1、高考数学培优专题库教师版 第二十讲第二十讲 三角变换及综合应用三角变换及综合应用 A 组组 一、选择题 1、若0 2 ，0 2 ， 1 cos 43 ， 3 sin 423 ，则cos 2 （） A 3 3 B 3 3 C 6 3 D 6 9 答案 C 解析: 3 0, 2444 ，且 1 cos 43 2 12 2 sin()1 cos ()1 4493 ， 又0, 24422 ，且 3 sin 423 2 16 cos1 sin1 424233 从而 cos()cos() 2442 cos()cos()sin()sin() 442442 162 236 33333 故选 C 2、若 11
2、sin,sin 23 ，则 tan tan 为（） A5B-1C6D 1 6 答案 A 解析：由题 11 sin,sin 23 可知 1 sincoscos 2 sin 1 sincoscos 3 sin两式联立可得 51tan sincos,cos5 1212tan sin 3、已知tan()2 4 x ，则sin2x （） 高考数学培优专题库教师版 A 1 10 B 1 5 C 3 5 D 9 10 答案 C 解析：tan()2 4 x Q， tan1 2 1tan x x ，解得： 1 tan 3 x ， 从而 2222 1 2 2sin cos2tan3 3 sin22sin cos
3、sincostan15 1 1 3 xxx xxx xxx 故选 C 4、若,都是锐角，且 5 5 cos， 10 10 )sin(，则cos（） A 2 2 B 10 2 C 2 2 或 10 2 D 2 2 或 10 2 答案 A 解析：,都是锐角， 且 5 5 cos， 10 10 )sin(， 所以sin 2 5 5 ， 3 10 cos() 10 ， 从而coscos()coscos() 2 sinsin() 2 ，故选 A 二、填空题 5、已知cos 2 1 sin，且) 2 , 0( ，则 ) 4 sin( 2cos 的值为_ 答案 2 14 解析： 2 2 cos 2 2 si
4、n sincos 4 sin 2cos 22 cossin 2 2 sincossincos cossin2. 由 2 1 cossin， 平方得 4 1 2sin1， 进而得 4 3 2sin， 4 7 cossin 2 ， 由于) 2 , 0( 2 7 cossin，代入得 ) 4 sin( 2cos 2 14 6、若、均为锐角，且 1 cos 17 ， 47 cos() 51 ，则cos 答案 1 3 高考数学培优专题库教师版 解析：由于、都是锐角，所以 (0, )，又 1 cos 17 ， 47 cos() 51 ， 所以 12 2 sin 17 ， 14 2 sin() 51 ， c
5、oscos()cos()cossin()sin 471 5117 14 212 2 5117 1 3 三、解答题 7、已知向量 3 (sin , ),(cos , 1) 4 axbx . （1）当a b 时，求xx2sincos2的值； （2）设函数( )2()f xabb ，已知在CAB中，内角, ,CA B的对边分别为, , ,a b c若 3 6 sin, 2, 3Bba，求( )4cos(2)(x0,) 63 f xA 的取值范围. 解析： （1）因为ba，所以0sincos 4 3 xx，所以 4 3 tanx. 所以 5 8 tan1 tan21 cossin cossin2cos
6、 2sincos 222 2 2 x x xx xxx xx. （2） 2 3 ) 4 2sin(2)(2)( xbbaxf. 由正弦定理 B b A a sinsin ，得 2 2 sinA.所以 4 A或 4 3 A. 因为ba，所以 4 A,所以 1 ( )4cos(2)2sin(2), 642 f xAx 因为0, 3 x ，所以 11 2, 4412 x 所以 31 1( )4cos(2)2 262 f xA . 8、已知函数 2cos 12 fxx ，xR （1）求 6 f 的值； （2）若 3 cos 5 ， 3 ,2 2 ，求2 3 f 解析： （1）因为 2cos 12 fx
7、x ， 高考数学培优专题库教师版 所以2cos2cos2cos1 661244 f ； （2）因为 3 cos 5 ， 3 ,2 2 ，则 4 sin 5 。 所以 2 2 37 cos22cos121 525 ， 4324 sin22sincos2 5525 。 22cos 2 34 f 2 cos2 cossin2 sin 44 7224217 2 25225225 9、在ABC中，角ABC， ，的对边分别是abc， ，已知向量(coscos)BC，m，(4)abc，n， 且mn （1）求cosC的值； （2）若3c ，ABC的面积 15 = 4 S，求ab，的值 解析： （1）,cos(
8、4)coscBabCmn, 由正弦定理，得sincos(4sinsin)cosCBABC， 化简，得sin()4sincosBCAC ,sinsin()ABCABCp 又0,Ap,sin0,A 1 cos 4 C （2）0,Cp, 1 cos 4 C ， 2 115 sin1cos1 164 CC 115 sin 24 SabC，2ab 3c ，由余弦定理得 22 1 3 2 abab， 22 4ab， 由，得 42 440aa，从而 2 2,a 2a （舍去负值） ，2ab. 10、已知 cos3sin ,1 ,2cos ,mxxnxy 满足0m n （1）将y表示为x的函数 f x，并求
