1、目目 录录 目目 录录.1 第第 1 关：关： 极值点偏移问题极值点偏移问题-对数不等式法对数不等式法.2 第第 2 关：关： 参数范围问题参数范围问题常见解题常见解题 6 法法. 6 第第 3 关：关： 数列求和问题数列求和问题解题策略解题策略 8 法法. 9 第第 4 关：关： 绝对值不等式解法问题绝对值不等式解法问题7 大类型大类型. 13 第第 5 关：关： 三角函数最值问题三角函数最值问题解题解题 9 法法. 19 第第 6 关：关： 求轨迹方程问题求轨迹方程问题6 大常用方法大常用方法. 24 第第 7 关：关： 参数方程与极坐标问题参数方程与极坐标问题“考点考点”面面看面面看.3
2、7 第第 8 关：关： 均值不等式问题均值不等式问题拼凑拼凑 8 法法.43 第第 9 关：关： 不等式恒成立问题不等式恒成立问题8 种解法探析种解法探析. 49 第第 10 关：关： 圆锥曲线最值问题圆锥曲线最值问题5 大方面大方面. 55 第第 11 关：关： 排列组合应用问题排列组合应用问题解题解题 21 法法.59 第第 12 关：关： 几何概型问题几何概型问题5 类重要题型类重要题型. 66 第第 13 关：关： 直线中的对称问题直线中的对称问题4 类对称题型类对称题型. 69 第第 14 关：关： 利用导数证明不等式问题利用导数证明不等式问题4 大解题技巧大解题技巧.71 第第 1
3、5 关：关： 函数中易混问题函数中易混问题11 对对.76 第第 16 关：关： 三项展开式问题三项展开式问题破解破解“四法四法”. 82 第第 17 关：关： 由递推关系求数列通项问题由递推关系求数列通项问题“不动点不动点”法法.83 第第 18 关：关： 类比推理问题类比推理问题高考命题新亮点高考命题新亮点. 87 第第 19 关：关： 函数定义域问题函数定义域问题知识大盘点知识大盘点. 93 第第 20 关：关： 求函数值域问题求函数值域问题7 类题型类题型 16 种方法种方法.100 第第 21 关：关： 求函数解析式问题求函数解析式问题7 种求法种求法. 121 第第 22 关：解答
4、立体几何问题关：解答立体几何问题5 大数学思想方法大数学思想方法.124 第第 23 关：关： 数列通项公式数列通项公式常见常见 9 种求法种求法. 129 第第 24 关：导数应用问题关：导数应用问题9 种错解剖析种错解剖析. 141 第第 25 关：三角函数与平面向量综合问题关：三角函数与平面向量综合问题6 种类型种类型.144 第第 26 关：概率题错解分类剖析关：概率题错解分类剖析7 大类型大类型. 150 第第 27 关：抽象函数问题关：抽象函数问题分类解析分类解析.153 第第 28 关：三次函数专题关：三次函数专题全解全析全解全析.157 第第 29 关：二次函数在闭区间上的最值
5、问题关：二次函数在闭区间上的最值问题大盘点大盘点.169 第第 30 关：解析几何与向量综合问题关：解析几何与向量综合问题知识点大扫描知识点大扫描.178 第第 31 关：平面向量与三角形四心知识的交汇关：平面向量与三角形四心知识的交汇. 179 第第 32 关：数学解题的关：数学解题的“灵魂变奏曲灵魂变奏曲”转化思想转化思想.183 第第 33 关：函数零点问题关：函数零点问题求解策略求解策略.194 第第 34 关：求离心率取值范围关：求离心率取值范围常见常见 6 法法. 199 第第 35 关：高考数学选择题关：高考数学选择题解题策略解题策略. 202 第第 36 关：高考数学填空题关：
6、高考数学填空题解题策略解题策略.211 第第 1 关：关： 极值点偏移问题极值点偏移问题-对数不等式法对数不等式法 我们熟知平均值不等式： 即“调和平均数”小于等于“几何平均数”小于等于“算术平均值”小于等于“平方平 均值” 等号成立的条件是. 我们还可以引入另一个平均值：对数平均值： 那么上述平均值不等式可变为：对数平均值不等式 ， 以下简单给出证明： 不妨设，设，则原不等式变为： 以下只要证明上述函数不等式即可. 以下我们来看看对数不等式的作用. 题目题目 1： （2015 长春四模题）已知函数有两个零点，则下列 说法错误的是 A.B.C.D.有极小值点，且 【答案】C 【解析】函数导函数
