1、2.1等式性质与不等式性质 第二章 一元二次函数、方程和不等式 1. 通过具体情境，感受在现实世界和日常生活中存在大 量的数量关系. 2. 了解不等式（组）的实际背景. 3. 了解不等式一些基本的性质. 1. 用不等式（组）表示实际问题中的不等关系，并用不 等式（组）研究含有不等关系的问题. 2. 理解不等式（组）对于刻画不等关系的意义和价值. 用不等式（组）正确表示出不等关系. l事实上，在客观世界中，量与量之间的不等关系 是普遍存在的，我们用数学符号 “”“”“”“”“”连接两个数或代数 式，以表示它们之间的不等关系.含有这些不等号 的式子，叫做不等式. l在上述所有的不等号中，要特别注意
2、“”“” 两个符号的含义.如果a,b是两个实数，那么ab即 为ab或ab；ab即为ab或ab. 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？ (1)某路段限速40km/h； 解：对于(1)，设在该路段行驶的汽车的速度为v km/h， “限速40km/h”就是v的大小不能超过40，于是0v40. (2)某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量f 应该不少于2.5%，蛋白质的含量p应不少于2.3%； 对于(2)，由题意，得 （半个大括号表示同时.） 2.5%, 2.3%. f p (3)三角形两边之和大于第三边、两边之差 小于第三边； 对于(3)，设ABC的三条边为a，b，c， 则abc，
3、abc. (4)连接直线外一点与直线上各点的所 有线段中，垂线段最短. 对于(4)，如图2.1-1，设C是线段AB外的 任意一点，CD垂直于AB，垂足为D，E 是线段AB上不同于D的任意一点，则CD CE. 某种杂志原以每本2.5元的价格销售，可以售出8万本. 据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就可能 减少2000本.如何定价才能使提价后的销售总收入不低 于20万元？ 分析：首先要统一单位，第一句是从“元”到“万”， 所以第二句中的2000应该改为0.2万. 解：设提价后每本杂志的定价为x元，则销售总 收入为 万元.于是，不等关系 “销售总收入不低于20万元”可以用不等式表示 为 求
4、出不等式的解集，就能知道满足条件的杂志 的定价范围. 2.5 80.2 0.1 x x 2.5 80.220. 0.1 x x 初中学过的不等式性质 性质1：不等式两边加（或减）同一个数（或式子）， 不等号的方向不变 性质2：不等式两边乘（或除以）同一个正数，不等号 的方向不变 性质3：不等式两边乘（或除以）同一个负数，不等号 的方向改变 由于数轴上的点与实数一一对应，所以可以利用数轴上点的 位置关系来规定实数的大小关系：如图2.1-2，设a，b是两个 实数，它们在数轴上所对应的点分别是A，B.那么，当点A在 点B的左边时，ab；当点A在点B的右边时，ab.（说明： 当点A与点B重合时，ab）
5、 关于实数a，b大小的比较，有以下基本事实： 如果如果a-b是正数，那么是正数，那么ab；如果；如果a-b等于等于0，那么，那么ab；如果；如果a-b 是负数，那么是负数，那么ab，反过来也对，反过来也对. 这个基本事实可以表示为 ； ； . 从上述基本事实可知，要比较两个实数的大小，可以转化为比较 它们的差与0的大小. 0abab 0abab 0abab 总结： 1. 要比较两个实数的大小，可以考察这两个 实数的差，这是我们研究不等关系的一个出 发点. 2. 差大于0时，被减数不大于减数；差等于0 时，被减数等于减数；差小于0时，被减数小 于减数. 例1 比较(x+2)(x+3)和(x+1)
6、(x+4)的大小. 分析：通过考察这两个多项式的差与0的大小关系， 可以得出它们的大小关系. 解：因为(x+2)(x+3)(x+1)(x+4) =(x+5x+6)(x+5x+4) =20， 所以(x+2)(x+3)(x+1)(x+4). 这里，我们借助多项式减法运算，得出了一个明显大于 0的数(式).这是解决不等式问题的常用方法（也叫作差 法）. 图2.1-3是在北京召开的第24届国际数学家大会的会标，会标 是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它 看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.你能在这个图中 找出一些相等关系和不等关系吗？ 答：相等关系为直角三角形为等腰直角三角形时，4
