1、平面解析几何 一、思维方法结构图思维方法结构图 平面解析几何是中学数学中独具特色的一门学科.它的学科思想是用代数方法解决几 何问题. 解析几何课教学的根本任务就是要引导学生能深刻领会“平面解析几何”的学科 思想，把握“平面解析几何”这门学科的思维方法. 在平面解析几何的综合性问题的教学中，要突出解析几何的研究问题的一般方法，要 能够明确用代数方法解决几何问题的几个关键的步骤： （1）要能够根据问题的条件，读出几何对象的几何特征.从两个方面去分析：对于单个 的几何对象，要研究它的几何性质，对于不同的几何对象，要关注它们之间的位置关系.再 此基础上做出图形，直观地表达出所分析出来的几何对象的几何特
2、征； （2）在明确了几何对 象的几何特征的基础上，要进行有效的、合理的代数化.包括几何元素的代数化、位置关系 的代数化、所要研究问题的目标进行代数化等； （3）进行代数运算.包括解所联系的方程组、 消去所引进的参数、运用函数的研究方法解决有关的最值问题，等等.（4）根据经过代数运 算得到的代数结果，分析得出几何的结论. 平面解析几何综合题的教学，要能够教出味道，教出东西来.让学生在解决问题的 过程中去体会平面解析几何的基本思想，掌握平面研究解析几何问题的一般方法.而要实现 这个目标， 教师就要打破模式化的束缚， 从解决问题的思维层面去引导学生思考问题与解决 问题，要让学生能够从学科的思维方法角
3、度理解解题的环节.这种理性地认识我们的解题过 程，才能够真正地让学生们掌握研究问题的方法，在教学中的教的逻辑才能够得以实施，学 的逻辑也才能够让学生理解和接受. 二二、例题例题 1.已知圆 22 :341Cxy和两点,0Am，,00B mm ，若圆C上存在点 P，使得90APB ，则m的最大值为 2.如何理解： “直线1 xy ab 通过点(cossin )M，”？ 3. 如果圆 C: 22 ()(2 )4xmym总存在两点到原点距离为 1，求实数m的取值范围. 4.在平面直角坐标系xOy中，点0 3A,，直线24lyx：.设圆C的半径为 1，圆心在 l上.若圆C上存在点M，使2MAMO，求圆
4、心C的横坐标a的取值范围. 5.过定点 M（4，2）任作互相垂直的两条直线 1 l和 2 l，分别与 x 轴、y 轴交于 A,B 两点， 线段 AB 中点为 P，求OP的最小值. 6.满足条件BCACAB2, 2的三角形ABC的面积的最大值 7.直线12byax与圆1 22 yx相交于A、B两点（其中ba,是实数） ，且AOB是 直角三角形(O是坐标原点)，则点( , )P a b与点) 1 , 0(之间距离的最大值为（） A12 B2 C2D12 8.如图，线段=8AB，点C在线段AB上，且=2AC，P为线段CB上一动点，点A绕点C 旋转后与点B绕点P旋转后重合于点D.设=CP x，CPD的
5、面积为( )f x.则( )f x的定 义域为； ( ) fx的零点是. 9.已知点0,2A,2,0B. 若点C在函数 2 yx的图象上，则使得ABC的面积为 2 的点C 的个数为 10.直线=+1y kx与圆04 22 mykxyx交于,M N两点， 且,M N关于直线+ =0 x y对 称.求+m k的值. 11.双曲线 22 1 169 xy ，右支上一点 M， 12 FF M的内切圆与 x 轴切于 P 点， 则 12 PFPF的值是 12. 直线0axbyba 与圆 22 20 xyx的位置关系是 13.设关于x，y的不等式组 210 0 0 xy xm ym ， ，表示的平面区域内存
6、在点 00 P xy，满足 00 22xy，求得m的取值范围是 A 4 3 ，B 1 3 ，C 2 3 ，D 5 3 ， 14. 若实数 , x y满足 22 1xy，则2236xyxy的最小值是. 15 点 P 在左右焦点分别为 12 ,F F的双曲线 22 1 1620 xy 上，若 1 9,PF 则 2 PF= 16已知椭圆 22 1 169 xy 的左右焦点分别为 12 ,F F,点 P 在椭圆上，若 P， 12 ,F F是一个直角 三角形的三个顶点，则点 P 到x轴的距离为 17.已知椭圆 C: 22 1 43 xy .确定m的取值范围，使得对于直线4yxm，C 上有两个不 ACPB
7、 D 同的点关于该直线对称. 18. 抛物线 2 2 (0)ypx p上存在两点,A B关于直线:1l yx 对称，求p的取值范 围. 19.已知菱形ABCD的顶点CA、在椭圆43 22 yx上，对角线BD所在直线的斜率为 1. （）当直线BD过点) 1 , 0(时，求直线AC的方程; （）当60ABC时，求菱形ABCD面积的最大值. 20.设, A B分别为椭圆1 34 22 yx 的左、右顶点，设P为直线4x 上不同于点（4，0） 的任意一点，若直线,AP BP分别与椭圆相交于异于, A B的点MN、，证明点B在以MN 为直径的圆内. 21. 已知：,A B在 2 2ypx上，直线 ,OA
