1、高考数学培优专题库教师版 第四十讲第四十讲 圆锥曲线中的定值与定点问题圆锥曲线中的定值与定点问题 一、解答题 1 （2017 年全国 1 卷理）已知椭圆 C： 22 22 =1 xy ab （ab0） ，四点 P1（1,1） ，P2（0,1） ，P3（1， 3 2 ） ， P4（1， 3 2 ）中恰有三点在椭圆 C 上. （1）求 C 的方程； （2）设直线 l 不经过 P2点且与 C 相交于 A，B 两点.若直线 P2A 与直线 P2B 的斜率的和为1，证明：l 过定点. 【解析】 （1）由于 3 P， 4 P两点关于 y 轴对称，故由题设知 C 经过 3 P， 4 P两点. 又由 2222
2、 1113 4abab 知，C 不经过点 P1，所以点 P2在 C 上. 因此 2 22 1 1 13 1 4 b ab ，解得 2 2 4 1 a b . 故 C 的方程为 2 2 1 4 x y. （2）设直线 P2A 与直线 P2B 的斜率分别为 k1，k2， 如果 l 与 x 轴垂直，设 l：x=t，由题设知0t ，且| | 2t ，可得 A，B 的坐标分别为（t， 2 4 2 t ） ， （t， 2 4 2 t ）. 则 22 12 4242 1 22 tt kk tt ，得2t ，不符合题设. 从而可设 l：ykxm（1m ）.将ykxm代入 2 2 1 4 x y得 222 (4
3、1)8440kxkmxm 由题设可知 22 =16(41)0km . 设 A（x1，y1） ，B（x2，y2） ，则 x1+x2= 2 8 41 km k ，x1x2= 2 2 44 41 m k . 而 12 12 12 11yy kk xx 12 12 11kxmkxm xx 1212 12 2(1)()kx xmxx x x . 由题设 12 1kk ，故 1212 (21)(1)()0kx xmxx. 即 2 22 448 (21)(1)0 4141 mkm km kk . 解得 1 2 m k . 当且仅当1m 时，0 ，欲使 l： 1 2 m yxm ，即 1 1(2) 2 m y
4、x ， 所以 l 过定点（2，1） 2已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 过点 3 3, 2 A ，且离心率 1 2 e （12 分） （）求椭圆C的标准方程； （）过点4,0M的直线l与椭圆C交于两点,P Q，过P作PNx轴且与椭圆C交于另一点N， 证明直线NQ过定点，并求出定点坐标。 【解析】 椭圆C的标准方程为 22 1 43 xy ； （）由题知直线l的斜率存在， 设l的方程为4yk x，点 112211 ,P x yQ xyN xy， 则 22 4 3412 yk x xy 得 2 22 34412xkx， 即 2222 343264120kxk xk，0 ， 2
5、12 2 32 34 k xx k ， 2 12 2 6412 34 k x x k ， 由题可得直线QN方程为 21 11 21 yy yyxx xx ， 又 11 4yk x， 22 4yk x， 直线QN方程为 21 11 21 44 4 k xk x yk xxx xx ， 令0y ，整理得 2 12211 1 12 44 8 x xxxx xx xx 1212 12 24 8 x xxx xx 高考数学培优专题库教师版 22 22 2 2 641232 24 3434 32 8 34 kk kk k k 2 22 2 24 34 1 322432 34 k kk k ， 即直线QN过
6、点1,0， 3已知,A B分别是椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的长轴与短轴的一个端点，,E F是椭圆左、右 焦点，以E点为圆心3为半径的圆与以F点为圆心1为半径的圆的交点在椭圆C上，且7AB （I）求椭圆C的方程； （II）若直线ME与x轴不垂直，它与C的另外一个交点为,N M是点M关于x轴的对称点，试判 断直线NM是否过定点，如果过定点，求出定点坐标，如果不过定点，请说明理由 【解析】 （I）由题意得： 22 222 23 14 7 a ab bca ， 解得：2,3ab， 椭圆C的方程为 22 1 43 xy （II）依题意，设直线MN方程为： 1122 10 ,xty
