1、高考数学培优专题库教师版 第十四讲第十四讲 立体几何选择填空压轴题专练立体几何选择填空压轴题专练 A A 组组 一、选择题 1如图， 矩形ABCD中，2ABAD，E为边AB的中点， 将ADE沿直线DE翻转成 1 ADE （ 1 A 平面ABCD） 若M、O分别为线段 1 AC、DE的中点，则在ADE翻转过程中，下列说 法错误的是（） A.与平面 1 ADE垂直的直线必与直线BM垂直 B.异面直线BM与 1 AE所成角是定值 C.一定存在某个位置，使DEMO D.三棱锥 1 AADE外接球半径与棱AD的长之比为定值 【答案】C 【解析】取 CD 的中点 F，连 BF,MF,如下图： 可知面 MB
2、F/ 1 ADE,所以 A 对。 取 1 A D中点 G,可知/ /EGBM，如下图，可知 B 对。 点 A 关于直线 DE 的对为 F,则DE 面 1 A AF，即过 O 与 DE 垂直的直线在平面 1 A AF上。故 C 错。 三棱锥 1 AADE外接球的球心即为 O 点，所以外接球半径为 2 2 AD。故 D 对。选 C 2一个几何体的三视图如图所示，已知这个几何体的体积为，则（） ABCD 【答案】B 【解析】 由三视图可知该几何体是三棱锥，其中底面是矩形，边长为 6，5，高为 h，所以体积 1 5 610 33 3 Vhh 3如图，矩形 ABCD 中,AB=2AD,E 为边 AB 的
3、中点，将ADE 沿直线 DE 翻折成A1DE若 M 为线段 A1C 的中点，则在ADE 翻折过程中，下面四个命题中不正确的是 ABM是定值 B点 M 在某个球面上运动 C存在某个位置，使 DEA1C D存在某个位置，使 MB/平面 A1DE 【答案】C 高考数学培优专题库教师版 【解析】 取 CD 中点 F，连接 MF，BF，则 MF/A1D 且 MF= 2 1 A1D,FB/ED 且 FB=ED 所以DEAMFB 1 ，由余 弦定理可得 MB 2=MF2+FB2-2MFFBcosMFB 是定值，所以 M 是在以 B 为圆心，MB 为半径的球上，可得 正确由 MF/A1D 与 FB/ED 可得
4、平面 MBF平面 A1DE，可得正确；A1C 在平面 ABCD 中的射影为 AC，AC 与 DE 不垂直，可得不正确故答案为： 4如图，正四面体DABC的顶点A、B、C分别在两两垂直的三条射线Ox，Oy，Oz上， 则在下列命题中，错误的是() A.OABC是正三棱锥 B. 直线OB与平面ACD相交 C. 直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为 3 2 D. 异面直线AB和CD所成角是90 【答案】C 【解析】如图 ABCD 为正四面体， ABC 为等边三角形， 又OA、OB、OC 两两垂直， OA面 OBC，OABC， 过 O 作底面 ABC 的垂线，垂足为 N， 连接 AN 交 BC 于 M
5、， 由三垂线定理可知 BCAM， M 为 BC 中点， 同理可证，连接 CN 交 AB 于 P，则 P 为 AB 中点， N 为底面ABC 中心， OABC 是正三棱锥，故 A 正确 将正四面体 ABCD 放入正方体中，如图所示，显然 OB 与平面 ACD 不平行 则 B 正确， 由上图知：直线CD与平面ABC所成的角的正弦值为 6 3 ,则 C 错误 异面直线AB和CD所成角是90，故 D 正确. 二、填空题 5 （2017 全国 1 卷理）如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中 心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是
6、以 BC，CA，AB 为底边的等腰三角形。沿虚 线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC，ECA，FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单位：cm3）的最大值为_。 【答案】4 15 【解析】如下图，设正三角形的边长为 x，则 13 32 OGx 3 6 x. 3 5 6 FGSGx， 22 22 33 5 66 SOhSGGOxx 3 5 5 3 三棱锥的体积 1133 5 5 3343 ABC VShx 45 153 5 123 xx. 令 45 3 5 3 b xxx，则 34 5 3 20 3 nxxx， 令 0n x ， 4
