1、高考数学培优专题库教师版 第四十二讲第四十二讲圆锥曲线高考选择填空压轴题专练圆锥曲线高考选择填空压轴题专练 A 组 一、选择题 1 过抛物线C： 2 4yx上一点 00 ,P xy作两条直线分别与抛物线相交于A，B两点， 连接AB， 若直线AB的斜率为 1， 且直线PA，PB与坐标轴都不垂直， 直线PA，PB的斜率倒数之和为 3， 则 0 y （） A. 1B. 2C. 3D. 4 【答案】D 【解析】设直线,PA PB的斜率分别为 12 ,k k，因为点 00 ,P xy在抛物线 2 4yx上，所以 2 0 0 , 4 y Py ， 故 直 线PA的 方 程 为 2 0 01 4 y yyk
2、x ， 代 入 抛 物 线 方 程 得 22 00 11 44 0yyyy kk ， 其 解 为 0 y和 0 1 4 y k ， 则 2 0 1 0 2 11 4 4 , 4 y k Ay kk ， 同 理 可 得 2 02 0 2 22 4 4 , 4 y k By kk ， 则 由 题 意 ， 得 00 12 22 0 102 22 12 44 1 44 44 yy kk y ky k kk ， 化 简 ， 得 0 12 11 214y kk ,故选 D. 2已知双曲线 22 1 22 1(0,0) xy Cab ab ：，抛物线 2 2 4Cyx：， 1 C与 2 C有公共的焦点F，
3、1 C 与 2 C在第一象限的公共点为M，直线MF的倾斜角为，且 12 cos 32 a a ，则关于双曲线的离心率的 说法正确的是（） A. 仅有两个不同的离心率 12 ,e e且 12 1,2 ,4,6eeB. 仅有两个不同的离心率 12 ,e e且 12 2,3 ,4,6eeC. 仅有一个离心率e且2,3eD. 仅有一个离心率e且3,4e 【答案】C 【解析】 2 4yx的焦点为1,0，双曲线交点为1,0，即1c ，设M横坐标为 0 x， 则 00000 11 ,1, 1 2 1 pa xexa xxa x a a ， 0 0 1 1 1 1 11 2 cos 1 132 1 1 1 a
4、 xa a a xa a ， 可化为 2 520aa， 2 2 11 2510,2510g eee aa ， 2 00,10,20,30,1,2510ggggeee 只有一个根在2,3内，故选 C. 3已知点 1 F、 2 F是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左右焦点，过点 1 F且垂直于x轴的直线与椭圆交 于A、B两点，若 2 ABF为锐角三角形，则该椭圆的离心率的取值范围是（） A. 0,21B. 51,1 2 C. 51 0, 2 D. 21,1 【答案】D 【解析】由于 2 ABF为锐角三角形，则 2 0 2121 45 ,tan1 2 b AF FAF F ac ，
5、2 2bac， 222 2,21 0acac ee，21e 或21e ，又01e，则211e ，选D. 4已知 12 ,F F是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左右焦点，过 2 F作双曲线一条渐近线的垂线，垂 足为点A,交另一条渐近线于点B，且 22 1 3 AFF B ,则该双曲线的离心率为 A. 6 2 B. 5 2 C.3D.2 【答案】A 【解析】由 2 ,0F c到渐近线 b yx a 的距离为 22 bc db ab ，即有 2 AFb ，则 2 3BFb ，在 2 AF O中， 22 , b OAa OFc tan F OA a 2 2 4 tan 1 b
6、b a AOB a b a ，化简可得 22 2ab，即有 2222 3 2 caba，即有 6 2 c e a ， 故选 A. 高考数学培优专题库教师版 5焦点为F的抛物线C： 2 8yx的准线与x轴交于点A，点M在抛物线C上，则当 MA MF 取得 最大值时，直线MA的方程为（） A.2yx或2yx B.2yx C.22yx或22yx D.22yx 【答案】A 【解析】 过M作MP与准线垂直，垂足为P，则 11 coscos MAMA MFMPAMPMAF ，则当 MA MF 取得 最大值时，MAF必须取得最大值，此时直线AM与抛物线相切，可设切线方程为2yk x与 2 8yx联立， 消去