7、tM x yN xy， 则 11 Mxy，且 12 xx联立 22 1 1 43 xty xy ， 得 22 34690tyy， 12 2 2 12 2 6 34 14410, 9 34 t yy t t yy t ， 又直线NM的方程为 211121 xxyyyyxx， 即 21121221 xxyyyxx yx y 而 12211212 2 24 2 34 t x yx ytx yyy t ， 直线NM的方程为 21 2 6 4 34 t xxyx t ， 故直线NM地定点4,0 4在平面直角坐标系xOy中，过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 右焦点F的直线20 xy交 椭
8、圆C于,A B两点 ，P为AB的中点，且OP的斜率为 1 3 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）设过点F的直线l（不与坐标轴垂直）与椭圆C交于,D E两点，问：在x轴上是否存在定 点M，使得MD ME 为定值？若存在，求出点M的坐标；若不存在，请说明理由. 【解析】 (1) 设 112200 ,A x yB xyP xy,则 2222 1122 2222 1,1 xyxy abab ，两式相减得， 12121212 22 0 xxxxyyyy ab ，又 12 12 1 yy xx ，P为AB的中点，且OP的斜 率为 1 3 ，所以 00 1 3 yx，即 1212 1 3 yyxx，所以
9、可以解得 22 3ab，即 222 3aac，即 22 3 2 ac，又因为 2 2,6ca，所以椭圆C的方程为 22 1 62 xy . (2)设 直 线l的 方 程 为2yk x， 代 入 椭 圆C的 方 程 为 22 1 62 xy ， 得 2222 31121260kxk xk，设 3344 ,D x yE xy，则 2 12 2 12 1 3 k xx k . 2 12 2 126 1 3 k x x k ，根据题意，假设x轴上存在定点,0M t，使得MD ME 为定值，则有 33443434 ,MD MExt yxt yxtxty y 22222 34343434 2 2124xt
10、xtkxxkx xktxxkt 222 22 2222 222 312106 12612 124 1 31 31 3 ttkt kk kktkt kkk ，要使上式为定值， 即与k无关，则应 22 3121036ttt，即 7 3 t ，故当点M的坐标为 7 ,0 3 时，MD ME 为 定值. 5已知抛物线的方程为C： 2 4xy，过点0,2Q的一条直线与抛物线C交于,A B两点，若抛物 线在,A B两点的切线交于点P. 高考数学培优专题库教师版 （1）求点P的轨迹方程； （2） 设直线PQ的斜率存在， 取为 PQ k， 取直线AB的斜率为 AB k， 请验证 PQAB kk是否为定值？若是
11、， 计算出该值；若不是，请说明理由. 【解析】 （）由 AB 直线与抛物线交于两点可知，直线 AB 不与 x 轴垂直，故可设 AB l:ykx2， 代入 2 x4y， 整理得： 2 x4ky80.，方程的判别式 2 16k320，故kR时均满足题目要求 记交点坐标为 22 12 12 xx A x ,B x , 44 ，则 12 x ,x为方程的两根， 故由韦达定理可知， 1212 xx4k,x x8 将抛物线方程转化为 2 1 yx 4 ，则 1 yx 2 ，故 A 点处的切线方程为 2 11 1 xx yxx 42 ， 整理得 2 11 xx yx 24 ， 同理可得，B 点处的切线方程为
12、 2 22 xx yx 24 ，记两条切线的交点 pp P x ,y， 联立两条切线的方程，解得点P坐标为 2 121 PP111 xxx x2k,ykxkxkx22 24 ， 故点 P 的轨迹方程为y2 ，xR （）当k0时， PP x0,y2 ，此时直线 PQ 即为 y 轴，与直线 AB 的夹角为 2 当k0时，记直线 PQ 的斜率 PQ 222 k 2k0k ，又由于直线 AB 的斜率为k， PQAB 2 kkk2 k 为定值 6已知点2,3在椭圆E： 22 22 1 xy ab （0ab）上，设A，B，C分别为左顶点、上顶点、 下顶点，且下顶点C到直线AB的距离为 4 7 b. （）求
