1、章末复习课 第七章随机变量及其分布 本资料分享自千人QQ群323031380 期待你的加入与分享 内 容 索 引 知识网络 考点突破 真题体验 1知识网络 PART ONE 2考点突破 PART TWO 一、条件概率与全概率公式 1.求条件概率有两种方法：一种是基于样本空间，先计算P(A)和P(AB)， 再利用P(B|A) 求解；另一种是缩小样本空间，即以A为样本空间计 算AB的概率. 2.掌握条件概率与全概率运算，重点提升逻辑推理和数学运算的核心素养. 例1甲、乙、丙三人同时对飞机进行射击，三人击中的概率分别为 0.4,0.5,0.7.飞机被一人击中而击落的概率为0.2，被两人击中而击落的概
2、 率为0.6，若三人都击中，飞机必定被击落，求飞机被击落的概率. 解设B“飞机被击落”，Ai“飞机被i人击中”，i1,2,3， 则BA1BA2BA3B， 依题意，P(B|A1)0.2，P(B|A2)0.6，P(B|A3)1. 由全概率公式P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3)， 为求P(Ai)，设Hi“飞机被第i人击中”，i1,2,3，可求得： P(A3)P(H1H2H3)， 将数据代入计算得P(A1)0.36，P(A2)0.41，P(A3)0.14， 于是P(B)P(A1)P(B|A1)P(A2)P(B|A2)P(A3)P(B|A3) 0.360.2
3、0.410.60.1410.458. 即飞机被击落的概率为0.458. 反思 感悟 条件概率的计算要注意以下三点 (1)明白是在谁的条件下，计算谁的概率. (2)明确P(A)，P(B|A)以及P(AB)三者间的关系，实现三者间的 互化. (3)理解全概率公式P(A) (Bi)P(A|Bi)中化整为零的计算思想. 跟踪训练1抛掷红、黄两颗骰子，当红色骰子的点数为4或6时，两颗骰 子的点数之积大于20的概率是 解析记事件A“红色骰子的点数为4或6”， 事件B“两颗骰子的点数之积大于20”. 二、n重伯努利试验及二项分布 1.n重伯努利试验是相互独立事件的延伸，其试验结果出现的次数X B(n，p)，
4、即P(Xk)C pk(1p)nk. 2.学习该部分知识重点提升数学建模及数学运算的核心素养. 例2在一次抗洪抢险中，准备用射击的办法引爆从上游漂流而下的一 个巨大汽油罐，已知只有5发子弹，第一次命中只能使汽油流出，第二次 命中才能引爆，每次射击是相互独立的，且命中的概率都是 . (1)求油灌被引爆的概率； 解油罐引爆的对立事件为油罐没有引爆，没有引爆的可能情况是射 击5次只击中一次或一次也没有击中， 所以所求的概率为 (2)如果引爆或子弹打光则停止射击，设射击次数为，求不小于4的概率. 解当4时，记事件为A， 当5时，意味着前4次射击只击中一次或一次也未击中，记为事件B. 所以所求概率为 反思
5、 感悟 与二项分布有关的问题关键是二项分布的判定，可从以下几 个方面判定 (1)每次试验中，事件发生的概率是相同的. (2)各次试验中的事件是相互独立的. (3)每次试验只有两种结果：事件要么发生，要么不发生. (4)随机变量是这n重伯努利试验中某事件发生的次数. 跟踪训练2一家医药研究所从中草药中提取并合成了甲、乙两种抗“H 病毒”的药物，经试验，服用甲、乙两种药物痊愈的概率分别为 ，现 已进入药物临床试用阶段，每个试用组由4位该病毒的感染者组成，其中 2人试用甲种抗病毒药物，2人试用乙种抗病毒药物，如果试用组中，甲 种抗病毒药物治愈人数超过乙种抗病毒药物的治愈人数，那么称该组为 “甲类组”
6、. (1)求一个试用组为“甲类组”的概率； 解设Ai表示事件“一个试用组中，服用甲种抗病毒药物有效的有i人”， i0,1,2， Bj表示事件“一个试用组中，服用乙种抗病毒药物有效的有j人”，j 0,1,2， 故一个试用组为“甲类组”的概率为PP(B0A1)P(B0A2)P(B1A2) (2)观察3个试用组，用表示这3个试用组中“甲类组”的个数，求的 分布列和均值. 故的分布列为 三、离散型随机变量的均值与方差 1.均值和方差都是随机变量的重要的数字特征，方差是建立在均值的基 础之上，它表明了随机变量所取的值相对于它的均值的集中与离散程 度，二者的联系密切，在现实生产生活中的应用比较广泛. 2.