7、： 有极值点，而极值，A 正确. 有两个零点：，即： -得： 根据对数平均值不等式： ，而，B 正确，C 错误 而+得：，即 D 成立. 题目题目 2： （2011 辽宁理）已知函数. 若函数的图像与轴交于两点， 线段中点的横坐标为， 证明： 【解析】原题目有 3 问，其中第二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不 等式直接去证明第三问： 设，则， -得：，化简得： 而根据对数平均值不等式： 等式代换到上述不等式 根据：（由得出）式变为： ，在函数单减区间中，即： 题 目题 目 3 ： (2010 天 津 理 ) 已 知 函 数. 如 果， 且 . 证明：. 【解析】原题目有 3 问，其中第
8、二问为第三问的解答提供帮助，现在我们利用不 等式直接去证明第三问： 设，则，两边取对数 -得： 根据对数平均值不等式 题目题目 4： （2014 江苏南通市二模）设函数，其图象与 轴交于两点，且. 证明：（为函数的导函数）. 【解析】根据题意：，移项取对数得： -得：，即： 根据对数平均值不等式： ，+得： 根据均值不等式： 函数在单调递减 题目题目 5：已知函数与直线交于两点. 求证： 【解析】由，可得： ， -得： +得： 根据对数平均值不等式 利用式可得： 由题于与交于不同两点，易得出则 上式简化为: 第第 2 关：关： 参数范围问题参数范围问题常见解题常见解题 6 法法 求解参数的取值
9、范围是一类常见题型 近年来在各地的模拟试题以及高考试题中更是屡 屡出现学生遇到这类问题，较难找到解题的切入点和突破口，下面介绍几种解决这类问题 的策略和方法 一、确定一、确定“主元主元”思想思想 常量与变量是相对的，一般地，可把已知范围的那个看作自变量，另一个看作常量 例例 1.对于满足 0的一切实数， 不等式 x2+px4x+p-3 恒成立， 求 x 的取值范围 分析分析：习惯上把 x 当作自变量，记函数 y= x2+(p-4)x+3-p,于是问题转化为当 p时 y0 恒成立，求 x 的范围解决这个问题需要应用二次函数以及二次方程实根分布原理，这 是相当复杂的若把 x 与 p 两个量互换一下
10、角色，即 p 视为变量，x 为常量，则上述问题可 转化为在0,4内关于 p 的一次函数大于 0 恒成立的问题 解解：设 f(p)=(x-1)p+x2-4x+3，当 x=1 时显然不满足题意 由题设知当 0时 f(p)0 恒成立，f(0)0,f(4)0 即 x2-4x+30 且 x2-10， 解得 x3 或 x3 或 x g(k)g(k) f(x) min f(x)g(k)f(x) maxg(k) f(x)g(k)f(x) max 0,a1，不能用均值不等式求最 值，适合用函数在区间内的单调性来求解。 设，在（0，1）上为减函数，当 t=1 时，。 七七 数形结合数形结合 由于，所以从图形考虑，
11、点(cosx,sinx)在单位圆上，这样对一类既含 有正弦函数，又含有余弦函数的三角函数的最值问题可考虑用几何方法求得。 例例 9 求函数的最小值。 分析分析 法一：将表达式改写成y 可看成连接两点 A(2,0)与点(cosx,sinx) 的直线的斜率。由于点(cosx,sinx)的轨迹是单位圆的上半圆（如图） ，所以求 y 的最小值就是 在这个半圆上求一点，使得相应的直线斜率最小。 设过点 A 的切线与半圆相切与点 B,则 可求得 所以 y 的最小值为（此时）. 法二：该题也可利用关系式 asinx+bcosx=（即引入辅助角法）和有 界性来求解。 八八 判别式法判别式法 例例 10 求函数
12、的最值。 分析分析 同一变量分子、分母最高次数齐次，常用判别式法和常数分离法。 解： 时此时一元二次方程总有实数解 由 y=3，tanx=-1， 由 九九 分类讨论法分类讨论法 含参数的三角函数的值域问题，需要对参数进行讨论。 例例 11 设，用 a 表示 f(x)的最大值 M(a). 解：令 sinx=t,则 （1）当，即在0，1上递增， （2）当即时 ，在 0 ， 1 上 先 增 后 减 ， （3）当即在0，1上递减， 以上几种方法中又以配方法和辅助角法及利用三角函数的有界性解题最为常见。 解决这 类问题最关键的在于对三角函数的灵活应用及抓住题目关键和本质所在。 第第 6 关：关： 求轨迹
13、方程问题求轨迹方程问题6 大常用方法大常用方法 知识梳理知识梳理： （一）求轨迹方程的一般方法：（一）求轨迹方程的一般方法： 1. 待定系数法待定系数法：如果动点 P 的运动规律合乎我们已知的某种曲线（如圆、椭圆、双曲线、 抛物线）的定义，则可先设出轨迹方程，再根据已知条件，待定方程中的常数，即可得到轨 迹方程，也有人将此方法称为定义法。 2. 直译法：直译法：如果动点 P 的运动规律是否合乎我们熟知的某些曲线的定义难以判断，但点 P 满足的等量关系易于建立，则可以先表示出点 P 所满足的几何上的等量关系，再用点 P 的 坐标（x，y）表示该等量关系式，即可得到轨迹方程。 3. 参数法：参数法
