1、圆锥曲线解题十招全归纳圆锥曲线解题十招全归纳 招式一：弦的垂直平分线问题.2 招式二：动弦过定点的问题.4 招式四：共线向量问题. 6 招式五：面积问题. 13 招式六：弦或弦长为定值、最值问题.16 招式七：直线问题. 20 招式八：轨迹问题. 24 招式九：对称问题. 31 招式十、存在性问题. 34 招式一招式一：弦的垂直平分线问题：弦的垂直平分线问题 例题1、 过点T(-1,0)作直线l与曲线N ： 2 yx交于A、 B两点， 在x 轴上是否存在一点E( 0 x,0)， 使得ABE 是等边三角形，若存在，求出 0 x；若不存在，请说明理由。 解：解：依题意知，直线的斜率存在，且不等于
2、0。 设直线:(1)l yk x，0k ， 11 ( ,)A x y， 22 (,)B xy。 由 2 (1)yk x yx 消 y 整理，得 2222 (21)0k xkxk 由直线和抛物线交于两点，得 2242 (21)4410kkk 即 2 1 0 4 k 由韦达定理，得： 2 12 2 21,k xx k 12 1x x 。则线段 AB 的中点为 2 2 211 (,) 22 k kk 。 线段的垂直平分线方程为： 2 2 111 2 () 22 k yx kkk 令 y=0,得 0 2 11 22 x k ，则 2 11 (,0) 22 E k ABE为正三角形， 2 11 (,0)
3、 22 E k 到直线 AB 的距离 d 为 3 2 AB。 22 1212 ()()ABxxyy 2 2 2 1 4 1 k k k 2 1 2 k d k 22 2 2 3 1 41 1 22 kk k kk 解得 39 13 k 满足式此时 0 5 3 x 。 【涉及到弦的垂直平分线问题】【涉及到弦的垂直平分线问题】 这种问题主要是需要用到弦这种问题主要是需要用到弦 AB 的垂直平分线的垂直平分线 L 的方程，往往是利用的方程，往往是利用点差或者韦达定理点差或者韦达定理 产生弦产生弦 AB 的中点坐标的中点坐标 M，结合弦，结合弦 AB 与它的垂直平分线与它的垂直平分线 L 的斜率互为负
4、倒数，写出弦的垂直平分线的斜率互为负倒数，写出弦的垂直平分线 L 的方程，然的方程，然 后解决相关问题，比如：求后解决相关问题，比如：求 L 在在 x 轴轴 y 轴上的截距的取值范围，求轴上的截距的取值范围，求 L 过某定点等等。有时候题目的条件过某定点等等。有时候题目的条件 比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦比较隐蔽，要分析后才能判定是有关弦 AB 的中点问题，比如：弦与某定点的中点问题，比如：弦与某定点 D 构成以构成以 D 为顶点的等腰三为顶点的等腰三 角形（即角形（即 D 在在 AB 的垂直平分线上的垂直平分线上） 、曲线上存在两点、曲线上存在两点 AB 关于直线关于直线 m 对称等等
5、。对称等等。 例题分析例题分析 1：已知抛物线 y=-x2+3 上存在关于直线 x+y=0 对称的相异两点 A、B，则|AB|等于 解： 设直线AB的方程为yxb， 由 2 2 12 3 301 yx xxbxx yxb ， 进而可求出AB 的中点 11 (,) 22 Mb，又由 11 (,) 22 Mb在直线0 xy上可求出1b ， 2 20 xx，由弦 长公式可求出 22 1 114 ( 2)3 2AB 招式二招式二：动弦过定点的问题：动弦过定点的问题 例题 2、已知椭圆 C： 22 22 1(0) xy ab ab 的离心率为 3 2 ， 且在 x 轴上的顶点分别为 A1(-2,0),A
6、2(2,0)。 （I）求椭圆的方程； （II）若直线:(2)l xt t与 x 轴交于点 T,点 P 为直线l上异于 点 T 的任一点，直线 PA1,PA2分别与椭圆交于 M、N 点，试问直 线 MN 是否通过椭圆的焦点？并证明你的结论 解： （I）由已知椭圆 C 的离心率 3 2 c e a ，2a ,则得3,1cb。从而椭圆的方程为 2 2 1 4 x y （II）设 11 ( ,)M x y， 22 (,)N xy，直线 1 AM的斜率为 1 k,则直线 1 AM的方程为 1( 2)yk x，由 1 22 (2) 44 yk x xy 消 y 整理得 222 121 (14)161640
