1、高考数学培优专题库教师版 第五讲函数与方程综合 A A 组组 一、选择题 1（2018 全国卷全国卷）已知函数 , 0,ln , 0, )( xx xe xf x ( )( )g xf xxa若( )g x存在 2 个零点，则 a的取值范围是（） A 1,0)B0,)C 1,) D1,) 【答案】C 【解析】 函数( )( )g xf xxa存在 2 个零点， 即关于x的方程( ) f xxa有 2 个不同的实根， 函数( )f x的图象与直线 yxa有 2 个交点，作出直线 yxa与函数( )f x的图象， 如图所示， 由图可知，1 a，解得1a，故选 C 2.已知实数a，b满足23 a ，
2、32 b ，则函数 x f xaxb的零点所在的区间是（） A.21，B.1,0C.0,1D.1,2 【解析】 23 a ，32 b ，1a ，01b， 又 x f xaxb， 1 110fb a ， 010fb ，从而由零点存在定理可知 f x在区间1,0上存在零点故选 B. 3.已知函数 12 xxf， kxxg若方程 fxg x 有两个不相等的实根，则实数k的取 值范围是 A），（ 2 1 0B），（1 2 1 C），（ 21D），（2 【答案】B 高考数学培优专题库教师版 【解析】 如图所示， 方程( )( )f xg x有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点， 结合图
3、象可知，当直线ykx的斜率大于坐标原点与点(2,1)的连续的斜率，且小于直线1yx的斜率 时符合题意，故选 1 1 2 k 4.设函数 1 ( )ln 3 f xxx，则函数( )f x(） A在区间 1 ( ,1) e ，(1, ) e内均有零点B在区间 1 ( ,1) e ，(1, ) e内均无零点 C在区间 1 ( ,1) e 内有零点，在(1, ) e内无零点D在区间 1 ( ,1) e 内无零点，在(1, ) e内有零点 【解析】 1 ( )ln 3 f xxx的定义域为(0,)， 11 ( ) 3 fx x ，故( )f x在(0,3)上递减，又 1 ( )0,(1)0,( )0f
4、ff e e ，故选 D. 5. 已知函数 f x满足： 1f xf x，且 f x是偶函数，当0,1x时， 2 f xx，若在 区间1,3内，函数 kkxxfxg有 4 个零点，则实数k的取值范围是（） A, 0B 2 1 , 0C 4 1 , 0D 1 1 , 4 3 【解析】由(1)( )( )f xf xf x 的周期为2，又 f x是偶函数，且0,1x时， 2 f xx， 故可示意( )f x在 1,3上图象， kkxxfxg有 4 个零点转化为函数( )f x与(1)yk x在 x 1,3上有 4 个交点，由图象知 1 (0, 4 k ，故选 C. 6.已知方程92 3310 xx
5、 k 有两个实根，则实数k的取值范围为（） A. 2 ,1 3 B. 1 2 ( , 3 3 C. 2 ,) 3 D.1, ) 【解析】设3xt ，原题转化为函数 2 ( )231g tttk在(0,)t上有两个零点（可以相同） ， 则 高考数学培优专题库教师版 44(31)0 20 310 k k 解得 1 2 ( , 3 3 k ，故选 B. 7.（2016 高考新课标 2 卷理）已知函数( )()f x xR满足()2( )fxf x，若函数 1x y x 与 ( )yf x图像的交点为 1122 ( ,),(,),(,), mm x yxyxy则 1 () m ii i xy （） A
6、. 0B.mC.2mD.4m 【解析】由 于 2fxf x，不妨设 1f xx，与函数 11 1 x y xx 的交点为 1,2 ,1,0，故 1212 2xxyy，故选 B.（客观上函数( )yf x与 1x y x 有共同的对称中心 (0,1)，所以它们的所有交点 关于(0,1)对称 二、填空题 8 （2018 年年全国卷全国卷）函数( )cos(3) 6 f xx 在0, 的零点个数为_ 【答案】3 【解析】由题意知，cos(3)0 6 x ，所以3 62 xk ，k Z，所以 93 k x ，k Z， 当0k 时， 9 x ；当1k 时， 4 9 x ；当2k 时， 7 9 x ，均满
