1、第四章第四章数列数列 4.1数列的概念数列的概念 基础过关练 题组一对数列概念的理解 1.下列说法正确的是() A.数列 1,3,5,7 可以表示为1,3,5,7 B.数列-2,-1,0,1,2 与数列 2,1,0,-1,-2 是相同的数列 C.数列若用图象表示,从图象看都是一群孤立的点 D.数列的项数一定是无限的 2.下列数列中,既是无穷数列又是递增数列的是() A.1,1 3, 1 32, 1 33, B.sin 13,sin 2 13,sin 3 13,sin 4 13, C.-1,-1 2,- 1 3,- 1 4, D.1,2,3,4,30 题组二数列的通项公式及其应用 3.已知数列a
2、n的通项公式为an=1+(-1) ?+1 2 ,nN*,则该数列的前4项依 次为(深度解析) A.1,0,1,0 B.0,1,0,1 C.1 2,0, 1 2,0 D.2,0,2,0 4.数列an的通项公式为 an= 3? + 1,? 为奇数, 2?-2,? 为偶数, 则 a2a3=() A.70B.28 C.20D.8 5.(2020 山东菏泽高二上期中)已知数列 1, 3, 5, 7, 2?-1,若 3 5 是这个数列的第 n 项,则 n=() A.20B.21 C.22D.23 6.(2020 河南郑州八校高二上期中)已知函数 f(x)= (3-?)?-3,? 7, ?-6,x 7, 若
3、数列an满足 an=f(n)(nN*),且an是递增数列,则实数 a 的取值范 围是(易错) A. 9 4 ,3B. 9 4 ,3 C.(2,3)D.(1,3) 7.(多选)下列四个命题中,正确的有() A.数列 ?+1 ? 的第 k 项为 1+1 ? B.已知数列an的通项公式为 an=n2-n-50,nN*,则-8 是该数列的第 7 项 C.数列 3,5,9,17,33,的一个通项公式为 an=2n-1 D.数列an的通项公式为 an= ? ?+1,nN *,则数列a n是递增数列 8.写出下列各数列的一个通项公式: (1)4,6,8,10,; (2)1 2, 3 4, 7 8, 15 1
4、6, 31 32,; (3)-1,8 5,- 15 7 ,24 9 ,; (4)5,55,555,5 555,. 9.已知 an=9 ?(n+1) 10? (nN*),则数列an中有没有最大项?如果有,求出最 大项;如果没有,请说明理由. 10.在数列an中,an=n2-kn(nN*),且an为单调递增数列,求实数 k 的取值范围. 题组三数列的递推公式及其应用 11.已知 an+1-an-3=0,nN*,则数列an是() A.递增数列B.递减数列 C.常数列 D.不能确定 12.若数列an满足 a1=1,an+1=3an+1,则 a4=() A.7B.13C.40D.121 13.若数列an
5、满足 a1=2,an+1=1+? 1-? ,则 a2 021的值为() A.2B.-3C.-1 2 D.1 3 14.下列给出的图形中,星星的个数构成一个数列,则该数列的一个递 推公式可以是() A.an+1=an+n,nN* B.an=an-1+n,nN*,n2 C.an+1=an+(n+1),nN*,n2 D.an=an-1+(n-1),nN*,n2 15.数列an中,若 an+1= ? 2?+1(nN *),a 1=1,则 an= . 16.已知数列an中,a1a2an=n2(nN*),则 a9=. 题组四数列的前 n 项和公式及其应用 17.已知数列an的前 n 项和 Sn=n2-n(
6、nN*),则 a5=() A.6B.8C.12D.20 18.已知数列an的前 n 项和为 Sn,若 an= 1 ?+ ?+1(nN *),S n=10,则 n 等于() A.90B.119 C.120 D.121 19.已知数列an的前 n 项和为 Sn,求数列an的通项公式. (1)Sn=2n-1,nN*; (2)Sn=2n2+n+3,nN*. 易错 20.设数列an的前 n 项和为 Sn,且 Sn=An2+Bn+C,A0. (1)当 A=2,C=0,且 a2=-10 时,求数列an的通项公式; (2)设an的各项均为负实数,当 a1=-36,a3=-9 时,求实数 A 的取值范 围. 能
