1、高考数学培优专题库教师版 第第二十九二十九讲讲 数列的通项公式与前数列的通项公式与前 n 项和项和 A 组 一、选择题 1已知 n a是等差数列，公差d不为零，前n项和是 n S.若 3 a， 4 a， 8 a成等比数列，则 A. 1 0a d ， 4 0dS B. 1 0a d ， 4 0dS C. 1 0a d ， 4 0dS D. 1 0a d ， 4 0dS 解：由于 n a是等差数列，故 1 (1) n aand，由于 3 a， 4 a， 8 a成等比数列，则 2 438 aaa. 故 2 111 (3 )(2 ) (7 )(0)adadad d，化简可得: 1 5 3 ad .因此
2、 有: 2 1 5 0 3 a dd , 4 dS0 3 2 )(2 2 41 daad. 2设 4 ( ) 42 x x f x ，则 12310 11111111 ffff () A4B 5C 6D 10 解：若, 1 21 xx则)()( 21 xfxf 12 12 44 4242 xx xx 121212 1212 2 42 42 42 (444) 1 (42) (42)2444) xxxxxx xxxx （ ， 12310 5 11111111 ffff .故选 A 3设等差数列 n a的前项和为，且满足 2 1(0) nn aSAnBnA，则 1B A （） A1B2C3D4 解：
3、设公差为d，则 2 11 (1)() 22 nn dd aSandnan 2 11 () 22 dd nanad 所以 11 ,1 22 dd ABaad，所以 11 () 1 2 3 2 d aad B d A 所以选 C 高考数学培优专题库教师版 4已知数列 n a满足 1 (3)(3)9 nn aa ，且，则数列 1 n a 的前 6 项和 6 S （） A.6B.7C.8D.9 解：因为 1 (3)(3)9 nn aa ，所以 11 33 nnnn aaaa ，两边同时除以 1 3 nn aa 得 1 111 3 nn aa ， 又 1 3a ，所以数列 1 n a 是以 1 3 为首
4、项， 1 3 为公差的等差数列，所以 1 3 n n a ， 从而 1 11 () (1) 26 n n n aan n S ， 6 7S ，故选 B 二、填空题 5 （2017 年全国 2 卷理）等差数列 n a的前n项和为 n S， 3 3a ， 4 10S ，则 1 1 n k k S 【答案】 2 1 n n 【解析】设等差数列的首项为 1 a，公差为d，所以 1 1 23 4 3 410 2 ad ad ，解得 1 1 1 a d ，所以 1 , 2 nn nn an S ，那么 1211 2 11 n Sn nnn ，那么 1 11111112 21.2 1 223111 n k
5、k n Snnnn . 6数列 n a满足2, 1 1 81 a a a n n ，则 1 a_. 解 ： 由 已 知 得 2 1 1 1 a a ， 3 21 11 1 1 a aa ， 从 而 41 3 1 1 aa a ， 52 1 1 1 aa a ， 63 1 1 1aa a ， 741 aaa， 82 1 1 1 aa a ，从而 1 1 2 1a ，所以 1 1 2 a 7若数列 n a的前 n 项和为 21 33 nn Sa，则数列 n a的通项公式是 n a=_. 高考数学培优专题库教师版 解：当n=1 时， 1 a= 1 S= 1 21 33 a ，解得 1 a=1， 当n
6、2 时， n a= 1nn SS = 21 33 n a ( 1 21 33 n a )= 1 22 33 nn aa ，即 1 2 nn aa ， n a是首项为 1，公比为2 的等比数列， n a= 1 ( 2)n. 三、解答题 8在数列 n a中， 1 3a ， 1 22 nn aan （2,*nnN）. （）证明：数列 n an是等比数列，并求 n a的通项公式； （）求数列 n a的前n项和 n S 解： （） 1 22 nn aan 1 11 22 2 11 nn nn anann anan ， 所以数列 n an是首项为 1 14a ，公比为2的等比数列， 所以 11 4 22
