1、第六章6.3二项式定理 6.3.2二项式系数的性质 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 学习目标 XUE XI MU BIAO 1.理解二项式系数的性质. 2.会用赋值法求展开式系数的和. 内 容 索 引 知识梳理 题型探究 随堂演练 课时对点练 1知识梳理 PART ONE 知识点二项式系数的性质 对称性 在(ab)n的展开式中，与首末两端“ ”的两个二项式系数相等， 即 _ 增减性 与最 大值 增减性：当k 时，二项式系 数是逐渐 .最大值：当n为偶数时，中间一项的二项式系数_最大； 当n为奇数时，中间两项的二项式系数_，_相等，且同时取得 最大值 各二项 式系数
2、 的和 1 2 C n n 1 2 C n n 2 C n n 等距离 增大的 减小的 2n 2n1 思考若(ab)n的展开式中第5项的二项式系数最大，则n的值可以 为多少？ 答案n7或8或9. 思考辨析 判断正误 SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU 2.二项展开式中各项系数和等于二项式系数和.() 4.二项展开式中系数最大项与二项式系数最大项相同.() 2题型探究 PART TWO 一、二项展开式的系数和问题 例1已知(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5.求下列各式的值： (1)a0a1a2a5； 解令x1，得a0a1a2a51. (2)|a
3、0|a1|a2|a5|； 解令x1，得35a0a1a2a3a4a5. 知a1，a3，a5为负值， 所以|a0|a1|a2|a5|a0a1a2a3a4a535243. 解由a0a1a2a51， a0a1a2a535， 得2(a1a3a5)135， (3)a1a3a5. 解因为a0a1a2a51， a0a1a2a535. 延伸探究 在本例条件下，求下列各式的值： (1)a0a2a4； 解因为a0是(2x1)5的展开式中x5的系数， 所以a02532. 又a0a1a2a51， 所以a1a2a3a4a531. (2)a1a2a3a4a5； 解因为(2x1)5a0 x5a1x4a2x3a3x2a4xa5
4、， 所以两边求导数得 10(2x1)45a0 x44a1x33a2x22a3xa4. 令x1得5a04a13a22a3a410. (3)5a04a13a22a3a4. 反思 感悟 二项展开式中系数和的求法 (1)对形如(axb)n，(ax2bxc)m(a，b，cR，m，nN*) 的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x 1即可，对(axby)n(a，bR，nN*)的式子求其展开式的 各项系数之和，只需令xy1即可. (2)一般地，若f(x)a0a1xa2x2anxn，则f(x)展开式中 各项系数之和为f(1)， 跟踪训练1已知(x22x3)10a0a1(x1)a2(x1)2a20(
5、x1)20. (1)求a2的值； 解(x22x3)10a0a1(x1)a2(x1)2a20(x1)20， 令x1t，展开式化为(t24)10a0a1ta2t2a20t20. 6 (2)求a1a3a5a19的值； (3)求a0a2a4a20的值. 解令t1，得a0a1a2a20310， 令t1，得a0a1a2a20310， a1a3a5a190. 解由(2)得a0a2a4a20310. 二、二项式系数性质的应用 例2已知f(x)( 3x2)n的展开式中各项的系数和比各项的二项式 系数和大992. (1)求展开式中二项式系数最大的项； 解令x1，则二项式各项系数的和为f(1)(13)n4n， 又展
6、开式中各项的二项式系数之和为2n. 由题意知，4n2n992. (2n)22n9920， (2n31)(2n32)0， 2n31(舍去)或2n32，n5. 由于n5为奇数， 展开式中二项式系数最大的项为中间的两项， 2 3 x 2 3 x 22 3 270 x (2)求展开式中系数最大的项. 2 (5 2 ) 3 k x kN，k4， 2 3 x 26 3 405x 反思 感悟 (1)二项式系数最大的项的求法 求二项式系数最大的项，根据二项式系数的性质对(ab)n中 的n进行讨论. 当n为奇数时，中间两项的二项式系数最大； 当n为偶数时，中间一项的二项式系数最大. (2)展开式中系数的最大项的