13、椭圆E的方程； （） 设点 11 ,M x y， 22 ,N xy（ 12 xx） 为椭圆E上两点， 且满足 22 1212 22 a x xb y y OM ON ab ， 求证：MON的面积为定值，并求出该定值. 【解析】 （）由题意，得直线AB的方程为1 xy ab ，点0,Cb， 点C到直线AB的距离 22 2ab d ab 4 7 b，整理，得320ab. 又点2,3在椭圆上， 22 49 1 ab . 联立解得4a ，2 3b ， 椭圆E的方程为 22 1 1612 xy . （ ） 设 直 线MN的 方 程 为ykxm， 代 入 椭 圆 方 程 ， 并 整 理 得 22 348k
14、xkmx 2 4480m. 222 6416 34k mk 2 1248m 22 12 160km， 22 12 160km， 12 2 8 34 km xx k ， 2 12 2 412 34 m x x k ， 121 y ykxm 2 21212 kxmkx xkm xx 22 2 2 348 34 mk m k . 又 1 212 OM ONx xy y ，则由题意，得 1212 x xy y 22 1212 22 a x xb y y ab 1212 1612 16 12 x xy y . 整理，得 1212 340 x xy y，则 2 2 412 34 34 m k 22 2 3
15、48 0 34 mk k ， 整理，得 22 68mk（满足0 ）. 2 1MNk 12 xx 2 1 k 2 1212 4xxx x 22 2 2 2 48 12 16 1 34 km k k 2 1 k 22 2 2 48 2 2 mm m 高考数学培优专题库教师版 2 1 8 3 k m . 又点O到直线MN的距离 2 1 m d k . 1 2 MON SMN d 2 11 8 3 2 k m 2 4 3 1 m k ，为定值. 7已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 2 2 ，且过点 23 , 22 P ，动直线l： ykxm交椭圆C于不同的两点A，B，且
16、0OA OB （O为坐标原点） （1）求椭圆C的方程. （2）讨论 22 32mk是否为定值？若为定值，求出该定值，若不是请说明理由. 【解析】 （1）由题意可知 2 2 c a ，所以 2222 22acab，即 22 2ab， 又点 23 , 22 P 在椭圆上，所以有 22 23 1 44ab ， 由联立，解得 2 1b ， 2 2a ， 故所求的椭圆方程为 2 2 1 2 x y. （2）设 1122 ,A x yB xy，由0OA OB ， 可知 1212 0 x xy y. 联立方程组 2 2 , 1, 2 ykxm x y 消去y化简整理得 222 124220kxkmxm， 由
17、 2222 1681 120k mmk ， 得 22 12km， 所 以 12 2 4 12 km xx k ， 2 12 2 22 12 m x x k ， 又由题知 1212 0 x xy y， 即 1212 0 x xkxmkxm， 整理为 22 1212 10kx xkm xxm. 将代入上式，得 2 22 22 224 10 1212 mkm kkmm kk . 化简整理得 22 2 322 0 12 mk k ，从而得到 22 322mk. 8已知椭圆 22 1 22 1(0) xy Cab ab ：与椭圆 2 2 2 1 4 x Cy：有相同的离心率，且经过点2, 1P. （I）
18、求椭圆 1 C的标准方程； （II）设点Q为椭圆 2 C的下顶点，过点P作两条直线分别交椭圆 1 C于AB、两点，若直线PQ平分 APB，求证：直线AB的斜率为定值，并且求出这个定值. 【解析】 （I）椭圆 22 1 1 82 xy C：； （II）由直线PQ平分APB和0, 1 ,2, 1.00 PQPAPB QPkkk，而由直线:AB ykxm与 22 222 1148480 82 xy kxkmxm ，设 1122 ,A x yB xy，则 2 1212 22 848 , 1414 kmm xxx x kk ，由 121 121 111 00 222 PAPB yykxm kk xxx
