1、1 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 第二课时等差数列的性质及实际应用第二课时等差数列的性质及实际应用 课标要求素养要求 1.能根据等差数列的定义推出等差数列 的性质，并能运用这些性质简化运算. 2.能在具体的问题情境中，发现数列的 等差关系，并解决相应的问题. 通过推导等差数列的性质及其应用，提 升学生的数学抽象和逻辑推理素养，通 过利用等差数列的相关公式解决实际应 用问题，提升学生的数学建模和数学运 算素养. 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 2 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 新知探究 请同学们思考以下问题： 若等差数列an为1，3，5，
2、7，2n1，则数列an2，2an是等差数列吗？ 提示因为等差数列的通项为an2n1，则an22n122n1，2an2(2n 1)4n2，可判断数列an2，2an都是等差数列，一般地，若an为等差数 列，则anc，can也是等差数列，你还知道等差数列的其他性质吗？ 3 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 1.等差数列通项公式的变形及推广 4 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2.若an，bn分别是公差为d，d的等差数列，则有 数列结论 can公差为d的等差数列(c为任一常数) can公差为cd的等差数列(c为任一常数) anank公差为2d的等差数列(k为常数，kN*) pan
3、qbn公差为pdqd的等差数列(p，q为常数) 5 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.等差数列的项的对称性 在有穷等差数列中，与首末两项“等距离”的两项之和等于首项与末项的和， 即a1ana2an1a3an2. 4.下标性质 在等差数列an中，若mnpq(m，n，p，qN*)，则_. 特别的，若mn2p(m，n，pN*)，则有_. amanapaq aman2ap 6 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 拓展深化 微判断 1.等差数列an中，必有a10a1a9.( ) 提示反例：ann1，a109，a1a98，不满足a10a1a9. 2.若数列a1，a2，a3，a4，是等
4、差数列，则数列a1，a3，a5，也是等差数列.( ) 3.若数列a1，a3，a5，和a2，a4，a6都是公差为d的等差数列，则a1，a2，a3也是 等差数列.( ) 提示反例：设两数列为1，3，5，4，6，8，显然1，4，3，6，5， 8，不是等差数列. 4.若数列an为等差数列，则an1an12d，n1，且nN*.( ) 7 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 微训练 1.在等差数列an中，a1018，a22，则公差d() A.1 B.2 C.4 D.6 解析由题意知a10a28d，即8d16，d2. 答案B 8 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 2.已知等差数列an满足a
5、1a2a3a1010，则有() A.a1a1010 B.a2a1010， 此等差数列为1，2，5，8或8，5，2，1. 20 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【迁移】已知单调递增的等差数列an的前三项之和为21，前三项之积为231， 求数列an的通项公式. 21 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 由于数列an为单调递增数列， 22 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法等差数列项的常见设法 (1)通项法：设数列的通项公式，即设ana1(n1)d. (2)对称项设法：当等差数列an的项数为奇数时，可设中间一项为a，再以公差 为d向两边分别设项：，a2d，ad，
6、a，ad，a2d，；当等差数列an 的项数为偶数时，可设中间两项分别为ad，ad，再以公差为2d向两边分别设 项：，a3d，ad，ad，a3d，. 对称项设法的优点是：若有n个数构成等差数列，利用对称项设法设出这个数列， 则其各项和为na. 23 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练3】已知四个数成等差数列，它们的和为26，中间两项的积为40，求这 四个数. 解法一设此等差数列的首项为a1，公差为d. 所以这四个数分别为2，5，8，11或11，8，5，2. 24 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 所以所求四个数为2，5，8，11或11，8，5，2. 25 创新设计创新设
7、计 课堂互动课前预习素养达成 26 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 已知易经中记录的冬至晷影长为130.0寸，夏至晷影长为14.8寸，那么易经 中小寒与清明之间的晷影长之差为() A.105.6寸 B.48寸C.57.6寸 D.67.2寸 节气冬至 小寒 (大雪) 大寒 (小雪) 立春 (立冬) 雨水 (霜降) 惊蛰 (寒露) 春分 (秋分) 晷影长/寸135.0125.115.1105.295.385.475.5 节气 清明 (白露) 谷雨 (处暑) 立夏 (立秋) 小满 (大暑) 芒种 (小暑) 夏至 晷影长/寸65.555.645.735.825.916.0 27 创新设计创
8、新设计 课堂互动课前预习素养达成 答案C 28 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 规律方法解决等差数列实际应用问题的步骤及注意点(1)解答数列实际应用问 题的基本步骤：审题，即仔细阅读材料，认真理解题意；建模，即将已知条 件翻译成数学(数列)语言，将实际问题转化成数学问题；判型，即判断该数列 是否为等差数列；求解，即求出该问题的数学解；还原，即将所求结果还原 到实际问题中. (2)在利用数列方法解决实际问题时，一定要弄清首项、项数等关键问题. 29 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 【训练4】假设某市2020年新建住房400万平方米，预计在今后的若干年内，该 市每年新建住房
9、面积均比上一年增加50万平方米.那么该市在_年新建 住房的面积开始大于820万平方米. 答案2 029 30 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 31 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.等差数列an中，每隔相同的项抽出来的项按照原来的顺序排列，构成的新数 列仍然是等差数列. 4.等差数列an中，若mnpq，则anamapaq(n，m，p，qN*)，特别 地，若mn2p，则anam2ap. 32 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 二、素养训练 1.在等差数列an中，已知a310，a820，则公差d等于() A.3 B.6 C.4 D.3 答案B 33 创新设计创新
10、设计 课堂互动课前预习素养达成 2.在等差数列an中，a12，a3a510，则a7等于() A.5 B.8 C.10 D.14 解析法一设等差数列的公差为d，则a3a52a16d46d10，所以d 1，a7a16d268. 法二由等差数列的性质可得a1a7a3a510，又a12，所以a78. 答案B 34 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 3.在等差数列an中，a1a52，a3a78，则a11a15_. 答案32 35 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 4.在等差数列an中，已知5是a3和a6的等差中项，则a1a8_. 解析由题意知a3a610，故a1a8a3a610. 答案10 36 创新设计创新设计 课堂互动课前预习素养达成 5.三个数成等差数列，这三个数的和为6，三个数之积为24，求这三个数. 所求三个数为2，2，6或6，2，2. 37 本节内容结束
