1、高考数学培优专题库教师版 第二十七讲 三角函数与解三角形 A A 组题组题 一、选择题 1. （2017 年山东卷理）在中，角，的对边分别为，若为锐角三 角形，且满足 ，则下列等式成立的是() ABCD 【答案】A 【解析】sin()2sincos2sincoscossinACBCACAC 所以2sincossincos2sinsin2BCACBAba，选 A. 2.【2016 辽宁大连双基测试】ABC中，2,3,60ABACB ，则cosC （） A. 3 3 B. 6 3 C. 6 3 D. 6 3 【解析】由正弦定理得 sinsinB ABAC C 即 23 sinsin60C ，解得
2、3 sin 3 C 因为ABAC所以 CB ，所以 2 6 cos1 sin 3 CC故选 D 3.在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别是, ,a b c.若 22 ()6cab， 3 C ， 则ABC的面积是()A 3B. 9 3 2 C. 3 3 2 D 3 3 【解析】由 22 ()6cab得 222 26abcab.由余弦定理及 3 C 得 222 abcab .所以由 得26abab，即6ab .所以 13 3 sin 232 ABC Sab ，故选C. 4.设ABC的内角, ,A B C所对边的长分别为, ,a b c，若2 ,3sin5sinbcaAB， 则角C () A
3、. 2 3 B. 3 C. 3 4 D. 5 6 【解析】因为3sin5sinAB，所以由正弦定理可得35ab.因为2bca，所以 7 5 a c .令 5,3,7abc，则由余弦定理得 1 cos 2 C ，所以 2 . 3 C 故选. A 高考数学培优专题库教师版 5.(2016 唐山一模)在直角梯形ABCD中，/ /ABCD，90ABC ，22ABBCCD，则 cosDAC() A. 10 10 B. 3 10 10 C. 5 5 D. 2 5 5 【 解 析 】 由 已 知 条 件 可 得 图 形 ， 如 图 ， 设CDa， 在ACD中 ， 222 2cosCDADACADACDAC，
4、 222 ( 2 )( 5 )225cosaaaaaDAC 3 10 cos 10 DAC， 故选B. 6.在ABC中，三内角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，面积为S，若 22 ()Sabc，则cosA等 于（） A. 4 5 B. 4 5 C. 15 17 D. 15 17 【解析】 22 ()Sabc 222 1 2( sin1) 4 abcbcA，由余弦定理可得 1 sinA 1cos 4 A ，联立 22 sincos1AA，可得 15 cos 17 A 7.已知锐角A是ABC的一个内角，, ,a b c是三角形中各角的对应边，若 22 1 sincos 2 AA，则下
5、列各式正确的是() A2bcaB2bcaC2bcaD2bca 【解析】由 22 1 sincos 2 AA得 1 cos2 2 A 0 2 A 3 A ，由余弦定理得， 2222222 31 ()3()()() 44 abcbcbcbcbcbcbc2abc，故选.C 二、填空题 8在ABC中，内角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知ABC的面积为3 15， 1 2,cos, 4 bcA 则a的值为. 【解析】 因为0A， 所以 2 15 sin1 cos 4 AA， 又 115 sin3 15 28 ABC SbcAbc ， 则 24bc ，又2bc，得6,4bc，故 222
6、2cos64abcbcA，8a . 9如图，一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶，到A处时测得公路北侧一山顶D 在西偏北30的方向上，行驶 600m 后到达B处，测得此山顶在西偏北75的方向上，仰角为30， 则此山 高考数学培优专题库教师版 的高度CD m. 【解析】依题意，30BAC ，105ABC ，在ABC中，可得45ACB ，因为600AB ， 由 正 弦 定 理 可 得 600 sin45sin30 BC ， 即300 2BCm， 在Rt BCD中 ， 因 为30CBD ， 300 2BC ，所以tan30 300 2 CDCD BC ，所以100 6CDm. 三、解答题 10 （2
7、017 年全国 1 卷理）ABC 的内角 A，B，C 的对边分别为 a，b，c，已知ABC 的面积为 2 3sin a A （1）求 sinBsinC; （2）若 6cosBcosC=1,a=3,求ABC 的周长 【答案】 （1） 2 sinsin 3 BC （2）ABC的周长为333. 【解析】 （1）由题设得 2 1 sin 23sin a acB A ，即 1 sin 23sin a cB A . 由正弦定理得 1sin sinsin 23sin A CB A . 故 2 sinsin 3 BC . （2）由题设及（1）得 1 coscossinsin, 2 BCBC ，即 1 cos(