19、2 2 1212 2 1 0212410214410 2 kxm kx xmkxxmmkkk x 恒 成立 1 2 k 直线AB的斜率为定值 1 2 9已知椭圆 22 22 :1(0,0) xy Cab ab 右顶点2,0A，离心率 3 2 e （1）求椭圆C的方程； （2）设B为椭圆上顶点，P是椭圆C在第一象限上一点，直线PA与y轴交于点M，直线PB与x 轴交于点N，问PMN与PAB面积之差是否为定值？说明理由 【解析】 ：依题意得 222 2, 3 , 2 , a c a abc 解得 2 1 a b ，则椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y. 高考数学培优专题库教师版 设 0000 ,
20、(0,0)P xyxy，则 22 00 44xy， 0 0 :2 2 y PA yx x ，令0 x 得 0 0 2 2 M y y x ，则 0 0 2 BM1-yy11 2 MM y x , 0 0 1 :1 y PB yx x ，令0y 得 0 0 x 1 N x y ，则 0 0 AN2-xx12 1 NN x y , 11 22 PMNPAB SSANOMOBANBM 22 000000000000 0000000000 2444844488111 212 212222222 xyxyx yxyx yxy yxx yxyx yxy 10平面直角坐标系中，椭圆 22 22 :1(0)
21、xy Cab ab 过点 53 , 22 ，离心率为 2 5 5 . （1）求椭圆C的标准方程； （2）过点2,0K作一直线与椭圆C交于,A B两点，过,A B点作椭圆右准线的垂线，垂足分别为 11 ,A B，试问直线 1 AB与 1 AB的交点是否为定点，若是，求出定点的坐标；若不是，请说明理由. 【解析】 （1）由题意得 222 22 5 53 11 44 2 2 5 5 abc a b ab c c a ，所以椭圆的标准方程为 2 2 1 5 x y. （2）当直线AB的斜率不存在时，准线 1 5 :, 2 l xAB与 1 AB的交点是 9 ,0 4 ； 当直线AB的斜率存在时，设 1
22、122 ,A x yB xy，直线AB为2yk x， 由 2222 22 2 1 5202050 55 yk x kxk xk xy ， 所以 22 1212 22 20205 , 1 51 5 kk xxx x kk ， 12 55 , 22 AyBy ， 所以 1 21 2 1 5 : 5 2 2 AB yy lyxy x ， 1 21 1 2 5 : 5 2 2 A B yy lyxy x 联立解得 2 2 122 2 2 12 2 2052525 45 1 9 1 544 205420 1 5 1 5 k x x k k x kxxk k ， 代入上式可得 22 22 211221 2
23、 111 20205 94 9420 1 51 5 0 104410410 kk kk k xxk xxkx xk kk yy xxx ， 综上，直线 1 AB与 1 AB过定点 9 ,0 4 . 11已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 1 2 ，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与 直线60 xy相切. (1)求椭圆C的方程： (2)设4,0P，AB、是椭圆C上关于x轴对称的任意两个不同的点，连结PB交椭圆C于另一点 E，证明直线AE与x轴相交于定点Q. 【解析】 (1) 1 2 c e a 222 2 22 1 4 cab e aa ，即 22 4 3 ab
