1、第 12 讲 函数应用 玩前必备 1.几类已知函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)axb(a，b 为常数，a0) 反比例函数模 型 f(x) b(k，b 为常数且 k0) k x 二次函数模型 f(x)ax2bxc(a，b，c 为常数，a0) 指数型函数模 型 f(x)baxc(a，b，c 为常数，b0，a0 且 a1) 对数型函数模 型 f(x)blogaxc(a， b， c 为常数， b0， a0 且 a1) 幂函数型模型 f(x)axnb(a，b 为常数，a0) 2.应用函数模型解决问题的基本过程 1审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择模型； 2建模将自
2、然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识建立相应的数 学模型； 3求模求解数学模型，得出数学模型； 4还原将数学结论还原为实际问题 3.三种函数的增长速度比较 (1)在区间(0，)上，函数 yax(a1)，ylogax(a1)和 yxn(n0)都是增函数，但增长速度不同， 且不在同一个“档次”上. (2)在区间(0，)上随着 x 的增大，yax(a1)增长速度越来越快，会超过并远远大于 yxn(n0)的 增长速度，而 ylogax(a1)的增长速度则会越来越慢. (3)存在一个 x0，使得当 xx0时，有 logaxxnax. 玩转典例 题型一一次函数模型 例 1大气中的温
3、度随着高度的上升而降低，根据实测的结果上升到 12 km 为止，温度的降低大体上 与升高的距离成正比，在 12 km 以上温度一定，保持在55 . (1)当地球表面大气的温度是 a 时，在 x km 的上空为 y ，求 0 x12 时，a，x，y 间的函数关系 式； (2)当地球表面大气的温度是 29 时，3 km 上空的温度是多少？ 玩转跟踪 1.如图所示，这是某电信局规定的打长途电话所需要付的电话费 y(元)与通话时间 t(分钟)之间的函数 关系图象，根据图象填空： (1)通话 2 分钟，需要付电话费_元； (2)通话 5 分钟，需要付电话费_元； (3)如果 t3，则电话费 y(元)与通
4、话时间 t(分钟)之间的函数关系式为_. 题型二二次函数模型 例 2某公司通过报纸和电视两种方式做销售某种商品的广告，根据统计资料，销售收入 R(万元)与报 纸广告费用 x1(万元)及电视广告费用 x2(万元)之间的关系有如下经验公式： R2x x 13x111x228. 2 12 2 (1)若提供的广告费用共为 5 万元，求最优广告策略；(即收益最大的策略，其中收益销售收入广 告费用) (2)在广告费用不限的情况下，求最优广告策略(其中 x1，x2N). 玩转跟踪 1.心理学家发现， 学生对概念的接受能力 y 与提出概念所用的时间 x(单位 ： 分)之间满足函数关系式 y 0.1x22.6x
5、43(0 x30)，y 值越大，表示接受能力越强. (1)x 在什么范围内，学生的接受能力逐步增强？x 在什么范围内，学生的接受能力逐步降低？ (2)第 10 分钟时，学生的接受能力是多少？ (3)第几分钟时，学生的接受能力最强？ 题型三分段函数模型 例 3某厂生产某种零件，每个零件的成本为 40 元，出厂单价定为 60 元，该厂为鼓励销售订购，决 定当一次订购量超过 100 个时，每多订购 1 个，订购的全部零件的出厂单价就降低 0.02 元，但实际出厂单 价不能低于 51 元. (1)当一次订购量为多少个时，零件的实际出厂单价恰降为 51 元？ (2)设一次订购量为 x 个，零件的实际出厂
6、单价为 P 元，写出函数 Pf(x)的表达式； (3)当销售商一次订购 500 个零件时， 该厂获得的利润是多少元？如果订购 1 000 个， 利润又是多少元？ (工厂售出一个零件的利润实际出厂单价成本) 玩转跟踪 1.某公司生产一种产品， 每年投入固定成本 0.5 万元， 此外每生产 100 件这种产品还需要增加投资 0.25 万元，经预测可知，市场对这种产品的年需求量为 500 件，当出售的这种产品的数量为 t(单位：百件)时， 销售所得的收入约为 5t t2(万元). 1 2 (1)若该公司的年产量为 x(单位 ： 百件)，试把该公司生产并销售这种产品所得的年利润表示为年产量 x 的函数
7、； (2)当这种产品的年产量为多少时，当年所得利润最大？ 题型四指数型函数模型 例 4目前某县有 100 万人，经过 x 年后为 y 万人如果年平均增长率是 1.2%，请回答下列问题 ： (已 知：1.012101.126 7，1.012111.140 2，lg 1.20.079，lg 1.0120.005) (1)写出 y 关于 x 的函数解析式； (2)计算 10 年后该县的人口总数(精确到 0.1 万人)； (3)计算大约多少年后该县的人口总数将达到 120 万(精确到 1 年) 玩转跟踪 1.一种放射性元素，最初的质量为 500 g，按每年 10%衰减(已知：lg 0.50.301 0
8、， lg 0.90.045 8) (1)求 t 年后，这种射放性元素的质量 的表达式； (2)由求出的函数表达式，求这种放射性元素的半衰期(结果精确到 0.1) 题型五对数型函数模型 例 5我们知道，燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子的飞行 速度可以表示为函数 v5log2，单位是 m/s，其中 O 表示燕子的耗氧量 O 10 (1)计算，当燕子静止时的耗氧量是多少个单位？ (2)当一只燕子的耗氧量是 80 个单位时，它的飞行速度是多少？ 玩转跟踪 1.“学习曲线”可以用来描述学习某一任务的速度，假设函数 t144lg中，t 表示达到某一 ( 1 N 90) 英