7、求法 求展开式中系数的最大项与求二项式系数最大项是不同的，需 要根据各项系数的正、负变化情况进行分析.如求(abx)n(a， bR)的展开式中系数的最大项，一般采用待定系数法.设展开式 中各项系数分别为A0，A1，A2，An，且第k1项最大，应用 跟踪训练2已知 (nN*)的展开式中第5项的系数与第3项的 系数的比是101. (1)求展开式中各项系数的和； 5 2 nk x 10 2 n x 5 2 n x n25n240，解得n8或n3(舍去). 即所求各项系数的和为1. (2)求展开式中含 的项； 3 2 x 8 5 2 k x 展开式中含 的项为 3 2 x 3 2 x 3 2 16x
8、(3)求展开式中系数的绝对值最大的项. 若第k1项的系数绝对值最大， 故系数的绝对值最大的项为第6项和第7项， 即T61 792，T71 792x11. 17 2 x 3随堂演练 PART THREE 12345 1.已知(ax1)n的展开式中，二项式系数的和为32，则n等于 A.5 B.6 C.7 D.8 12345 2.(多选) 的展开式中二项式系数最大的项是 A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项 即第6项和第7项的二项式系数相等，且最大. 12345 3.设(2x)6a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6，则a0a1a2a3 a4a5a6等于 A.4 B.71 C.64
9、D.199 解析(2x)6a0a1(1x)a2(1x)2a6(1x)6， 令x0，a0a1a2a3a4a5a62664. 12345 4. 的展开式的各项系数的和为_.0 12345 5.(2x1)6的展开式中各项系数的和为_；各项的二项式系数的和 为_. 1 64 解析令x1，得各项系数的和为1； 各二项式系数之和为2664. 1.知识清单： (1)二项式系数的性质. (2)赋值法求各项系数的和. 2.方法归纳：一般与特殊、函数与方程. 3.常见误区：赋值时应注意展开式中项的形式，杜绝漏项. 课堂小结 KE TANG XIAO JIE 4课时对点练 PART FOUR 1.在(ab)n的二项
10、展开式中，与第k项的二项式系数相同的项是 A.第nk项 B.第nk1项 C.第nk1项 D.第nk2项 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 故第nk2项的二项式系数与第k项的二项式系数相同. 2.已知(1x)n的展开式中只有第6项的二项式系数最大，则展开式中的 奇数项的二项式系数之和为 A.212 B.211 C.210 D.29 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析展开式中只有第6项的二项式系数最大， n10， 奇数项的二项式系数之和等于偶数项的二项式系数之和， 12345678910 11 12 13 14 15 16 3.(1
11、x)(1x)2(1x)n的展开式中各项系数之和为 A.2n1 B.2n1 C.2n11 D.2n12 解析令x1， 则2222n2n12. 12345678910 11 12 13 14 15 16 4.(x1)11的展开式中x的偶次项系数之和是 A.2 048 B.1 023 C.1 024 D.1 024 x的偶次项系数为负数，其和为2101 024. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.在的展开式中，所有奇数项系数之和为1 024，则中间 项系数是 A.330 B.462 C.682 D.792 解析二项展开式中所有项的二项式系数之和为2n， 而所有偶数项的二
12、项式系数之和与所有奇数项的二项式系数之和相等， 故由题意得2n11 024，n11， 12345678910 11 12 13 14 15 16 6.若(x3y)n的展开式中各项系数的和等于(7ab)10的展开式中二项式 系数的和，则n的值为_. 5 令(x3y)n中xy1， 则由题设知，4n210，即22n210，解得n5. 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.(2x1)10的展开式中x的奇次幂项的系数之和为_. 解析设(2x1)10a0a1xa2x2a10 x10， 令x1，得a0a1a2a101，再令x1， 得310a0a1a2a3a10， 123456789