24、， 又 6 3 1 1 b ，既 2 3b 2 4a 故椭圆C的方程为 22 1 43 xy . (2)由题意知，直线PB的斜率存在，设其为k，则直线PB的方程为4yk x 由 22 34120 4 xy yk x 可得， 222 433264120kxk xk 设点 1122 ,B x yE xy、，则 11 ,A xy， 2 12 2 32 43 k xx k ， 2 12 2 6412 43 k x x k 由于直线AE的方程为 21 22 21 yy yyxx xx 所以令0y ，可得 2212211212 22 212112 424 448 yxxk xxxx xxx xxx yyk
25、 xk xxx 高考数学培优专题库教师版 带入到上式既可解得1x ，所以直线AE与x轴相交于定点1,0Q. 12如图，在平面直角坐标系中，已知 A、B、C 是椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 上不同的三点， 10 10,2, 2 2 AB ，C 在第三象限，线段 BC 的中点在直线 OA 上。 （1）求椭圆的标准方程； （2）求点 C 的坐标； （3） 设动点 P 在椭圆上 （异于点 A、 B、 C） 且直线 PB，PC 分别交直线 OA 于 M、 N 两点， 证明OM ON 为定值并求出该定值. 【解析】 （1）由已知，得 22 22 10 10 4 1, 44 1, ab ab
26、 解得 2 2 20, 5. a b 所以椭圆的标准方程为 22 1 205 xy （2）设点,C m n(0,0)mn，则BC中点为 22 , 22 mn 由已知，求得直线OA的方程为20 xy，从而22mn 又点C在椭圆上， 22 420mn 由，解得2n （舍） ，1n ，从而4m 所以点C的坐标为4, 1 （3）设 00 ,P xy， 11 2,My y， 22 2,Nyy , ,P B M三点共线， 01 10 22 222 yy yx ，整理，得 00 1 00 2 22 xy y yx ,P C N三点共线， 02 20 11 244 yy yx ，整理，得 00 2 00 4
27、22 xy y yx 点C在椭圆上， 22 00 420 xy， 22 00 204xy 从而 22 0000 00 12 22 000000 245 2 20555 2 44416442 xyx y x y y y xyx yx y 所以 12 25 5 2 OM ONy y OM ON 为定值，定值为 25 2 13 如图，在平面直角坐标系xOy中， 抛物线 2 2ypx（0p ）的准线l与x轴交于点M， 过点M 的直线与抛物线交于AB，两点设 11 A xy（ ， ）到准线l的距离dp（0） （1）若 1 1yd，求抛物线的标准方程； （2）若0AMAB ，求证：直线AB的斜率为定值 【
28、解析】 （1）由条件知，11 2 p A ， 代入抛物线方程得1p 所以抛物线的方程为 2 2yx （2）设 22 B xy（ ， ），直线AB的方程为 2 p yk x 将直线AB的方程代入 2 2ypx，消y得 22 222 20 4 k p k xp kx， 所以 22 1 2 221 2 p kpk x k ， 22 2 2 221 2 p kpk x k 因为dp，所以 1 2 p xp， 又0AMAB ，所以 121 2 p xxx， 所以 2 21 2 21pk pxx k ， 高考数学培优专题库教师版 所以 2 2 22k ， 所以直线AB的斜率为定值 14在直角坐标系xOy中
29、，, ,F A B分别为椭圆 22 22 1(0) xy ab ab 的右焦点、右顶点和上顶点， 若 3 , 2 FAB OFFA S (1)求ab，的值； (2)过点0,2P作直线l交椭圆于,M N两点，过M作平行于x轴的直线交椭圆于另外一点Q,连接 NQ，求证：直线NQ经过一个定点。 【解析】 （1）由题意得： 222 13 2 2 cac ac b acb 解得： 2 3 a b （2）设 1122 ,M x yN xy，直线l的方程为2ykx则 11 ,Qx y 将2ykx代入椭圆方程得 22 341640kxkx（） 1212 22 164 , 3434 k xxx x kk 直线N