7、掌握均值和方差的计算，重点提升逻辑推理和数据分析的核心素养. 例3某联欢晚会举行抽奖活动，举办方设置了甲、乙两种抽奖方案， 方案甲的中奖率为 ，中奖可以获得2分；方案乙的中奖率为 ，中奖可以 得3分；未中奖则不得分.每人有且只有一次抽奖机会，每次抽奖中奖与 否互不影响，晚会结束后凭分数兑换奖品. (1)若小明选择方案甲抽奖，小红选择方案乙抽奖，记他们的累计得分为 X，求X3的概率； 记“这2人的累计得分X3”的事件为A， 则A事件的对立事件为“X5”. (2)若小明、小红两人都选择方案甲或都选择方案乙进行抽奖，问：他 们选择何种方案抽奖，累计得分的均值较大？ 解设小明、小红都选择方案甲抽奖中奖
8、的次数为X1，都选择方案乙抽 奖中奖的次数为X2， 则这两人选择方案甲抽奖累计得分的均值为E(2X1)， 选择方案乙抽奖累计得分的均值为E(3X2)， E(2X1)E(3X2)，他们都选择方案甲进行抽奖时，累计得分的均值最大. 反思 感悟 求离散型随机变量X的均值与方差的步骤 (1)理解X的意义，写出X可能的全部取值. (2)求X取每个值的概率或求出函数P(Xk). (3)写出X的分布列. (4)由分布列和均值的定义求出E(X). (5)由方差的定义，求D(X)，若XB(n，p)，则可直接利用公 式求，E(X)np，D(X)np(1p). 跟踪训练3一次同时投掷两枚相同的正方体骰子(骰子质地均
9、匀，且各 面分别刻有1,2,2,3,3,3六个数字). (1)设随机变量表示一次掷得的点数和，求的分布列； 解由已知，随机变量的取值为2,3,4,5,6.设掷一个正方体骰子所得点 数为0， 则0的分布列为 故的分布列为 (2)若连续投掷10次，设随机变量表示一次掷得的点数和大于5的次数， 求E()，D(). 解由已知，满足条件的一次投掷的点数和取值为6， 四、正态分布 1.正态分布是连续型随机变量X的一种分布，其在概率和统计中占有重 要地位，尤其统计学中的3原则在生产生活中有广泛的应用. 2.熟记正态分布的特征及应用3原则解决实际问题是本章的两个重点， 在学习中提升直观想象、数据分析的素养.
10、例4在某校举行的数学竞赛中，全体参赛学生的竞赛成绩近似地服从 正态分布N(70,100).已知成绩在90分以上(含90分)的学生有12人. (1)试问此次参赛学生的总数约为多少人？ 解设参赛学生的成绩为X，因为XN(70,100)， 所以70，10. 0.022 75， 120.022 75527(人). 因此，此次参赛学生的总数约为527人. (2)若成绩在80分以上(含80分)为优，试问此次竞赛成绩为优的学生约为 多少人？ 5270.158 6584(人). 因此，此次竞赛成绩为优的学生约为84人. 反思 感悟 正态曲线的应用及求解策略 (1)正态曲线是轴对称图形，常借助其对称性解题. (
11、2)正态分布的概率问题常借助，2，2， 3，3三个区间内的概率值求解. (3)注意正态曲线与频率分布直方图的结合. 跟踪训练4为提高城市居民生活幸福感，某城市公交公司大力确保公 交车的准点率，减少居民侯车时间，为此，该公司对某站台乘客的候车 时间进行统计.乘客候车时间受公交车准点率、交通拥堵情况、节假日人 流量增大等情况影响.在公交车准点率正常、交通拥堵情况正常、非节假 日的情况下，乘客候车时间X满足正态分布N(，2).在公交车准点率正 常、交通拥堵情况正常、非节假日的情况下，调查了大量乘客的候车时间， 经过统计得到如图所示的频率分布直方图. (1)在直方图各组中，以该组区间的中点值代表该组的
12、各个值，试估计， 2的值； 解0.120.260.4100.214 0.11810， 2s22(820.1420.2)(10 10)20.419.2. (2)在统计学中，发生概率低于千分之三的事件叫小概率事件，一般认为， 在正常情况下，一次试验中，小概率事件是不能发生的.在交通拥堵情况正 常、非节假日的某天，随机调查了该站的10名乘客的候车时间，发现其中 有3名乘客候车时间超过15分钟，试判断该天公交车准点率是否正常，说明 理由. 解104.3814.38， 设“3名乘客候车时间超过15分钟”的事件为A， 3真题体验 PART THREE 1234 1.(2020全国)在一组样本数据中，1,2