13、10 11 12 13 14 15 16 8.已知(1x)5a0a1xa2x2a3x3a4x4a5x5，则(a0a2a4)(a1a3 a5)的值等于_. 256 解析令x1，得a0a1a2a3a4a50， 令x1，得a0a1a2a3a4a52532， 两式相加可得2(a0a2a4)32， 两式相减可得2(a1a3a5)32， 则a0a2a416，a1a3a516， 所以(a0a2a4)(a1a3a5)256. 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.在二项式(2x3y)9的展开式中，求： (1)二项式系数之和； 解设(2x3y)9a0 x9a1x8ya2x7y2a9y9
14、. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)各项系数之和； 解各项系数之和为a0a1a2a9， 令x1，y1， 所以a0a1a2a9(23)91. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (3)所有奇数项系数之和. 解令x1，y1，可得 a0a1a2a959， 又a0a1a2a91， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (1)若展开式中第5项、第6项、第7项的二项式系数成等差数列，求展开 式中二项式系数最大的项的系数； 12345678910 11 12 13 14 15 16 即n221n980，解得n7或n14. 当n7
15、时展开式中二项式系数最大的项是第4项和第5项， 当n14时，展开式中二项式系数最大的项是第8项， 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)若展开式中前三项的二项式系数之和等于79，求展开式中系数最大 的项. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解得n13(舍去)或n12. 设Tk1项的系数最大， 又0kn，kN，k10. 展开式中系数最大的项是第11项， 综合运用 12345678910 11 12 13 14 15 16 11.(13x)n的展开式中x5与x6的系数相等，则含x4项的二项式系数为 A.21 B.35 C.45 D.28 123
16、45678910 11 12 13 14 15 16 12.在(1x)5(1x)6(1x)7的展开式中，x4的系数是首项为2，公 差为3的等差数列的 A.第11项 B.第13项 C.第18项 D.第20项 以2为首项，3为公差的等差数列的通项公式为an23(n1)3n5， 令an55，即3n555，解得n20. 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.(多选)设二项式 的展开式中第5项是含x的一次项，那么这个 展开式中系数最大的项是 A.第8项 B.第9项 C.第10项 D.第11项 4 4 3 n x 所以展开式中系数最大的项是第10项和第11项.故选CD. 123
17、45678910 11 12 13 14 15 16 14.设m为正整数，(xy)2m的展开式中二项式系数的最大值为a，(x y)2m1的展开式中二项式系数的最大值为b，若13a7b，则m_. 6 拓广探究 12345678910 11 12 13 14 15 16 15.(多选)(1axby)n的展开式中不含x的项的系数的绝对值的和为243， 不含y的项的系数的绝对值的和为32，则a，b，n的值可能为 A.a1，b2，n5 B.a2，b1，n6 C.a1，b2，n6 D.a1，b2，n5 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析只要令x0，y1，即得到(1axby)n
18、的展开式中不含x的项的 系数的和为(1b)n， 令x1，y0，即得到(1axby)n的展开式中不含y的项的系数的和为 (1a)n. 如果a，b是正值，这些系数的和也就是系数绝对值的和， 如果a，b中有负值，相应地，分别令y1，x0； x1，y0. 此时的和式分别为(1b)n，(1a)n， 由此可知符合要求的各项系数的绝对值的和为(1|b|)n，(1|a|)n. 根据题意得，(1|b|)n24335，(1|a|)n3225， 因此n5，|a|1，|b|2.故选AD. 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.已知(1m )n(m是正实数)的展开式的二项式系数之和为256，展开 式中含有x项的系数为112. (1)求m，n的值； 解由题意可得2n256，解得n8， 2 k x 解得m2或m2(舍去). 故m，n的值分别为2,8. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)求展开式中偶数项的二项式系数之和； 本课结束 更多精彩内容请登录：