7、个三角 形的面积和等于正方形的面积. 不等关系为直角边不相等时，4个三角形的面积和小于 正方形的面积. 将图中2.1-3中的“风车”抽象成图2.1-4在正方形ABCD中有 4个全等的直角三角形.设直角三角形的两条直角边的长为a， b（ab），那么正方形的边长为 .这样，4个直角三 角形的面积和为2ab，正方形的面积为a+b.由于正方形 ABCD的面积大于4个直角三角形的面积和，我们就得到了一 个不等式a+b2ab. 22 ab 当直角三角形变为等腰直角三角形，即ab时，正方形 EFGH缩为一个点，这时有a+b=2ab. 于是就有a+b2ab. 一般地， ，有a+b2ab 当且仅当ab时，等号成
8、立. 事实上，利用完全平方差公式，得a+b-2ab=(a-b). 因为 ，(a-b) 0，当且仅当ab时，等号成立， 所以a+b-2ab0.因此，由两个实数大小关系的基本事实， 得a+b2ab，当且仅当a=b时，等号成立. , a bR , a bR 性质1 如果ab，那么ba；（对称性） 性质2 如果ab，bc，那么ac；（传递性） 性质3 如果ab，那么acbc；（同加性，同减性） 性质4 如果ab，那么acbc；（同乘性） 性质5 如果ab，c0，那么 .（同除性） ab cc 可以发现，性质1，2反映了相等关系自身的特性，性质3， 4，5是从运算的角度提出的，反映了等式在运算中保持的
9、不变形. 由性质3可进一步得到，如果ab，cd，那么acbd； 由性质4可进一步得到，如果ab，cd，那么acbd； 以及ab可得到anbn（n2，nN） 类比等式的性质1,2，可以猜想不等式有如下性质： 性质性质1 如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即 性质性质2 如果ab，bc，那么ac.即 . abba ,ab bcac 性质性质2 如果ab，bc，那么ac.即 .,ab bcac 证明：由两个实数大小关系的基本事实知 说明：如果性质2中的两个不等式只有一个带等号，那么等号是 传递不过去的.例如：如果ab且bc，那么ac；如果ab，且 bc，那么ac.如果两个不等式都带有等号，即若
10、ab且bc，则 ac，其中ac时必须有ab且bc，否则ac不成立. 0 ()()00. 0 abab abbcacac bcbc 性质性质3 如果ab，那么a+cb+c. 性质性质4 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0， 那么acbc. 性质性质5 如果ab，cd，那么a+cb+d. 类比等式的性质35，可以猜想不等式还有如下性质： 性质性质3 如果ab，那么a+cb+c. 文字语言：不等式的两边都加上同一个实数，所得不等式与 原不等式同向. 如图2.1-5，把数轴上的两个点A与B同时沿相同方向移动相等 的距离，得到另两个点A1与B1，A与B和A1与B1的左右位置关系 不会改变.用不
11、等式的语言表示，就是上述性质3. 由性质3可得， 这表明，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一 边. ()().abcabbcbacb 性质性质4 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么 acbc. 文字语言：不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式 同向；不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原 不等式反向. 利用这些基本性质，我们还可以推导出其他一些常用的不 等式性质.例如，利用性质2,3可以推出： 性质性质5 如果ab，cd，那么a+cb+d. 事实上，由ab和性质3，得a+cb+c；由cd和性质3， 得b+cb+d.在根据性质2，即得a+cb+d. 说明：(1)