7、y得 2 8160kyyk， 所以 2 64640k， 得1k 则直线方程为2yx 或2yx 故本题答案选A 6设A是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右顶点，,0F c是右焦点，若抛物线 2 2 4a yx c 的 准线l上存在一点P，使30APF ，则双曲线的离心率的范围是（） A.2,B.1,2C.1,3D.3, 【答案】A 【解析】抛物线的准线方程为 2 a x c ,正好是双曲的右准线.由于 AF=ca,所以 AF 弦,圆心 3 , 22 ac Oca ,半径Rca圆上任取一点 P,30APF ,现在转化为圆与准线相交问题.所以 2 2 aca ca c ,解得2
8、e.填 A. 7中心为原点O的椭圆焦点在x轴上，A为该椭圆右顶点，P为椭圆上一点， 0 90OPA，则 该椭圆的离心率e的取值范围是 （） A. 1 ,1 2 B. 2 ,1 2 C. 16 , 23 D. 2 0, 2 【答案】B 【解析】设椭圆标准方程为 22 22 1(0) xy ab ab ，设 P(x,y)，点 P 在以 OA 为直径的圆上。圆的方 程 ： 22 2 22 aa xy ， 化 简 为 22 0 xaxy， 22 22 22 0 1(0) xaxy xy ab ab 可 得 222322 0baxa xa b。则 2 2 ,0, ab xxa c 所双 2 2 0, a
9、b a c 可得 2 1 2 e，选 B. 8正三角形ABC的两个顶点,A B在抛物线 2 2(0)xpy p上，另一个顶点C是此抛物线焦点，则 满足条件的三角形ABC的个数为（） A. 0B. 1C. 2D. 3 【答案】C 【解析】 由题可知其焦点为0, 2 p F 作倾斜角为60与倾斜角为120的直线，分别与抛物线 2 2(0)xpy p 高考数学培优专题库教师版 相交天两点, ,A B C D如图，则,AFCBFD均为正三角形故本题答案选C 9设F为抛物线 2 :2(0)C ypx p的焦点，曲线(0) k yk x 与C相交于点A，直线FA恰与曲 线(0) k yk x 相切于点A，
10、FA交C的准线于点B，则 FA BA 等于（ ） A. 1 4 B. 1 3 C. 2 3 D. 3 4 【答案】B 【 解 析 】 由 2 2 ypx k y x 解 得 3 3 2 2 k x pk ypk ， 又 对 k y x ， 2 k y x ， 所 以 3 2 3 22 3 2 22 4 FA pkk k kp k pk p k ，化简得 2 4 2 p k ，所以 3 42 kp x pk ， 1 24 3 42 FA AB pp FAxx ppABxx ，故选 B 10已知点P在抛物线 2 yx上，点Q在圆 2 21 41 2 xy 上，则PQ的最小值为（） A. 3 5 1
11、 2 B. 3 3 1 2 C.2 31D.101 【答案】A 【解析】设抛物线上点的坐标为 2, (0)P mmm 圆心 1 ,4 2 与抛物线上的点的距离的平方： 2 2 2242 11 42816 24 dmmmmm 令 42 1 2816(0) 4 f mmmmm， 则 2 412fmmmm， 由导函数与原函数的关系可得函数在区间0,1上单调递减，在区间1,上单调递增，函数的最 小值为 1 111 4 f， 由几何关系可得：PQ的最小值为 1 111 4 3 5 1 2 . 本题选择 A 选项. 11已知椭圆M： 22 22 1 xy ab （0ab）的一个焦点为1,0F，离心率为 2
12、 2 ，过点F的动 直线交M于A，B两点，若x轴上的点,0P t使得APOBPO总成立（O为坐标原点） ，则t （） A.2B. 2C.2D.2 【答案】B 【解析】在椭圆中1c ， 2 2 c e a 得2a ，故1b ，故椭圆的方程为 2 2 1 2 x y， 设 11 ,A x y， 22 ,B xy，由题意可知，当直线斜率不存在时，t可以为任意实数， 当直线斜率存在时，可设直线方程为1yk x，联立方程组 2 2 1 1 2 yk x x y ， 得 2222 124220kxk xk， 2 12 2 4 12 k xx k ， 2 12 2 22 12 k xx k ， 使得APOB