7、kxk xk 1 2x和是方程的两个根， 2 1 1 2 1 164 2 14 k x k 则 2 1 1 2 1 28 14 k x k ， 1 1 2 1 4 14 k y k ，即点 M 的坐标为 2 11 22 11 284 (,) 1414 kk kk ， 同理，设直线 A2N 的斜率为 k2，则得点 N 的坐标为 2 22 22 22 824 (,) 1414 kk kk 12 (2),(2) pp yk tyk t 12 12 2kk kkt ，直线 MN 的方程为： 121 121 yyyy xxxx ， 令 y=0，得 2112 12 x yx y x yy ，将点 M、N
8、的坐标代入，化简后得： 4 x t 又2t ， 4 02 t 椭圆的焦点为( 3,0) 4 3 t ，即 4 3 3 t 故当 4 3 3 t 时，MN 过椭圆的焦点。 招式三招式三：过已知曲线上定点的弦的问题：过已知曲线上定点的弦的问题 例题 4、已知点 A、B、C 是椭圆 E： 22 22 1 xy ab (0)ab上的三点，其中点 A(2 3,0)是椭圆的右顶 点，直线 BC 过椭圆的中心 O，且0AC BC ，2BCAC ，如图。(I)求点 C 的坐标及椭圆 E 的方程； (II)若椭圆 E 上存在两点 P、Q，使得直线 PC 与直线 QC 关于直线3x 对称，求直线 PQ 的斜率。
9、解：(I)2BCAC ，且 BC 过椭圆的中心 O OCAC 0AC BC 2 ACO 又A (2 3,0)点 C 的坐标为( 3, 3)。 A(2 3,0)是椭圆的右顶点，2 3a，则椭圆方程为： 22 2 1 12 xy b 将点 C( 3, 3)代入方程，得 2 4b ，椭圆 E 的方程为 22 1 124 xy (II)直线 PC 与直线 QC 关于直线3x 对称， 设直线 PC 的斜率为k，则直线 QC 的斜率为k，从而直线 PC 的方程为： 3(3)yk x，即3(1)ykxk，由 22 3(1) 3120 ykxk xy 消 y，整理得： 222 (1 3)6 3 (1)9183
10、0kxkk xkk3x 是方程的一个根， 2 2 9183 3 1 3 P kk x k 即 2 2 9183 3(1 3) P kk x k 同理可得： 2 2 9183 3(1 3) Q kk x k 3(1)3(1) PQPQ yykxkkxk()2 3 PQ k xxk 2 12 3(1 3) k k 22 22 91839183 3(1 3)3(1 3) PQ kkkk xx kk 2 36 3(1 3) k k 1 3 PQ PQ PQ yy k xx 则直线 PQ 的斜率为定值 1 3 。 招式四招式四：共线向量问题：共线向量问题 1：如图所示，已知圆MAyxC),0 , 1 (
11、, 8) 1( : 22 定点为圆上一动点，点 P 在 AM 上，点 N 在 CM 上， 且满足NAMNPAPAM点, 0,2的轨迹为曲线 E.I）求曲线 E 的方程；II）若过定点 F（0，2）的直 线交曲线 E 于不同的两点 G、H（点 G 在点 F、H 之间） ，且满足FHFG，求的取值范围. 解： （1）. 0,2AMNPAPAMNP 为 AM 的垂直平分线，|NA|=|NM| 又. 222|,22|ANCNNMCN动点 N 的轨迹是以点 C（1，0） ，A（1，0）为焦点的椭圆.且椭圆长轴长为,222a 焦距 2c=2. 1, 1,2 2 bca曲线 E 的方程为. 1 2 2 2
12、y x （2）当直线 GH 斜率存在时，设直线 GH 方程为, 1 2 , 2 2 2 y x kxy代入椭圆方程 得. 2 3 0. 034) 2 1 ( 222 kkxxk得由设),(),( 2211 yxHyxG )2( 21 6 2 1 3 ),1 ( 21 8 2 1 4 2 2 21 2 2 21 k k xx k k k k xx 则 )2,()2,(, 2211 yxyxFHFG又, 2 1 21 x x xx， )2 1 (3 32 )21 (3 32 2 1 )2( ) 1 ( 2 2 22 k k k . 3 3 1 . 3 16 2 1 4. 3 16 )2 1 (3
13、32 4, 2 3 2 2 解得 k k . 1 3 1 , 10又 又当直线 GH 斜率不存在，方程为. 3 1 , 3 1 , 0FHFGx) 1 , 3 1 , 1 3 1 的取值范围是即所求 2：已知椭圆 C 的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个顶点恰好是抛物线 2 1 4 yx的焦点，离心率 为 2 5 5 .（1）求椭圆 C 的标准方程； （2）过椭圆 C 的右焦点作直线l交椭圆 C 于A、B两点，交y轴于 M点，若 1 MAAF ， 2 MBBF ，求证： 12 10 . 解：设椭圆 C 的方程为 22 22 1 xy ab （ab0）抛物线方程化为 2 4xy，其焦点为(0