14、：如果采用直译法求轨迹方程难以奏效，则可寻求引发动点 P 运动的某个几何 量 t， 以此量作为参变数， 分别建立 P 点坐标 x， y 与该参数 t 的函数关系 xf （t） ， yg （t） ， 进而通过消参化为轨迹的普通方程 F（x，y）0。 4. 代入法代入法（相关点法相关点法） ：如果动点 P 的运动是由另外某一点 P的运动引发的，而该点的运 动规律已知， （该点坐标满足某已知曲线方程） ，则可以设出 P（x，y） ，用（x，y）表示出 相关点 P的坐标，然后把 P的坐标代入已知曲线方程，即可得到动点 P 的轨迹方程。 5.几何法几何法：若所求的轨迹满足某些几何性质（如线段的垂直平分线
15、，角平分线的性质等） ， 可以用几何法，列出几何式，再代入点的坐标较简单。 6：交轨法：交轨法：在求动点轨迹时，有时会出现要求两动曲线交点的轨迹问题，这灯问题通常 通过解方程组得出交点（含参数）的坐标，再消去参数求得所求的轨迹方程（若能直接消去 两方程的参数，也可直接消去参数得到轨迹方程） ，该法经常与参数法并用。 （二）求轨迹方程的注意事项：（二）求轨迹方程的注意事项： 1. 求轨迹方程的关键是在纷繁复杂的运动变化中，发现动点 P 的运动规律，即 P 点满足 的等量关系，因此要学会动中求静，变中求不变。 来表示，若要判断轨迹方程表示何种曲线，则往往需将参数方程化为普通方程。 3. 求出轨迹方
16、程后，应注意检验其是否符合题意，既要检验是否增解， （即以该方程的某 些解为坐标的点不在轨迹上） ， 又要检验是否丢解。 （即轨迹上的某些点未能用所求的方程表 示） ，出现增解则要舍去，出现丢解，则需补充。检验方法：研究运动中的特殊情形或极端 情形。 4求轨迹方程还有整体法等其他方法。在此不一一缀述。 课前热身： 1. P 是椭圆=1 上的动点，过 P 作椭圆长轴的垂线，垂足为 M，则 PM 中点的轨迹 中点的轨迹方程为： （） A、B、 C、D、 =1 【答案答案】 ：B 【解答】【解答】:令中点坐标为,则点 P 的坐标为(代入椭圆方程得,选 B 2. 圆心在抛物线上，并且与抛物线的准线及轴
17、都相切的圆的方程是 （） AB CD 【答案答案】 ：D 【解答】【解答】:令圆心坐标为(,则由题意可得,解得,则圆的方程为 ,选 D 3: 一动圆与圆 O：外切，而与圆 C：内切，那么动圆的圆 心 M 的轨迹是： A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【答案答案】 ：D 【解答【解答】令动圆半径为 R，则有，则|MO|-|MC|=2， 满足双曲线定义。故选 D。 4: 点 P(x0，y0)在圆 x2+y2=1 上运动，则点 M（2x0，y0）的轨迹是（） A.焦点在 x 轴上的椭圆B. 焦点在 y 轴上的椭圆 C. 焦点在 y 轴上的双曲线D. 焦点在 X 轴上的双曲线 【答案答案】
18、 ：A 【解答】【解答】:令 M 的坐标为则代入圆的方程中得, 选 A 【互动平台】 一：用定义法求曲线轨迹一：用定义法求曲线轨迹 求曲线轨迹方程是解析几何的两个基本问题之一， 求符合某种条件的动点轨迹方 程， 其实质就是利用题设中的几何条件，通过坐标互化将其转化为寻求变量之间 的关系，在求与圆锥曲线有关的轨迹问题时，要特别注意圆锥曲线的定义在求轨 迹中的作用，只要动点满足已知曲线定义时，通过待定系数法就可以直接得出方 程。 例 1：已知的顶点 A，B 的坐标分别为（-4，0） ， （4，0） ，C 为动点，且满足 求点 C 的轨迹。 【解析【解析】由由可知，即，满足椭 圆的定义。令椭圆方程为
19、，则，则轨迹方程为 （，图形为椭圆（不含左，右顶点） 。 【点评】【点评】熟悉一些基本曲线的定义是用定义法求曲线方程的关键。 （1）圆：到定点的距离等于定长 （2）椭圆：到两定点的距离之和为常数（大于两定点的距离） （3）双曲线：到两定点距离之差的绝对值为常数（小于两定点的距离） （4）到定点与定直线距离相等。 【变式【变式 1】: 1:已知圆的圆心为 M1，圆的圆心为 M2，一动圆与这两个圆外切，求动圆圆心 P 的轨迹方程。 解：设动圆的半径为 R，由两圆外切的条件可得：，。 。 动圆圆心 P 的轨迹是以 M1、M2为焦点的双曲线的右支，c=4，a=2，b2=12。 故所求轨迹方程为 2:一