13、PO总成立，即使得PF为APB的平分线， 即有直线PA和PB的斜率之和为 0，即有 12 12 0 yy xtxt ，由 11 1yk x（）， 22 1yk x，即有 1212 2120 x xtxxt， 代入韦达定理，可得 22 22 444 120 1212 kk tt kk ，化简可得2t ，故选 B. 二、填空题 12已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，直线l与抛物线C相切于Q点，P是l上一点（不与Q重 合） ，若以线段PQ为直径的圆恰好经过F，则PF的最小值是_ 【答案】2 【 解 析 】 根 据 抛 物 线 的 对 称 性 设 ,2Q mm， 则 2 1 QF m k m ，
14、 所 以 直 线PF的 方 程 为 1 1 2 m yx m ，由 2 4yx，取2yx， 1 y x ，所以直线l的方程是 1 2ymxm m ， 高考数学培优专题库教师版 联立 1 1 2 1 2 m yx m ymxm m ，解得点P的横坐标1x ，所以点P在抛物线的准线上运动，当点P的 坐标是1,0时，PF最小，最小值是 2. 13已知双曲线 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 的右焦点为,0F c，点P在双曲线C的左支上，若直 线FP与圆 2 2 2 : 39 cb Exy 相切于点M且2PMMF ，则双曲线C的离心率值为_ 【答案】5 【解析】设双曲线C的左焦点为 1
15、F，由圆心,0 3 c E 可知， 1 2FEEF，又2PMMF ，可知 1 / /EMPF，且 1 3PFEMb，由双曲线的定义得2PFab， 1 PFPF， 1 F PF Rt中， 2222 22 11 2225 c FFFPFPcbabbae a . 14已知抛物线 2 2(0)ypx p的焦点为F，过抛物线上点 0 2,Py的切线为l，过点P作平行于 x轴的直线m，过F作平行于l的直线交m于M，若5PM ，则p的值为_ 【答案】6 【解析】设 2,2Pp，由2ypx，得 1 2 2 yp x ，则当2x 时， 2 p y ，所以 过F且与l平行的直线方程为 22 pp yx ，代入 7
16、,2Mp，得74 2 p ，解得6p ,故答 案为6. B B 组组 一、选择题 1两条抛物线 2 1111 :Tya xb xc， 2 22221212 :0,0,Tya xb xcaaaa，联立方程消 去 2 x项， 得直线 2 11 22 11 2 2121 : a ba ba ca c l yx aaaa ， 称直线l为两条抛物线 1 T和 2 T的根轴， 若直线:m xt 分别与抛物线 2 22yxx ， 2 1 54 2 yxx及其根轴交于三点 12 ,P P P，则 1 2 PP PP （） A. 2B. 1 2 C.2tD. 1 2 t 【答案】A 【解析】抛物线 2 22yx
17、x ， 2 1 54 2 yxx的根轴为2yx ，所以 1 2 PP PP 2 2 22 222 3 2 113 254 222 ttt tt ttttt ，故选 A 2已知 12 ,F F是椭圆和双曲线的公共焦点，P是它们的一个公共点，且 12 4 FPF ，则椭圆和双 曲线的离心率乘积的最小值为（） A. 1 2 B. 2 2 C.1D.2 【答案】B 【解析】设椭圆的长半轴长为 1 a，双曲线的实半轴常为 121 2 122 2 2 PFPFa aPFPFa 1 PF 22 2 12,21212121212 42cos 4 aaPFaacaaaaaaaa 222 11 2222 1111
18、1 2 222222222 2 4222242caa eeeeee 1 2 2 2 e e ,故选 B. 3设点 12 ,F F分别为双曲线： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点，若在双曲线左支上存在一点 P，满足 112 PFFF，点 1 F到直线 2 PF的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的离心率为（） A. 41 4 B. 4 3 C. 5 4 D. 5 3 【答案】D 【解析】由题意知 212 PFFF，可知 12 PFF是等腰三角形， 1 F在直线 2 PF的投影是中点，可得 22 2 2 444PFcab，由双曲线定义可得422bca，则 2 ac b ，又