7、3 40 3 x x ，4 3x ， max 75 48544 15 12 V. 6 已知求的直径4, ,SCA B是该球球面上的点， 0 2,45ABASCBSC ， 则棱锥SABC 的体积为_ 【答案】 4 3 3 【 解 析 】 设 球 心 为O, 因 为 0 ASCBSC45, 所 以OABSC 面, 高考数学培优专题库教师版 14 3 V34 33 S OABC OAB VV . 7在三棱锥SABC中，ABC 是边长为 3 的等边三角形，3,2 3SASB，二面角 SABC的大小为 120，则此三棱锥的外接球的表面积为_ 【答案】21 【解析】由题可得：球心 O 在过底面ABC的中心
8、 G 的垂直底面的直线上，又二面角SABC的 大 小 为 120 ， 取 AB 的 中 点 为 M ， SB 的 中 点 为 N ， 故120NMG , 又 33 333 120, 2222 NMGNMCMMGNG ,过 M 做 MH=GO，且 MH 垂直底面，所以 3 2 MH ， 3 2 GO ,故球的半径为 2 2 2 321 3 24 R ,所以球的表面积为21 8已知两平行平面、间的距离为2 3，点AB、，点CD、，且4,3ABCD，若 异面直线AB与CD所成角为 60，则四面体ABCD的体积为_ 【答案】6 【解析】设平面 ABC 与平面交线为 CE，取CEAB,则 0 / /,4
9、,60ABCE CEECD 0 11 2 34 3 sin606. 32 A BCDA CDE VV 9在空间直角坐标系Oxyz中，四面体ABCD在,xOy yOz zOx坐标平面上的一组正投影图形 如图所示（坐标轴用细虚线表示） 该四面体的体积是_ 【答案】 4 3 【解析】由图可知， 该三棱锥的底面是底为 4，高为 1 的三角形，高为 2， 故其体积为 114 4 1 2 323 V ，故答案为 4 3 . 10 如图， 在棱长为 2 的正四面体ABCD中，EF、分别为直线ABCD、上的动点， 且3EF . 若记EF中点P的轨迹为L，则L等于_.（注：L表示L的测度，在本题，L为曲线、 平
10、面图形、空间几何体时，L分别对应长度、面积、体积.） 【答案】 【解析】为了便于计算，将正四面体放置于如图的正方体中，可知，正方体的棱长为2，建立如图 所示的空间直角坐标系，设 1122 0,2,2, ,Ey yFyyP x y z， 22 2 1212 223EFyyyy， 即 2 2 1212 21yyyy， 又 高考数学培优专题库教师版 12 12 2 2 2 2 2 x yy y yy z ， 即 12 12 2 2 2 2 2 x yyy yy z ， 代 入 上 式 得 22 22221zy， 即 22 221 224 yz ，即P的轨迹为半径为 1 2 的圆，周长为2Lr. B
11、B 组组 一、选择题一、选择题 1正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为 6,点O在BC上,且BO=OC,过点O的直线l与直线AA1,C1D1分别交于 M,N两点,则MN与面ADD1A1所成角的正弦值为() A.B.C.D. 【答案】A 【解析】 将平面 11 C DO延展与 1 AA交于M连结MO，并延长与 11 DC延长线交于N，平面交AD于 ED， 1 MNC E可知 11 C ED等于MN与 11 ADD A成角,，由正方体的性质可知 1 9C E ， 11 62 93 sin C ED，故选A. 2四棱锥PABCD的三视图如图所示，则该四棱锥的外接球的表面积为（ ） A. 81 5
