1、1.4.2 充要条件 第一章 集合与常用逻辑用语 1. 理解充充要条件的意义； 2. 会判断充要条件、充分不必要条件、必 要不充分条件、既不充分也不必要条件. 对充分、必要、充要条件的判断与证明. 对充分、必要、充要条件的判断与证明， 并根据不同条件求参数的值或范围. 命题的充分条件和必要条件的定义？ 如果p可以推出q，则p是q的充分条 件，q是p的必要条件. 定义：命题“若p，则q”的逆命题为“若q，则 p”. （也就是将命题“若p，则q”中的条件p与结论 q互换，得到一个新的命题“若p，则q”，称这 个命题为原命题的逆命题.） 下列“若p，则q”形式的命题中，哪些命题与它 们的逆命题都是真
2、命题？ (1)若两个三角形的两角和其中一角所对的边分 别相等，则这两个三角形全等； 逆命题：若两个三角形全等，则这两个三角 形的两角和其中一角所对的边分别相等； 原命题和逆命题均为真. (2)若两个三角形全等，则这两个三角形的周 长相等； 逆命题：若两个三角形的周长相等，则这两 个三角形全等； 原命题为真，逆命题为假. (3)若一元二次方程ax2+bx+c=0有两个不 相等的实数根，则ac0； 逆命题：若ac0，q：x0，y0； 解：因为xy0时，x0，y0不一定成立 （因为xy0时，也可能x0，yOP=r.所以，除点P外直线l上的点都在 O的 外部，即直线l与 O仅有一个公共点P，所以直线l
3、与 O相切. (2)必要性( )：若直线l与 O相切，不妨设切点为P， 则OPl.因此，d=OP=r. 由(1)(2)可得，d=r是直线l与 O相切的充要条件. 1.设原命题为“若p，则q”，则逆命题为“若q，则p”，得p与q的关系有以下四种情形 原命题逆命题p与q的关系结论 真假，但 p是q的充分不必要条件； q是p的必要不充分条件 假真，但 p是q的必要不充分条件； q是p的充分不必要条件 真真 且 ， 即 p与q互为充要条件 假假且 p是q的既不充分也不必要条件； q是p的既不充分也不必要条件 pqqpqppqpqqppqpqqp pqqp qp pq pq qp pq pqqp 2.充
4、分条件与必要条件的传递性 充分、必要、充要条件都具有传递性，具体如下： (1)若 ， ，则有 ，即p是s的充分条件； (2)若 ， ，则有 ，即p是s的必要条件； (3)若 ， ，则有 ，即p是s的充要条件. pqqsps qp sq sp pqqsps 1. 下列各题中，哪些p是q的充要条件？ （1）p：三角形为等腰三角形，q：三角形存在两角相等； （2）p： O内两条弦相等，q： O内两条弦所对的圆周角相 等； （3）p：AB为空集，q：A与B之一为空集. 解:(1) ，所以p是q的充要条件； (2) O内两条弦相等，它们所对的圆周角相等或互补，因 此， ，所以p不是q的充要条件； (3)
5、取A=1，2，B=3，显然，AB=，但A与B均不为 空集，因此 ，所以p不是q的充要条件. pq pq pq 2.分别写出“两个三角形全等”和“两个三角形相似”的 几个充要条件. 解：“两个三角形全等”的充要条件如下： 三边对应相等；两边及其夹角对应相等；两角及其 夹边对应相等；两角及一角的对边对应相等. “两个三角形相似”的充要条件如下： 三个内角对应相等（或两个内角对应相等）；三边对应 成比例；两边对应成比例且夹角相等. 3. 证明：如图，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为 AC=BD. 证明：（1）必要性： 在等腰梯形ABCD中， AB=CD，ABC=DCB， 又BC=CB， BAC CDB(SAS)， AC=BD. (2)充分性：如图，过点D作DEAC，交BC的延长线与点E. ADBE，DEAC， 四边形ACED是平行四边形，DE=AC. AC=BD，BD=DE，E=1. 又ACDE，2=E，1=2. 在ABC和DCB中， ABC DCB. ABC=DCB. 梯形ABCD为等腰梯形. 由(1)(2)可得，梯形ABCD为等腰梯形的充要条件为AC=BD. , 21, , ACDB BCCB 1. 本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.充要条件的判定？ 3.充分条件，必要条件，充要条件，既不充分也不 必要条件的判定