7、力提升练 题组一数列的通项公式及其应用 1.(2020 天津静海一中高二上期中 ,)设 an= 1 ?+1+ 1 ?+2+ 1 ?+3+ 1 2?(nN *),那么 a n+1-an等于( ) A. 1 2?+1 B. 1 2?+2 C. 1 2?+1+ 1 2?+2 D. 1 2?+1- 1 2?+2 2.(2020 山东滨州高二上期中,)数列 2,0,2,0,的通项公式可以是 () A.an= 2(? = 2? + 1,?N*) 0(? = 2?,?N*) B.an=2 sin ? 2 (nN*) C.an=(-1)n+1(nN*) D.an=cos n+1(nN*) 3.(2020 辽宁
8、沈阳东北育才学校高二上期中,)已知数列an的通项 公式为an= ? ?2+130(nN *),且数列a n从第n项起单调递减,则n的最小 值为() A.11B.12C.13D.不存在 4.(2020 山东滕州一中高二上阶段检测,)已知数列an的通项公式 为an=2 020-2 ? 2 021-2?,且存在正整数T,S,使得aTanaS对任意的nN *恒成 立,则 T+S=() A.15B.17C.19D.21 5.(多选)()若数列an满足:对任意正整数 n,an+1-an为递减数列,则 称数列an为“差递减数列”.给出下列数列an(nN*),其中是“差 递减数列”的有() A.an=3n B
9、.an=n2+1 C.an= ? D.an=ln ? ?+1 题组二数列的递推公式及其应用 6.(2020 辽宁省实验中学高二上期中,)已知数列an满足 an+1= 2?,0 ? 1 2 , 2?-1, 1 2 ? 1, 若 a1=6 7,则 a2 020 的值为() A.3 7 B.4 7 C.5 7 D.6 7 7.(2020 浙江浙南名校联盟高二上期中联考,)已知数列an对任意 的 nN*都有 an+11 B.数列an+1-an为单调递增数列,且 a51 C.数列an+1-an为单调递减数列,且 a51 D.数列an+1-an为单调递增数列,且 a51 8.()在数列an中,a1=2,a
10、n+1=an+ln 1 + 1 ? (nN*),则 an=. 9.(2020 湖南娄底高二上期中,)若数列an满足 (n-1)an=(n+1)an-1(n2,nN*),且 a1=1,则 a100=. 10.(2020 黑龙江牡丹江一中高二上期末,)分形几何学是一门以不 规则几何形态为研究对象的几何学,它的创立,为解决传统科学众多领 域的难题提供了全新的思路.如图是按照一定的分形规律生长成的一 个树形图,则第 13 行中实心圆点的个数是. 题组三数列的前 n 项和公式及其应用 11.(2020 山东淄博一中高二上期中,)若数列an的通项公式是 an=(-1)n(3n-2)(nN*),则 S10=
11、() A.15B.12C.-12 D.-15 12.(2020福建福州高三上期末质量检测,)已知Sn为数列an的前n 项和,若 a1=5 2,且 an+1(2-an)=2(nN *),则 S 21= . 13.(2020 广东中山高二上期末统考,)若数列an满足 an+an+1= ? + 1- ?-1(nN*),其前 n 项和为 Sn,且 S99=3 11,则 a100=. 14.()设数列an满足 a1+3a2+5a3+(2n-1)an=2n(nN*). (1)求数列an的通项公式; (2)记数列 ? 2?+3 的前 n 项和为 Sn,求证:Sn 7,nN*, 要使an是递增数列, 需满足