12、性质5称为不等式的同向可加性 (2)性质5说明，两个同向不等式相加，所得不等式与原 不 等式同向. (3)性质5可简记为：“大+大小+小” (4)这一性质可以推广到任意有限个同向不等式两边分别相 加，即若a1b1，a2b2，anbn，nN*，则 a1+a2+anb1+b2+bn.这就是说，两个或者更多个同向 不等式两边分别相加，所得不等式与原不等式同向. 利用性质4和性质2可以推出： 性质性质6 如果ab0，cd0，那么acbd. 说明：(1)它可以推广到任意有限个同向不等式两边分别 相乘，即若a1b10，a2b20，anbn0， nN*，则a1a2anb1b2bn. (2)性质6说明，两边都
13、是正数的同向不等式两边分别 相乘，所得的不等式和原不等式同向. 性质性质7 如果ab0，那么anbn（nN，n2）. 说明：当不等式的两边都是正数时，不等式两边同时乘方所得 的不等式和原不等式同向. 证明：因为 个，根据性质6，得anbn. 0, 0, 0, ab ab n ab L 例2 已知ab0，c0，求证 分析：要证明 ，因为c0，所以可以先证明 利用已知ab0和性质3，即可证明 证明：因为ab0，所以ab0， 于是 ， 即 由c0，得 . cc ab cc ab 11 . ab 11 . ab 1 0. ab 11 ab abab gg 11 . ba . cc ab 1. 用不等式
14、或不等式组表示下面的不等关系： (1)某高速公路规定通过车辆的车货总高度h从地面算起不能超 过4m； 注意：限高、限速、限重实质上是“不超过”，但需要注意 实际意义. 解：（1）0h4； 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系： (2)a与b的和是非负实数； 注意：“非负数”是“大于或等于0的数”，“非正数”是 “小于或等于0的数” 解：（2）a+b0； 1. 用不等式或不等式组表示下面的不等关系： (3)如图，在一个面积小于350m2的矩形地基的中心位置上建 造一个仓库，仓库的四周建成绿地，仓库的长L大于宽W的4倍. 解：（3） 4, (10)(10)350. LW LW 2.比较(x+
15、3)(x+7)和(x+4)(x+6)的大小. 解：因为 (x+3)(x+7)(x+4)(x+6) (x2+10 x+21)(x2+10 x+24) 30， 所以(x+3)(x+7) (x+4)(x+6). 3. 已知ab，证明 证明：因为ab，所以a-b0，b-a0，所以 所以 因为 所以 综上知，ab时， . 2 ab ab 2() 0, 222 abaabab a . 2 ab a ()2 0, 222 ababbab b . 2 ab b . 2 ab ab 4.证明不等式性质1，3，4，6. 证明: (1)ab，a-b0，(ab)0， ba0，ba. (2)ba，ba0，(ba)0，a
16、b0， ab. 由(1)(2)知不等式性质1成立. 性质性质1 如果ab，那么ba；如果ba，那么ab.即abba 4.证明不等式性质1，3，4，6. 证明：因为ab，所以ab0. 因此(a+c)(b+c)=a+c-b-c=a-b0, 即(a+c)-(b+c) 0.因此a+cb+c. 性质性质3 如果ab，那么a+cb+c. 4.证明不等式性质1，3，4，6. 证明: (1) (2)ab，a-b0.又c0，根据异号相乘得负， 性质性质4 如果ab，c0，那么acbc；如果ab，c0，那么 acbc. ,00,0()0.ab cabcab cacbcacbc ()0.ab cacbc 4.证明不等式性质1，3，4，6. 证明：因为ab，c0，所以acbc. 又因为cd，b0，所以bcbd. 根据不等式的传递性，得acbd. 性质性质6 如果ab0，cd0，那么acbd. 5.用不等号“”“”“”“”“,即 0,. cc c ab Q 1.本节课我们主要学习了哪些内容？ 2.不等关系的表示； 3.一个重要的不等式； 4.等式、不等式的性质.