7、足题意，所以函数( )f x在0, 的零点个数为 3 9 （2017 年高考全国 3 卷理）设函数 10 ( ) 20 x xx f x x ， ， 则满足 1 ( )()1 2 f xf x的 x 的取值范围是 _。 【答案】 1 4 x 【解析】由题意： 1 3 2,0 2 111 2,0 222 1 21 2, 2 x x xx g xfxfxxx x ，函数 g x在区间 高考数学培优专题库教师版 11 ,0 , 0, 22 三段区间内均单调递增，且： 00 1 11 1,201,2121 42 g ， 据此 x 的取值范围是： 1 , 4 . 10若函数 f(x)= 2 1x-x-m
8、 无零点,则实数 m 的取值范围是. 【解析】原题转化为函数 2 1yx所表示的上半圆与斜率为 1 的平行线系yxm没有公共点的 问题， 画图，可得1m 或2m . 11 设 常 数a使 方 程sin3cosxxa在 闭 区 间0,2 上 恰 有 三 个 解 123 ,x x x， 则 123 xxx. 【解析】原方程可变为2sin() 3 ax ，作出函数2sin() 3 yx 的图象，再作直线ya，从图 象可知 函数2sin(x) 3 y 在0, 6 上递增，在 7 , 66 上递减，在 7 ,2 6 上递增，只有当 3a 时，才有 三个交点， 123 0,2 3 xxx ，所以 123
9、xxx 7 3 . 12.（2016 高考山东卷理）已知函数 2 |, ( ) 24 , xxm f x xmxm xm 其中0m ，若存在实数b，使得关 于x的方程( )f xb有三个不同的根，则m的取值范围是_. 【解析】画出函数图象如下图所示： 由图所示，要 f xb有三个不同的根，需要红色部分图像在深蓝色图像的下方，即 高考数学培优专题库教师版 22 24 ,30mmm mm mm，解得3m . 13.（2018 年高考上海卷）某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平 均用时，某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤，分析显示：当S中%(0100)xx的成员自
10、 驾时，自驾群体的人均通勤时间为 30,030, ( ) 1800 290,30100 x f x xx x （单位：分钟（单位：分钟） ， 而公交群体的人均通勤时间不受x影响，恒为 40 分钟，试根据上述分析结果回答下列问题： (1)当x在什么范围内时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间？ (2)求该地上班族S的人均通勤时间( )g x的表达式；讨论( )g x的单调性，并说明其实际意义 (2)设该地上班族总人数为n，则自驾人数为%n x，乘公交人数为(1%)nx 因此人均通勤时间 30%40(1%) ,030 ( ) 1800 (290)%40(1%) ,30100 n xn
11、x x n g x xn xnx x x n ，整理得： 2 40,00 10 ( ) 1 (32.5)36.875,30100 50 x x g x xx 3 ， 则当(0,30(30,32.5x，即(0,32.5x时，( )g x单调递减； 当(32.5,100)x时，( )g x单调递增 实际意义：当有32.5%的上班族采用自驾方式时，上班族整体的人均通勤时间最短 适当的增加自驾比例，可以充分的利用道路交通，实现整体效率提升；但自驾人数过多，则容易导致 交通拥堵，使得整体效率下降 高考数学培优专题库教师版 B 组组 一、选择题一、选择题 1.设函数 1 ( )f x x ， 2 ( )g
12、 xxbx 若( )yf x的图象与( )yg x的图象有且仅有两个不同的公 共点 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy，则下列判断正确的是() A 12 0 xx， 12 0yyB 12 0 xx， 12 0yy C 12 0 xx， 12 0yyD 12 0 xx， 12 0yy 【解析】依题意，示意图象，可知 12 0 xx，且 12 ,x x异号，而 12 12 12 0 xx yy x x ，故选 B. 2.已知函数( )1 x f xxeax,则关于( )f x的零点叙述正确的是() A.当0a 时,函数( )f x有两个零点B.函数( )f x必有一个零点是正数 C.
