1、高考真题 （2019全国 III 卷（理） ）已知函数 32 ( )2f xxaxb. （1）讨论 ( )f x的单调性； （2）是否存在, a b，使得 ( )f x在区间0,1的最小值为 1且最大值为 1？若存在，求出 , a b的所有值；若不 存在，说明理由. 【解析】 （1）对 32 ( )2f xxaxb求导得 2 ( )626 () 3 a fxxaxx x.所以有 当0a 时，(,) 3 a 区间上单调递增，(,0) 3 a 区间上单调递减，(0,)区间上单调递增； 当0a 时，(,) 区间上单调递增； 当0a 时，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,)
2、 3 a 区间上单调递增. （2）若 ( )f x在区间0,1有最大值 1 和最小值-1，所以 若0a ，(,) 3 a 区间上单调递增，(,0) 3 a 区间上单调递减，(0,)区间上单调递增； 此时在区间0,1上单调递增，所以(0)1f ，(1)1f代入解得1b ，0a ，与0a 矛盾，所以0a 不成立. 若0a ，(,) 区间上单调递增；在区间0,1.所以(0)1f ，(1)1f代入解得 0 1 a b . 若02a，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,) 3 a 区间上单调递增. 即 ( )f x在区间(0,) 3 a 单调递减，在区间(,1) 3 a 单调递
3、增，所以区间0,1上最小值为( ) 3 a f 而(0),(1)2(0)fb fabf，故所以区间0,1上最大值为(1)f. 即 32 2( )( )1 33 21 aa ab ab 相减得 3 22 27 a a，即(3 3)(3 3)0a aa，又因为02a，所以 无解. 若23a，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,) 3 a 区间上单调递增. 即 ( )f x在区间(0,) 3 a 单调递减，在区间(,1) 3 a 单调递增，所以区间0,1上最小值为( ) 3 a f 而(0),(1)2(0)fb fabf，故所以区间0,1上最大值为(0)f. 即 32 2(
4、 )( )1 33 1 aa ab b 相减得 3 2 27 a ，解得 3 3 2x ，又因为23a，所以无解. 若3a ，(,0)区间上单调递增，(0,) 3 a 区间上单调递减，(,) 3 a 区间上单调递增. 所以有 ( )f x区间0,1上单调递减，所以区间0,1上最大值为(0)f ，最小值为(1)f 即 1 21 b ab 解得 4 1 a b . 综上得 0 1 a b 或 4 1 a b . 【答案】 （1）见详解； （2） 0 1 a b 或 4 1 a b . （2019天津卷（理） ）已知aR，设函数 2 22 ,1, ( ) ln ,1, xaxax f x xaxx
5、若关于x的不等式( ) 0f x 在R 上恒成立，则a的取值范围为（） A 0,1 B0,2 C0,e D1,e 【解析】(0)0f，即0a ， （1）当01a时， 2222 ( )22()22(2)0f xxaxaxaaaaaaa， 当1a 时，(1)10f， 故当0a 时， 2 220 xaxa 在(,1上恒成立； 若ln0 xax在(1,)上恒成立，即 ln x a x 在(1,)上恒成立， 令( ) ln x g x x ，则 2 ln1 ( ) (ln ) x g x x ， 当 ,xe 函数单增，当0,xe函数单减， 故 max ( )( )g xg ee，所以ae当0a 时， 2
6、 220 xaxa 在(,1上恒成立； 综上可知，a的取值范围是0, e， 故选 C 【答案】C （2019浙江卷）已知实数0a ，设函数( )= ln1,0.f xaxxx （1）当 3 4 a 时，求函数( )f x的单调区间； （2）对任意 2 1 ,) e x均有 ( ), 2 x f x a 求a的取值范围. 注：e2.71828.为自然对数的底数. 【解析】 （1）当 3 4 a 时， 3 ln1 4 f xxx ，函数的定义域为0,，且： 34331312 42141 41 312 xxxx fx xxx x x xxx ， 因此函数 f x的单调递增区间是3,单调递减区间是0,
7、3. （2）由 1 (1) 2 f a ，得 2 0 4 a， 当 2 0 4 a时，( ) 2 f x a x ，等价于 2 2 1 2ln0 xx x aa ， 令 1 t a ，则 2 2t ， 设 2 ( )212lng ttxtxx， 2 2t ， 则 2 11 ( )12ln x g tx tx xx ， （i）当 1 , 7 x 时， 1 12 2 x ， 则( )(2 2)84 2 12lng xgxxx， 记 1 ( )42 2 1ln , 7 p xxxxx， 则 2212121(1)1( 221) ( ) 111(1)(12 ) xxxxxxx p x xxxx xx x
8、xxx 列表讨论： x 1 7 （ 1 1 7 ，）1（1，+） p（x）0+ P（x）p（ 1 7 ）单调递减极小值 p（1）单调递增 ( )(1)0,( )(2 2)2 ( ) 0p xpg tgp x （ii）当 2 11 , 7 x e 时， 12ln(1) ( )1 2 xxx g tg xx ， 令 2 11 ( )2ln(1), 7 q xxxxx e ， 则 ln2 ( )10 x q x x ， 故( )q x在 2 11 , 7e 上单调递增， 1 ( ) 7 q xq ， 由（i）得 12 712 7 (1)0 7777 qpp ， 1( ) ( )0,( )10 2 q x q xg tg xx ， 由（i） （ii）知对任意 2 1 ,2 2,),( )0 xtg t e ， 即对任意 2 1 ,x e ，均有( ) 2 f x a x ， 综上所述，所求的 a 的取值范围是 2 0, 4 【答案】 （1） f x的单调递增区间是3,单调递减区间是0,3； （2） 2 0 4 a.