12、 B. 81 20 C. 101 5 D. 101 20 【答案】C 【解析】 根据三视图还原几何体为一个四棱锥PABCD，平面PAD 平面ABCD，由于PAD为等腰三 角形3,4PAPDAD，四边形ABCD为矩形，2CD ，过PAD的外心F作平面PAD的垂 线，过矩形ABCD的中心H作平面ABCD的垂线 两条垂线交于一点O为四棱锥外接球的球心，在三角形PAD中， 222 3341 cos 2 3 39 APD ， 则 4 5 sin 9 APD， 49 5 2 sin54 5 9 AD PF APD ， 9 5 10 PF ，945PE ， 9 55 5 1010 OHEF， 1 1645
13、2 BH 22 5505 5 10010 OBOHBH， 505101 4 1005 S .选 C. 3如图是正方体的平面展开图。关于这个正方体，有以下判断： 高考数学培优专题库教师版 ED与NF所成的角为60CN平面AFB / /BMDE平面BDE平面NCF 其中正确判断的序号是（） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 把正方体的平面展开图还原成正方体ABCDEFMN，得：ED与NF所成的角为60正确； ,CNBE CN不包含于平面,AFB BE 平面,AFBCN平面AFB，故正确； BM与 ED是异面直线，故不正确； ,BDFN BECN BDBEB BD BE平面BDE，所以
14、平面BDE 平面NCF，故 正确 ，正确判断的序号是 ，故选 C. 4若三棱锥SABC的底面是以AB为斜边的等腰直角三角形，2ABSASBSC，则该三 棱锥的外接球的表面积为（） A. 16 3 B. 8 3 C. 4 3 3 D. 4 3 【答案】A 【解析】如图，底面是等腰直角三角形，D是AB中点，所以外接球圆心O在SD上，设外接球半 径为R，所以有 2 22 13RR，解得 2 3 3 R ，所以该三棱锥的外接球表面积为 16 3 . 故本题正确答案为 A. 5三棱锥SABC中，侧棱SA底面ABC，5AB ，8BC ，60B，2 5SA ， 则该三棱锥的外接球的表面积为（） A. 64
15、3 B. 256 3 C. 436 3 D. 2048 3 27 【答案】B 【解析】由题，侧棱SA底面ABC，5AB ，8BC ，60B，则根据余弦定理可得 22 1 582 5 87 2 BC ，ABC的外接圆圆心 77 2 sin33 2 BC rr B 三 棱 锥 的 外 接 球 的 球 心 到 面ABC的 距 离 1 5, 2 dSA则 外 接 球 的 半 径 2 2 764 5 33 R ，则该三棱锥的外接球的表面积为 2 256 4 3 SR 6正方体 1111 ABCDABC D中，点P在 1 AC上运动（包括端点） ，则BP与 1 AD所成角的取值范围 是（） A., 4 3
16、 B., 4 2 C., 6 2 D., 6 3 【答案】D 【解析】以点 D 为原点，DA、DC、 1 DD分别为xyz、 、建立空间直角坐标系，设正方体棱长为 1， 设点 P 坐标为,1,xx x，则 1 1,1,0,1BPxx xBC 设 1 BP BC 、的夹角为，所以 1 22 2 1 11 cos 12122 3 2 33 BP BC BP BC xx x ，所以当 1 3 x 时，cos取最大值 3 , 26 。当1x 时，cos取最小值 1 , 23 。因为 11 / /BCAD。故选 D。 7已知棱长为 2 的正方体 1111 ABCDABC D，球O与该正方体的各个面相切，
17、则平面 1 ACB截此球 所得的截面的面积为（） 高考数学培优专题库教师版 A. 8 3 B. 5 3 C. 4 3 D. 2 3 【答案】D 【解析】因为球与各面相切，所以直径为 2，且 11 ,AC AB CB的中点在所求的切面圆上，所以所求截 面为此三点构成的边长为2正三角形的外接圆，由正弦定理知 6 3 R ，所以面积 2 3 S ，选 D 8已知AD与BC是四面体ABCD中相互垂直的棱，若6ADBC，且 60ABDACD ， 则四面体ABCD的体积的最大值是 A.18 2B.36 2C.18D.36 【答案】A 【解析】作BEAD于E，连接CE，因为ADBC，所以AD 平面BCE，作