8、) 2 BC . 所以 2 3 BC，故 3 A . 由题设得 2 1 sin 23sin a bcA A ，即8bc . 由余弦定理得 22 9bcbc，即 2 ()39bcbc，得33bc. 故ABC的周长为333. 高考数学培优专题库教师版 11.在ABC中，, ,a b c分别是角, ,A B C的对边，且满足 2cos cos abB cC （1）求角C的大小； （2）设函数( )2sin cos cosf xxxC 2 3 2sinsin 2 xC，求函数( )f x在区间0, 2 上的值域 【解析】 （1）在ABC中， 2cos cos abB cC ，(2)coscosabCc
9、B， 2sincossincoscossinACBCBC，2sincossin()sinACBCA A是ABC的内角，sin0A ，2cos1C ， 3 C （2）由（1）可知 3 C ， 2 13 ( )sin2(1 2sin) 22 f xxx 13 sin2cos2 22 xxsin(2) 3 x 由0, 2 x ， 2 2 333 x ， 3 sin(2)1 23 x ， 函数( )f x的值域为 3 ,1 2 12.已知, ,a b c分别是ABC的角, ,A B C所对的边，且2c ， 3 C . （1）若ABC的面积等于3，求, a b；（2）若sinsin()2sin2CBAA
10、，求A的值. 【解析】 （1）2, 3 cC 由余弦定理得 22 42cos 3 abab 22 abab， ABC的面积和等于3， 1 sin3 2 abC，4ab ， 联立 22 4 4 abab ab 2ab ； （2）sinsin()2sin2CBAA ， sin()sin()4sinBABAA ， sincos2sincosBAAA ， 当cos0A 时， 2 A ； 当cos0A 时，sin2sinBA ，由正弦定理得 2ba，联立 22 4 2 abab ba ，解得 2 3 3 a ， 高考数学培优专题库教师版 4 3 3 b ， 222 bac ，即 2 B ， 又 3 C
11、， 6 A ， 综上所述， 2 A 或 6 . B B 组题组题 一、选择题 1.如果把锐三角形的三边都增加同样的长度，则得到的这个新三角形的形状为（） A钝角三角形B直角三角形C锐角三角形D由增加的长度决定 【解析】 设增加同样的长度为0 x ， 原来三边长为, ,a b c， 不妨设abc，abc由锐三角形， 222 abc，新的三角形的三边长为,ax bx cx，有axbxcx，又 2222222 ()()()()2 ()0axbxcxabcx abcx故得到新三角形为锐角三角形， 故 选 C. 2.【2016 高考新课标 3】在ABC中， 4 B =，BC边上的高等于 1 3 BC,则
12、cos A=（） A. 3 10 10 B. 10 10 C. 10 10 -D. 3 10 10 - 【解析】设BC边上的高线为AD，则3BCAD，所以 22 5ACADDCAD， 2ABAD由余弦定理，知 222222 25910 cos 210225 ABACBCADADAD A AB ACADAD ，故 选 C 3.在不等边三角形ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，其中a为最大边，如果 222 sin ()sinsinBCBC，则角A的取值范围为() A.(0,) 2 B.(,) 4 2 C.(,) 6 3 D.(,) 3 2 【解析】由题意得 222 sins
13、insinABC，再由正弦定理得 222 abc，即cos0A 0A，0 2 A .又a为最大边， 3 A .因此得角A的取值范围是(,) 3 2 .故 选.D 4.在ABC中，角, ,A B C所对的边分别为, ,a b c，已知cos(cos3sin)cos0CAAB， 1ac，则b的取值范围为（） A 1 1 4 bB. 1 1 2 bC 1 1 2 bD.12b 【解析】由已知得cos(A B)cosAcosB3sincos0AB，解得 3 B .由余弦定理，有 高考数学培优专题库教师版 222 2cosbacacB. 又1ac， 1 cos 2 B ， 故 22 11 3() 24
14、ba. 又01a， 于 是 有 2 1 1 4 b，即有 1 1 2 b.故选.B 二、填空题 5.已知, ,a b c分别为ABC的三个内角, ,A B C的对边， 且b ca 2 22 ，3 tan tan C A ， 则b. 【解析】 由3 tan tan C A 知，,A C为锐角， 作BDAC交AC于D， 设BDh，ADx， 则3CDx， 则 b ca 2 22 即 22222 (9)()88hxhxxx，1x ，则4.b 6.在ABC中，coscoscoscos2bCcBaCcA，且cos3 sinaCaCbc，则ABC 的面积为_ 【解析】coscoscoscosbCcBaCcA