13、当0a 时,函数( )f x有两个零点D.当0a 时,函数( )f x只有一个零点 【解析】函数( )1 x f xxeax的零点可转化为函数 x ye与 1 ya x 图象的交点情况研究，选 B. 3.已知函数 2 ( )22(4)1f xmxm x，( )g xmx，若对于任意实数x，( )f x与( )g x的值至少 有一个为正数,则实数m的取值范围是() A.(0,2)B.(0,8)C.(2,8)D.(,0) 【解析】依题意，0m 不符；0m 时，则对于0,)x ，当x 时，显然( )0f x ，不 符；0m 时，则对于(,0 x ，( )0f x ，由(0)10f ，需对称轴：0 2
14、 4 m m x或 08)4(4 0 2 4 2 mm m m ， 解得(0,8)x，故选 B. 4.函数( )lg(1)sin2f xxx的零点个数为 () A. 9B. 10C. 11D. 12 【解析】示意函数lg(| 1)yx与ysin2x的图象可确定选 D. 高考数学培优专题库教师版 5.已知函数 sin() 1,0 ( )2 log(0,1),0 a xx f x x aax 的图象上关于y轴对称的点至少有3对，则实数a的取 值范围是（） A. 5 (0,) 5 B. 5 (,1) 5 C. 3 (,1) 3 D. 3 (0,) 3 【解析】依题意，需要( )f x在y轴左侧图象对
15、称到y轴右侧，即sin() 1(0) 2 x yx ，需要其 图象与 ( )f x原y轴右侧图象至少有3个公共点，1a 不能满足条件，只有01a，如图， 此时，只需在5x 时，logayx的纵坐标大于2，即log 52 a ，得 5 0 5 a. 6.已知实数 ,0, ( ) lg(),0, x ex f x x x 若关于x的方程 2( ) ( )0fxf xt 有三个不同的实根， 则t的取 值范围为（）A2,(B), 1 C 1 , 2D), 1 2,( 【解析】做出函数)(xf的图象，如图所示，由图可知，当1m时直线my 与)(xf的图象有两个 交点，当1m时直线my 与)(xf的图象有
16、一个交点，题意要求方程0)()( 2 txfxf有三个不同 的实根，则方程 2 0mmt 必有两不等实根，且一根小于 1，一根不小于 1，当011t，即2t 时，方程02 2 mm的两根为 1 和2，符合题意；当011t，即2t时，方程 2 0mmt 有两个不等实根，且一根小于 1，一根大于 1，符合题意.综上由2t. 高考数学培优专题库教师版 7.(2018 年江苏卷)若函数若函数)( 12)( 23 Raaxxxf在在, 0内有且只有一个零点，则内有且只有一个零点，则)(xf在在 1 , 1上的最大值与最小值的和为上的最大值与最小值的和为_ 【答案】3 【解析】由得，因为函数在上有且仅有一
17、个零点且，所以 ，因此从而函数在上单调递增，在上单调递减，所以 ， 8. 设函数 2,1 ( ) 4()(2 ),1 x a x f x xa xa x . （1）若1a ，则( )f x的最小值为_； （2）若( )f x恰有2个零点，则实数a的取值范围 是 【解析】 （1） 当1a 时， 若1x ，( )( 1,1)f x ； 当时1x ， 22 3 ( )4(32)4()1 2 f xxxx， 则 3 2 x 时， min ( )1.f x （2）0a 时，( )f x无零点；不符； 1 0 2 a时，( )f x有一个零点； 1 1 2 a，符合；12a，( )f x有3个零点；2a
18、，符合. 综上得 1 1 2 a或2.a 9.已知 3 2 , ( ) , xxa f x xxa ，若存在实数b，使函数( )( )g xf xb有两个零点，则a的取值范围 是. 【解析】由题意，问题等价于方程)( 3 axbx与方程)( 2 axbx的根的个数和为2， 高考数学培优专题库教师版 若两个方程各有一个根：则可知关于b的不等式组 1 3 ba ba ba 有解， 23 aba，从而1a； 若方程)( 3 axbx无解， 方程)( 2 axbx有 2 个根： 则可知关于b的不等式组 ab ab3 1 有 解，从而 0a，综上，实数a的取值范围是), 1 ()0 ,(. 10.已知函
19、数( ) 2 3f xxx=+，Rx 若方程( )10f xa x-=恰有 4 个互异的实数根， 则实数a 的取值范围为_ 【解析】在同一坐标系中画( ) 2 3f xxx=+和( )1g xa x=-的图象（如图） ，问题转化为 ( )f x与( )g x图 象 恰 有 四 个 交 点 当()1ya x=-与 2 3yxx=+（ 或()1ya x= -与 2 3yxx= -）相切时，( )f x与( )g x图象恰有三个交点把()1ya x=-代入 2 3yxx=+，得 () 2 31xxa x+=-，即() 2 30 xa xa+-+=，由0，得() 2 340aa-=，解得1a=或9a=