18、EFBC于F， 所以ADEF，从而 1 6 6 ABCD VAD BC EFEF，要使体积最大，则要EF最大，则要求,BE CE最 大，而60ABDACD ，所以在BABD时，BE最大，所以3 3BECE，F是BC中 点， 2 2 3 333 2EF ，所以6 3 218 2 ABCD V ，故选 A 二、填空题二、填空题 9现介绍祖暅原理求球体体积公式的做法：可构造一个底面半径和高都与球半径相等的圆 柱，然后在圆柱内挖去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，用这样一个几 何体与半球应用祖暅原理（图 1） ，即可求得球的体积公式请研究和理解球的体积公式求法的基 础上，解答以下问题
19、：已知椭圆的标准方程为 22 1 254 yx ，将此椭圆绕 y 轴旋转一周后，得一 橄榄状的几何体（图 2） ，其体积等于_ 【答案】 80 3 【解析】椭圆的长半轴为 5，短半轴为 2，现构造一个底面半径为 2，高为 5 的圆柱，然后在圆柱内挖 去一个以圆柱下底面圆心为顶点，圆柱上底面为底面的圆锥，根据祖暅原理得出椭球的体积 V=2（V圆柱V 圆锥）=2（225 ）= 10已知正四棱锥 OABCD 的体积为 2 23 ，底面边长为3，则以 O 为球心，OA 为半径的球的表 面积为_ 【答案】24 【解析】 如图，正四棱锥OABCD的体积 113 23 2 33 3322 VshOHOH（）
20、 ，在直角三 角形OAH中， 22 22 3 26 6 22 OAOHAH 所以表面积为 2 424Sr； 11球o为正方体 1111 ABCDABC D的内切球，2AB ，,E F分别为棱 1 ,AD CC的中点，则直 线EF被球截o得的线段长为_ 【答案】2 高考数学培优专题库教师版 【解析】 设EF与球面交于CD两点， 过球心与,E F的截面如图， 因为2AB ，,E F分别为棱 1 ,AD CC的 中点，所以可得 6 6, 2 EFO F，根据正方体的性质可得 2 2 62 22 22 OFOO ，球o为正方体 1111 ABCDABC D的内切球，可得1OD ， 由勾股定理得 2 2
21、 2 O DCD，故答案为2. 12体积为18 3的正三棱锥ABCD的每个顶点都在半径为R的球O的球面上，球心O在此三棱 锥内部，且:2:3R BC ，点E为线段BD上一点，且2DEEB，过点E作球O的截面，则所得截面 圆面积的取值范围是_ 【答案】8 ,16 【解析】 设2 ,3 (0)Rk BCak k， 如图， 设BCD的中心为 1 O， 连接 1 O D.设三棱锥ABCD 的高为h,在中， 由勾股定理可得 222 11 ODOOO D， 即 2 2 2 3 3 a RhR ， 即 22 430hkhk 又2 ,hk， 所 以3 ,hk所 以 2 2 1313 3318 3 3434 A
22、 BCD Va hkk ， 解 得2k ， 故 4,6Ra易得 1 2O E ，所以2 2OE ，当截面与OE垂直时，截面圆的面积有最大值，此时截面 圆的半径 22 2 2rROE，此时截面圆的面积为8，当截面经过平均发展速度时，截面圆的面积 最大 ，且最大值为16. 13如图，正方体 ABCD-A1B1C1D1的棱长为 1，点 M 在棱 AB 上，且 AM 1 3 ，点 P 是平面 ABCD 上的动点， 且动点 P 到直线 A1D1的距离与点 P 到点 M 的距离的平方差为 1，则动点 P 的轨迹是（） M D AB C B1A1 D1 C1 P A圆B抛物线C双曲线D椭圆 【答案】B 【解
23、析】 作PNAD，N为垂足，则PN 平面 11 AD DA，作 11, NHAD H为垂足，由三垂线定理得 11 PHAD.以 1 ,AB AD AA分别为 , ,x y z 轴，建立空间直角坐标系，设 ( , ,0)P x y ，依题意可得 1 ( ,0,0) 3 M.由 22222 ,1,PNNHPHPHPM 可得 222 1PNNHPM，即 222 1 1 ()(0) 1, 3 xxy 化简可得 2 21 39 yx.选B. C C 组组 一、选择题一、选择题 1 在直四棱柱 1111 ABCDABC D中， 底面ABCD为菱形，,E F分别是 11 ,BB DD的中点，G为AE 的中点