15、，sincossincosBCCB sincossincosACCA，即sin()sin()BCAC，sinsinAB， 所 以ABcoscosaCcA 222222 22 abcbca bb 2b， 所 以2a 由 cos3 sinaCaCbc得4sin()2 6 Cc ， 当 3 C 时 ，2c 符 合 题 意 所 以 11 sin2 2 sin3 223 SabC 7.【2016 高考江苏卷】在锐角三角形ABC中，若sin2sinsinABC，则tantantanABC的最小 值是. 【解析】sinsin()2sinsinABCBCtantan2tantanBCBC，因此 tantant
16、antantantantan2tantanABCABCABC 2 2tantantantantantan8ABCABC，故所求的最小值为8. 三、解答题 8. （2017 年北京卷理）在ABC 中， A =60，c= 3 7a. （）求 sinC 的值； （）若 a=7，求ABC 的面积. 【答案】 （） 3 3 sin 14 C 高考数学培优专题库教师版 （）ABC 的面积6 3S . 【解析】）在ABC 中，因为60A， 3 7 ca， 所以由正弦定理得 sin333 3 sin 7214 cA C a . （）因为7a ，所以 3 73 7 c . 由余弦定理 222 2cosabcbc
17、A得 222 1 7323 2 bb ， 解得8b 或5b （舍）. 所以ABC 的面积 113 sin8 36 3 222 SbcA . 9 【2016 高考山东理数】在ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 tantan 2(tantan). coscos AB AB BA （）证明：2abc；（）求cosC的最小值. 【解析】 由题意知 sinsinsinsin 2 coscoscoscoscoscos ABAB ABABAB ， 化简得2 sincossincossinsinABBAAB， 即2sinsinsinABAB. 因为ABC,所以sinsinsinAB
18、CC. 从而sinsin=2sinABC.由正弦定理得2abc. ()由( ) 知 2 ab c ,所以 2 22 222 2 cos 22 ab ab abc C abab 311 842 ba ab ， 当且仅当ab时，等号成立.故cosC的最小值为 1 2 . 10.已知在ABC中，角,A B C所对的边长分别为, ,a b c且满足 cossinbaCcA （1）求A的大小；（2）若 21 cos,5, 57 BBCBDBA ，求CD的长 【解析】 （1）在三角形ABC中，由正弦定理得sinsincossinsinBACCA， 因为sinsinBAC sin AC所以sinsincos
19、sinsinACACCA 即sincossincossincossinsinACCAACCA整理得sincossinsinCACA， 由sin 0C ，可得cossinAA所以 / 4A . 高考数学培优专题库教师版 （ 2 ） 在 三 角 形 ABC 中 ， 5 4 cos1sin 2 BB， 由 sinsin ACBC BA 5 4 2 5 2 AC ， 解 得 4 2AC ， 又因为coscos()CAB 2 coscossinsin 10 ABAB 所以 222 2cosABACBCAC BCC 2 32252 4 2549 10 ， 7AB，于是由 1 7 BDBA可得1BD， 22
20、2 2cosCDBDBCBD BCB20 10 2 512251 ， 所以 2 5CD . 11.设ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，tanabA，且B为钝角. （1）证明： 2 BA ； （2）求sinsinAC的取值范围. 【解析】（1） 由tanabA及正弦定理， 得 sinsin cossin AaA AbB ，sincosBA， 即sin() 2 sinBA 又B为钝角，因此(, ) 22 A ，故 2 BA ，即 2 BA . （2）由（1）知， ()(2)0 2 CABA ，得 (0,) 4 A ，于是 2 sinsinsinsin(2 )sincos22sinsin
