函数 3 yx 是闭函数 C函数 1 x f x x 是闭函数 D2k 时,函数2ykx是闭函数 E.2k 时,函数2ykx是闭函数 53高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学 王子”的称号，他和阿基米德、牛顿并列为世界三大数学家，用其 名字命名的“高斯函数”为：设xR，用 x表示不超过 x 的最大整 欢迎关注微信公众号（Q
31、Q 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 16 页 共 95 页 数，则 yx 称为高斯函数，例如： 3.5 4 ，2.1 2 .已知函数 1 ( ) 12 x x e f x e ，则关于函数 ( ) ( )g xf x 的叙述中正确的是（） A ( )g x 是偶函数B ( )f x 是奇函数 C ( )f x 在 R 上是增函数D ( )g x 的值域是 1,0,1 E. ( )g x的值域是 1,0 54定义“正对数”： 0,01, ln ln ,1. x x x x 若0a ，0b ，则下列结论 中正确 的是（） Aln ()ln b aba Bln ()lnlnaba
32、b Cln ( ) lnln a ab b Dln ()lnlnabab E.ln ()lnlnln2abab 55若函数 ( )f x 具有下列性质：定义域为( 1,1) ；对于任意的 ,( 1,1)x y ，都有 ( )( ) 1 xy f xf yf xy ；当 10 x 时， ( )0f x ， 则称函数 ( )f x 为的函数.若函数 ( )f x 为的函数，则以下结论正确 的是（） A ( )f x 为奇函数B ( )f x 为偶函数 C ( )f x 为单调递减函数D ( )f x 为单调递增函数 56 （多选）下列判断不正确的是（） A函数 1 f x x 在定义域内是减函数
33、B g x 奇函数，则一定有 00g C已知0 x ， 0y ，且 11 1 xy ，若 2 3xymm恒成立，则实数 m的取值范围是4,1 D已知 2 51 1 xaxx f x a x x 在 , 上是增函数，则a的取值 范围是 3, 2 57对于定义域为D的函数 f x ，若存在区间 ,m nD ，同时满 足下列条件： f x 在 ,m n上是单调的；当定义域是,m n时， f x的值域也是,m n， 则称,m n为该函数的“和谐区间”.下列函数 存在“和谐区间”的是（） A 2fxx B 2 3f x x C 2 2fxxx D ln2f xx 58德国著名数学家狄利克雷在数学领域成就
34、显著，是解析数论 的创始人之一，以其名命名的函数 1, 0 x f x x 为有理数 ， 为无理数成为狄利克 雷函数，则关于 f x ，下列说法正确的是（） A ,1xR ff x B函数 f x 是偶函数 C任意一个非零有理数T，()( ) fx Tfx+= 对任意xR恒成立 D存在三个点 112233 ( ,(), (,(),(,()A xf xB xf xC xf x ，使得ABC为等边 三角形 59已知函数 22 sin 122 x f x xxx .下列命题为真命题的是 （） A函数 f x 是周期函数 B函数 f x 既有最大值又有最小值 C函数 f x 的定义域是R，且其图象有对
35、称轴 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 18 页 共 95 页 D对于任意 ( 1,0)x ， ( )f x 单调递减 60 已知函数( ) 2 xx f x ，( ) 2 xx g x ， 则 ( )f x ，( ) g x 满足 （） A ()()( )( )fxgxg xf x B ( 2)(3)ff C( )( ) x f xg x D(2 )2 ( ) ( )fxf x g x E. 22 ( ) ( )1f xg x 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 19 页 共 95 页 参考答案参考答案，仅
36、供参考，仅供参考 1ABCD 【分析】根据“k倍跟随区间”的定义,分析函数在区间内的最值与取值 范围逐个判断即可. 【解析】对 A, 若 1,b为 2 22f xxx 的跟随区间,因为 2 22f xxx 在区间 1,b为增函数,故其值域为 2 1,22bb ,根据题 意有 2 22bbb,解得1b 或2b ,因为1b 故2b .故 A 正确； 对 B,因为函数 1 1f x x 在区间 ,0 与 0,+ 上均为减函数,故若 1 1f x x 存在跟随区间 , a b则有 1 1+ 1 1+ a b b a ,解得： 15 2 15 2 a b . 故存在, B 正确. 对C, 若函数 1f