20、又 当0a=时，( )f x与( )g x仅两个交点，01a 或9a 三、解答题 11.设函数 2 2 ( )(ln ) x e f xkx xx （k为常数，2.71828e 是自然对数的底数）. （）当0k 时，求函数( )f x的单调区间； （）若函数( )f x在(0,2)内存在两个极值点，求k的取值范围. 【解析】 （I）函数( )yf x的定义域为(0,)， 高考数学培优专题库教师版 2 42 221 ( )() xx x exe fxk xxx 32 2(2) xx xeek x xx 3 (2)() x xekx x 由0k 可得0 x ekx，所以当(0,2)x时， ( )
21、0fx ，函数( )yf x单调递减， 当(2,)x时， ( ) 0fx ，函数( )yf x单调递增. 所以( )f x的单调递减区间为(0,2)，单调递增区间为(2,). （II）由（I）知，0k 时，函数( )f x在(0,2)内单调递减， 故( )f x在(0,2)内不存在极值点；当0k 时，设函数( ),0,) x g xekx x， 因为 ln ( ) xxk g xekee， 当01k时，当(0,2)x时， ( ) 0 x g xek，( )yg x单调递增，故( )f x在(0,2)内不存在 两个极值点； 当1k 时，得(0,ln )xk时， ( ) 0g x ，函数( )yg
22、 x单调递减， (ln ,)xk时， ( ) 0g x ，函数( )yg x单调递增， 所以函数( )yg x的最小值为(ln )(1 ln )gkkk，函数( )f x在(0,2)内存在两个极值 点； 当且仅当 (0)0 (ln )0 (2)0 0ln2 g gk g k ，解得 2 2 e ek， 综上所述，函数在(0,2)内存在两个极值点时，k 的取值范围为 2 ( ,) 2 e e. C 组组 一、选择题 高考数学培优专题库教师版 1.记方程： 2 1 10 xa x ，方程： 2 2 20 xa x，方程： 2 3 40 xa x，其中 123 ,a a a是正 实数.当 123 ,
23、a a a成等比数列时，下列选项中，能推出方程无实根的是（） A.方程有实根，且有实根B.方程有实根，且无实根 C.方程无实根，且有实根D.方程无实根，且无实根 【解析】按 D 考虑，则由 2 1 4 2 22 2 2 2 33 2 1 13 2 123 40 8064 16160 4 ,0 a a a a a a aa aa a a ，故选 D. 2.若, a b是函数 2 ( )(0,0)f xxpxq pq的两个不同的零点，且, , 2a b 这三个数可适当排序 后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则pq的值等于() A6B7C8D9 【解析】依题 ,0 abp abq p q 得0
24、,0ab，则, , 2a b 这三个数适当排序排成等比数列必有4ab ， , , 2a b 这 三 个 数 适 当 排 序 后 成 等 差 数 列 应 有2222abba或， 解 得 41 14 aa bb 或 则5,4pq，故9pq，选 D. 3. 已 知 函 数 2 2,2, 2,2, xx f x xx 函 数 2g xbfx， 其 中bR， 若 函 数 yf xg x恰有 4 个零点，则b的取值范围是() A. 7 , 4 B. 7 , 4 C. 7 0, 4 D. 7 ,2 4 【解析】由 2 2,2, 2,2, xx fx xx 得 2 22,0 (2) ,0 x x fx xx
25、， 所以 2 2 2,0 ( )(2)42,02 22(2) ,2 xxx yf xfxxxx xxx ，即 2 2 2,0 ( )(2)2,02 58,2 xxx yf xfxx xxx 高考数学培优专题库教师版 ( )( )( )(2)yf xg xf xfxb,所以 yf xg x恰有 4 个零点等价于方程 ( )(2)0f xfxb有 4 个不同的解，即函数yb与函数( )(2)yf xfx的图象的 4 个公 共点，由图象可知 7 2 4 b. 故选 D. 4.定义在), 1 ( 上的函数)(xf满足下列两个条件： （1）对任意的), 1 ( x恒有)(2)2(xfxf成立； （2）当
26、2 , 1x时，xxf 2)(记函数( )g x ( )(1)f xk x，若函数)(xg恰有两个零点，则实数k 的取值范围是（） . A1,2.B 2 , 3 4 .C 2 , 3 4 .D 2 , 3 4 【解析】对任意的), 1 ( x恒有)(2)2(xfxf成立，且当2 , 1x时，xxf 2)(， ( )2 ,( ,2 f xxb xbb .由题意得( )(1)f xk x的函数图象是过定点(1,0)的直线，如图所示红色的 直线与线段 AB 相交即可（可以与 B 点重合但不能与 A 点重合） ，可得 k 的范围为 4 2 3 k. 5.设函数( )f x在R上存在导数 ( ) fx，
