1、北辰教育北辰教育 ISO 讲义讲义 学员姓名：学员姓名：年年级：级：辅导科目：辅导科目：数学学科教师：学科教师： 授课日期授课日期授课时段授课时段 授课主题授课主题导数与函数的单调性、极值与最值导数与函数的单调性、极值与最值 教学目标教学目标 1.了解函数的单调性与导数的关系； 能利用导数研究函数的单调性， 会求函数的单调区间(其中多 项式函数不超过三次). 2.了解函数在某点取得极值的必要条件和充分条件； 会用导数求函数的极大值、 极小值(其中多项 式函数不超过三次)；会求闭区间上函数的最大值、最小值(其中多项式函数不超过三次). 教学重难点教学重难点利用导数判断函数的单调性利用导数判断函数
2、的单调性 教学内容教学内容 导数与函数的单调性导数与函数的单调性、 极值与最值极值与最值 【知识梳理】【知识梳理】 利用导数研究函数的单调性利用导数研究函数的单调性 1.函数函数 f(x)在某个区间在某个区间(a，b)内的单调性与内的单调性与 f(x)的关系的关系 (1)若 f(x)0，则 f(x)在这个区间上是单调递增 (2)若 f(x)0 或 f(x)1 时，f(x)k 1 x0 恒成立，即 k 1 x在区间(1，)上恒成立因为 x1，所以 0 1 x0， a0. 答案：(0，) 利用导数研究函数的极值 1.函数的极大值函数的极大值 在包含 x0的一个区间(a，b)内，函数 yf(x)在任
3、何一点的函数值都小于 x0点的函数值，称点 x0为函数 yf(x)的极 大值点，其函数值 f(x0)为函数的极大值 2函数的极小值函数的极小值 在包含 x0的一个区间(a，b)内，函数 yf(x)在任何一点的函数值都大于 x0点的函数值，称点 x0为函数 yf(x)的极 小值点，其函数值 f(x0)为函数的极小值极大值与极小值统称为极值，极大值点与极小值点统称为极值点 提醒(1)极值点不是点，若函数 f(x)在 x1处取得极大值，则 x1为极大值点，极大值为 f(x1)；在 x2处取得极小值， 则 x2为极小值点，极小值为 f(x2)极大值与极小值之间无确定的大小关系 (2)极值一定在区间内部
4、取得，有极值的函数一定不是单调函数 (3)f(x0)0 是 x0为 f(x)的极值点的必要而非充分条件例如，f(x)x3，f(0)0，但 x0 不是极值点 【典型例题】【典型例题】 考点二：考点二：利用导数研究函数的极值利用导数研究函数的极值 1.设函数 f(x)2 xln x，则( ) Ax1 2为 f(x)的极大值点 Bx1 2为 f(x)的极小值点 Cx2 为 f(x)的极大值点 Dx2 为 f(x)的极小值点 答案：D 2.如图是 f(x)的导函数 f(x)的图象，则 f(x)的极小值点的个数为() A1B2 C3D4 解析：选 A由图象及极值点的定义知，f(x)只有一个极小值点 3.