20、动圆与圆 O：外切，而与圆 C：内切，那么动圆的圆 心 M 的轨迹是： A：抛物线 B：圆 C：椭圆 D：双曲线一支 【解答】【解答】令动圆半径为 R，则有，则|MO|-|MC|=2，满足 双曲线定义。故选 D。 二：用直译法求曲线轨迹方程二：用直译法求曲线轨迹方程 此类问题重在寻找数量关系。 例 2：一条线段 AB 的长等于 2a,两个端点 A 和 B 分别在 x 轴和 y 轴上滑动，求 AB 中点 P 的轨迹方程？ 解设 M 点 的 坐 标 为由 平 几 的 中 线 定 理 ： 在 直 角 三 角 形 AOB 中 ， OM= M 点的轨迹是以 O 为圆心，a 为半径的圆周. 【点评【点评】
21、此题中找到了OM=这一等量关系是此题成功的关键所在。一般直译法有 下列几种情况： 1）代入题设中的已知等量关系：若动点的规律由题设中的已知等量关系明显给出，则采用 直接将数量关系代数化的方法求其轨迹。 2）列出符合题设条件的等式：有时题中无坐标系，需选定适当位置的坐标系，再根据题设 条件列出等式，得出其轨迹方程。 3）运用有关公式：有时要运用符合题设的有关公式，使其公式中含有动点坐标，并作相应 的恒等变换即得其轨迹方程。 4）借助平几中的有关定理和性质：有时动点规律的数量关系不明显，这时可借助平面几何 中的有关定理、性质、勾股定理、垂径定理、中线定理、连心线的性质等等，从而分析出其 数量的关系
22、，这种借助几何定理的方法是求动点轨迹的重要方法. 【变式【变式 2】:动点 P （x,y） 到两定点 A （3， 0） 和 B （3， 0） 的距离的比等于 2 （即） ， 求动点 P 的轨迹方程？ 【解答】【解答】|PA|= 代入得 化简得（x5）2+y2=16，轨迹是以（5，0）为圆心，4 为半径的圆. 三：用参数法求曲线轨迹方程三：用参数法求曲线轨迹方程 此类方法主要在于设置合适的参数，求出参数方程，最后消参，化为普通方程。注意参数的 取值范围。 例例 3过点 P（2，4）作两条互相垂直的直线 l1，l2，若 l1交 x 轴于 A 点，l2交 y 轴于 B 点， 求线段 AB 的中点 M
23、 的轨迹方程。 【解析】【解析】 分析分析 1：从运动的角度观察发现，点 M 的运动是由直线 l1引发的，可设出 l1的斜率 k 作为参数，建立动点 M 坐标（x，y）满足的参数方程。 解法解法 1：设 M（x，y） ，设直线 l1的方程为 y4k（x2） ， （k） M 为 AB 的中点， 消去 k，得 x2y50。 另外，当 k0 时，AB 中点为 M（1，2） ，满足上述轨迹方程； 当 k 不存在时，AB 中点为 M（1，2） ，也满足上述轨迹方程。 综上所述，M 的轨迹方程为 x2y50。 分析分析 2：解法 1 中在利用 k1k21 时，需注意 k1、k2是否存在，故而分情形讨论，能
24、 否避开讨论呢？只需利用PAB 为直角三角形的几何特性： 解法解法 2：设 M（x，y） ，连结 MP，则 A（2x，0） ，B（0，2y） ， l1l2，PAB 为直角三角形 化简，得 x2y50，此即 M 的轨迹方程。 分析分析 3： ：设 M（x，y） ，由已知 l1l2，联想到两直线垂直的充要条件：k1k21，即 可列出轨迹方程，关键是如何用 M 点坐标表示 A、B 两点坐标。事实上，由 M 为 AB 的中 点，易找出它们的坐标之间的联系。 解法解法 3：设 M（x，y） ，M 为 AB 中点，A（2x，0） ，B（0，2y） 。 又 l1，l2过点 P（2，4） ，且 l1l2 PA
25、PB，从而 kPAkPB1， 注意到 l1x 轴时，l2y 轴，此时 A（2，0） ，B（0，4） 中点 M（1，2） ，经检验，它也满足方程 x2y50 综上可知，点 M 的轨迹方程为 x2y50。 【点评】【点评】 1）解法 1 用了参数法，消参时应注意取值范围。解法 2，3 为直译法，运用了kPAkPB 1，这些等量关系 用参数法求解时，一般参数可选用具有某种物理或几何意义的量，如时间，速度，距离，角 度，有向线段的数量，直线的斜率，点的横，纵坐标等。也可以没有具体的意义，选定参变 量还要特别注意它的取值范围对动点坐标取值范围的影响 【变式【变式 3】过圆 O：x2+y2= 4 外一点