30、Q的方程 21 11 21 yy yyxx xx 令0 x 得 21 11 21 yy yyx xx 211212 1212 23 2 2 x yx ykx x y xxxx 所以直线NQ经过定点 3 0 2 （ ，） （注：由对称性可知，若过定点，则必在y轴上） 15已知动圆C过点1,0Q，且在y轴上截得的弦长为2. （）求圆心C的轨迹方程； （）过点1,0Q的直线l交轨迹C于 1122 ,A x yB xy两点，证明： 22 11 QAQB 为定值， 并求出这个定值. 【解析】 （）设动圆圆心C坐标为, x y， 由题意得：动圆半径 2 2 1rxy 圆心到y轴的距离为x， 依题意有 2
31、22 22 11xxy ， 化简得 2 2yx，即动圆圆心C的轨迹方程为： 2 2 .yx （）当直线l的斜率不存在，则直线l的方程为：1x 2 1 2 x yx 得 1,2 ,1,2AB 所以2QAQB，故 22 11 1 QAQB 为定值. 当直线l的斜率存在，则设直线l的方程为：10yk xk， 2 1 2 yk x yx 得 2222 220k xkxk，所以 2 1212 2 22 ,1 k xxxx k ， 即 2222 22 1122 1111 11QAQBxyxy ， 又点 1122 ,A x yB xy在抛物线 2 2yx上，所以 22 122 2 ,2yx yx， 于是 2
32、222 1122 1111 1212QAQBxxxx 22 12 22 2222 12 1212 211 111 xx xxxxxx 22 12 22 12 2 1. 2 xx xx 综合， 22 11 QAQB 为定值，且定值为1. 16 已知点 3,0A， 点P是圆 2 2 316xy上的任意一点， 设Q为该圆的圆心， 并且线段PA 的垂直平分线与直线PQ交于点E. （1）求点E的轨迹方程； （2） 已知,M N两点的坐标分别为2,0，2,0， 点T是直线4x 上的一个动点， 且直线,TM TN 分别交（1）中点E的轨迹于,C D两点（,M N C D四点互不相同） ，证明：直线CD恒过一
33、定点，并求 高考数学培优专题库教师版 出该定点坐标. 【解析】 （）依题意有，4EAQEEQPE， 且4QA ， 所以点E的轨迹方程为： 2 2 1 4 x y （）依题意设直线CD的方程为：xmyn， 代入椭圆方程 22 44xy得： 222 4240mymnyn 且： 12 2 2 4 mn yy m ， 2 12 2 4 4 n y y m 直线TM： 1 1 2 2 y yx x ，直线TN： 2 2 2 2 y yx x 由题知TM，TN的交点T的横坐标为 4，得： 12 12 3 22 yy xx ，即 1221 322yxyx 即： 1221 322y mynymyn，整理得：
34、1221 2232my ynyny 将代入得： 2 11 22 24 2 232 44 m n mn nyny mm 化简可得： 2 1 1240nm nym 当 1 ,m y变化时，上式恒成立，故可得：1n 所以直线CD恒过一定点1,0. 17已知抛物线 2 :4E yx的准线为l，焦点为F，O为坐标原点. （1）求过点,O F，且与l相切的圆的方程； （2）过F的直线交抛物线E于,A B两点，A关于x轴的对称点为A，求证：直线A B过定点. 【解析】 ：解法一： （1）抛物线 2 4Eyx：的准线l的方程为：1x ，焦点坐标为1,0F， 设所求圆的圆心,C a b，半径为r，圆C过,O F
35、， 1 2 a， 圆C与直线:1l x 相切， 13 1 22 r . 由 2 2 13 22 rCOb ，得2b . 过,O F，且与直线l相切的圆的方程为 2 2 19 2 24 xy . （2）依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为1yk x， 11 ,A x y， 22 ,B xy， 12 xx， 11 ,A xy， 联立 2 1 4 yk x yx ，消去y得 2222 240k xkxk. 2 12 2 24k xx k ， 12 1x x . 直线BA的方程为 21 22 21 yy yyxx xx ， 令0y ，得 22121212 2112 121212 112 1 1