14、,1)， 则椭圆 C 的一个顶点为(0,1)，即1b 由 22 2 2 5 5 cab e aa ， 2 5a ，椭圆 C 的方程为 2 2 1 5 x y（2）证明：右焦点(2,0)F，设 11220 ( ,), (,),(0,)A x yB xyMy，显然直线l的斜率存在，设直 线l的方程为(2)yk x，代入方程 2 2 1 5 x y并整理，得 2222 (1 5)202050kxk xk 2 12 2 20 1 5 k xx k ， 2 12 2 205 1 5 k x x k 又 110 ( ,)MAx yy ， 220 (,)MBxyy ， 11 (2,)AFxy ， 22 (2
15、,)BFxy ， 而 1 MAAF ， 2 MBBF ， 即 110111 (0,)(2,)xyyxy， 220222 (0,)(2,)xyyxy 1 1 1 2 x x ， 2 2 2 2 x x ，所以 121212 12 121212 2()2 10 2242() xxxxx x xxxxx x 3、已知OFQ 的面积 S=26, 且mFQOF。设以 O 为中心，F 为焦点的双曲线经过 Q， 2 ) 1 4 6 (,|cmcOF，当|OQ取得最小值时，求此双曲线方程。 解：设双曲线方程为设双曲线方程为1 2 2 2 2 b y a x ，Q（x0, y0） 。 ),( 00 ycxFQ，
16、SOFQ=62| 2 1 0 yOF， c y 64 0 。 ),)(0 ,( 00 ycxcFQOF=c(x0c)=cxc 4 6 ) 1 4 6 ( 0 2 。 , 32 96 8 3 2 2 2 0 2 0 c c yxOQ 当且仅当)6,6()6,6(,| ,4, 96 8 3 2 2 或此时最小时即QOQc c c ， 所以1 124 . 12 4 16 1 66 22 2 2 22 22 yx b a ba ba故所求的双曲线方程为。 类型类型 1求待定字母的值求待定字母的值 例 1 设双曲线 C：)0( 1 2 2 2 ay a x 与直线 L：x+y=1 相交于两个不同的点 A
17、、B，直线 L 与 y 轴交 于点 P，且 PA=PB 12 5 ，求a的值 思路：思路：设 A、B 两点的坐标，将向量表达式转化为坐标表达式，再利用韦达定理，通过解方程组求 a 的值。 解：解：设 A(x1,y1)，B(x2,y2)，P(0,1) PA=),1,( 12 5 ) 1,(, 12 5 2211 yxyxPBx1= 2 12 5 x. 联立， 1 1 2 2 2 y a x yx 消去 y 并整理得，(1a2)x2+2a2x2a2=0(*) A、B 是不同的两点， ， ， 0)1 (84 01 224 2 aaa a 0a2且 a1.于是 x1+x2= 2 2 1 2 a a 且
18、 x1x2= 2 2 1 2 a a ， 即 2 2 2 2 2 2 2 1 2 12 5 , 1 2 12 17 a a x a a x 且，消去 x2得， 2 2 1 2 a a = 60 289 ， a= 13 17 ，0a0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点，O 为坐标原点， （I）求椭圆 E 的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB ？若 存在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆 E: 22 22 1 xy ab （a,b0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点, 所
19、以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB , 设该圆的切线方程为ykxm解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm,即 222 (12)4280kxkmxm, 则= 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 222222 222
