1、1 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 5.2.3简单复合函数的导数简单复合函数的导数 课标要求素养要求 能求简单的复合函数(限于形如f(ax b)的导数. 在根据复合函数的求导法则求复合函 数的导数的过程中，发展学生的数学 运算素养. 2 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 新知探究 假设某商品的利润y是销售量u的函数，销售量u是销售价格x的函数，且 yf(u)60uu2，ug(x)603x， 那么，不难看出，利润y是销售价格x的函数，且有 y60uu260(603x)(603x)2180 x9x2， 上式也可这样得到 f(g(x)60g(x)g(x)2180 x9x2. 3
2、 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 问题1函数f(g(x)与f(x)和g(x)是什么关系？ 提示f(g(x)是f(x)与g(x)的复合函数. 问题2求f(u)60uu2的导数f(u)，ug(x)603x的导数ug(x). 提示f(u)602u602(603x)6x60，ug(x)3. 问题3设yf(g(x)180 x9x2，求y，并观察f(u)和ug(x)的关系. 提示y18018x，易知yf(u) ux. 4 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 1.复合函数的概念 一般地，对于两个函数yf(u)和ug(x)，如果通过中间变量u，y可以表示成x的函 数，那么称这个函数为函数y
3、f(u)和ug(x)的复合函数，记作_. 2. 一般地，对于由函数yf(u)和ug(x)复合而成的函数yf(g(x)，它的导数yf(u)， ug(x)的导数间的关系为yx_，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的 导数的乘积. yf(g(x) yuux 复合函数的求导法则 正确地拆分复合函数是求导的前提 5 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 拓展深化 微判断 1.函数f(x)ln(2x1)是由yln u与u2x1复合而成的.( ) 提示f(x)不是复合函数. 3.设f(x)ex，则f(x)ex.( ) 提示f(x)ex. 6 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微训练 1.
4、设f(x)ln(2x1)，则f(x)() 答案B 7 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案B 8 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.曲线f(x)e2x3在(1，f(1)处的切线的斜率是_. 解析f(x)2e2x3，f(1)2e，即k2e. 答案2e 9 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微思考 1.复合函数yf(g(x)，用中间变量yf(u)，ug(x)代换后求导的顺序是什么？ 提示根据复合函数的求导法则yxyuux，求导的顺序是从外向内逐层求导. 10 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 题型一求复合函数的导数 【例1】求下列函数的导数. 11 创
5、新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 (2)设ylog2u，u2x1， 则yxyuux(log2u)(2x1) 12 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 (3)设yeu，u3x2， 则yxyuux(eu)(3x2) 3eu3e3x2， 即y3e3x2. 13 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法(1)求复合函数的导数的步骤 (2)求复合函数的导数的注意点：分解的函数通常为基本初等函数；求导时分清 是对哪个变量求导；计算结果尽量简洁. 14 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 15 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解(1)设yu4，u2x1， 则y
6、xyuux(u4)(2x1)4u328(2x1)3. (2)设y10u，u2x3， 则yxyuux(10u)(2x3)10uln 1022102x3ln 10102x3ln 100. (3)yx(ex)sin 2xex(sin 2x) exsin 2x2excos 2x. 16 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 17 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法解此类问题的关键有两个： (1)求复合函数的导数，这是正确解答的前提条件，要注意把复合函数逐层分解， 求导时不要有遗漏. (2)求切线方程，注意切线所过的点是否为切点. 18 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成
7、 【训练2】已知f(x)为偶函数，当x0时，f(x)ex1x，则曲线yf(x)在点(1， 2)处的切线方程是_. 解析设x0，则x0时，f(x)ex1x. 因此，当x0时，f(x)ex11，f(1)e012. 则曲线yf(x)在点(1，2)处的切线的斜率为f(1)2， 所以切线方程为y22(x1)，即2xy0. 答案2xy0 19 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 20 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法将复合函数的求导与导数的实际意义结合，函数在某点处的导数反映 了函数在该点的瞬时变化率，体现导数揭示物体在某时刻的变化状况. 21 创新设计创新设计 课堂互动课前预
8、习素养达成 【训练3】已知某质点的位移s与位移时间t满足stet1，则质点在t1时的瞬 时速度为_. 解析s(t1)et1，当t1时，s(1)2. 答案2 22 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 一、素养落地 1.通过学习复合函数的求导法则及其简单应用，提升数学运算素养. 2.求复合函数的导数应处理好以下环节： (1)中间变量的选择应是基本函数结构； (2)关键是正确分析函数的复合层次； (3)一般是从最外层开始，由外及里，一层层地求导； (4)善于把一部分表达式作为一个整体； (5)最后要把中间变量换成自变量的函数. 23 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 二、素养训练
9、1.设f(x)sin 2x，则f(x)() A.cos 2x B.2cos 2x C.cos 2x D.2cos 2x 解析f(x)(sin 2x)(2x)2cos 2x. 答案B 24 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2.设f(x)ln(3x2)3x2，则f(0)() 答案B 25 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 解析y(3x1)2， 设yu2，u3x1， yxyuux(u2)(3x1) 26 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.设曲线yeax在点(0，1)处的切线与直线x2y10垂直，则a_. 答案2 27 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 28 本节内容结束