9、f x的单调递增区间； （2）已知ABC三个内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若3 2 A f ，且2a ，求ABC面积的 最大值 解析： （1） 2 2cos2 3sincos3sin2cos21m nxxxyxxy 高考数学培优专题库教师版 2sin 210 6 xy ，所以 2sin 21 6 fxx ， 令22,2 622 xkk ，得, 36 xkkkZ f x的单调递增区间是, 36 kkkZ （2）2sin13 26 A fA ，sin1 6 A ， 又 7 , 666 A ， 62 A ， 3 A 在ABC中由余弦定理有， 22222 2cos2abcbcAbc
10、bcbcbcbc 可知4bc （当且仅当bc时取等号） ， 113 sin43 222 ABC SbcA ，即ABC面积的最大值为3 B 组组 一、选择题 1、已知 34 0,0,cos,tan 2253 a ，则sin（） A 7 25 B 7 25 C 24 25 D 24 25 答案 D 解析：因为 sin4 tan cos3 ，结合 22 sincos1及0 2 ，得 43 sin,cos 55 ，又 0 2 ，所以0, 2 4 sin1 cos 5 ,所以 sinsin 433424 sincoscossin 555525 .故选 D 2、若(0,) 2 ，且 2 3 coscos(
11、2 ) 210 ，则tan（） A 1 2 B 1 4 C 1 3 D 1 5 答案 C 解析： 2 22 222 cos2sincos1 2tan3 cossin2cos2sincos sincostan110 ，整理， 得 2 3tan20tan70，解得 1 tan 3 或tan7 又(0,) 2 ，所以 1 tan 3 .故选 C 高考数学培优专题库教师版 3、已知 2 0,sincos 324 x xx ,则tan x等于 （） A 1 2 B2C 2 2 D2 答案 D 解析： 由已知， 得 cos() 1 2 sincoscossin 332 x xx ， 即 31 cossin
12、 22 xx 11 sin 22 x ， 所以 3 cos 3 x 因为0,x，所以tan2x .故选 D 4、已知 510 sin,sin, , 510 均为锐角，则cos2（） A 3 2 B1C0D1 答案 C 解析：由题意得，因为 10 sin 10 ，则 10 sin 10 ，又, 均为锐角，所以 3 10 cos 10 ，所以coscos()cos()cossin()sin 3 102 51052 1051052 ，又均为锐角，所以 4 ，所以cos2cos0 2 ，故选 C. 二、填空题 5、已知 11 sin(),sin() 23 ,那么 5 tan log tan 的值是 答
13、案1 解析：利用和差角公式将 2 1 )sin(， 3 1 )sin(展开， 2 1 sincoscossin)sin(， 3 1 sincos-cossin)-sin(，可求得 12 5 cossin， 12 1 sincos，两式相除有5 tan tan ，代入 5 tan log tan 可求得其值为1. 6、在ABC中，角CBA,的对边分别为cba,，若BcBAbtan2)tan(tan，BC边的中线长 为 1，则a的最小值为. 答案2 22 解析：因为BcBAbtan2)tan(tan， 所以 sincoscossin coscos ABAB b AB sin coscos AB b
14、 AB sinsin 2 coscoscos cB bc ABB ， 高考数学培优专题库教师版 由正弦定理得 sinsinsin sin 2 coscoscos BccB ABB ， 2 cos 2 A ， 设BC中点为D，则 1 () 2 ADABAC ， 2 2222 42cos2ADbcbcAbcbc 4, 又由余弦定理得 2 22 2,abcbc，得 2 42 2abc， 2 42 2,abc由得 4 4(22), 22 bc bc ， 所以 2 4 42 24 32 2 22 a 2 421，2( 21)a 故 答案为2 22. 三、解答题 7、已知函数 44 ( )cos2sin
15、cossinf xxxxx. （）若x是某三角形的一个内角，且 2 ( ), 2 f x 求角x的大小； （）当0, 2 x 时，求( )f x的最小值及取得最小值时x的集合. 解析： （） 2222 ( )(cossin)(cossin)sin2f xxxxxxcos2sin2xx 2sin(2) 4 x .由 2 2sin(2), 42 x 即 1 sin(2), 42 x 所以22, 46 xkkZ 或 5 22, 46 xkkZ 解得 5 , 24 xkkZ 或 13 ,. 24 xkkZ 因为x是某三角形的一个内角, 所以(0, )x，所以 5 , 24 x 或 13 24 x .