7、nn n an ，所以 1 2n n an . （）因为 1 2n n an ，所以 231 (21)(22)(2) n n Sn 231 (222)(1)23) n n 4(1 2 )(1) 1 22 n n n 2 1 8 2 2 n nn 9设 n S是数列 n a的前n项和.已知0 n a ， 2 243 nnn aaS. (I)求数列 n a的通项公式； (II)设 1 1 n nn b aa ，求数列 n b的前n项和. 解：(I)由 2 243 nnn aaS，可知 2 111 243 nnn aaS . 可得 22 111 2()4 nnnnn aaaaa 即 22 1111
8、2()()() nnnnnnnn aaaaaaaa 由于0 n a ，可得 1 2 nn aa . 又 2 111 243aaa，解得 1 1a （舍去） 1 3a . 所以 n a是首项为3，公差为2的等差数列，通项公式为21 n an. (II)由21 n an可知： 1 1 n nn b a a 1 (21)(23)nn 111 () 2 2123nn 高考数学培优专题库教师版 设数列 n b的前n项和为 n T，则 12 11111 ()() 23557 nn Tbbb 11 () 2123nn 1 11 2 323n 3(23) n n . 10设等差数列 n a的公差为d，前n项和
9、为 n S，等比数列 n b的公比为q已知 11 ba， 2 2b ， qd， 10 100S (I)求数列 n a， n b的通项公式； (II)当1d 时，记 n n n a c b ，求数列 n c的前n项和 n T 解：(I)由题意有， 1 1 1045100, 2, ad a d 即 1 1 2920, 2, ad a d 解得 1 1, 2, a d 或 1 9, 2 . 9 a d 故 1 21, 2. n n n an b 或 1 1 (279), 9 2 9 ( ). 9 n n n an b 其中 * Nn. (II)由1d ，知21 n an， 1 2n n b ，故 1
10、 21 2 n n n c ，于是 2341 357921 1 22222 n n n T ， 2345 11357921 2222222 n n n T . -可得 22 11112123 23 222222 n nnn nn T ， 故 n T 1 23 6 2n n . 11已知数列 n a满足 1 a=1， 1 31 nn aa . （）证明 1 2 n a 是等比数列，并求 n a的通项公式； （）证明： 12 3111 2 n aaa +. 解： （I）由 1 31 nn aa 得 1 11 3() 22 nn aa 。 高考数学培优专题库教师版 又 1 13 22 a ，所以 1
11、 2 n a 是首项为 3 2 ，公比为 3 的等比数列。 13 22 n n a ，因此 n a的通项公式为 31 2 n n a . （）由（I）知 12 31 n n a 因为当1n 时， 1 312 3 nn ，所以 1 11 312 3 nn 。 于是 1 12 11111313 .1.(1) 33232 nn n aaa . 所以 12 1113 . 2 n aaa B 组 一、选择题 1等差数列 n a的前n项和为 n S，已知 2 11 0 mmm aaa ， 21 38 m S ,则m（） （A）38（B）20（C）10（D）9 解：因为 n a是等差数列，所以， 11 2
12、mmm aaa ，由 2 11 0 mmm aaa ，得：2 m a 2 m a0， 所以， m a2，又 21 38 m S ，即 2 )(12( 121 m aam 38，即（2m1）238，解得 m10，故选.C。 2已知等差数列 n a的首项 1 1a =，公差0d ， n S为数列 n a的前n项和.若向量 13 (,)a a=m， 133 (,)aa=-n，且0 =m n，则 216 3 n n S a + + 的最小值为（） A4B3C2 32-D 9 2 解：由 13 (,)a a=m， 133 (,)aa=-n，且0 =m n, 得 2 3113 aa a, 即 2 (12
13、)1 (1 12 )dd ,又 0d ,所以2d ,从而21 n an, 2 n Sn, 则 216 3 n n S a + + 22 216899 (1)22 (1)24 22111 nn nn nnnn , 高考数学培优专题库教师版 当且仅当 9 (1) 1 n n ,即2n 时,上式等号成立, 所以 216 3 n n S a + + 的最小值为4,故选 A. 3已知数列 n a的前n项和为 n S，首项 1 2 3 a ，且满足 1 2 nn n Sa S (2)n ，则 2016 S等于 () A. 2014 2015 B. 2015 2016 C. 2016 2017 D. 201