24、且3FG ，则EFG的面积的最大值为（） 高考数学培优专题库教师版 A. 3 2 B. 3C.2 3D. 9 3 4 【答案】B 【解析】由直四棱柱 1111 ABCDABC D中，底面ABCD为菱形，,E F分别是 11 ,BB DD的中点， G为AE的中点且3FG ，可得EFG为等腰三角形，设AGt，则2AFt，因为3FG ，由余 弦定理得 222 2 4959 cos 224 ttt A ttt ，可得 42 2 3109 sin 4 tt A t ，EFG的面积为等于 AFG的 422 2 31093 165 1 23 244 ttt Stt t ，EFG的面积的最大值为3，故 选 B
25、. 2三棱锥的体积为 8 3 ，PA 底面ABC，且ABC的面积为 4，三边,AB BC CA的乘积为 16， 则三棱锥PABC的外接球的表面积为（） A.4B.8C.16D.32 【答案】B 【解析】三棱锥的体积为 8 3 且ABC的面积为 4， 18 2 33 ABC Shh ，由PA 底面 ABC，所以球心到底面ABC的外接圆圆心的距离为 1，另 1 sin4 2 ABC SabC ，16abc ，两式相 除，由正弦定理知底面ABC的外接圆半径为 1，所以三棱锥PABC的外接球的半径为2，表面积为 8，故选 B. 3已知矩形ABCD，2ADAB，沿直线BD将ABD折成A BD，使点 A
26、在平面BCD上的 射影在BCD内（不含边界） 设二面角ABDC 的大小为，直线A D，A C与平面BCD所成的 角分别为, 则（) A.B.C.D. 【答案】D 【解析】如图，作A EBD于 E，O是A在平面BCD内的射影，连接,OE OD OC，易知 ,A EOA DOA CO，在矩形ABCD中，作AEBD于 E，延长AE交BC于F， 由O点 必落 在EF上 ，由2ADAB知AECFCOOD， 从而tantantan， 即 ，故选 D 4如图所示，正方体 1111 ABCDABC D的棱长为a，,M N分别为 1 AB和AC上的点， 1 3 a AMAN，则MN与平面 11 BBC C的位置
27、关系是（） A. 相交B. 平行C. 垂直D. 不能确定 【答案】B 【解析】如下图，连接 BN 交 AD 于点 E,连 1 AE， 1 1 1 / / AMENAN MNAE EBACAB ，所以MN与平 面 11 BB C C平行，选 B. 5 如图， 动点P在正方体 1111 ABCDABC D的对角线 1 BD上.过点P作垂直于平面 11 BB D D的直线， 与正方体表面相交于,M N.设,BPx MNy，则函数 yf x的图象大致是（） 高考数学培优专题库教师版 A.B.C.D. 【答案】B 【解析】 设正方体的棱长为1， 显然， 当P移动到对角线 1 BD的中点O时，= 2yMN
28、 AC取 得唯一最大值，所以排除,A C；当P在BO上时，分别过,M N P作底面的垂线，垂足分别为 111 ,MN P，则 1111 2 22 cos2 3 yMNM NBPxD BDx，故选 B. 二、填空题 6 点M为 正 方 体 1111 ABCDABC D的 内 切 球O球 面 上 的 动 点 ， 点N为 11 BC上 一 点 ， 11 2,NBNC DMBN，若球O的体积为9 2，则动点M的轨迹的长度为_ 【答案】 3 30 5 【解析】如图：，内切球的半径为： 1 6 3 2 2 ，所以正方体 棱长为 1 6 3 2，取 1 BB的靠 B 的三等分点 H 连接 CD,DH，则 N
29、B面 DHC，所以 M 的轨迹为 DHC 与内切 球的交线，由正方体棱长为 1 6 3 2可得 O 到面 DCH 的距离为 1 2 3 927 2 410 d ，所以截面圆的半径为 22 3 30 10 rRd，所以 M 的轨迹长度为： 3 30 2 5 r 7如图，在长方体 1111 ABCDABC D中， 1 333ABADAA，点P为线段 1 AC上的动点 (包含线段端点)，则下列结论正确的_ 当 11 3ACAP 时， 1 / /D P平面 1 BDC； 当 11 5ACAP 时， 1 AC 平面 1 D AP； 1 APD的最大值为90； 1 APPD的最小值为5. 【答案】 【解析