20、12121212 222 (28)48 ()()() 121212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使 OAOB ,需使 1212 0 x xy y,即 222 22 288 0 1212 mmk kk ,所以 22 3880mk,所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km,所以 2 2 2 38 m m ,所以 2 8 3 m ,即 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,因为 直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 2 1 m r k , 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk , 2 6 3 r ,所求的圆
21、为 22 8 3 xy,此时圆的切线 ykxm都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m ,而当切线的斜率不存在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 满足OAOB ,综上, 存在圆心在原点 的圆 22 8 3 xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB . 因为 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 所以 222 222 121212 2222 4288(84) ()()4()4 1212(12) kmmkm xxxxx x kk
22、k , 22 2 2222 121212 22 8(84) |()(1)()(1) (12) km ABxxyykxxk k 422 4242 32 45132 1 34413441 kkk kkkk , 当0k 时 2 2 321 |1 1 3 44 AB k k 因为 2 2 1 448k k 所以 2 2 11 0 1 8 44k k ,所以 2 2 32321 112 1 33 44k k , 所以 4 6 | 2 3 3 AB当且仅当 2 2 k 时取”=”. 2当0k 时, 4 6 | 3 AB . 3当 AB 的斜率不存在时, 两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62
23、 6 (,) 33 ,所以此时 4 6 | 3 AB , 综上, |AB |的取值范围为 4 6 | 2 3 3 AB即: 4 | 6,2 3 3 AB 2、在平面直角坐标系xOy中，经过点(02)，且斜率为k的直线l与椭圆 2 2 1 2 x y有两个不同的交点P 和Q （I）求k的取值范围； （II）设椭圆与x轴正半轴、y轴正半轴的交点分别为AB，是否存在常数 k，使得向量OPOQ 与AB 共线？如果存在，求k值；如果不存在，请说明理由 解： （）由已知条件，直线l的方程为2ykx，代入椭圆方程得 2 2 (2)1 2 x kx 整理得 22 1 2 210 2 kxkx 直线l与椭圆有两
24、个不同的交点P和Q等价于 222 1 84420 2 kkk ，解得 2 2 k 或 2 2 k 即k的取值范围为 22 22 ， （）设 1122 ()()P xyQ xy，则 1212 ()OPOQxxyy ，由方程， 12 2 4 2 12 k xx k 又 1212 ()2 2yyk xx而( 2 0)(01)(21)ABAB ，所以所以OPOQ 与与AB 共线等价于共线等价于 1212 2()xxyy ，将代入上式，解得 2 2 k 由（）知 2 2 k 或 2 2 k ，故没有符合 题意的常数k 3、设 1 F、 2 F分别是椭圆 22 1 54 xy +=的左、右焦点. （）若
25、P 是该椭圆上的一个动点，求 21 PFPF 的 最大值和最小值；（）是否存在过点 A（5，0）的直线 l 与椭圆交于不同的两点 C、D，使得|F2C|=|F2D|？ 若存在，求直线 l 的方程；若不存在，请说明理由. 解：易知)0 , 1(),0 , 1(, 1, 2,5 21 FFcba ，设 P（x，y） ， 则1),1 (),1( 22 21 yxyxyxPFPF，3 5 1 1 5 4 4 222 xxx5,5x， 0 x当，即点 P 为椭圆短轴端点时， 21 PFPF 有最小值 3； 当5x，即点 P 为椭圆长轴端点时， 21 PFPF 有最大值 4 （）假设存在满足条件的直线 l
