1、平面向量的数量积 【原题】已知O为坐标原点,点 1 cos ,sinP, 2 cos, sinP, 3 cos,sinP,()1,0A, 则（） A. 12 OPOP B. 12 APAP C. 3 12 OA OPOP OP D. 123 OA OPOP OP 【答案】AC 【解析】由 1 (cos ,sin)OP , 2 (cos, sin)OP ,可得 12 1OPOP,故 A 正确； 22222 1 |(cos1)sincos2cos1 sin2(1 cos)4sin2|sin| 22 AP , 同理 22 2 |(cos1)sin2|sin| 2 AP , 12 |,|APAP 不一
2、定相等,故 B 错误； 由 3 1 cos()0 sin()cos()OA OP , 12 coscossin( sin)cos()OP OP ,可得 C 正确； 由 1 1 cos0 sincosOA OP , 23 coscos()( sin) sin()OP OP cos cos 2, 123 ,OA OP OP OP 不一定相等,D 错误,故选 AC 【就题论题】本题涉及平面向量的数量积及坐标运算,又涉及三角变换,在知识交汇处命题,背景较新颖,能有 效考查考生分析问题解决问题的能力,是一道难度适中的好题,熟悉新教材必修二（A 版）的同学们应该知道 P35 有利用向量证明两角差余弦公式的
3、例题,该题应该是由此题改编而成. 【命题意图】本题考查平面向量的数量积及坐标运算、三角变换,考查数学运算、逻辑推理及数学抽象的核 心素养.难度：中等 【考情分析】平面向量是高考数学必考知识点,一般以客观题形式考查,热点是平面向量的线性运算及平面向 量的数量积,可以是容易题,也可以是中等难度题,中等难度题常用平面几何、不等式等知识交汇考查. 【得分秘籍】 (1)向量的夹角 已知两个非零向量 a 和 b,作OA a,OB b,则AOB 就是向量 a 与 b 的夹角,向量夹角的范围是：0, (2)平面向量的数量积 定义 设两个非零向量a,b的夹角为,则数量|a|b|cos叫做a与b的数量积, 记作
4、ab 投影 |a|cos叫做向量 a 在 b 方向上的投影, |b|cos叫做向量 b 在 a 方向上的投影 几何意义数量积 ab 等于 a 的长度|a|与 b 在 a 的方向上的投影|b|cos的乘积 (3)平面向量数量积的性质 设 a,b 都是非零向量,e 是单位向量,为 a 与 b(或 e)的夹角则 eaae|a|cos. abab0. 当 a 与 b 同向时,ab|a|b|；当 a 与 b 反向时,ab|a|b|. 特别地,aa|a|2或|a| aa. cos ab |a|b|. |ab|a|b|. (4)平面向量数量积有关性质的坐标表示 设向量 a(x1,y1),b(x2,y2),则
5、 abx1x2y1y2,由此得到 若 a(x,y),则|a|2x2y2或|a| x2y2. 设 A(x1,y1),B(x2,y2),则 A,B 两点间的距离 AB|AB | 22 1212 xxyy. 设两个非零向量 a,b,a(x1,y1),b(x2,y2),则 abx1x2y1y20. 若 a,b 都是非零向量,是 a 与 b 的夹角,则 cos ab |a|b| x1x2y1y2 x21y21x22y22. (5)两个向量 a,b 的夹角为锐角ab0 且 a,b 不共线；两个向量 a,b 的夹角为钝角ab0；两个向量 a,b 的夹角为钝角ab0 (3) 与平面几何有关的向量问题,向量的夹
6、角求错,如ABC 中误认为,AB BC 夹角为ABC. （以下所选试题均来自新高考卷地区 2020 年 1-6 月模拟试卷） 一、单选题一、单选题 1 （2021 河北省邯郸市高三二模）已知向量( 2,6)a ,(1, )bx ,若a 与b 反向,则(3)aab （） A-30B30C-100D100 【答案】D 【解析】由已知得a 与b 共线,则21 6x ,解得3x ,所以(1, 3)b , 所以33( 2,6)(1, 3)( 5,15)ab ,因此(3)( 2,6) ( 5,15)100aab 故选 D. 2 （2021 湖北省武汉市高三 5 月质量检测）已知向量1,3a ,则下列向量中