14、7 2018 解： 1 2 nn n Sa S 1 1 2 nnnn n SaSS S 1 1 2 n n S S ， 由已知可得 1 2 1 2S S 2 3 4 S ； 2 3 1 2S S 3 4 5 S ； 3 4 1 2S S 4 5 6 S ； ， 可归纳出 2016 2017 2018 S .故选 D. 4已知数列 n a的通项公式为( 1) (21) cos1(*) 2 n n n annN ，其前n项和为 n S，则 60 S （） A60B30C90D120 解： 由题意可得， 当43nk时， 43 1 nk aa ， 当42nk时， 42 68 nk aak ， 当41n
15、k 时， 41 1 nk aa ，当4nk时， 4 8 nk aak， 4342414 8 kkkk aaaa ， 60 8 15120S .故选 D. 二、填空题 5设 n S是数列 n a的前n项和，且1 1 a， 11 nnn SSa，则 n S _. 解：由已知得 111nnnnn aSSS S ，等式两端同时除以 1nn S S 得， 1 11 1 nn SS ，即 1 n S 是以 1为首项，1为公差的等差数列，则 1 n n S ， 1 n S n . 6（2016 年浙江理） 设数列 n a的前n项和为 n S.若 2 4S ， 1 21 nn aS ，nN ， 则 1 a ，
16、 5 S . 解：由 2 4S ，得 12 4aa；由 211 2121aSa ，故解得 12 1,3aa. 再由 1 21 nn aS ， 得 1 21(2) nn aSn ， 从而 1 2 nnn aaa ， 即 1 3(2) nn aa n ， 又 21 3aa， 高考数学培优专题库教师版 所以 1 3(1) nn aa n ，从而 5 5 1 3 121 1 3 S 所以填：1，121 三、解答题 7 （16 年全国 II 理） n S为等差数列 n a的前 n 项和，且 17 =128.aS ，记= lg nn ba，其中 x表 示不超过x的最大整数，如0.9 =0 lg99 =1，
17、 （）求 111101 bbb，； （）求数列 n b的前 1 000 项和 【解析】设 n a的公差为d， 74 728Sa， 4 4a ， 41 1 3 aa d ， 1 (1) n aandn 11 lglg10ba， 1111 lglg111ba， 101101101 lglg2ba 记 n b的前n项和为 n T，则 1000121000 Tbbb 121000 lglglgaaa 当0lg1 n a 时，129n ， ，； 当1lg2 n a 时，101199n ， ，； 当2lg3 n a 时，100101999n ，； 当lg3 n a 时，1000n 1000 091 902
18、9003 11893T 8设数列 n a的前n项和为 n S，n 已知 1 1a ， 2 3 2 a ， 3 5 4 a ，且当2n 时， 211 458 nnnn SSSS (1)求 4 a的值； (2)证明： 1 1 2 nn aa 为等比数列； (3)求数列 n a的通项公式 解析： （1）当2n时， 1324 854SSSS， 所以 214321 5)(4aaaaaa 1321 )(8aaaa，即 8 7 4 1 324 aaa. （2）当2n时，因为 112 854 nnnn SSSS， 高考数学培优专题库教师版 所以05444 1112 nnnnn SSSSS，所以 05544 1
19、1112 nnnnnn SSSSSS所以054 112 nnnn aaaa， 即)2(044 12 naaa nnn ， 所以)(2( 4 1 12 naaa nnn 当1n时， 4 5 4 1 , 4 5 123 aaa，所以 123 4 1 aaa，满足)(式 所以) 1( 4 1 12 naaa nnn 所以 nnnn aaaa 2 1 2 1 2 1 112 ，所以 1 1 2 nn aa 是以1 2 1 12 aa，公比为 2 1 的等比数列. （3）由（2）得 11 1 2 1 2 1 1 2 1 nn nn aa，两边同乘以 1 2 n ，可得422 1 1 n n n n aa