26、 易知点 A（5，0）在椭圆的外部，当直线 l 的斜率不存在时，直线 l 与椭 圆无交点，所在直线 l 斜率存在，设为 k，直线 l 的方程为)5( xky 由方程组 22 2222 1 (54)50125200 54 (5) xy kxk xk yk x ，得 依题意 2 55 20(1680)0 55 kk ，得当 5 5 5 5 k时， 设交点 C),(),( 2211 yxDyx、， CD 的中点为 R),( 00 yx，则 45 25 2 , 45 50 2 2 21 0 2 2 21 k kxx x k k xx . 45 20 )5 45 25 ()5( 22 2 00 k k
27、k k kxky又|F2C|=|F2D|1 2 2 RF kklRF 1 204 20 45 25 1 ) 45 20 (0 2 2 2 2 2 2 k k k k k k kkk RF 20k2=20k24，而 20k2=20k24 不成立，所以不存 在直线l，使得|F2C|=|F2D|综上所述，不存在直线 l，使得|F2C|=|F2D| 4、椭圆 G：)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的两个焦点为 F1、F2，短轴两端点 B1、B2，已知 F1、F2、B1、B2四 点共圆，且点 N（0，3）到椭圆上的点最远距离为. 25（1）求此时椭圆 G 的方程； （2）设斜率为 k（k
28、0） 的直线 m 与椭圆 G 相交于不同的两点 E、F，Q 为 EF 的中点，问 E、F 两点能否关于过点 P（0， 3 3 ） 、 Q 的直线对称？若能，求出 k 的取值范围；若不能，请说明理由 解： （1）根据椭圆的几何性质，线段 F1F2与线段 B1B2互相垂直平分，故椭圆中心即为该四点外接圆的圆 心故该椭圆中,22cba即椭圆方程可为 222 22byx，H（x,y）为椭圆上一点，则 bybbyyxHN其中,182)3()3(| 22222 ，30 b，则 2 | , HNby时有最 大值96 2 bb，2535096 2 bbb得（舍去） ， 182| ,3, 3 22 bHNyb有
29、最大值时当，1650182 22 bb得所求椭圆方程为1 1632 22 yx （2）设),(),(),( 002211 yxQyxFyxE，则由 1 1632 1 1632 2 2 2 2 2 1 2 1 yx yx 两式相减得02 00 kyx 又直线 PQ直线 m直线 PQ 方程为 3 31 x k y将点 Q（ 00, y x）代入上式得， 3 31 00 x k y 由得 Q（ 3 3 , 3 32 k） ，Q 点必在椭圆内部1 1632 2 0 2 0 yx ， 由此得 2 94 00 2 94 , 0, 2 47 2 kkkk或又故当) 2 94 , 0()0 , 2 94 (k
30、时，E、F 两点 关于点 P、Q 的直线对称 5、已知椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的离心率为 3 3 ，过右焦点F的直线l与C相交于A、B两点，当l 的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为 2 2 （I）求a，b的值； （II）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OP OAOB 成立？若存在，求出所有的P 的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。 解： （）设,0 , cF当l的斜率为 1 时，其方程为Ocyx, 0到l的距离为 22 00 c c ，故 2 2 2 c ，1c， 由 3 3 a c e，得3a， 22 cab=2 （）C 上存在点P，使得当l绕F
31、转到某一位置时，有OBOAOP成立。 由 （）知椭圆 C 的方程为 2 2x+ 2 3y=6.设).,(),( 2211 yxByxA () 1( xkylxl的方程为轴时，设不垂直当 假设C上存在点 P，且有OP OAOB 成立，则）点的坐标为（ 2121 ,yyxxP， 6)(3)(2 2 21 2 21 yyxx ，整理得 6643232 2121 2 2 2 2 2 1 2 1 yyxxyxyx 632 , 632 2 2 2 2 2 1 2 1 yxyxCBA上，即在、又 故0332 2121 yyxx 将并化简得代入, 632) 1( 22 yxxky 0636)32( 2222