12、3-? 0, ? 1, (3-?) 7-3 ?8-6, 解得 2a3. 故选 C. 易错警示分段数列的单调性与相应分段函数的单调性有所不同,分 段数列还要使得两段之间满足一定的条件,如本题中数列an递增需 满足a70,因此数列an 是递增数列,D 正确.故选 ABD. 8.解析(1)易知该数列是首项从 4 开始的偶数,所以该数列的一个通 项公式为 an=2n+2,nN*. (2)易知该数列中每一项分子比分母少 1,且分母可写成 21,22,23,24,25,故所求数列的通项公式可写为 an=2 ?-1 2? ,nN*. (3)通过观察可知,该数列中的奇数项为负,偶数项为正,故选择(-1)n.又
13、 第 1 项可改写成分数-3 3,所以每一项的分母依次为 3,5,7,9,可写成 2n+1 的形式.分子为 3=13,8=24,15=35,24=46,可写成 n(n+2)的形式.所以该数列的一个通项公式 为 an=(-1)n?(?+2) 2?+1 ,nN*. (4)这个数列的前 4 项可以变为5 99, 5 999, 5 9999, 5 99 999, 即5 9(10-1), 5 9(100-1), 5 9(1 000-1), 5 9(10 000-1), 即5 9(10-1), 5 9(10 2-1),5 9(10 3-1),5 9(10 4-1), 所以它的一个通项公式为 an=5 9(
14、10 n-1),nN*. 9.解析解法 一:由 an=9 ?(n+1) 10? (nN*)得,an+1-an=9 ?+1(n+2) 10?+1 -9 ?(n+1) 10? =9 ?(8-n) 10?+1 ,nN*. 当 n0,即 an+1an,即an在 n8 时,an+1-an0,即 an+18 时单调递减. 所以数列an的最大项是第 8 项或第 9 项,即 a8=a9= 99 108. 解法二:设 an为最大项,则 ? ?-1, ? ?+1(n2,nN *), 即 9?(n+1) 10? 9?-1n 10?-1 , 9?(n+1) 10? 9?+1(n+2) 10?+1 , 解得 8n9.
15、又因为 nN*,所以 n=8 或 n=9, 故an的最大项为 a8=a9= 99 108. 10.解析由 an=n2-kn,得 an+1=(n+1)2-k(n+1),所以 an+1-an=(n+1)2-k(n+1)-n2+kn=2n+1-k. 因为an为单调递增数列,所以 an+1-an0, 即 2n+1-k0(nN*)恒成立, 即 k2n+1(nN*)恒成立, 所以 k0,nN*,an+1an,即该数列中的每一项均小 于它的后一项, 因此数列an是递增数列,故选 A. 12.C由题意得,a2=3a1+1=4,a3=3a2+1=13,a4=3a3+1=40.故选 C. 13.Aa1=2,a2=
16、1+2 1-2 = -3,从而 a3=1+(-3) 1-(-3) =-1 2,a4= 1+ -1 2 1- -1 2 =1 3,a5= 1+1 3 1-1 3 =2=a1.an是以 4 为周期的数列, 又 2 021=5054+1,a2 021=a1=2,故选 A. 14.B由题中图形知,a1=1,a2=a1+2,a3=a2+3,a4=a3+4,故选 B. 15.答案 1 2?-1 解析由已知得,a2=1 3,a3= 1 5,a4= 1 7,a5= 1 9,以此类推,可 得 an= 1 2?-1(nN *). 16.答案 81 64 解析由题意得,a1a2a8=82, a1a2a9=92, 得
17、,a9=9 2 82= 81 64. 17.B由 Sn=n2-n 得,S5=52-5=20,S4=42-4=12, a5=S5-S4=20-12=8.故选 B. 18.Can= 1 ?+ ?+1= ? + 1- ?, Sn=( 2-1)+( 3- 2)+( ? + 1- ?)= ? + 1-1=10,n+1=121, n=120. 19.解析(1)Sn=2n-1(nN*),当 n=1 时,a1=S1=2-1=1;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n-1-(2n-1-1)=2n-1. 经检验,当 n=1 时,符合上式, an=2n-1(nN*). (2)Sn=2n2+n+3(nN*),当 n