8、 OB倾斜角为, ，且 4 . 证明直线AB过定点. 22. 已知椭圆 22 :24C xy.设O为原点，若点A在椭圆C上，点B在直线2y 上， 且OAOB，试判断AB与圆 22 2xy的位置关系，并证明你的结论. 23.已知 W: 22 1 22 xy （2x ） ， 若 A， B 是 W 上的不同两点， O 是坐标原点， 求OA OB 的最小值. 三三、如何教会学生解决数学问题的方法、如何教会学生解决数学问题的方法 如何找到解决数学问题的方法呢.过去我强调比较多的是解决数学问题的一般方法， 但是这样的阐述就解决数学问题而言还不是全面的.我曾经的一个观点是解决数学问题的方 法越少越好，就是针
9、对解决数学问题的一般方法而言的.但是解决数学问题只靠一般方法就 能解决吗？换句话说， 解决数学问题的一般方法是解决哪个方面的问题？为什么叫一般方法 或通性通法呢？我们常见的数学问题（这里专指学生做的数学题目）都包含两个要素：一个 是这个问题中涉及到的研究对象， 如函数的解析式、 曲线方程、 空间几何体、 数列的通项等， 这个对象不一定是一个， 也许是两个或更多； 还有一个要素是针对研究对象所提出来的需要 解决的具体问题.因此，要解决一个数学问题，首先就要对数学问题的对象（也可以称之为 数学问题的主体）进行研究.要研究单个对象的属性、性质以及两个及以上对象之间的关系. 如：对于一个函数要研究其所
10、有的性质；对于两个函数不仅要研究它们各自的性质，还要研 究它们的代数关系；同样，对于两个几何对象也要研究它们之间的位置关系，等等.这种方 法是研究问题主体的性质、 属性及关系的， 也是解决任何一个数学问题都需要面对的并加以 解决的.从这个意义上来说，这种研究数学问题的方法就是一般方法、通性通法. 解决针对这个研究对象的具体问题的方法是怎么得到的呢？ 在教学实践中，教师经常会结合例题来讲解决问题的方法，通常是对数学问题分类， 针对不同类型的问题对应着不同的方法进行教学.为了让学生能够熟练地掌握老师教给的方 法，常常需要通过一定量的练习、考试等手段达到教学目的.在这种理念下进行的教学，教 师不太关
11、注解决数学问题的方法是如何得到的， 而是把教学的重点放在了学生会不会熟练运 用方法去解决问题. 课堂上如果涉及这个方法是从哪里来的时候，教师经常会说和这个问题 类似的我们什么时候做过、上周我们讲过，所以解决这个问题的方法是什么等等.这种说辞 掩盖了解决数学问题方法的本质，就是说方法是老师教的，只要会用就够了.如此，在学生 的数学思维中， 关于方法的思维活动就变得缺乏逻辑， 数学教学就很容易演变成对解题方法 熟练运用的教学，解决数学问题的思维活动越来越偏离数学学科的本质. 我认为，解决数学具体问题的方法是数学问题的研究对象的性质及关系转化而来的， 是对研究对象的性质及关系研究之后并深刻理解的基础
12、上得到的. 这种方法不是前面我们 所说的一般方法，而是在运用一般方法之后的解决具体数学问题的具体方法.学生要体会到： 这种具体方法不是老师告诉的， 这样的方法没有套路可循， 这样的方法是学生自己根据对问 题对象的性质及关系的研究基础上找到的.如果不分析研究对象的性质及关系，就不会有解 决数学具体问题的具体方法. 这样，我们就看到解决数学问题的方法实际上是两个方法，即一般方法和具体方法. 一般方法不多，但是，由于对数学具体问题分理解不同，对研究对象的性质和关系运用的角 度不同，就出现了各种各样的具体方法.但是，有经验的数学教师会从多种多样的具体方法 中提炼概括，让学生感受到这些具体方法都是来源于
13、问题对象的性质或关系的. 如果学生面对数学问题时， 不再是急急忙忙地进行运算或套用现成的方法， 而是能够 比较从容的对数学问题的研究对象进行理解和深入研究， 并能够在研究的基础上， 找到解决 具体问题的具体方法，那么他的解决数学问题的活动就是有逻辑的数学思维活动.这种能力 一旦获得， 他就不需要依赖老师是否讲过类似的题目， 他也不再靠识别问题的类型和所记忆 的方法来解决问题.因为他把面对的每一个数学题目都是当成新的问题来看待的，对于如何 找到解决这个问题的方法他充满信心. 总之， 教师要能够站在思维的高度来认识如何教会学生解决数学问题， 要明确思维能 力的培养才是提高数学成绩的关键，才是数学教学的价值所在.教师要研究我们的教学，要 有信心找到培养学生解决数学问题能力的规律，把握数学教学的本质.