9、文打字水平所需的学习时间，N 表示每分钟打出的字数则当 N40 时，t_.(已知 lg 50.699，lg 30.477) 题型六建立拟合函数模型解决实际问题 例 6某纪念章从 2019 年 1 月 6 日起开始上市通过市场调查，得到该纪念章每枚的市场价 y(单位： 元)与上市时间 x(单位：天)的数据如下： 上市时间 x 天 4 1 0 3 6 市场价y元 9 0 5 1 9 0 (1)根据上表数据结合散点图， 从下列函数中选取一个恰当的函数描述该纪念章的市场价 y 与上市时间 x 的变化关系并说明理由：yaxb；yax2bxc；yalogbx； (2)利用你选取的函数，求该纪念章市场价最低
10、时的上市天数及最低的价格 玩转跟踪 1.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室、净化空气，又可美容保健，因此深 受人们欢迎，在国内占有很大的市场某人准备进军芦荟市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研， 从 4 月 1 日起，芦荟的种植成本 Q(单位：元/10 kg)与上市时间 t(单位：天)的数据情况如表： t 5 0 1 10 2 50 Q 1 50 1 08 1 50 (1)根据表中数据， 从下列函数中选取一个最能反映芦荟种植成本 Q 与上市时间 t 的变化关系 ： Qat b，Qat2btc，Qabt，Qalogbt，并说明理由； (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成
11、本最低时的上市天数及最低种植成本 玩转练习 1.在自然界中，某种植物生长发育的数量 y 与时间 x 的关系如下表所示： x 1 2 3 y 1 3 5 下面的函数关系式中，能表达这种关系的是() A.y2x1 B.yx21 C.y2x1 D.y1.5x22.5x2 2.一等腰三角形的周长为 20，底边 y 是关于腰长 x 的函数，则它的解析式为() A.y202x(x10) B.y202x(x10) C.y202x(5x10) D.y202x(5x10) 3.某厂日产手套的总成本 y(元)与日产量 x(双)之间的关系为 y5x40 000.而手套出厂价格为每双 10 元，要使该厂不亏本至少日产
12、手套() A.2 000 双 B.4 000 双 C.6 000 双 D.8 000 双 4.某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为： yError! 其中，x 代表拟录用人数，y 代表面试人数.若应聘的面试人数为 60，则该公司拟录用人数为() A.15 B.40 C.25 D.130 5.某工厂的大门是一抛物线型水泥建筑物，大门的地面宽度为 8 m，两侧距地面 3 m 高处各有一个壁灯， 两壁灯之间的水平距离为 6 m， 如图所示， 则厂门的高为(水泥建筑 物厚度忽略不计， 精确到 0.1 m)() A.6.9 m B.7.0 m C.7.1 m D.6.8 m 6.某商
13、店进货单价为 45 元，若按 50 元一个销售，能卖出 50 个；若销售单价每涨 1 元销售量就减少 2 个，为了获得最大利润，此商品最佳售价应为每个_元. 7.北京市的一家报摊主从报社买进北京晚报的价格是每份 0.40 元，卖出的价格是每份 0.50 元，卖 不掉的报纸还可以以每份 0.08 元的价格退回报社.在一个月(以 30 天计算)里，有 20 天每天可卖出 400 份， 其余 10 天每天只能卖出 250 份，但每天从报社买进的份数必须相同，他应该每天从报社买进多少份，才 能使每月所获得的利润最大？并计算他一个月最多可赚得多少元？ 8.下列函数中，增长速度最慢的是() A.y6x B
14、.ylog6x C.yx6 D.y6x 9.甲从 A 地到 B 地， 途中前一半路程的行驶速度是 v1， 后一半路程的行驶速度是 v2(v1v2)， 则甲从 A 地到 B 地走过的路程 s 与时间 t 的关系图示为() 10.据报道，某淡水湖的湖水在 50 年内减少了 10%，若按此规律，设 2013 年的湖水量为 m，从 2013 年起，经过 x 年后湖水量 y 与 x 的函数关系为() A.y0.9 B.y(10.1)m 50 x 50 x C.y0.9m D.y(10.150 x)m 50 x 11.某地区植被被破坏，土地沙化越来越严重，最近三年测得沙漠增加值分别为 0.2 万公顷、0.
15、4 万公 顷和 0.76 万公顷，则沙漠增加数 y(万公顷)关于年数 x(年)的函数关系较为近似的是() A.y0.2x B.y(x22x) 1 10 C.y D.y0.2log16x 2x 10 12.已知某工厂生产某种产品的月产量 y(万件)与月份 x 满足关系 ya(0.5)xb， 现已知该厂今年 1 月、 2 月生产该产品分别为 1 万件、1.5 万件.则此厂 3 月份该产品产量为_. 13.我们知道：人们对声音有不同的感觉，这与它的强度有关系.声音的强度用瓦/米 2(W/m2)表示，但在 实际测量时，声音的强度水平常用 L1表示，它们满足以下公式 ： L110 lg (单位为分贝，L10，其中 I0 I I0 11012，是人们平均能听到的最小强度，是听觉的开端).回答下列问题： (1)树叶沙沙声的强度是 11012 W/m2，耳语的强度是 11010 W/m2，恬静的无线电广播的强度是 1108 W/m2，试分别求出它们的强度水平； (2)某一新建的安静小区规定：小区内公共场所的声音的强度水平必须保持在 50 分贝以下，试求声音 强度 I 的范围为多少？