26、A（4，0） ，作圆的割线，求割线被圆截得的弦 BC 的 中点 M 的轨迹 解法一：解法一：“几何法几何法” 设点 M 的坐标为（x,y）,因为点 M 是弦 BC 的中点，所以 OMBC, 所以|OM | | | ， 即(x2+y2)+(x )2+y2=16 化简得： （x2）2+ y2=4. 由方程 与方程 x2+y2= 4 得两圆的交点的横坐标为 1，所以点 M 的轨迹方程为 （x2）2+ y2=4 （0 x1） 。所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。 解法二：解法二：“参数法参数法” 设点 M 的坐标为（x,y） ，B（x1,y1）,C（x2,y2）
27、直线 AB 的方程为 y=k(x4), 由直线与圆的方程得（1+k2）x28k2x +16k24=0.(*), 由点 M 为 BC 的中点，所以 x=.(1) ,又 OMBC ，所以 k=.(2)由方程（1） （2） 消去 k 得（x2）2+ y2=4,又由方程（*）的0 得 k2,所以 x1. 所以点 M 的轨迹方程为（x2）2+ y2=4 （0 x1）所以 M 的轨迹是以（2，0）为圆心， 2 为半径的圆在圆 O 内的部分。 四：用代入法等其它方法求轨迹方程四：用代入法等其它方法求轨迹方程 例例 4. 轨迹方程。 分析分析：题中涉及了三个点 A、B、M，其中 A 为定点，而 B、M 为动点
28、，且点 B 的运动 是有规律的，显然 M 的运动是由 B 的运动而引发的，可见 M、B 为相关点，故采用相关点 法求动点 M 的轨迹方程。 【解析】【解析】设动点 M 的坐标为（x，y） ，而设 B 点坐标为（x0，y0） 则由 M 为线段 AB 中点，可得 即点 B 坐标可表为（2x2a，2y） 【点评】【点评】代入法的关键在于找到动点和其相关点坐标间的等量关系 【变式【变式 4】如图所示，已知 P(4，0)是圆 x2+y2=36 内的一点，A、B 是圆上两动点，且满 足APB=90，求矩形 APBQ 的顶点 Q 的轨迹方程 【解析【解析】 ：设 AB 的中点为 R，坐标为(x,y)，则在
29、RtABP 中，|AR|=|PR|又因为 R 是弦 AB 的中点，依垂径定理在 RtOAR 中，|AR|2=|AO|2|OR|2=36(x2+y2) 又|AR|=|PR|= 所以有(x4)2+y2=36(x2+y2),即 x2+y24x10=0 因此点 R 在一个圆上，而当 R 在此圆上运动时，Q 点即在所求的轨迹上运动 设 Q(x,y)，R(x1,y1)，因为 R 是 PQ 的中点，所以 x1=, 代入方程 x2+y24x10=0,得 10=0 整理得x2+y2=56,这就是所求的轨迹方程 【备选题】【备选题】 已知双曲线的左、右焦点分别为，过点的动直线与双曲线相交于 两点 （I）若动点满足
30、（其中为坐标原点） ，求点的轨迹方程； （II）在轴上是否存在定点，使为常数？若存在，求出点的坐标；若不存在， 请说明理由 解：由条件知，设， 解法一： （I）设，则则， ，由得 即 于是的中点坐标为 当不与轴垂直时，即 又因为两点在双曲线上，所以，两式相减得 ，即 将代入上式，化简得 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程 所以点的轨迹方程是 （II）假设在轴上存在定点，使为常数 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根，所以， 于是 因为是与无关的常数，所以，即，此时= 当与轴垂直时，点的坐标可分别设为， 此时 故在轴上存在定点，使为常数 解法二： （I）同解法一的（I）
31、有 当不与轴垂直时，设直线的方程是 代入有 则是上述方程的两个实根，所以 由得 当时，由得，将其代入有 整理得 当时，点的坐标为，满足上述方程 当与轴垂直时，求得，也满足上述方程 故点的轨迹方程是 （II）假设在轴上存在定点点，使为常数， 当不与轴垂直时，由（I）有， 以上同解法一的（II） 【误区警示】 1.错误诊断 【例题【例题 5】中，B，C 坐标分别为（-3，0） ， （3，0） ，且三角形周长为 16，求点 A 的轨迹方程。 【常见错误】由题意可知，|AB|+|AC|=10，满足椭圆的定义。令椭圆方程为， 则由定义可知，则，得轨迹方程为 【错因剖析】【错因剖析】ABC 为三角形，故
32、A，B，C 不能三点共线。 【正确解答【正确解答】 ABC 为三角形， 故 A， B， C 不能三点共线。 轨迹方程里应除去点， 即轨迹方程为 2.误区警示 1：在求轨迹方程中易出错的是对轨迹纯粹性及完备性的忽略，因此，在求 出曲线方程的方程之后，应仔细检查有无“不法分子”掺杂其中，将其剔除；另一 方面，又要注意有无“漏网之鱼”仍逍遥法外，要将其“捉拿归案”。 2：求轨迹时方法选择尤为重要，首先应注意定义法，几何法，直接法等方 法的选择。 3：求出轨迹后，一般画出所求轨迹，这样更易于检查是否有不合题意的部 分或漏掉的部分。 【课外作业】 【基础训练】 1:已知两点给出下列曲线方程：； ；，在曲