20、， 所以 n n a2是以22 1 a，公差为 4 的等差数列. 所以244122nnan n ， 所以 1 2 12 2 24 nn n nn a. 9设数列 n a的前n项和为 n S已知233 n n S (I)求 n a的通项公式； (II)若数列 n b满足 3 log nnn a ba，求 n b的前n项和 n T 解：(I)由233 n n S 知，当2n 时， 1 2 n S 1 33 n ，所以 1 1 2()33 nn nn SS ，即 1 3n n a ； 又当1n 时， 1 3a ，所以有 1 31 3,2 n n n a n ， (II)由 3 log nnn a b
21、a知，当1n ， 11 1 3 Tb；当2n ， 1 3 11 log(1)( ) 3 n nn n ban a ，由 123nn Tbbbb得 23 1111 12 ( )3 ( ) 3333 n T 1 1 (1)( ) 3 n n 2234 11111 ( )1 ( )2 ( )3 ( ) 33333 n T 1 (1)( ) 3 n n 得： 231 221111 ( )( )( ) 393333 n n T 1 (1)( ) 3 n n 1 1 1 ( ) 21 3 (1)( ) 923 n n n ， 高考数学培优专题库教师版 所以有 1 1 31 ( ) 131 3 (1)( )
22、 3423 n n n Tn 1363 124 3n n ，经检验1n 时也符合， 故对1n ，均有 n 1363 124 3n n T 10 已知 n S是数列 n a的前n项和，且 2 232,1,2,3 nn Sannn （1）求证：数列2 n an为等比数列 （2）设cos nn ban，求数列 n b的前n项和 n T 解： （1） 2 232 nn Sann 2 11 21312 nn Sann 可得： 1 2224 nnn aaan 即 1 224 nn aan 11 2244221 nnn ananan 2 n an为2q 的等比数列 （2）由（1）可得： 1 1 222n n
23、 ana 令1n 代入 2 232 nn Sann 11 24Sa 1 4a 22n n an22 n n an 22cos n n bnn 方法一：直接求和 22cos221221 nnn nn n bnnnn 12 221 2 11211 2 1 n n n Tn 设 12 11211 n n Pn 231 11211 n n Pn 高考数学培优专题库教师版 21 ( 1) 11 211111 1 ( 1) n nnn n Pnn 1 111 42 nn n n P 21 21111 342 nnn n n T 方法二：分组求和 22 ,21 22cos221 22 ,2 n n nn n
24、 n n nk bnnn n nk 当n为偶数时 11 1 2212222 nnn nn bbnn 12341nnn Tbbbbbb 2 14 11 2222 2 n n 2 2 41 2 21 4 13 n n nn 当n为奇数时 1 1 2 21122 3 nn nnn TTbnn 25 2 33 n n 2 21,2 3 25 2,21 33 n n n n nk T nnk 方法三：分奇数项偶数项分别求和 22 ,21 22cos221 22 ,2 n n nn n n n nk bnnn n nk 当n为偶数时： 1351246nnn Tbbbbbbbb 131 131 2222 1
25、31 n n bbbn 2 12 2 41 1122 2 4122332 n n nnn 高考数学培优专题库教师版 24 24 2222 24 n n bbbn 2 2 4 41 2224 2 4122332 n n n nn n 1 22 33 n n Tn 同理：当n为奇数时 1 1 2 21122 3 nn nnn TTbnn 25 2 33 n n 2 21,2 3 25 2,21 33 n n n n nk T nnk C 组 一、选择题 1.在数列 n a中， 1 1a ， 2 2a ，若 21 21 nnn aaa ，则 n a等于（） A 2 2 2 nn B 32 21121
26、10 2 nnn C 2 22nnD 2 254nn 解：根据题意得 211 ()()1 nnnn aaaa ，故 1 nn aa 是首项为 1，公差为 1 的等差数列， 故 1 1(1)1 nn aann ，由累加法得：当2n 时， 121321 ()()()1 12(1) nnn aaaaaaaan 2 (1)2 1 22 nnnn ，当1n 时 1 1 12 1 2 a 符合，故选 A. 另法：用排除法，通过 21 21 nnn aaa 求得 3 4a ， 4 7a ，代入选项排除，得到 A 选项. 2.在等差数列 n a中，5 2 a，21 6 a， 记数列 1 n a 的前n项和为