5、若函数 f(x)x3ax23x9 在 x3 时取得极值，则 a 的值为() A2B3 C4D5 解析：选 Df(x)3x22ax3，由题意知 f(3)0，即 3(3)22a(3)30，解得 a5. 4.已知 f(x)x33ax2bxa2，当 x1 时有极值 0，则 ab 的值为_ 解析： f(x)3x26axb， 由题意得 f10， f10， 即 6ab30， a23ab10， 解之， 得 a1， b3 或 a2， b9. 当 a1，b3 时，f(x)3x26x33(x1)20 恒成立，所以 f(x)在 x1 处无极值，舍去所以 a2，b9.所 以 ab11. 答案：11 5设 x1，x2是函
6、数 f(x)x32ax2a2x 的两个极值点，若 x12x2，则实数 a 的取值范围是_ 解析：由题意得 f(x)3x24axa2的两个零点 x1，x2满足 x12x2.所以 f(2)128aa20，解得 2a0，解得 x1，令 f(x)0，解得2x1，所以 f(x)在(，2)上单调递增， 在(2,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以当 x1 时，f(x)取得极小值，且 f(x)极小值f(1)1. 答案：1 函数的最值函数的最值 (1)在闭区间a，b上连续的函数 f(x)在a，b上必有最大值与最小值 (2)若函数 f(x)在a，b上单调递增，则 f(a)为函数的最小值，f(b)为函数的最
7、大值；若函数 f(x)在a，b上单调递减， 则 f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的最小值 提醒求函数最值时，易误认为极值点就是最值点，不通过比较就下结论 【典型例题】【典型例题】 考点三：考点三：函数的最值函数的最值 1.函数 f(x)ln xx 在区间(0，e上的最大值为() A1eB1 CeD0 解析：选 B因为 f(x)1 x1 1x x ，当 x(0,1)时，f(x)0；当 x(1，e时，f(x)0，所以 f(x)的单调递增区间 是(0,1)，单调递减区间是(1，e，所以当 x1 时，f(x)取得最大值 ln 111. 2.函数 f(x)x44x(|x|0)，f(1)1 e0，f
8、(0)0，f(4) 4 e40，所以 f(x)的最小 值为 0. 答案：0 6已知函数 f(x)2sin xsin 2x，则 f(x)的最小值是_ 解析：f(x)2cos x2cos 2x2cos x2(2cos2x1) 2(2cos2xcos x1)2(2cos x1)(cos x1) cos x10，当 cos x1 2时，f(x) 1 2时，f(x)0，f(x)单调递增 当 cos x1 2，f(x)有最小值 又 f(x)2sin xsin 2x2sin x(1cos x)， 当 sin x 3 2 时，f(x)有最小值， 即 f(x)min2 3 2 11 2 3 3 2 . 答案：3
9、 3 2 1函数 y1 2x 2ln x 的单调递减区间为( ) A(1,1)B(0,1 C(1，)D(0,2) 解析：选 B由题意知，函数的定义域为(0，)，由 yx1 x0，得 00 时，1x2； f(x)0 时，x2； f(x)0 时，x1 或 x2. 则函数 f(x)的大致图象是() 解析：选 C根据信息知，函数 f(x)在(1,2)上是增函数在(，1)，(2，)上是减函数，故选 C. 3函数 f(x)(x21)22 的极值点是() Ax1Bx1 Cx1 或1 或 0Dx0 解析：选 Cf(x)x42x23， 由 f(x)4x34x4x(x1)(x1)0， 得 x0 或 x1 或 x1
10、， 又当 x1 时，f(x)0，当1x0， 当 0 x1 时，f(x)1 时，f(x)0， x0,1，1 都是 f(x)的极值点 4已知函数 f(x)x3ax 在(1，1)上单调递减，则实数 a 的取值范围为() A(1，)B3，) C(，1D(，3 解析：选 Bf(x)x3ax，f(x)3x2a.又 f(x)在(1,1)上单调递减，3x2a0 在(1,1)上恒成立，a3， 故选 B. 5.设函数 f(x)在定义域 R 上可导，其导函数为 f(x)，若函数 y(1x)f(x)的图象如图所示，则下列结论中一定成立 的是() A函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(1) B函数 f(x)有
11、极大值 f(2)和极小值 f(1) C函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) D函数 f(x)有极大值 f(2)和极小值 f(2) 解析：选 D由题图可知，当 x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0；当2x1 时，f(x)0；当 1x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0；当 x2 时，f(x)0.由此可得函数 f(x)在 x2 处取得极大值，在 x2 处取 得极小值故选 D. 6下列函数中，在(0，)上为增函数的是() Af(x)sin 2xBf(x)xex Cf(x)x3xDf(x)xln x 解析：选 B对于 A，f(x)sin 2x 的单调递增区间是 k 4，