19、 222 cab，知 22 5230aacc，可得 2 3250ee，解得 5 1 3 e 或舍去故本题答案选D 4已知椭圆M： 22 22 1 xy ab （0ab）的一个焦点为1,0F，离心率为 2 2 ，过点F的动直 高考数学培优专题库教师版 线交M于A，B两点， 若x轴上的点,0P t使得APOBPO总成立 （O为坐标原点） ， 则t （） A. 2B.2C.2D.2 【答案】A 【解析】由题意可得椭圆方程为 2 2 1 2 x y，很显然 AB 斜率不存在时，t 可以为任意实数， 当直线的斜率存在时，设 AB 的方程为1yk x其中 1122 ,A x yB xy, 联立直线与椭圆的
20、方程可得： 2222 124220kxk xk， 则： 22 1212 22 422 , 1212 kk xxx x kk 由APOBPO知直线 PA 与 PB 的斜率之和为 0，则： 12 12 0 yy xtxt ， 整理得： 1212 2120 x xtxxt, 故： 2 2 22 4144 20 1212 ktk t kk , 解得：2t . 本题选择 A 选项. 5 已知动点P在椭圆 22 1 3627 xy 上， 若点A的坐标为3,0， 点M满足1AM ，0PM AM ， 则PM 的最小值是（） A.2B.3C.2 2D.3 【答案】C 【解析】0PM AMPMAM ， 22222
21、 11PMAPAMAMPMAP， 1AM 点M的轨迹为以为以点A为圆心，1 为半径的圆， 22 1PMAP，AP越小，PM越小， 结合图形知，当P点为椭圆的右顶点时，AP 取最小值633ac ，PM最小值是 2 312 2 故选：C 6 如图， 两个椭圆的方程分别为 22 22 1(0) xy ab ab 和 22 22 1 xy mamb （0ab，1m） ， 从大椭圆两个顶点分别向小椭圆引切线AC、BD，若AC、BD的斜率之积恒为 16 25 ，则椭圆的离心率 为（） A. 3 5 B. 3 4 C. 4 5 D. 7 4 【答案】A 【解析】由题意知，外层椭圆方程为 22 22 1 xy
22、 mamb ，设切线AC的方程为 1 ykxma代入 内层椭圆消去y得: 22222322422 111 20k abxmk a xm k aa b由0 化简得 2 2 1 22 1 , 1 b k am 同 理得 2 22 2 2 1 , b km a 所以 4 4 222 12 4 443 ,.1 (), 555 bbcb k ke aaaa 选 A. 7已知双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左焦点是,0Fc，离心率为e，过点F且与双曲线的一 条渐近线平行的直线与圆 222 xyc在y轴右侧交于点P，若P在抛物线 2 2ycx上，则 2 e A.5B. 51 2 C.5
23、1D.2 【答案】D 【解析】双曲线 22 22 1 xy ab 的渐近线方程为 b yx a ，据题意，可设直线PF的斜率为 b a ， 则 直 线PF的 方 程 为 ： b yxc a ， 解 方 程 组 222 xyc b yxc a 得 高考数学培优专题库教师版 0 xc y 或 22 2 ab x c ab y c 则P点的坐标为 22 2 , abab cc 又点P在抛物线 2 2ycx上，得 2 22 2 2 abab c cc 可化为 44 2ac，可知 2 2e 故本题答案选D 8在平面直角坐标系xOy中，已知抛物线 2 :4C xy，点P是C的准线l上的动点，过点P作C 的
24、两条切线，切点分别为,A B，则AOB面积的最小值为（） A.2B.2C.2 2D.4 【答案】B 【 解 析 】 设 01122 , 1 ,P xA x yB xy, 因 为 2 x y ， 则 过 点,A B的 切 线 22 1122 12 , 4242 xxxx yxxyxx均过点 0, 1 P x ，则 22 1122 0102 1, 1 4242 xxxx xxxx ， 即 12 ,x x是 方 程 2 0 1 42 xx xx 的 两 根 ， 则 12012 2,4xxx x x ，设直线AB的方程为ykxb，联立 2 4 xy ykxb ，得 2 440 xkxb，则 12 44