18、=1 时,a1=S1=212+1+3=6;当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n2+n+3-2(n-1)2+(n-1)+3=4n-1. 经检验,当 n=1 时,不符合上式, an= 6(? = 1), 4?-1(? 2,?N*). 易错警示由数列an的前 n 项和 Sn求通项公式时,要注意验证当 n=1 时的情况.若 a1=S1适合 an(n2,nN*)的表达式,则通项公式可 以合并,否则就写成分段的形式. 20.解析(1)由题意得,当 A=2,C=0 时,Sn=2n2+Bn.则当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2n2+Bn-2(n-1)2+B(n-1)=4n+(B-2). 又 a2=-1
19、0,a2=8+(B-2)=-10, B=-16,an=4n-18(n2,nN*), 当 n=1 时,可得 a1=S1=212+(-16)1=-14. 经检验,当 n=1 时,符合 an=4n-18, an=4n-18,nN*. (2)由题意得,当 n2 时,an=Sn-Sn-1=2An+(B-A), a3=6A+(B-A)=5A+B=-9. B=-5A-9, an=2An+(B-A)=2An-6A-9(n2,nN*), 若an的各项均为负实数,则 A0, an=2An-6A-9 在 n2 时单调递减, 又a1=-360,只需 a20 即可,即 a2=4A-6A-9-9 2. 故实数 A 的取值
20、范围为-9 2A0. 能力提升练 1.Dan= 1 ?+1+ 1 ?+2+ 1 ?+3+ 1 2?, an+1= 1 ?+2+ 1 ?+3+ 1 2?+ 1 2?+1+ 1 2?+2, an+1-an= 1 2?+1+ 1 2?+2- 1 ?+1= 1 2?+1- 1 2?+2. 2.B选项 A 中,n 取不到 1,其通项公式中不含 a1,A 错误; 选项 B 中,当 n 是奇数时,an=21=2,当 n 是偶数时,an=20=0,B 正 确; 选项 C 中,a1=02,C 错误; 选项 D 中,a1=cos +1=02,D 错误. 故选 B. 3.Aan= ? ?2+130, an+1= ?
21、+1 (?+1)2+130, an+1-an= ?+1 ?2+2n+131- ? ?2+130 = -?2-n+130 (?2+2n+131)(?2+130). 由数列an从第 n 项起单调递减可得 an+1-an0,即 -n2-n+1300,解得 n 521-1 2 ,又 nN*,n 521-1 2 . 22 52123,10.5 521-1 2 a12a13, 即从第 11 项起,an单调递减,n 的最小值为 11,故选 A. 4.D依题意得,an=2 020-2 ? 2 021-2?=1- 1 2 021-2?=1+ 1 2?-2 021, 当 n11(nN*)时,2n211=2 048
22、,数列an递减,且 an1, (an)max=a11, 当 n10(nN*)时,2n210=1 024,数列an递减,且 an1, (an)min=a10, a10ana11,T+S=21,故选 D. 5.CD选项 A,由 an=3n,得 an+1-an=3,则an+1-an为常数列,不满足 “差递减数列”的定义; 选项 B,由 an=n2+1,得 an+1-an=(n+1)2+1-n2-1=2n+1,则an+1-an 为递增数列,不满足“差递减数列”的定义; 选项 C,由 an= ?,得 an+1-an= ? + 1- ?= 1 ?+1+ ?,显然an+1-an为递 减数列,满足“差递减数列