32、kxkxk 于是 2 2 21 32 6 k k xx , 21x x= 2 2 32 63 k k , 2 2 21 2 21 32 4 )2)(1( k k xxkyy ， 代入解得，2 2 k，此时 2 3 21 xx 于是)2( 2121 xxkyy= 2 k ， 即) 2 , 2 3 ( k P 因此， 当2k时，) 2 2 , 2 3 (P，022 yxl的方程为； 当2k时，) 2 2 , 2 3 (P，022 yxl的方程为。 （）当l垂直于x轴时，由)0 , 2(OBOA知，C 上不存在点 P 使OBOAOP成立。 综上，C 上存在点) 2 2 , 2 3 (P使OBOAOP
33、成立，此时l的方程为022 yx. 6、已知直线 220 xy 经过椭圆 22 22 :1(0) xy Cab ab 的左顶点A和上顶点D，椭圆C的右顶 点为B，点S是椭圆C上位于x轴上方的动点，直线 ,AS BS 与直线 10 : 3 l x 分别交于 ,M N 两点。 （I）求椭圆C的方程； （）求线段MN的长度的最小值； （）当线段MN的长度最小时，在椭圆C上是否存在这样的点T，使得 TSB 的面积为 1 5？若存在， 确定点T的个数，若不存在，说明理由 （I）由已知得，椭圆C的左顶点为( 2,0),A 上顶点为(0,1),2,1Dab 故椭圆C的方程为 2 2 1 4 x y （）直线
34、 AS 的斜率k显然存在，且0k ，故可设直线AS的方程为(2)yk x，从而 10 16 (,) 33 k M 由 2 2 (2) 1 4 yk x x y 得 2222 (14)16164kxk xk0 设 11 ( ,),S x y则 2 1 2 164 ( 2), 14 k x k 得 2 1 2 28 14 k x k ，从而 1 2 4 14 k y k 即 2 22 284 (,), 1414 kk S kk 又(2,0)B ，由 1 (2) 4 10 3 yx k x 得 10 3 1 3 x y k 101 (,) 33 N k 故 161 | 33 k MN k 又 161
35、1618 0, |2 33333 kk kMN kk ，当且仅当 161 33 k k ，即 1 4 k 时等号成立 1 4 k时，线段MN的长度取最小值 8 3 （）由（）可知，当MN取最小值时， 1 4 k 此时BS的方程为 6 44 2 20, ( , ), | 5 55 xysBS 要使椭圆C上存在点T，使得TSB的面积等于 1 5 ，只须T到直线BS的距离等于 2 4 ，所以T在 平行于BS且与BS距离等于 2 4 的直线l上。 设直线 :0lxyt+= ，则由 |2|2 , 42 t 解得 3 2 t 或 5 2 t 7、已知双曲线 22 2xy的左、右焦点分别为 1 F， 2 F
36、，过点 2 F的动直线与双曲线相交于AB，两点 （I）若动点M满足 1111 FMF AFBFO （其中O为坐标原点） ，求点M的轨迹方程； （II）在x轴上是否存在定点C，使CA CB 为常数？若存在，求出点C的坐标；若不存在，请说明理由 解：由条件知 1( 2 0) F ， 2(2 0) F，设 11 ()A xy， 22 ()B xy， 解法一： （I）设()M xy，则 1 (2)FMxy ， 111 (2)F Axy ， 1221 (2)(2 0)FBxyFO ，由 1111 FMF AFBFO 得 12 12 26xxx yyy ， 即 12 12 4xxx yyy ， 于是AB的
37、中点坐标为 4 22 xy ， 当AB不与x轴垂直时， 12 12 2 4 8 2 2 y yyy x xxx ，即 1212 () 8 y yyxx x 又因为AB，两点在双曲线上，所以 22 11 2xy， 22 22 2xy，两式相减得 12121212 ()()()()xxxxyyyy，即 1212 ()(4)()xxxyyy 将 1212 () 8 y yyxx x 代入上式，化简得 22 (6)4xy 当AB与x轴垂直时， 12 2xx，求得(8 0)M，也满足上述方程 所以点M的轨迹方程是 22 (6)4xy （II）假设在x轴上存在定点(0)C m，使CA CB 为常数 当AB