30、】以D为坐标原点建立空间直角坐标系，则 111 1,0,0 ,1,0,1 ,0, 3,0 ,0,0,1 ,0, 3,1 ,1, 3,0AACDCB, 1 1, 3, 1AC ,设 , ,P x y z, 1 1, ,1APxy z .对于，当 11 3ACAP ，即 1, 3, 131, ,1xy z，解得 23 2 , 333 P ， 1 231 , 333 D P ，设平面 1 BDC的法向量为 1111 ,nx y z ，则由 1 11 0 0 nDB nDC ， 解得 1 3,1,3n ，由于 11 0D P n ，所以 1 / /D P平面 1 BDC成立.对于，当 11 5ACAP
31、 时，即 1, 3, 151, ,1xy z，解得 43 4 , 555 P ，由 11 11 0 0 AC D A AC D P 可知 1 AC 平面 1 D AP成立.对 于 ， 设 11 ACAP ， 即 1, 3, 11, ,1xy z， 解 得 131 1,1P ， 由 1 2 22 13 113 1 ,11, cos, 131 1 PA PD ， 其 分 子 化 简 得 2 5 ， 当5时 ， 1 cos,0PA PD ，故 1 APD的最大值可以为 钝角，错误 .对于，根据 计算的数据， 高考数学培优专题库教师版 1 13 113 1 ,1 ,1,PAPD , 2 22 1 2
32、13111 212 521PAPD ，在对称轴 11 5 ，即5时取得 最小值为 44 25 55 ，故错误. 8一光源P在桌面A的正上方，半径为2的球与桌面相切，且PA与球相切，小球在光源P的中心 投影下在桌面产生的投影为一椭圆， 如图所示， 形成一个空间几何体， 且正视图是Rt PAB， 其中6PA， 则该椭圆的长轴长为_ 【答案】8 【解析】正视图为RtPAB内切一个圆,且 r=2,PA=6,AB=2+x,PB=4+x,根据勾股定理解得 x=6,即 PA=6,AB=8,PB=10,所以长轴为 8.填 8. 【点睛】 对于直角三角形的内切圆有如下性质，如图 AD=AE,BD=BF,CE=C
33、F.即同一点引出的切线长相等。 9已知空间四边形ABCD中，2ABBDAD，1BC ，3CD ，若平面ABD 平面 BCD，则该几何体的外接球表面积为_ 【答案】 16 3 【解析】如图：由于ABD是等边三角形，所以到 A,B,D 三点 距离相等的点在重心 O 且垂直是平面 ABD 的直线上， 又因为Rt BCD， 所以到 B,C,D 三点距离相等的点在 过 BD 中点 E 且与平面 BCD 垂直的直线上，两直线的交点是 O,所以球心为 O.半径 R= 2 3 3 ， 16 3 S 。 填 16 3 。 10将边长为 2，锐角为60的菱形ABCD沿较短对角线BD折成四面体ABCD，点,E F
34、G分另 ,AC BD BC的中点，则下列命题中正确的是_ （将正确的命题序号全填上） / /EFAB；EF是异面直线AC与BD的公垂线； / /CD平面EFG；AC垂直于截面BDE 【答案】 【解析】如图： 由 题 意 得 ，EF与AB是 异 面 直 线 ， 故 不 正 确 ； 由 等 腰 三 角 形 的 中 线 性 质 得 ,CFBD AFBD DB面ACF，又EF 面ACF，EFBD，且EFAC，故 正 确；由三角形中位线定理可得CDFG，在根据线面平行的判定定理可得/ /CD平面EFG，故正确； 由DB 面ACF得，DBAC，又,EFACAC面EBD，故正确，故答案为. 11已知点P为棱长等于2的正方体 1111 ABCDABC D内部一动点，且2PA ，则 11 PC PD 的值 高考数学培优专题库教师版 达到最小时， 1 PC 与 1 PD 夹角大小为_ 【答案】90 【解析】 由题意得，取 11 C D中点M， 则 111111 PCPDPMMCPMMDPMMCPMMC 222 1 1PMMCPM ， 因为2PA ，所以P在以A为球心的球面上， 所以 min 2321PMAM ，因为 11 1 2 PMC D， 所以 11 PDPC，所以 1 PC 与 1 PD 的夹角为 0 90.