16、（）由（1）知( )2sin(2) 4 f xx ， 因为0, 2 x ，所以 3 2, 444 x 所以2( )1f x， 所以当且仅当2 42 x ，即 3 8 x 时，( )f x取得最小值2， 即( )f x的最小值为2，此时x的取值集合为 3 8 . 8、已知函数 2 2sin3cos2 , 44 2 fxxx x 设x时 f x取得最大值 高考数学培优专题库教师版 （1）求 f x的最大值及的值； （2）在ABC中，内角, ,A B C的对边分别为, , , 12 a b c A ，且 2 sinsinsinBCA，求bc的 值 解析 （1）由题意， 1 cos 23cos21 s
17、in23cos212sin 2 23 f xxxxxx 又, 4 2 x ，则 2 2 633 x 故当2 32 x ，即 5 12 x 时， max3f x （2）由（1）知 123 A 由 2 sinsinsinBCA，即 2 bca又 22222 2cosabcbcAbcbc 则 22 bcbcbc，即 2 0bc故0bc 9、设函数( )sin(),f xx其中0,|, 2 若 2 coscossinsin0 33 且图象的两条对 称轴间的最近距离是 2 （1）求函数( )f x的解析式； （2）若, ,CA B是ABC的三个内角，且( )1,f A 求sinsinBC的取值范围 解析
18、： （1）由条件， 2 coscossinsincoscossinsincos()0 33333 5 |, 2636326 又图象的两条对称轴间的最近距离是 2 ，所以周期为，2，( )sin(2) 6 f xx （2）由( )1,f A ，知sin(2)1, 6 A A是ABC的内角， 13 0,2, 666 AA 32 2, 623 AA 从而 . 3 BC 由sinsinsinsin()sin(), 33 BCBBB 2 0, 3333 BB 3 sin()1, 23 B 即 3 sinsin(,1 2 BC. 高考数学培优专题库教师版 10、在ABC中，三边cba,所对应的角分别是CB
19、A,，已知cba,成等比数列. （1）若 3 32 tan 1 tan 1 CA ，求角B的值； （2）若ABC外接圆的面积为4，求ABC面积的取值范围. 答案（1） 3 B； （2）33 , 0( ABC S. 解析： （1） 3 32 sinsin )sin( sin cos sin cos tan 1 tan 1 CA CA C C A A CA ， 又cba,成等比数列，得acb 2 ，由正弦定理有CABsinsinsin 2 ， BCA，BCAsin)sin(，得 3 32 sin sin 2 B B ，即 2 3 sinB， 由acb 2 知，b不是最大边， 3 B. （2）ABC
20、外接圆的面积为4，ABC的外接圆的半径2R， 由余弦定理Baccabcos2 222 ，得 ac bca B 2 cos 222 ，又acb 2 ， 2 1 cosB.当且仅当ca 时取等号，又B为ABC的内角， 3 0 B， 由正弦定理R B b 2 sin ，得Bbsin4. ABC的面积BBbBacS ABC 32 sin8sin 2 1 sin 2 1 ， 3 0 B， 2 3 sin0B，33 , 0( ABC S. C 组组 一、选择题 1、若), 2 ( ，且) 4 sin(22cos5 ，则tan等于（ ） A 3 4 B 3 1 C 4 3 D3 答案 A 解析：由5cos2
21、2sin() 4 得 22 5(cossin)2(sincoscossin) 44 ，即 5(cossin)(cossin)cossin，因为(, ) 2 ，所以cossin0，所以 高考数学培优专题库教师版 1 cossin 5 ，平方得 12 sincos 25 ，联立再由(, ) 2 解得 4 sin 5 3 cos 5 ，所以 sin4 tan cos3 ，故选 A 2、函数( )sin()sin() 36 f xxax 的一条对称轴方程为 2 x ，则a （） A1B3C2D3 答案 B 解析:由已知，函数) 6 sin() 3 sin()( xaxxf的一条对称轴方程为 2 x ，
22、则)()0(ff， 即aa 2 1 2 3 2 1 2 3 ，所以3a. 3、在ABC中，已知C BA sin 2 tan ，给出以下四个论断 tan 1 tan A B 2sinsin0BA 1cossin 22 BA CBA 222 sincoscos 其中正确的是（） (A)（B）（C）（D） 答案 B 解析：由 cos 1 2 tansintan()2sincos 22222 tansin 22 C ABCCC C CC ，因为cos0 2 C 2 12sin 2 C 20 12sin0cos090 2 C CC ，所以 1 tantan() 2tan BA A ， 2 tan tan