36、12 x k xx k xx xxxx yx y x yyk xk xxx . 直线BA过定点1,0, 解法二： （1）同解法一. （2）直线BA过定点1,0M . 证明：依题意知直线AB的斜率存在，设直线AB方程为1yk x， 11 ,A x y， 22 ,B xy， 12 xx， 11 ,A xy， 联立 2 1 4 yk x yx ，消去y得 2222 240k xkxk， 2 12 2 24k xx k ， 12 1x x . 12211212 1212 1111 A MBM yyx yx yyy kk xxxx ， 21121212211212 112222 1 20 x yx yy
37、yk xxk xxk xxkx xkkk. 0 A MBM kk，即 =0 A MBM kk，ABM、 、三点共线，直线BA过定点1,0. 高考数学培优专题库教师版 解法三： （1）同解法一. （2）设直线AB的方程：1xmy， 11 ,A x y， 22 ,B xy，则 11 ,A xy. 由 2 1 4 yk x yx 得， 2 440ymy. 12 4yym， 12 4y y . 2121 22 212121 4 = 44 BA yyyy k yyxxyy ，直线BA的方程为 21 22 21 yy yyxx xx . 2 22122 222 21212121212121 4444444
38、xyy yx yxxyxyxx yyyyyyyyyyyyyy 21 4 1x yy . 直线BA过定点1,0. 18已知点,A B的坐标分别为 2,0 ,2,0，直线,AM BM相交于点M，且它们的斜率之积 是 1 2 ，点M的轨迹为曲线E. （）求E的方程； （）过点1,0F作直线l交曲线E于,P Q两点，交y轴于R点，若 1 RPPF ， 2 RQQF ， 证明： 12 为定值. 【解析】 （）设点,M x y，由已知得 1 2 222 yy x xx ， 化简得点M的轨迹E的方程: 2 2 12 2 x yx . （）设点,P Q R的坐标分别为 11220 ,0,P x yQ xyRy
39、. 由 1 RPPF ，所以 110111 ,1,x yyxy， 所以 01 11 11 , 11 y xy 因为点P在曲线E上，所以 22 01 11 1 1 2 11 y ， 化简得 22 110 4220y， 同理，由 2 RQQF 可得： 02 22 22 , 11 y xy ， 代入曲线E的方程得 22 220 4220y， 由得 12 , 是方程 22 0 4220 xxy的两个实数根(0)， 所以 12 4 . 19已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 2 ，四个顶点构成的菱形的面积是 4，圆 2 22 :1(01)Mxyrr过椭圆C的上顶点A作圆
40、M的两条切线分别与椭圆C相交于,B D两点 （不同于点A） ，直线,AB AD的斜率分别为 12 ,k k. （1）求椭圆C的方程； （2）当r变化时，求 12 k k的值；试问直线BD是否过某个定点？若是，求出该定点；若不是， 请说明理由. 【解析】（1）由题设知， 3 2 c a ， 1 224 2 ab，又 222 abc， 解得2,1ab. 故所求椭圆C的方程是 2 2 1 4 x y. （2） 1 :1AB yk x，则有 1 2 1 1 1 k r k ，化简得 222 11 1210rkkr ， 对于直线 2 :1AD yk x，同理有 222 22 1210rkkr ， 于是
41、12 ,k k是方程 222 1210rkkr 的两实根，故 12 1k k . 考虑到1r 时，D是椭圆的下顶点，B趋近于椭圆的上顶点，故BD若过定点，则猜想 定点在y轴上. 由 1 2 2 1 1 4 yk x x y ，得 22 11 4180kxk x，于是有 22 1122 2222 1122 841841 , 41414141 kkkk BD kkkk . 高考数学培优专题库教师版 直线BD的斜率为 12 3 BD kk k ， 直线BD的方程为 2 1121 22 11 418 41341 kkkk yx kk ， 令0 x ，得 22 11211 22 2 11 1 41820