13、,3,4出现的频率分别为p1，p2，p3， p4，且 i1，则下面四种情形中，对应样本的标准差最大的一组是 A.p1p40.1，p2p30.4 B.p1p40.4，p2p30.1 C.p1p40.2，p2p30.3 D.p1p40.3，p2p30.2 1234 解析X的可能取值为1,2,3,4，四种情形的均值E(X)1p12p2 3p34p4都为2.5， 方差D(X)1E(X)2p12E(X)2p23E(X)2p34 E(X)2p4， A选项的方差D(X)0.65； B选项的方差D(X)1.85； C选项的方差D(X)1.05； D选项的方差D(X)1.45. 所以选项B的情形对应样本的标准差
14、最大. 1234 2.(2018全国)某群体中的每位成员使用移动支付的概率都为p，各成 员的支付方式相互独立.设X为该群体的10位成员中使用移动支付的人数， D(X)2.4，P(X4)P(X6)，则p等于 A.0.7 B.0.6 C.0.4 D.0.3 1234 解析由题意可知，10位成员中使用移动支付的人数X服从二项分布， 即XB(10，p)， 所以D(X)10p(1p)2.4， 所以p0.4或0.6. 又因为P(X4)P(X6)， 所以p0.6. 1234 3.(2019全国)甲、乙两队进行篮球决赛，采取七场四胜制(当一队赢得 四场胜利时，该队获胜，决赛结束).根据前期比赛成绩，甲队的主客
15、场 安排依次为“主主客客主客主”.设甲队主场取胜的概率为0.6，客场取 胜的概率为0.5，且各场比赛结果相互独立，则甲队以41获胜的概率 是_.0.18 解析记事件M为甲队以41获胜， 则甲队共比赛五场，且第五场甲队获胜，前四场甲队胜三场负一场， 所以P(M)0.6(0.620.5220.60.40.522)0.18. 1234 4.(2017全国)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员 每天从该生产线上随机抽取16个零件，并测量其尺寸(单位：cm).根据 长期生产经验，可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服 从正态分布N(，2). (1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的
16、16个零件中其尺寸在( 3，3)之外的零件数，求P(X1)及X的数学期望； 1234 解抽取的一个零件的尺寸在(3，3)之内的概率约为0.997 3， 从而零件的尺寸在(3，3)之外的概率约为0.002 7， 故XB(16,0.002 7). 因此P(X1)1P(X0)10.997 3160.042 3. X的数学期望E(X)160.002 70.043 2. 1234 (2)一天内抽检零件中，如果出现了尺寸在(3，3)之外的零件， 就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当 天的生产过程进行检查. 试说明上述监控生产过程方法的合理性； 1234 解如果生产状态正常，一个零件
17、尺寸在(3，3)之外的概率 只有0.002 7， 一天内抽取的16个零件中，出现尺寸在(3，3)之外的零件的 概率只有0.042 3，发生的概率很小， 因此一旦发生这种情况，就有理由认为这条生产线在这一天的生产过 程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查， 可见上述监控生产过程的方法是合理的. 1234 下面是检验员在一天内抽取的16个零件的尺寸： 9.9510.129.969.9610.019.929.9810.04 10.269.9110.1310.029.2210.0410.059.95 1234 1234 因此需对当天的生产过程进行检查. 因此的估计值为10.02. 1234 本课结束 更多精彩内容请登录：