33、线上存在点 P 满足的所有曲线方程是 （） ABCD 【答案答案】:D 【解答】【解答】: 要使得曲线上存在点 P 满足,即要使得曲线与 MN 的中垂线 有交点.把直线方程分别与四个曲线方程联立求解,只有无解,则选 D 2.两条直线与的交点的轨迹方程是. 【解答】【解答】:直接消去参数即得(交轨法): 3:已知圆的方程为(x-1)2+y2=1,过原点 O 作圆的弦 0A，则弦的中点 M 的轨迹方程 是. 【 解 答 】【 解 答 】 : 令 M 点 的 坐 标 为 (, 则 A 的 坐 标 为 (2, 代 入 圆 的 方 程 里 面 得: 4:当参数 m 随意变化时，则抛物线的顶点的轨迹方程为
34、_。 【分析分析】 ： 把所求轨迹上的动点坐标 x， y 分别用已有的参数 m 来表示， 然后消去参数 m， 便可得到动点的轨迹方程。 【解答【解答】 ：抛物线方程可化为 它的顶点坐标为 消去参数 m 得： 故所求动点的轨迹方程为。 5:点 M 到点 F （4， 0） 的距离比它到直线的距离小 1， 则点 M 的轨迹方程为_。 【分析分析】 ：点 M 到点 F（4，0）的距离比它到直线的距离小 1，意味着点 M 到点 F（4， 0）的距离与它到直线的距离相等。由抛物线标准方程可写出点 M 的轨迹方程。 【解答【解答】 ：依题意，点 M 到点 F（4，0）的距离与它到直线的距离相等。则点 M 的
35、轨迹 是以 F（4，0）为焦点、为准线的抛物线。故所求轨迹方程为。 6:求与两定点距离的比为 1：2 的点的轨迹方程为_ 【分析分析】:设动点为 P，由题意，则依照点 P 在运动中所遵循的条件，可列出等量关系式。 【解答【解答】 ：设是所求轨迹上一点，依题意得 由两点间距离公式得： 化简得： 7 抛物线的通径（过焦点且垂直于对称轴的弦）与抛物线交于 A、B 两点，动点 C 在抛物线上，求ABC 重心 P 的轨迹方程。 【分析分析】 ： 抛物线的焦点为。 设ABC 重心 P 的坐标为， 点 C 的坐标为。 其中 【解答【解答】 ：因点是重心，则由分点坐标公式得： 即 由点在抛物线上，得： 将代入
36、并化简，得：（ 【能力训练】 8.已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F（，0），直线 y=x1 与其相交于 M、N 两点， MN 中点的横坐标为，求此双曲线方程。 【解答】【解答】：设双曲线方程为。将 y=x1 代入方程整理得 。 由韦达定理得。 又有， 联立方程组， 解得。 此双曲线的方程为。 9.已知动点 P 到定点 F（1，0）和直线 x=3 的距离之和等于 4，求点 P 的轨迹方程。 【解答】【解答】：设点 P 的坐标为（x，y），则由题意可得。 （1）当 x3 时，方程变为，化简得 。 （2）当 x3 时，方程变为，化简得 。 故所求的点 P 的轨迹方程是或 10.过原点作直线 l
37、和抛物线交于 A、B 两点，求线段 AB 的中点 M 的轨迹方程。 【解答】【解答】：由题意分析知直线 l 的斜率一定存在，设直线 l 的方程 y=kx。把它代 入抛物线方程，得。因为直线和抛物线相交，所 以0，解得。 设 A （） ，B（）， M（x，y），由韦达定理得。 由消去 k 得。 又，所以。 点 M 的轨迹方程为。 【创新应用】 11.一个圆形纸片，圆心为 O，F 为圆内一定点，M 是圆周上一动点，把纸片折叠使 M 与 F 重合，然后抹平纸片，折痕为 CD，设 CD 与 OM 交于 P，则 P 的轨迹是（） A:椭圆B:双曲线C:抛物线D:圆 【答案答案】 ：A 【解答【解答】 ：
38、由对称性可知|PF|=|PM|，则|PF|+|PO|=|PM|+|PO|=R（R 为圆的半径） ，则 P 的轨 迹是椭圆，选 A 第第 7 关：关： 参数方程与极坐标问题参数方程与极坐标问题“考点考点”面面看面面看 “参数方程与极坐标”主要内容是参数方程和普通方程的互化， 极坐标系与普通坐标系 的互化，参数方程和极坐标的简单应用三块，下面针对这三块内容进行透析： 一、参数方程与普通方程的互化一、参数方程与普通方程的互化 化参数方程为普通方程的基本思路是消去参数， 常用的消参方法有代入消去法、 加减消 去法、恒等式（三角的或代数的）消去法；化普通方程为参数方程的基本思路是引入参数， 即选定合适的