21、1 2 ACAAAAAA ，由 (0,) 4 A 得 2 sin(0,) 2 A ， 2 9 sinsin(, . 28 AC C C 组题组题 一、选择题 1.如图， 在ABC中， 3 sin 23 ABC ，2AB ， 点D在线段AC上， 且 4 3 2, 3 ADDC BD， 高考数学培优专题库教师版 则cosC的值为（） A 7 9 B. 7 2 C 7 9 D. 1 3 【解析】由条件得 1 cos 3 ABC， 2 2 sin 3 ABC.在ABC中，设,3BCa ACb，则由余 弦定理得 22 4 94 3 a ba 因为coscosADBCDB 所以 222 1616 44 3
22、3 16 38 3 33 bba bb ，所以 22 36ba 联立解得3,1ab，所以3,3ACBC.在ABC中， 7 cos. 9 C 故选.C 2.已知ABC的内角, ,A B C对的边分别为, ,a b c，sin2sin2sinABC，3b ，当内角C最 大时，ABC的面积等于() A. 93 3 4 B. 63 2 4 C. 3 2 62 4 D. 3 63 2 4 【解析】根据正弦定理及sin2sin2sinABC得22abc， 3 2 2 a c ， 2 2 6 218 9 3262 4 cos 68444 aa a a C aa ，当且仅当 3 84 a a ，即6a 时，等
23、 号成立，此时 62 sin 4 C ， 116293 3 sin63. 2244 ABC SabC 故选. A 3.在锐角ABC中，角, ,A B C的对边分别为, ,a b c，若6cos ba C ab ，则 tantan tantan CC AB 的值是 （） A2B. 3 2 C4D. 4 3 【解析】取1ab，则 1 cos 3 C ，由余弦定理得 2 3 3 c ，在如图所示的等腰三角形ABC中， 可 得tantan2AB， 又 2 3 sin 3 C ，tan2 2C ， tantan 4 tantan CC AB . 高考数学培优专题库教师版 另解：由6cos ba C ab
24、 得， 22222 6 2 ababc abab ，即 222 3 2 abc， 22 222 tantansin2 4. tantancossinsin CCCc ABCABabc 故选.C 4.在ABC中，角,A B C所对的边分别为, ,a b c满足， 222 ,0bcabc AB BC ， 3 2 a ， 则bc的取值范围是() A. 3 1, 2 B. 3 3 , 22 C. 1 3 , 2 2 D. 3 1, 2 【解析】由 222 bcabc得： 222 1 cos 22 bca A bc ，则 3 A ， 由0AB BC 可知：B为钝角，21 sin a R A 则 sin,
25、bBsin,sinsincC bcBC 2 sinsin 3 BB （） 33 sincos 22 BB3sin() 6 B ， 由于 2 23 B ， 25 366 B ，所以 13 sin 262 B ， 13 22 bc，故选 B. 二、填空题 5.如图，某人在垂直于水平地面ABC的墙面前的点A处进行射击训练.已知点A到墙面的距离为 AB，某目标点P沿墙面的射击线CM移动，此人为了准确瞄准目标点P，需计算由点A观察点P的仰 角的大小.若15 ,25 ,30ABm ACmBCM ,则tan的最大值. 【解析】由勾股定理可得，20BC ，过P作PPBC，交BC于P，连结AP，则 tan PP
26、 AP ， 设BPx， 则20CPx， 由30BCM得， 3 tan3020 3 PPCPx ， 在直角ABP中， 高考数学培优专题库教师版 222 15225APxx， 故 22 3 20 203 3 tan 3 225225 x x xx ， 令 2 20 225 x y x ， 2 2 2 2 22 12 1 22520 225202 2 2252 225 225225 x xx xxx x y x xx 22 20225 225225 x xx ， 令0y 得， 45 4 x ，代入 2 203 tan 3 225 x x 得， 2 2035 3 tan 39 225 x x ，故ta
27、n的最 大值为 5 3 9 6.ABC的内角,A B C的对边分别为, ,a b c，已知 22 acba，则B . 【解析】由余弦定理得 222 2cosabcbcA，将已知代入，化简可得3bca，再由正弦定 理 ， 可 得3sinsinsin 6 BC ， 再 结 合 条 件 及B的 范 围 求 得B的 值 . 由 余 弦 定 理 得 222 2cosabcbcA，将已知条件代入上式 22 acba，化简可得 2 3acbcc，3bca ， 再 由 正 弦 定 理 ， 可 得3sinsinsin 6 BC ， 513 sinsin()cossin 622 CBBB ， 311 sin-co