25、x xb ， 即1b ， 则 2 22 12120 2 11 1442 2 1 AOB Skxxx xx k ， 即 AOB的面积的最小值为 2；故选 B. 9已知双曲线 C： 22 22 1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 ,F F，左、右顶点分别为A、B， 虚轴的上、下端点分别为C、D，若线段BC与双曲线的渐近线的交点为E，且 11 BFECFE ，则双曲 线的离心率为 A.1+ 6B.1+ 5C.1+ 3D.1+ 2 【答案】C 【解析】根据双曲线C的性质可以得到，0,Cb，,0B a， 1 ,0Fc，双曲线C的渐近线方 程 b yx a ，直线BC方程： b yx
26、b a ，联立 b yxb a b yx a 得到 2 2 a x b y ，即点, 2 2 a b E ，所以E是 线段BC的中点，又因为 11 BFECFE ，所以 11 FCFB，而 22 1 FCcb， 1 FBac，故 2 22 cbac，因为 222 abc，所以 22 220aacc，因为 c e a ，即 2 220ee，所以 13e ，故选 C 10已知O为坐标原点， 12 ,F F分别是双曲线 22 22 :1 xy C ab 的左右焦点，A为C的左顶点， P为C上一点， 且 1 PFx轴， 过点A的直线l与线段 1 PF交于点M， 与y轴交于E点.若直线 2 F M 与y
27、轴交点为N，2OEON，则C的离心率为（） A. 1 3 B.2C. 2 3 D. 3 4 【答案】B 【解析】由 1 PFx 轴可令,Mc t,得,0 ,0AaB a.则 AE t k ac ,可得AE的方程为 t yxa ac ,令0 x ,知0, ta E ac ,又0, 2 t N 且2OEON,可得2 2 tat ac ,所以2ca, 即2 c e a .故本题答案选B. 11过抛物线 2 2(0)ypx p焦点的直线l与抛物线交于A、B两点，以AB为直径的圆的方 程为 22 3216xy，则p （） A.2B.1C.2或4D.4 【答案】A 【解析】过抛物线 2 2(0)ypx p
28、焦点的直线l与抛物线交于,A B两点，以AB为直径的圆的方程 为 22 3216xy，可得弦长的坐标横坐标为3，圆的半径为4可得弦长为8，设直线与抛物线的 交横坐标为 12 ,x x则 1212 6,8xxxxp，可得2p ，故选 A. 二、填空题 12已知过点2,0A 的直线与2x 相交于点C，过点2,0B的直线与2x 相交于点D，若直 线CD与圆 22 4xy相切，则直线AC与BD的交点M的轨迹方程为_. 【答案】 2 2 10 4 x yy 【 解 析 】 设 直 线 AC ， BD 的 斜 率 分 别 为 12 ,k k， 则 直 线 AC ， BD 的 方 程 分 别 为 ： 高考数
29、学培优专题库教师版 12 2 ,2ykxykx，据此可得： 12 2,4,2, 4CkDk， 则： 12 12 44 22 CD kk kkk ， 直线 CD 的方程为： 112 42ykkkx， 整理可得： 1212 20kkxykk 直线与圆相切，则： 12 2 12 2 2 1 kk kk ， 据此可得： 12 1 4 k k ， 由于： 12 2 ,2ykxykx， 两式相乘可得： 222 12 1 41 4 yk kxx 即直线AC与BD的交点M的轨迹方程为 2 2 10 4 x yy. C C 组组 一、选择题 1已知, ,A B C是双曲线 22 22 1(0,0) xy ab
30、ab 上的三个点，AB经过原点O,AC经过右焦点 F,若BFAC且2 BFCF,则该双曲线的离心率是（） A. 5 3 B. 29 3 C. 29 2 D. 9 4 【答案】B 【解析】做出如图因为AB经过原点O,AC经过右焦点F, BFAC可得AFBF为矩形，设 AF=a,则=224AFBFmaFCma根据双曲线定义可知 26CFma，在Rt ACF得 2 22222222 4 34(2 )(26 ), 3 a ACAFCFmamamamAFFAFAFFF在中 得 22 2 10429 4 333 aa ce 2已知圆C： 2 2 311xy和两点0At ，0 (0)B tt ，若圆C上存在