39、参数，先确定一个关系（或，再代入普通方程 ，求得另一关系（或）.一般地，常选择的参数有角、有向 线段的数量、斜率，某一点的横坐标（或纵坐标） 例例 1、方程表示的曲线是（） A. 双曲线B.双曲线的上支C.双曲线的下支D.圆 分析：把参数方程化为我们熟悉的普通方程，再去判断它表示的曲线类型是这类问题 的破解策略. 解析：注意到 t与 互为倒数，故将参数方程的两个等式两边分别平方，再相减， 即可消去含的项，即有，又注意到 ，可见与以上参 数方程等价的普通方程为 .显然它表示焦点在轴上，以原点为中心的双曲线的上支，选 B. 点评： 这是一类将参数方程化为普通方程的检验问题， 转化的关键是要注意变量
40、范围的 一致性. 趁热打铁趁热打铁 1：与普通方程等价的参数方程是（） （ 为能数） 解析：所谓与方程等价，是指若把参数方程化为普通方程后不但形式一 致而且的变化范围也对应相同，按照这一标准逐一验证即可破解. 对于 A 化为普通方程为； 对于 B 化为普通方程为； 对于 C 化为普通方程为; 对于 D 化为普通方程为. 而已知方程为显然与之等价的为 B. 例例 2、设 P 是椭圆上的一个动点，则的最大值是，最小值 为. 分析：注意到变量的几何意义，故研究二元函数的最值时，可转化为几 何问题.若设，则方程表示一组直线， （对于 取不同的值，方程表示不 同的直线） ，显然既满足，又满足，故点是方程
41、组 的公共解，依题意得直线与椭圆总有公共点，从而转化为研究消无后的一 元二次方程的判别式问题. 解析： 令， 对于既满足， 又满足， 故点 是 方 程 组的 公 共 解 ， 依 题 意 得， 由 ， 解得：， 所以的最大值为， 最小值为. 点评：对于以上的问题，有时由于研究二元函数有困难，也常采用消元，但由 满足的方程来表示出或时会出现无理式， 这对进一步求函数最值依 然 不 够 简 洁 ， 但 若 通 过 三 角 函 数 换 元 ， 则 可 实 现 这 一 途 径 . 即 ，因此可通过转化为的一元函数.以上二个思路都叫“参数 法”. 趁热打铁趁热打铁 2：已知线段，直线 l 垂直平分，交于点
42、 O，在属于 l 并且 以 O 为起点的同一射线上取两点，使，求直线 BP 与直线的交点 M 的轨迹方程. 解析：以 O 为原点，BB为 y 轴， 为轴建立直角坐标系，则， ，设，则由，得，则直线 BP 的 方 程 为； 直 线和 方 程 为； ，因此点 M 的轨迹为长轴长为 6，短轴长为 4 的 椭圆（除 B，）. 二、极坐标与直角坐标的互化二、极坐标与直角坐标的互化 利用两种坐标的互化， 可以把不熟悉的问题转化为熟悉的问题， 这二者互化的前提条件 是（1）极点与原点重合； （2）极轴与轴正方向重合； （3）取相同的单位长度.设点 P 的直 角坐标为，它的极坐标为，则；若把直角 坐标化为极坐
43、标，求极角时，应注意判断点 P 所在的象限（即角的终边的位置） ，以便 正确地求出角. 例例 3、极坐标方程表示的曲线是（） A. 圆B. 椭圆C. 双曲线的一支D. 抛物线 分析：这类问题需要将极坐标方程转化为普通方程进行判断. 解析：由，化为直角坐标系方程为 ，化简得.显然该方程表示抛物线，故选 D. 点评： 若直接由所给方程是很难断定它表示何种曲线， 因此通常要把极坐标方程化为直 角坐标方程，加以研究. 趁热打铁趁热打铁 3：已知直线的极坐标方程为，则极点到该直线的距离 是 解析：极点的直角坐标为，对于方程 ，可得化为直角坐标方程 为，因此点到直线的距离为. 例例 4、极坐标方程转化成直
44、角坐标方程为（） AB CD 分析：极坐标化为直解坐标只须结合转化公式进行化解. 解析：，因此选 C. 点评：此题在转化过程中要注意不要失解，本题若成为填空题，则更要谨防漏解. 趁热打铁趁热打铁 4：点的直角坐标是，则点的极坐标为（） ABC D 解析：都是极坐标，因此选 C. 三、参数方程与极坐标的简单应用三、参数方程与极坐标的简单应用 参数方程和极坐标的简单应用主要是：求几何图形的面积、曲线的轨迹方程或研究某 些函数的最值问题. 例例 5、已知的三个顶点的极坐标分别为,判 断三角形 ABC 的三角形的形状，并计算其面积. 分析：判断ABC 的形状，就需要计算三角形的边长或角，在本题中计算边