28、s 222 BB ， 1 sin() 62 B . 5 666 B ， ,. 663 BB 7.已知ABC满足 3 A ，()0ABACBC ，点M在ABC外，且22MBMC，则MA的 取值范围是_ 【解析】由ABC满足 3 A ，()0ABACBC ，可得ABC为等边三角形又点M在ABC 外，且22MBMC，设等边ABC边长为a，如图 1，若M与A在BC同侧，设BMC， BCM， 在BCM中 ， 21 sinsinsin() a ， 则 2sin sin a ， 由 sin2sin()2sincos2cossin，得sin(1 2cos)2cossin，联立可 高考数学培优专题库教师版 得1
29、 2coscosa，又 2 3 cos 2 a a ， 2sin 64cos12cos3a a 2 54cosa， 2 2 1 2 cos() 3 MAaa 54cos1cos3 sinaa 52cos2 3sin54cos() 3 1,7)，则1, 7)MA ； 如 图 2 ， 若M与A在BC异 侧 ， 设BMC，BCM， 在BCM中 ， 则 21 sinsinsin() a ，可得1 2coscosa，又 2 3 cos 2 a a ， 2 2 1 2 cos() 3 MAaa 54sin() 6 (3,9，则( 3,3MA 综上，MA的最小值为 1， 最大值为 3，故答案为：1,3 三、
30、解答题 8.【2016 年高考四川理数】在ABC中，角A,B,C所对的边分别是a,b,c,且 coscossinABC abc . （I）证明：sinsinsinABC； （II）若 222 6 5 bcabc，求tan B. 【 解 析 】 （ 1 ） 据 正 弦 定 理 ， 可 设(0) sinsinsinC abc k k AB ， 则 sin,sin,sinakA bkB ckC 故 coscossinABC abc ，有 coscoscos sinsinsin ABC kAkBkC ，变形得 sinsinsincoscossinsin()sinABABABABC （2）由已知， 22
31、2 6 5 bcabc，根据余弦定理，有 222 cos 2 bca A bc 3 5 . 所以 2 4 sin1 cos 5 AA 高考数学培优专题库教师版 由 （ 1 ） sinsinsincoscossinABABAB所 以 443 sincossin 555 BBB， 故 tan4.B 9.在ABC中，若2 3AC ，且coscossinABCBCAACB . （1）求角B的大小； （2）求ABC的面积S. 【解析】 （1）由题可知：在ABC中，2 3AC ，coscossinABCBCAACB ，因为 ACABBC ，所以coscosABCBCA () sinABBCB ，即 (co
32、ssin)(cossin)0CB ABAB BC ，而向量AB ，BC 是两个不共线向量，所以 cossin cossin CB AB ， 所以coscosCA， 因为,(0, )A C， 所以AC， 在等腰ABC中，ABC， 所以2AB， 22 B A ； 由上知：coscos()sinsin 222 BB AB ， 所以sin2sincos 222 BBB ， 所以 1 cos 22 B ， 结合0 22 B ，所以 23 B ， 2 3 B . （2）由（1）知，则 6 AC ，由正弦定理得： 2 sinsin 36 ACBC ， 所以2BC ， 1 sin 26 ABC SAC BC
33、11 2 323 22 10. 如图，, ,A B C D为平面四边形ABCD的四个内角. （1）证明： 1 cos tan; 2sin AA A （2）若180 ,6,3,4,5,ACABBCCDAD o 求tantantantan 2222 ABCD 的值. 高考数学培优专题库教师版 【解析】 （1） 2 sin2sin 1 cos 22 tan 2sin cos2sincos 222 AA AA AAA A . （2）由180AC ，得180,180CA DB . 由（1） ，有tantantantan 2222 ABCD 1 cos1 cos1 cos(180)1 cos(180) s
34、insinsin(180)sin(180) ABAB ABAB 22 sinsinAB 连结 BD， 在ABD中，有 222 2cosBDABADAB ADA， 在BCD中，有 222 2cosBDBCCDBC CDC， 所以 22 2cosABADAB ADA 22 2cosBCCDBC CDA， 则 22222222 65343 cos 2()2(6 53 4)7 ABADBCCD A AB ADBC CD ， 于是 22 32 10 sin1 cos1 ( ) 77 AA.连结 AC，同理可得 22222222 63541 cos 2()2(6 3 5 4)19 ABBCADCD B AB BCAD CD ，于是 22 16 10 sin1 cos1 () 1919 BB. 所以tantantantan 2222 ABCD 22 sinsinAB 142 19 2 102 10 4 10 3 . .