23、 tan A A B 不一定为 1，错；又coscos()sin 2 BAA ，所以 222 sincos2sinABA也不 一定等于1，错；而 22222 coscoscossin1sinABAAC ，正确；因为 0 sinsinsincos2sin(45 )ABAAA，090A 4545135A 00 2 sin(45 )112sin(45 )2 2 AA ， 从而肯定有0sinsin2AB， 所以正确； 高考数学培优专题库教师版 综上可知选 B. 4、若 4 sin()sincos()cos 5 ，且为第二象限角，则tan() 4 （） A、7B、 1 7 C、7D、 1 7 答案 B
24、解析:由 4 sin()sincos()cos 5 得 4 cos()cossin()sin 5 所以 4 cos() 5 ，即 4 cos 5 ；因为为第二象限角，所以 3 sin 5 则 3 tan 4 .由两角和的正切公式有 3 tantan1 1 44 tan() 3 47 1tantan1 44 . 故正确答案为 B. 二、填空题 5、已知为第三象限的角， 3 cos2, 5 则tan(2 ) 4 . 答案 1 7 解析:因为为第三象限角， 所以2(2(21),2(21)(Z)kkk， 又 3 cos20, 5 所以 2(2(21),2(21)(Z) 2 kkk，于是有 4 sin2
25、, 5 sin24 tan2, cos23 sin24 tan2 cos23 ，所以 tan(2 ) 4 4 1tantan2 1 34 4 7 1tantan21 43 . 6、已知 1 ( ) 1 x f x x ，若(, ) 2 ，化简(cos )( cos )ff _ 答案 2 sin 解析： 1cos1cos cos 1cossin f ， 1cos1cos cos 1cossin f ， 又(, ) 2 ，则sin0,cos0，所以 1 cos1 cos (cos )( cos ) sinsin ff 1 cos1 cos2 sinsinsin 三、解答题 7、在ABC中，内角,
26、,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知 6 6 acb，sin6sinBC . 高考数学培优专题库教师版 （）求cos A的值； （）求cos(2) 3 A 的值. 解析:（）在ABC中，由 sinsin bc BC 及sin6sinBC，可得6bc， 又由 6 6 acb，有2ac,所以 222222 2 646 cos 242 6 bcaccc A bcc ； （）在ABC中，由 6 cos 4 A ，可得 10 sin 4 A ， 所以 2 115 cos22cos1,sin22sincos 44 AAAAA ， 所以 1 3 5 cos 2cos2 cossin2 sin 3
27、338 AAA . 8、已知,都是锐角，且)cos( sin sin （）求证： 2 tan21 tan tan ； （）当tan取最大值时，求)tan(的值 解析： （） cos )sinsincos(cossin cos )cos(sin cos sin tan cossintan)sin1 ( tansincossin 2 2 2 2 22 2 22 tan21 tan cos sin2cos tan cos sin1 tan sin1 cossin tan . （）tan0,tan0, 11 tan 1 2 2, 2tan tan 当且仅当 1 2tan, tan 即 2 tan 2
28、时， max 2 2 2 tan. 1 4 12 2 22 3 24 24 tan()2 4322 1 24 . 高考数学培优专题库教师版 9、已知向量， （）当0, 2 x 时，求函数的值域； （）不等式当Ra时恒成立，求x的取值范围. 解析： （），所以 即 当时， 所以当时，函数的值域是； （）aa1在Ra时的最小值为 1，所以函数 4 2 ，既 2 1 ) 4 2sin( x；由正弦函数图象易得不等式的解集为Zkkkx , 24 5 , 24 11 10、已知)sin,cos(A)sin,cos(B，其中、为锐角，且 5 10 AB （1）求)cos(的值； （2）若 2 1 2 tan ，求cos及cos的值 解析： （1）由 5 10 AB，得 5 10 )sin(sin)cos(cos 22 ， 得 5 2 )sinsincos(cos22，得 5 4 )cos( （2） 2 1 2 tan ， 5 3 4 1 1 4 1 1 2 tan1 2 tan1 cos 2 2 高考数学培优专题库教师版 5 4 sin， 5 3 )sin(. 当 5 3 )sin(时， 25 24 )sin(sin)cos(cos)(coscos 当 5 3 )sin(时，0)sin(sin)cos(cos)(coscos 为锐角， 25 24 cos.