37、xmx 存在跟随区间 , a b,因为 1f xmx为 减函数,故由跟随区间的定义可知 1 11 1 bma abab amb ,ab 即 1+111abababab ,因为ab,所以 1+11ab . 易得0111ab . 所以 111ambma ,令1ta代入化简可得 2 0ttm ,同 理1tb也满足 2 0ttm ,即 2 0ttm 在区间 0,1上有两根不相等 的实数根. 故 140 0 m m ,解得 1 ,0 4 m ,故 C 正确. 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 20 页 共 95 页 对 D,若 2 1 2 f xxx 存在“3
38、 倍跟随区间”,则可设定义域为 , a b,值域 为 3 ,3a b.当1ab 时,易得 2 1 2 f xxx 在区间上单调递增,此时易 得 , a b为方程 2 1 3 2 xxx 的两根,求解得0 x 或4x .故存在定义域 4,0,使得值域为12,0. 故 D 正确. 故选：ABCD. 【点评】本题主要考查了函数新定义的问题,需要根据题意结合函数 的性质分析函数的单调性与取最大值时的自变量值,并根据函数的解 析式列式求解.属于难题. 2ABD 【分析】对于选项 A：原式等价于 ln1ln2 12 aa aa ，对于选项 C： 1 log (1) a a a a ln11 ln aa a
39、a ln1ln 1 aa aa ，对于选项 D：变形为 ln2ln1 21 aa aa ， 构造函数 ln x fx x ， 通过求导判断其在 ,xe上 的单调性即可判断； 对于选项 B： 利用换底公式： 1 log (1)log(2) aa aa ln1ln2 lnln1 aa aa ， 等价于 2 ln1lnln2aaa ，利用基本不等式 2 2 ab ab ，再结合放 缩法即可判断； 【解析】令 ln x fx x ，则 2 1 ln x fx x 0 在 3,x上恒成立，所以 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 21 页 共 95 页 函数 l
40、n x fx x 在 ,xe上单调递减， 对于选项 A：因为2a ，所以 21 (1)(2) aa aa 2 ln11 ln2aaaa， 即原不等式等价于 ln1ln2 12 aa aa ，因为12aa ，所以 ln1ln2 12 aa aa ，从而可得 21 (1)(2) aa aa ，故选项 A 正确； 对于选项 C： 1 log (1) a a a a ln11 ln aa aa ln1ln 1 aa aa ， 由于函数 ln x fx x 在 , e 上单调递减， 所以 43ff ， 即 ln4ln3 43 ， 因为 ln42ln2ln2 442 ，所以 ln2ln3 23 ，取2a
41、，则 ln1ln 1 aa aa ，故选 项 C 错误； 对于选项 D： 1 2 log(2) 1 a a a a ln22 ln11 aa aa ln2ln1 21 aa aa ， 与选项 A 相同，故选项 D 正确. 对于选项 B： 1 log (1)log(2) aa aa ln1ln2 lnln1 aa aa ，因为2a ， 所以等价于 2 ln1lnln2aaa ，因为 2 lnln2 lnln2 2 aa aa ， 因为 22 2 22 2 ln2ln21 lnln2 ln1 222 aaaa aa a ， 所以不等式 1 log (1)log(2) aa aa 成立，故选项 B
42、正确； 故选：ABD 【点评】本题考查利用对数的换底公式、构造函数法、利用导数判断 函数的单调性、结合基本不等式和放缩法比较大小；考查逻辑推理能 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 22 页 共 95 页 力、知识的综合运用能力、转化与化归能力和运算求解能力；属于综 合型强、难度大型试题. 3AD 【分析】根据所给的定义及对数的运算性质对四个命题进行判断，由 于在不同的定义域中函数的解析式不一样，故需要对 , a b进行分类讨 论，判断出每个命题的真假. 【解析】对 A，当01a，0b 时，有01 b a，从而 ln0 b a ， ln00bab ，
43、所以 lnln b aba ； 当1a ，0b 时，有1 b a ，从而 lnlnln bb aaba ，lnlnbaba ， 所以 lnln b aba 所以当0a ，0b 时， lnln b aba ，故 A 正确 对 B，当 1 4 a ，2b 时满足0a ，0b ，而 1 lnln0 2 ab ， 1 lnlnlnln 2ln 2 4 ab ，所以 lnlnlnabab ，故 B 错误； 对 C，令2a ，4b ，则 ln2 4ln6 ，ln 2ln 4ln 2ln 4ln8 ，显 然ln6ln8，故 C 错误； 对 D，由“正对数”的定义知，当 12 xx 时，有 12 lnlnxx