31、点P， 使得0PAPB ，则t的最小值为（） A.3B.2C.3D.1 【答案】D 【解析】由题意可得点 P 的轨迹方程是以AB位直径的圆，当两圆外切时有： 2 2 minmin 3111tt ， 即t的最小值为 1. 本题选择 D 选项. 3已知抛物线 2 :(0)C ymx x的焦点为F，点 0,3A若射线FA与抛物线C相交于点M， 与其准线相交于点D，且:1:2FMMD ，则点M的纵坐标为（） A. 1 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 2 3 3 【答案】D 【解析】根据题意画图如下： 高考数学培优专题库教师版 由 1 2 MF MD ，可得 13 ,3,4 2 4 MNDNOA
32、m m MDMNOF ，1, DA AF 所以 3 1 :1 2 2 DA AM MF ， 可得 4 2,4, 3 EFDFMF， 0 4 1, 3 MFx 得 0 1 3 x ， 代入 2 y4x， 得 0 2 3 3 y 。选 D. 4已知,F A分别为双曲线 22 22 1(0,0) xy ab ab 的右焦点和右顶点，过F作x轴的垂线在第一象 限与双曲线交于点P，AP的延长线与双曲线在第一象限的渐近线交于点Q，若 22APAQ ,则 双曲线的离心率为（） A.3B.2C.2 2D.5 【答案】B 【解析】过 Q 作 QRx 轴与 R，如图，由题意设 F（c，0） ， 则由 OA=a 得
33、 AF=c-a，将 x=c 代入双曲线得 P 2 ( ,) b c a ，则直线 AP 的斜率为 2 () b a ca ，所以直线 AP 的方 程为 2 () () b yxa a ca ，与渐近线联立，得 x= ab abc ，所以 AR= 2 = abaca a abcabc ，根据相似 三角形及 22APAQ ，得 AF=22（）AR，即 2 22( 21) acb cabca abc 代 入 222 cab，得2 c a 5已知椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 2 ,F F过 2 F作一条直线（不与x轴垂直）与 椭圆交于,A B两点，如果 1 AB
34、F恰好为等腰直角三角形，该直线的斜率为 A.1B.2C.2D.3 【答案】C 【解析】 设 1 AFm， 则 2 2AFam， 22 222BFABAFmamma， 于 是 12 222242BFaBFamaam， 又 1 90F AB， 所以 1 2BFm， 所以422amm， 22 4 am ， 因此 2 2 2 2 AFamm， 1 21 2 tan2 2 2 AFm AF F AF m ， 直线AB斜率为2， 由对称性，还有一条直线斜率为2，故选 C 6已知双曲线 22 1 22 :1(0,0) xy ab ab 的左、右焦点分别为 1 F、 2 F，椭圆 22 2: 1 86 xy
35、的离 心率为e，直线MN过 2 F与双曲线交于M，N两点，若 112 coscosFMNFF M， 1 1 FM e FN ，则 双曲线 1 的两条渐近线的倾斜角分别为（） 高考数学培优专题库教师版 A.30和150B.45和135C.60和120D.15和165 【答案】C 【解析】解：由题意可知： 1 11 1 1 ,2 2 FM eFMF N F N ， 由 112 coscosFMNFF M，可得： 112 FMNFF M ，即 1121 2 ,4FMFFc FNc， 由双曲线的定义可得： 22 22 ,42MFca MFca， 取 2 MF的中点K，连结 1 KF，则： 2 KMKF
36、ca， 由勾股定理可得： 222 11 FKNKNF，即： 22 22 53416caccac， 整理可得：230caca，由双曲线的性质可得：2 c e a ， 则双曲线 1 的两条渐近线的倾斜角分别为60和120. 本题选择 C 选项. 7已知双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ） ，过其左焦点F作x轴的垂线，交双曲线于A、B两 点，若双曲线的右顶点在以AB为直径的圆内，则双曲线离心率的取值范围是（） A. 3 1, 2 B.1,2C. 3 , 2 D.2, 【答案】D 【解析】AB是双曲线通径， 2 2b AB a ，由题意 2 b ac a ，即 2222 aacbca