27、n S， 若 15 12 m SS nn 对 * nN 恒成立，则正整数m的最小值为（） A5B4C3D2 解：由题设得43 n an， 15 12 m SS nn 可化为 111 41458115 m nnn ， 高考数学培优专题库教师版 令 111 414581 n T nnn ， 则 1 11111 4549818589 n T nnnnn ， 1 111111 0 858941828241 nn TT nnnnnn ， 当1n 时， n T取得最大值 1114 5945 ， 由 14 1545 m 解得 14 3 m ，正整数m的最小值为 5。 3. 数列 n a满足 1 ( 1)21
28、 n nn aan ，则 n a的前 60 项和为（） （A）3690（B）3660（C）1845（D）1830 解法 1：由题设知 21 aa=1， 32 aa=3 43 aa=5 54 aa=7， 65 aa=9， 76 aa=11， 87 aa=13， 98 aa=15， 109 aa=17， 1110 aa=19， 1211 21aa， 得 13 aa=2，+得 42 aa=8，同理可得 57 aa=2， 68 aa=24， 911 aa=2， 1012 aa=40， 13 aa， 57 aa， 911 aa，是各项均为 2 的常数列， 24 aa， 68 aa， 1012 aa，是首
29、项 为 8，公差为 16 的等差数列， n a的前 60 项和为 1 15 2 15 816 15 14 2 =1830. 解法 2：可证明： 1414243444342424 1616 nnnnnnnnnn baaaaaaaab 1123415 15 14 1010 15161830 2 baaaaS 4 数列 n a满足 2 11 3 ,1 2 nnn aaaa (*)nN, 则 122016 111 m aaa 的整数部分是() A.0B.1C.2D.3 1 3 , 2 a 解: 2 1 1 nnn aaa 1 1(1) nnn aa a 1 1111 1(1)1 nnnnn aa aa
30、a , 所以 122016120162016 111111 2 111 m aaaaaa 由 22 1 21(1)0 nnnnn aaaaa ,得 1nn aa , 所以 201620153 37 2 16 aaa,所以 2016 1 01 1a , 高考数学培优专题库教师版 所以12m,所以m的整数部分为1. 二、填空题 5 （16 年上海理）无穷数列 n a由k个不同的数组成， n S为 n a的前n项和.若对任意 Nn， 3 , 2 n S，则k的最大值为_. 【答案】4 解：要满足数列中的条件，涉及最多的项的数列可以为2,1, 1,0,0,0,，所以最多由 4 个不同的数 组成. 6数
31、列 n a满足1 1 a，且1 1 naa nn (nN*)，则数列 1 n a 的前 10 项和为. 解析：由题，1 1 a，2 12 aa，3 23 aa，naa nn 1 (nn, 2N*)，由累加法， 求得 2 ) 1( nn an(nn, 2N*)，经检验1n时也满足该通项，即 2 ) 1( nn an(nN*)；因此 ) 1 11 (2 ) 1( 21 nnnnan ， 1 2 ) 1 1 1 (2 n n n Sn， 11 20 10 S. 三、解答题 7 （16 年四川理）已知数列 n a的首项为 1， n S为数列 n a的前n项和， 1 1 nn SqS ，其中 0q ，
32、* nN. （1）若 232 2,2a a a 成等差数列，求 n a的通项公式； (2) 设双曲线 2 2 2 1 n y x a 的离心率为 n e，且 2 5 3 e ，证明： 12 1 43 3 nn n n eee . 解析： （1）由已知， 121 1,1, nnnn SqSSqS + =+=+两式相减得到 21, 1 nn aqan + =. 又由 21 1SqS=+得到 21 aqa=，故 1nn aqa + =对所有1n都成立. 所以，数列 n a是首项为 1，公比为 q 的等比数列. 从而 1 = n n aq - . 由 232 2+2aaa， ，成等比数列，可得 32