45、长较为容 易，不妨先计算边长. 解析：如图，对于， 又，由余弦定理得： ， ， 所 以AB边 上 的 高, 趁热打铁趁热打铁 5：如图，点 A 在直线 x=5 上移动，等腰OPA 的顶角OPA 为 120（O，P，A 按顺时针方向排列） ，求点 P 的轨迹方程. 解析：取 O 为极点，正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线的极坐 标方程为， 设 A （，） ， P， 因点 A 在直线上， 为等腰三角形，且 ，以及 ，把代入，得点 P 的轨迹的极坐标 方程为：. 即时训练即时训练 一、选择题（8 题） 1. 已知点M的极坐标为， 下列所给出的四个坐标中不能表示点M的坐标是 （） A.B.C.D. 2
46、若直线的参数方程为，则直线的斜率为（） ABCD 3下列在曲线上的点是（） ABCD 4将参数方程化为普通方程为（） ABC D 5参数方程为表示的曲线是（） A一条直线B两条直线C一条射线D两条射线 6直线和圆交于两点，则 的中点坐标 为（）ABCD 7极坐标方程表示的曲线为（） A一条射线和一个圆B两条直线C一条直线和一个圆D一个圆 8 直线 的参数方程为， 上的点对应的参数是， 则点与 之间的距离是（） ABC D 二、填空题（4 题） 9. 点的极坐标为 10. 圆心为 C，半径为 3 的圆的极坐标方程为 11. 极坐标方程为表示的圆的半径为 12 若 A，B，则|AB|=_，_（其中
47、 O 是极 点） 三、解答题（3 题） 13. 求椭圆。 14. 若方程的曲线是椭圆，求实数的取值范围. 15.，若 A、B 是 C 上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直 平分线交 x 轴于 P（a，0） ，求 a 的取值范围. 即时训练参考答案即时训练参考答案 一、选择题： 1.A解析：能表示点 M 的坐标有 3 个，分别是 B、C、D. 2D解析： 3B解析：转化为普通方程：，当时， 4C解析：转化为普通方程：，但是 5、D 解析：表示一条平行于轴的直线，而，所以表 示两条射线 6D解析：，得， 因此中点为 7 C解 析 ：， 则 或 8、C解析： 距离为 二、填空题： 9、或写成解
48、析：由，得而点 位于第四象限且或，故点的极坐 标为或写成. 10 、解 析 ： 如 下 图 ， 设 圆 上 任 一 点 为 P （）， 则 11、1解析：方程变形为，该方程表示的圆的半径与圆 的半径相等，故所求的圆的半径为 r=1 12、解析：在极坐标系中画出点 A、B，易得， 三、解答题： 13. 解析：（先设出点 P 的坐标， 建立有关距离的函数关系） 到定点的距离为 ， 14. 解析：将方程两边同乘以，化为： ， 若方程表示椭圆， 则须满足： 15.，若 A、B 是 C 上关于坐标轴不对称的任意两点，AB 的垂直 平分线交 x 轴于 P（a，0） ，求 a 的取值范围. 15. 解析：，
49、 ， ， ， 第第 8 关：关： 均值不等式问题均值不等式问题拼凑拼凑 8 法法 利用均值不等式求最值或证明不等式是高中数学的一个重点。 在运用均值不等式解题时, 我们常常会遇到题中某些式子不便于套用公式， 或者不便于利用题设条件， 此时需要对题中 的式子适当进行拼凑变形。 均值不等式等号成立条件具有潜在的运用功能。 以均值不等式的 取等条件为出发点，为解题提供信息，可以引发出种种拼凑方法。笔者把运用均值不等式的 拼凑方法概括为八类。 一、一、拼凑定和拼凑定和 通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为通过因式分解、纳入根号内、升幂等手段，变为“积积”的形式，然后以均值不等式的取的形式，然后以
50、均值不等式的取 等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。等条件为出发点，均分系数，拼凑定和，求积的最大值。 例例 已知，求函数的最大值。 解：解： 。 当且仅当，即时，上式取“=”。故。 评注评注：通过因式分解通过因式分解，将函数解析式由将函数解析式由“和和”的形式的形式，变为变为“积积”的形式的形式，然后利用隐含的然后利用隐含的“定定 和和”关系，求关系，求“积积”的最大值。的最大值。 例例 2求函数的最大值。 解解：。 因， 当且仅当，即时，上式取“=”。故。 评注评注：将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元将函数式中根号外的正变量移进根号内的目的是集中变元，为为“拼