44、 ， 当01a，01b时，有02ab， 从而 lnln 2ln2ab ，lnlnln 200ln 2ln 2ab ， 所以 lnlnlnln2abab ； 当1a ，01b时，有1ab， 从而 lnlnlnln 2a ba baaa ， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 23 页 共 95 页 lnlnln2ln0 ln2ln 2abaa ， 所以 lnlnlnln2abab ； 当01a，1b时，有1ab， 从而 lnlnlnln 2a ba bb bb ， lnlnln20 lnln2ln 2abbb ， 所以 lnlnlnln2abab ； 当
45、1a ，1b时， lnlnabab ， lnlnln2lnlnln2ln 2ababab ， 因为 2110aba bab aab ba bb a ， 所以2abab，所以 lnlnlnln2abab 综上所述，当0a ，0b 时， lnlnlnln2abab ，故 D 正确 故选 AD 【点评】本题考查新定义及对数的运算性质，理解定义所给的运算规 则是解题的关键，考查分类讨论思想、转化与化归思想的灵活运用， 考查运算求解能力， 注意本题容易因为理解不清定义及忘记分类论论 的方法使解题无法入手致错. 4CD 【分析】令 y0 得 1ff x ，利用换元法将函数分解为 f（x）t 和 f（t）1
46、，作出函数 f（x）的图象，利用数形结合即可得到结 论 【解析】令 10yffx ，得 1ff x ，设 f（x）t，则方程 1ff x 等价为 f（t）1， 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 24 页 共 95 页 若 k0，作出函数 f（x）的图象如图：f（t）1， 此时方程 f（t）1 有两个根其中 t20，0t11，由 f（x） t20，此时 x 有两解， 由 f（x）t1（0，1）知此时 x 有两解，此时共有 4 个解， 即函数 yff（x）+1 有 4 个零点 若 k0，作出函数 f（x）的图象如图：f（t）1，此时方 程 f（t）1 有
47、一个根 t1，其中 0t11， 由 f（x）t1（0，1） ，此时 x 只有 1 个解，即函数 yff（x）+1 有 1 个零点 故选：CD 【点评】本题考查分段函数的应用，考查复合函数的零点的判断， 利用换元法和数形结合是解决本题的关键，属于难题 5BCD 【分析】 通过反例可得 A 错误， 根据取整函数的定义可证明 BC 成立， 求出不等式 2 230tt 的解后可得不等式 2 230 xx的解集， 从而 可判断 D 正确与否. 【解析】对于 A，1.5x ，则 233,2224xx ，故 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 25 页 共 95 页
48、 22xx，故 A 不成立. 对于 B， xym ，则 1,1mxmmym ， 故 1mym ，所以 1xy ，故 B 成立. 对于 C，设x mr ，其中 ,0,1mZ r ， 则 11 2 22 xxmr ， 222xmr ， 若 1 0 2 r ，则 1 0 2 r ， 20r ，故 1 2 2 xxx ； 若 1 1 2 r，则 1 1 2 r ， 21r ，故 1 2 2 xxx ，故 C 成立. 对于 D，由不等式 2 230 xx可得 1x 或 3 2 x ， 故0 x 或2x ，故 D 正确. 故选：BCD 【点评】本题考查在新定义背景下恒等式的证明与不等式的解法，注 意把等式
49、的证明归结为整数部分和小数部分的关系，本题属于较难 题. 6ACD 【分析】根据新的定义，研究函数 ( )f x 的性质，对 A 选项直接计算进 行判断 【解析】 ( 3.9)( 3.9) 3.93.9( 4)0.1f ， (4.1)4.1 4.14.140.1f ， A 正确； 显然 1xxx ， 因此0 1xx ， ( )f x 无最大值，但有最小值且最小值为 0B 错，C 正确；方程 1 ( )0 2 f x 的解为 1 () 2 xkkZ ，D 正确 欢迎关注微信公众号（QQ 群） ：高中数学解题研究群 416652117 第 26 页 共 95 页 故选 ACD. 【点评】本题考查新
50、定义问题，考查学生的创新意识，解决问题的方 法就是用新定义把“新问题”转化为“老问题”，转化为我们熟悉的问题 进行解决 7ACD 【分析】根据自变量x是有理数和无理数进行讨论，可判定 A、B， 根据 11 (0)f xf x ，可判定 C，根据 f x 的值域，可判定 D，即可 得到答案. 【解析】对于 A 中，若自变量x是有理数，则 ( )(1)1ff xf ， 若自变量x是无理数，则 ( )(0)1ff xf ，所以 A 是真命题； 对于 B 中，若自变量x是有理数，则 x 也是有理数，可得 ( )()1 12f xfx ， 所以 B 是假命题； 对于 C 中， 显然当 2 0 x 时，