42、55 4134133 41 kkkkk y kkk ， 故直线BD过定点 5 0, 3 . 20已知椭圆C： 22 22 1(0) xy ab ab 的焦点为 12 ,F F，离心率为 1 2 ，点P为其上动点，且三角 形 12 PFF的面积最大值为3，O为坐标原点. （1）求椭圆的C的方程； （2）若点,M N为C上的两个动点，求常数m，使OM ONm 时，点O到直线MN的距离为定 值，求这个定值. 【解析】 （1）依题意知： 222 3 1 2 cab bc c a 解得 2 3 a b ，所以椭圆的方程为 22 1 43 xy . （2）设 1122 ,M x yN xy，则 1212
43、x xy ym（*） 当直线MN的斜率存在时设其方程为ykxn， 则点O到直线MN的距离 2 2 2 1 1 nn d k k ， 22 3412 xy ykxn 消y，得 222 4384120kxknxn，0 得 22 430kn，则 12 2 8 43 kn xx k ， 2 12 2 412 43 n x x k ，代入（*）式： 22 12121212 1x xkxnkxnkx xkn xxnm，整理得 2 2 22 43 712 11 mk n kk 为常数，则 122 21 0, 77 md，此时 2 2 712 1 n k 满足0 当MNx轴时，由0m 得1 OM k ， 22
44、 3412 xy yx 消y： 2 12 7 x ， 2 21 7 dx亦成 立， 综上：0m ， 2 21 7 d . 21已知动点C到点1,0F的距离比到直线2x 的距离小 1，动点C的轨迹为E. （1）求曲线E的方程； （2）若直线:(0)l ykxm km与曲线E相交于A，B两个不同点，且5OA OB ，证明：直 线l经过一个定点. 【解析】 （1）由题意可得动点C到点1,0F的距离等于到直线1x 的距离， 曲线E是以点1,0为焦点，直线1x 为准线的抛物线， 设其方程为 2 2(0)ypx p，1 2 p ，2p ， 动点C的轨迹E的方程为 2 4yx； （2）设 1122 ,A x
45、 yB xy，由 2 , 4 ykxm yx 得 222 240k xkmxm， 12 2 42km xx k ， 2 12 2 m xx k . 5OA OB ， 1212 x xy y 22 1212 1=kx xkm xxm 2 2 4 5 mkm k ， 22 450mkmk，mk或5mk . 0km ，mk舍去，5mk ，满足16 10km ， 直线l的方程为5yk x， 直线l必经过定点5,0. 22如图，已知直线:1(0)l ykxk关于直线1yx对称的直线为 1 l，直线 1 , l l与椭圆 2 2 :1 4 x Ey分别交于点A、M和A、N，记直线 1 l的斜率为 1 k.
46、 （）求 1 k k的值； （）当k变化时，试问直线MN是否恒过定点? 若恒过定点，求出该定点坐标；若不恒过定点，请 说明理由. 高考数学培优专题库教师版 【解析】 （）设直线l上任意一点,P x y关于直线1yx对称点为 000 ,P xy 直线l与直线 1 l的交点为0,1， 11 :1,:1l ykxlyk x 0 1 0 11,yy kk xx ，由 00 1 22 yyxx 得 00 2yyxx. 由 0 0 1 yy xx 得 00 yyxx.， 由得 0 0 1 1 yx yx 0000 1 00 11121 1 yyyyxxxx kk xxxx . （）设点 1122 ,M x
47、 yN xy，由 1 2 2 1 1 1 1 4 ykx x y 得 22 11 4180kxkx， 2 8 41 M k x k ， 2 2 1 4 41 M k y k . 同理： 1 22 1 88 414 N kk x kk ， 22 1 22 1 1 44 414 N kk y kk 22 42 22 2 22 144 881 414 88 3833 414 MN MN MN kk yykk kk k kk xxkkk kk : MMNM MN yykxx， 22 22 1 418 41341 kkk yx kkk 即： 2 222 2 2 81 11 415 341333 41 k kkk yxx kkkk 当k变化时，直线MN过定点 5 0, 3 .