27、xR ，有 2 ()( )fxf xx，在(0,)上 ( ) fxx， 若(4)( )84fmf mm，则实数m的取值范围为() 高考数学培优专题库教师版 A 2,2B2,)C0,)D(, 22,) 【解析】 设 2 1 ( )( ) 2 g xf xx， 依题()( )0gxg x， 则( )g x是奇函数， 又在(0,)上 ( ) fxx， 可判断( )g x 在R上递减，不等式(4)( )84fmf mm可转化为(4)( )gmg m，则4mm， 得2m ， 故选 B. 6.定义在R上的奇函数( )f x，当0 x 时， 1 3 log (1),0,2) ( ) 14 ,2,) xx f
28、 x xx ，则关于x的函数 ( )( )(01)F xf xaa的所有零点之和为（） A31 a B1 3aC31 a D1 3 a 【解析】由题意得： 1 3 3 log (1)( 1,0,0,2) 1 |4| (,1,2,) ( ) log (1)(0,1),( 2,0) |4| 1 1,),(, 2) xx xx f x xx xx ，所以当01a时 ( )yf x 与y a 有五 个交点， 其中 1 |4|,2,)yxx 与y a 的两个交点关于4x 对称，和为 8； |4| 1,(, 2)yxx 与y a 的 两个交点关于4x 对称，和为-8； 3 log (1),( 2,0)yx
29、 x 与y a 的一个交点，值为1 3a ； 因此 所有零点之和为1 3a ，故选 B. 二、填空题 7.（2018 年高考浙江卷）已知R，函数 f(x)= 2 4, 43, xx xxx ，当=2 时，不等式 f(x)0 的解 集是 _若函数 f(x)恰有 2 个零点，则的取值范围是_ 【答案】(1,4)(1,3(4,) 高考数学培优专题库教师版 8.已知函数 )(xf是定义在), 0()0 ,(上的偶函数，当0 x时， , 2),2( 2 1 , 20 , 12 )( 1 xxf x xf x ， 则函数1)(2)(xfxg的零点个数为个 【解析】 函数1)(2)(xfxg的零点个数等价于
30、函数)(xfy 的图象与直线 2 1 y的图象的交点的 个数由已知条件作出函数)(xfy 的图象与直线 2 1 y的图象，如下图由图可知，函数( )yf x的 图象与直线 2 1 y的图象有 6 个交点 9.已知函数 32 ( )31f xaxx，若 f x存在唯一的零点 0 x，且 0 0 x ，则a的取值范围 是. 【解析】 令 32 310axx ， 得 3 13 ( )a xx ， 设 1 t x ， 即 3 3att ， 原问题转化为直线ya 与函数 3 ( )3f ttt 只有一个交点且此交点的横坐标为正，由 2 ( )330f tt ，得1t ，且 ( )f t在(, 1) 递增
31、，在( 1,1)上递减，在(1,)上递增，可知(2)( 1)2ff ，由图象得 2a . 高考数学培优专题库教师版 10. 函数 ln,0 ( ) 2ln , xxe f x x xe 若, ,a b c互不相等，且( )( )( )f af bf c，则abc的取值范 围为 【解析】示意( )f x图象，由, ,a b c互不相等，且( )( )( )f af bf c，不妨令abc，应有 2 1 1abece e 得lnln2lnabc得1ab ， 2 cae，则 2 1 (1)abce a a ，可判断函数 2 1 ( )(1)g ae a a 在 1 ( ,1)a e 上递增，故 2
32、1 (2,2)abcee e 三、解答题三、解答题 11. 已知aR，函数 2 1 ( )log ()f xa x . （1）当5a 时，解不等式( )0f x ； （2） 若关于x的方程 2 ( )log (4)250f xaxa的解集中恰好有一个元素， 求a的取值范围； （3）设0a ，若对任意 1 ,1 2 t，函数( )f x在区间 ,1t t 上的最大值与最小值的差不超过 1，求 a的取值范围. 【解析】 （1）由 2 1 log50 x ，得 1 51 x ，解得 1 ,0, 4 x （2） 1 425aaxa x ， 2 4510axax ， 当4a 时，1x ，经检验，满足题意
33、当3a 时， 12 1xx ，经检验，满足题 意 当3a 且4a 时， 1 1 4 x a ， 2 1x ， 12 xx 1 x是原方程的解当且仅当 1 1 0a x ，即2a ； 2 x是原方程的解当且仅当 2 1 0a x ， 即1a 于是满足题意的1,2a 综上，a的取值范围为1,23,4 （3）当 12 0 xx时， 12 11 aa xx ， 22 12 11 loglogaa xx ， 高考数学培优专题库教师版 所以 f x在0,上单调递减 函数 f x在区间,1t t 上的最大值与最小值分别为 f t，1f t 22 11 1loglog1 1 f tf taa tt 即 2 110atat ，对任意 1 ,1 2 t 成立 因为0a ，所以函数 2 11yatat在区间 1 ,1 2 上单调递增， 1 2 t 时， y有最小值 31 42 a，由 31 0 42 a，得 2 3 a 故a的取值范围为 2 , 3