23、”的定义; 选项 D,由 an=ln ? ?+1,得 an+1-an=ln ?+1 ?+2-ln ? ?+1=ln (?+1)2 ?(?+2)=ln 1 + 1 ?(?+2) , 随着 n 的增大,此值变小,所以an+1-an为递减数列,满足“差递减数列” 的定义.故选 CD. 6.D依题意 得,a2=2a1-1=26 7-1= 5 7,a3=2a2-1=2 5 7-1= 3 7,a4=2a3=2 3 7= 6 7=a1, 数列an是以 3为周期的周期数列.2 020=3673+1,a2020=a1=6 7. 故选 D. 7.D数列an对任意 nN*都有 an+1an+1-an, an+1-a
24、n为单调递增数列. a6-a5a5-a4,即 a4+a62a5,a7-a6a4-a3,即 a3+a7a4+a6,同理可 得,2a5a4+a6a3+a7a2+a89a5, 即 9a59,a51,故选 D. 8.答案2+ln n 解析由 an+1=an+ln 1 + 1 ? , 得 an+1-an=ln?+1 ? =ln(n+1)-ln n, an=a1+(a2-a1)+(a3-a2)+(an-an-1) =2+(ln 2-ln 1)+(ln 3-ln 2)+ln n-ln(n-1)=2+ln n(nN*). 9.答案5 050 解析由(n-1)an=(n+1)an-1, 得 ? ?-1= ?+1
25、 ?-1 (n2,nN*), 则 a100=a1?2 ?1 ?3 ?2 ?100 ?99 =13 1 4 2 101 99 =5 050. 10.答案144 解析不妨构造数列an表示第 n 行实心圆点的个数,由题图可得每 一个实心圆点的下一行均分为一个实心圆点与一个空心圆点,每个空 心圆点下一行均为实心圆点.故从第三行开始,每行的实心圆点数均为 前两行实心圆点数之和. 易知 a1=0,a2=1,且 n3 时,an=an-1+an-2,故第 1 行到第 13 行中实心 圆点的个数分别为 0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144. 11.A依题意得,a2n=6n-2,a2n
26、-1=-6n+5, a2n-1+a2n=3,即 a1+a2=a3+a4=a5+a6=a7+a8=a9+a10=3, S10=a1+a2+a10=35=15,故选 A. 12.答案 8 3 解析由 an+1(2-an)=2,得 an+1= 2 2-?, 又 a1=5 2,所以 a2= 2 2-?1=-4,a3= 2 2-?2= 1 3,a4= 2 2-?3= 6 5,a5= 2 2-?4= 5 2=a1, 所以数列an是周期为 4 的数列, 因为 21=45+1,所以 a21=a1=5 2, 所以 S21=5(a1+a2+a3+a4)+a21 =5 5 2 -4 + 1 3 + 6 5 +5 2
27、= 8 3. 13.答案10-3 11 解析an+an+1= ? + 1- ?-1(nN*), a1+a2= 2-0, a3+a4= 4- 2, a5+a6= 6- 4, a99+a100= 100- 98, S100=a1+a2+a3+a4+a99+a100 =( 2-0)+( 4- 2)+( 6- 4)+( 100- 98)= 100-0=10, 又 S99=3 11, a100=S100-S99=10-3 11. 14.解析(1)由数列an满足 a1+3a2+5a3+(2n-1)an=2n(nN*), 得当 n2 时,a1+3a2+5a3+(2n-3)an-1=2(n-1), -得(2n
28、-1)an=2(n2,nN*),即 an= 2 2?-1(n2,nN *),经检验,当 n=1 时,a1=2,满足上式,所以 an= 2 2?-1,nN *. (2)证明:设 cn= ? 2?+3,由(1)可知, cn= 2 2?-1 2?+3= 2 (2?-1)(2?+3) =1 2 1 2?-1 - 1 2?+3 , Sn=c1+c2+cn =1 2 1- 1 5 + 1 3 - 1 7 + 1 5 - 1 9 + 1 2?-3 - 1 2?+1 + 1 2?-1 - 1 2?+3 = 1 2 4 3 - 1 2?+1 - 1 2?+3 =2 3- 1 4?+2- 1 4?+6= 2 3- 2?+2 (2?+1)(2?+3), nN*,Sn2 3.