37、， 22 20caca，即 2 20ee ，解得2e （1e舍去） ，故选 D 8已知抛物线 2 :4C yx的焦点为F，准线为l，P为C上一点，PQ垂直l于点,Q M N分别 为PQ，PF的中点，MN与x轴相交于点R，若 0 60NRF，则FR等于（） A. 1 2 B. 1C. 2D. 4 【答案】B 【 解 析 】,M N分 别 是,PQ PF的 中 点 ，MNFQ， 且PQx轴 ， 6060NRFFQP ， 由 抛 物 线 定 义 知 ，,PQPFFQP为 正 三 角 形 ， 则 2FMPQQMp，正三角形边长为4， 1 4,2 2 PQFNPF，又可得FRN为正三 角形，2FR，故选
38、 C. 9过双曲线 1 C： 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的左焦点F作圆 2 C： 222 xya的切线，设 切点为M，延长FM交双曲线 1 C于N，若点M为线段FN的中点，则双曲线 1 C的离心率为（） A.5B. 5 2 C.51D. 51 2 【答案】A 【 解 析 】 取 双 曲 线 右 焦 点 1 F, 连 接 1 F N， 由 题 意 可 知 ， 1 NFF为 直 角 三 角 形 ， 且 11 2 ,4 ,2 ,NFa NFa FFc由勾股定理可知， 2 222 2 1644,5,5 c aace a ，选 A. 10已知双曲线 22 22 1 xy ab 的离心
39、率为5，圆心在x轴的正半轴上的圆M与双曲线的渐近线相切， 且圆M的半径为 2，则以圆M的圆心为焦点的抛物线的标准方程为（） A. 2 8 5yxB. 2 4 5yxC. 2 2 5yxD. 2 5yx 【答案】B 【解析】设双曲线渐近线的方程为 b yx a ，圆心坐标为,0c，因为圆与直线相切由点到直线距离 公 式 可 得 22 2 bc ab ， 即2b ， 又 因 为 离 心 率 为 2 4 5 a a ， 可 得 高考数学培优专题库教师版 1,5,5,2 5 2 p acp ，所以抛物线的方程为 2 4 5yx，故选 B. 11已知双曲线 22 22 :1 xy C ab 的右顶点为,
40、A O为坐标原点,以A为圆心的圆与双曲线C的某 一条渐近线交于两点,P Q,若 3 PAQ 且5OQOP ,则双曲线C的离心率为 A.2B. 21 3 C. 7 2 D.3 【答案】B 【解析】 由图知APQ是等边三角形， 设PQ中点是H， 圆的半径为r， 则AHPQ， 3 2 AHr， PQr， 因 为5OQOP ， 所 以 1 4 OPr， 1 2 PHr， 即 113 424 OHrrr， 所 以 2 3 tan 3 AH HOA OH ，即 2 3 3 b a ， 222 22 4 3 bca aa ，从而得 21 3 c e a ，故选 B 12 在 平 面 直 角 坐 标 系xoy
41、中 ， 双 曲 线 22 1 22 :1(0,0) xy Cab ab 的 渐 近 线 与 抛 物 线 2 2: 2(0)Cypx p交于点, ,O A B,若OAB的垂心为 2 C的焦点，则 1 C的离心率为（） A. 3 2 B.5C. 3 5 5 D. 5 2 【答案】C 【 解 析 】 设 11 ,A x y， 11 ,B xy， 2 C焦 点 为,0 2 p F ， 由 题 意0FA OB ， 即 1111 ,0 2 p xyxy ， 所 以 2 111 0 2 p xxy ， 又 2 11 2ypx， 111 20 2 p xxpx ， 1 5 2 p x ， 22 11 5 22
42、5 2 ypxppp， 1 5yp，而 11 b yx a ，即 5 5 2 b p a ， 2 5 5 b a ， 222 22 4 5 bca aa ， 2 2 9 5 c a ，所以 3 5 5 c e a ，故选 C 二、填空题 13 椭圆 22 1 43 xy 的左,右焦点分别为 1 F, 2 F,过椭圆的右焦点 2 F作一条直线l交椭圆于P,Q两 点,则 1 FPQ的内切圆面积最大值是_. 【答案】 9 16 【解析】令直线l：1xmy，与椭圆方程联立消去x得 22 34690mymy，可设 1122 ,P x yQ xy，则 12 2 6 34 m yy m ， 12 2 9 34 y y m 可知 1 2 2 12121212 2 2 11 412 2 34 F PQ m SFFyyyyy y m ，又 2 2 2 2 2 111 1 16 34 916 1 m m m m ， 故 1 3 F PQ S 三角形周长与三角形内切圆的半径的积是三角 形面积的二倍，则内切圆半径 1 2 3 84 F PQ S r ，其面积最大值为 9 16 故本题应填 9 16