33、2=32aa +，即 2 2=32,qq+，则(21)(2)0q+q-=， 高考数学培优专题库教师版 由已知,0q，故=2q. 所以 1* 2() n n an - = N. （）由（）可知， 1n n aq - =. 所以双曲线 2 2 2 1 n y x a -=的离心率 22(1) 11 n nn eaq - =+=+. 由 2 5 1 3 qq=+=解得 4 3 q =. 因为 2(1)2(1) 1+ kk qq - ，所以 2(1)1* 1+ kk qqk - N（）. 于是 1 12 1 1+ 1 n n n q eeeqq q - - + 鬃 + 鬃 = - ， 故 123 1
34、43 3 nn n eee - - + 鬃 . 8(16 年江苏理)记1,2,100U ，.对数列和的子集T，若,定义 ;若，定义 .例如：时，. 现设是公比为3的等比数列，且当时，. (1)求数列的通项公式； (2)对任意正整数，若，求证：； (3)设,求证：. 解： （1）由已知得. 于是当时，. 又，故，即. 所以数列的通项公式为. （2）因为， 所以. 因此，. （3）下面分三种情况证明. 若是的子集，则. 高考数学培优专题库教师版 若是的子集，则. 若不是的子集，且不是的子集. 令，则，. 于是，进而由，得. 设是中的最大数， 为中的最大数，则. 由（2）知，于是，所以，即. 又，故
35、， 从而， 故，所以， 即. 综合得，. 9 数列 n a满足, 2 2 42 1 21 n n n naaa * Nn. (1)求 3 a的值； (2)求数列 n a前n项和 n T； (3)令 11 ba， 1 11 (1 23 n n T b n - =+ 鬃 1) (2) n a n n +，证明：数列 n b的前n项和 n S，满足 nSnln22. 解：(1)依题意， 3123 3(23)aaaa=+- 12 3 12 1 3222 (2)4(4) 22 aa - + +=- 3 4 =， 3 1 4 a=. (2)依题意， 当1n 时， 123 (23 n naaaa=+) n
36、na鬃 1231 (23(1) n aaana - -+ 鬃 - 12 21 4(4) 22 nn nn - + =- 1 2n n - = , 2 1 1 n n a , 2 1 2 21 -4 1 -211 1 a又. 2 1 1 n n a 高考数学培优专题库教师版 .) 2 1 (2 2 1 1 ) 2 1 (1 (1 1 n n n T故 (3)依题意有 121 11 1 2 n nn aaa ba nn 知 11 ba， 1 22 1 1 22 a ba ， 3 21 3 ) 3 1 2 1 1 ( 3 a aa b 123nn Sbbbb 111 (1) 23 n T n 1 1
37、111 (1)(2) 232nn 111 2 (1) 23n 记 1 ( )ln1f xx x =+-(1)x，则 2 11 ( )fx xx =- 2 1 0 x x - = ( )f x在(1,)+ 上是增函数，又(1)0f=，即( )0f x . 又2k 且 * Nk 时，1 1 k k - 所以 1 ()ln10 11 1 kk f k kk k =+- - - 即 1 () 1 k f kk - 12 131 ln,ln,ln 21 321 n nn 即有 11123 lnlnlnln 23121 n n nn 所以 111 2 (1)22ln 23 n n 即22ln . n Sn
38、 10已知数列 n a满足 2 1 1 a且 naaa nnn ( 2 1 N*) (I)证明：)N(21 1 n a a n n ； (II)设数列 2 n a的前n项和为 n S，证明： )2(2 1 n )N( ) 1(2 1 n nn Sn . 解析：(I)由题意知 2 1 0 nnn aaa ,即 1nn aa , 故 1 2 n a 由 11) 1 ( nnn aaa得 高考数学培优专题库教师版 )1 ( 1 nn aa0)1 ()1 ( 112 aaan,从而可得： 1 0 2 n a.因此 1 1 1,2 1 n nn a aa ，即 )N(21 1 n a a n n 结论成立. (II)由题意得 1 2 nnn aaa，所以 11 nn aaS. 因为 2 1nnn aaa ，所以 1 111 1 nnn aaa . 11 11 12 n nnn a aaa ，从而有 11 11 2 n nn aa 化简可得：)N( 2 1 ) 1(2 1 1 n n a n n ，因此， )2(2 1 n )N( ) 1(2 1 n nn Sn .