12、k 4 (kZ)；对于 B，f(x)ex(x1)，当 x(0， )时，f(x)0，函数 f(x)xex在(0，)上为增函数；对于 C，f(x)3x21，令 f(x)0，得 x 3 3 或 x0， 得 0 x1， 函数 f(x)xln x 在区间(0,1)上单调递增综上所述，应选 B. 7.函数 f(x)ax3bx2cxd 的图象如图，则函数 yax23 2bx c 3的单调递增区间是( ) A(，2B. 1 2， C2,3D. 9 8， 解析：选 D由题图可知 d0.不妨取 a1，f(x)x3bx2cx，f(x)3x22bxc.由图可知 f(2)0，f(3) 0，124bc0,276bc0，b
13、3 2，c18.yx 29 4x6，y2x 9 4.当 x 9 8时，y0，yx 29 4x 6 的单调递增区间为 9 8，.故选 D. 8已知定义在 R 上的函数 f(x)，f(x)xf(x)0，若 ab，则一定有() Aaf(a)bf(b)Baf(b)bf(b)Daf(b)bf(a) 解析：选 Cxf(x)xf(x)xf(x)f(x)xf(x)0，函数 xf(x)是 R 上的减函数，abf(b) 9若函数 f(x)ex(sin xacos x)在 4， 2 上单调递增，则实数 a 的取值范围是() A(，1B(，1) C1，)D(1，) 解析：选 Af(x)exsin xcos xa(si
14、n xcos x)，当 a0 时，f(x)ex(sin xcos x)，显然 x 4， 2 ，f(x)0 恒成立，排除 C、D；当 a1 时，f(x)2excos x，x 4， 2 时，f(x)0，故选 A. 10定义域为 R 的函数 f(x)满足 f(1)1，且 f(x)的导函数 f(x)1 2，则满足 2f(x)x1 的 x 的集合为( ) Ax|1x1Bx|x1 Cx|x1Dx|x1 解析：选 B令 g(x)2f(x)x1，f(x)1 2，g(x)2f(x)10，g(x)为单调增函数，f(1)1，g(1)2f(1) 110，当 x1 时，g(x)0，即 2f(x)x1，故选 B. 11已
15、知 e 为自然对数的底数，设函数 f(x)(ex1)(x1)k(k1,2)，则() A当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极小值 B当 k1 时，f(x)在 x1 处取到极大值 C当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极小值 D当 k2 时，f(x)在 x1 处取到极大值 解析：选 C当 k1 时，f(x)(ex1)(x1)，0,1 是函数 f(x)的零点当 0 x1 时，f(x)(ex1)(x1)1 时，f(x)(ex1)(x1)0,1 不会是极值点当 k2 时，f(x)(ex1)(x1)2，零点还是 0,1，但是当 0 x1 时，f(x)0，由极值的概念，知选 C. 12设函数 f(x)
16、1 2x 29ln x 在区间a1，a1上单调递减，则实数 a 的取值范围是( ) A(1,2B(4，) C(，2)D(0,3 解析：选 Af(x)1 2x 29ln x，f(x)x9 x(x0)，由 x 9 x0，得 00 且 a13，解得 10，f(1)6，则不等式 f(lg x)0，所以 g(x)在(0，)上单调递增， f(1)6，g(1)0， 故 g(x)0 的解集为(0,1)，即 f(x)1 x5 的解集为(0,1)，由 0lg x1，得 1x0) 设 g(x)e x x (x0)，则 g(x) x1ex x2 ， g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增 g(x)在(0
17、，)上有最小值，为 g(1)e，结合 g(x)e x x 与 yk 的图象可知，要满足题意，只需 ke. 答案：(，e 16已知函数 g(x)满足 g(x)g(1)ex 1g(0)x1 2x 2，且存在实数 x0，使得不等式 2m1g(x0)成立，则实数 m 的取 值范围为_ 解析：g(x)g(1)ex 1g(0)x， 令 x1，得 g(1)g(1)g(0)1， g(0)1，g(0)g(1)e0 11，g(1)e， g(x)exx1 2x 2，g(x)ex1x， 当 x0 时，g(x)0 时，g(x)0， 当 x0 时，函数 g(x)取得最小值 g(0)1. 根据题意得 2m1g(x)min1，m1. 答案：1，) 1. 回忆本节课学到了哪些知识点？（导数对函数单调性有什么影响？什么叫极值？什么叫极值点？）回忆本节课学到了哪些知识点？（导数对函数单调性有什么影响？什么叫极值？什么叫极值点？） 2.还有哪些不明白的知识点？还有哪些不明白的知识点？