38、不与x轴垂直时，设直线AB的方程是(2)(1)yk xk 代入 22 2xy有 2222 (1)4(42)0kxk xk 则 12 xx，是上述方程的两个实根，所以 2 12 2 4 1 k xx k ， 2 12 2 42 1 k x x k ， 于是 2 1212 ()()(2)(2)CA CBxm xmkxx 2222 1212 (1)(2)()4kx xkm xxkm 2222 22 22 (1)(42)4(2) 4 11 kkkkm km kk 2 22 22 2(1 2 )244 2(1 2 ) 11 m km mmm kk 因为CA CB 是与k无关的常数，所以440m，即1m，
39、此时CA CB =1 当AB与x轴垂直时，点AB，的坐标可分别设为(22)，(22)， 此时(12) (12)1CA CB ， 故在x轴上存在定点(10)C ，使CA CB 为常数 8、在平面直角坐标系xoy中，已知圆心在第二象限、半径为2 2的圆C与直线yx相切于坐标原点 O椭圆 22 2 1 9 xy a 与圆C的一个交点到椭圆两焦点的距离之和为10 (1)求圆C的方程； (2)试探究圆C上是否存在异于原点的点Q， 使Q到椭圆右焦点F的距离等于线段OF的长若存在， 请求出点Q的坐标；若不存在，请说明理由 解： (1)设圆心坐标为(m，n)（m0）,则该圆的方程为(x-m)2+(y-n)2=
40、8 已知该圆与直线 y=x 相切，那 么圆心到该直线的距离等于圆的半径，则 2 nm =22即nm =4 又圆与直线切于原点，将点(0，0)代入得 ，m2+n2=8 联立方程和组成方程组解得 2 2 n m ， 故圆的方程为(x+2)2+(y-2)2=8 (2)a=5，a2=25，则椭圆的方程为 22 1 259 xy += 其焦距 c=925=4，右焦点为(4，0)，那么OF=4。 要探求是否存在异于原点的点 Q，使得该点到右焦点 F 的距离等于OF的长度 4，我们可以转化为探求以 右焦点 F 为顶点，半径为 4 的圆(x4)2+y2=8 与(1)所求的圆的交点数。 通过联立两圆的方程解得
41、x= 5 4 ，y= 5 12 即存在异于原点的点 Q( 5 4 ， 5 12 )，使得该点到右焦点 F 的距离等于OF的长。 9、设椭圆E: 22 22 1 xy ab （a，b0）过M（2， 2） ，N(6，1)两点，O为坐标原点， （I）求椭圆E的方程； （II）是否存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆E恒有两个交点A,B,且OA OB ？若存 在，写出该圆的方程，并求|AB |的取值范围，若不存在说明理由。 解:（1）因为椭圆 E: 22 22 1 xy ab （a，b0）过 M（2，2） ，N(6,1)两点, 所以 22 22 42 1 61 1 ab ab 解得 2 2
42、 11 8 11 4 a b 所以 2 2 8 4 a b 椭圆 E 的方程为 22 1 84 xy （2）假设存在圆心在原点的圆，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB , 设该圆的切线方程为ykxm解方程组 22 1 84 xy ykxm 得 22 2()8xkxm,即 222 (12)4280kxkmxm, 则= 222222 164(12)(28)8(84)0k mkmkm,即 22 840km 12 2 2 12 2 4 12 28 12 km xx k m x x k , 222222 222 12121212 222 (28)48 ()()() 121
43、212 kmk mmk y ykxm kxmk x xkm xxmm kkk 要使 OAOB ,需使 1212 0 x xy y,即 222 22 288 0 1212 mmk kk ,所以 22 3880mk, 所以 2 2 38 0 8 m k 又 22 840km, 所以 2 2 2 38 m m ,所以 2 8 3 m , 即 2 6 3 m 或 2 6 3 m , 因为直线ykxm为圆心在原点的圆的一条切线,所以圆的半径为 2 1 m r k ， 22 2 22 8 3813 1 8 mm r mk ， 2 6 3 r ， 所求的圆为 22 8 3 xy，此时圆的切线ykxm都满足 2 6 3 m 或 2 6 3 m ，而当切线的斜率不存 在时切线为 2 6 3 x 与椭圆 22 1 84 xy 的两个交点为 2 62 6 (,) 33 或 2 62 6 (,) 33 满足 OAOB ，综上，存在圆心在原点的圆 22 8 3 xy，使得该圆的任意一条切线与椭圆 E 恒有两个交点 A,B,且OAOB .