7、与a 垂直的是（） A0,0B3, 1C3,1D3,1 【答案】D 【解析】对于 A 选项,零向量与任何非零向量平行,A 选项不满足条件； 对于 B 选项,133160 ,B 选项不满足条件； 对于 C 选项,1 33 160 ,C 选项不满足条件； 对于 D 选项,133 10 ,D 选项满足条件.故选 D. 3 （2021 江苏省南通市高三 5 月四模）已知向量sin ,1a ,2sin , 1b ,且a b ,则cos2（） A0B 1 2 C 2 2 D1 【答案】A 【解析】由a b 有 2 2sin10 ,化简有cos20.故选 A. 4 （2021 山东省日照市高三第二次模拟）已
8、知2,4ab ,当 4bab 时,向量a 与b 的夹角为 （） A 6 B 4 C 2 3 D 3 4 【答案】B 【解析】4bab ,2,4ab ,40bab ,即 2 2 440a bba bb , 4a b , 42 cos, 2 24 a b a b a b ,所以向量a 与b 的夹角为 4 ,故选 B. 5 （2021 山东省高考考前热身押题） 已知向量OM ,ON ,OP 的模长均为 2,且满足2 230OMONOP uuuruuu ruuu rr , 则PM PN 的值为（） A 19 2 B 23 2 C 21 2 D5 【答案】C 【解析】 23OMONOP uuuruuu
9、ruuu r , 22 4294OMONOM ON uuuruuu ruuur uuu r , 1 2 OM ON , 2 PM PNOMOPONOPOM ONOPOMONOP uuur uuu ruuuruuu ruuu ruuu ruuur uuu ruuu ruuuruuu ruuu r 131321 444 22222 OPOP uuu ruuu r .故选 C 6 （2021 湖南省衡阳市高三下学期考前预测）已知P是边长为 2 的正六边形ABCDEF边上一动点,则 AP AB （） A最大值是4 2 3 ,最小值是4 2 3 B最大值是6,最小值是 2 3 C最大值是6,最小值是2D
10、最大值是4 2 3 ,最小值是2 【答案】C 【解析】 AB 的模为 2,根据正六边形的特征,当P和C重合时,投影最大,作CMAB的延长线于M,可以得到AP 在AB 方向上的投影最大值AM长是 3, 同理当P和F重合时,可以得到AP 在AB 方向上的投影最小值是-1, 结合向量数量积的定义式,可知AP AB 等于AB 的模与AP 在AB 方向上的投影的乘积,所以AP AB 的最 大值是 6,最小值是-2.故选 C 7 （2021 湖北省黄冈中学高三下学期第三次模拟）已知ABC是边长为 4 的等边三角形,且2,BDDC E 为AD中点,则BE AC （） A2B 4 3 C 2 3 D 8 3
11、【答案】B 【解析】正ABC中,60ABC , | |cos4 4cos608BA BCBABCABC , 因2,BDDC E 为AD中点,则 111 211 () 222 323 BEBABDBABCBABC ,AC BCBA , 则 2211111 ) () 2326 ( 3 BABCBCBABBABE ACA BCBC 22 1114 484 2633 . 故选 B 8 （2021 湖北省黄冈市高三高考适应性考）已知平面上三个不同的点 M,F,P,若 2 MF MPMP ,则（） APMPF BPMMF C 0PM PF D 0PM PF 【答案】A 【解析】因为MF MPPF ,所以
12、22 MF MPMPPFMPMPPF MPMP ,所以 0PF MP ,所以PMPF.故选 A. 9 （2021 河北省沧州市高三三模）已知非零向量,a b 满足2ba ,且 32abab ,则a 与b 的 夹角为（） A45B135C60D120 【答案】B 【解析】32abab , 320abab , 即 2 2 22 323cos,20aa bbaaba bb ,又2ba 且0a , 22222 32cos,42cos,0aaa baaaa b , 2 cos, 2 a b ,又,0,a b , 4 3 , a b ,即,135a b .故选 B. 10 （2021 福建省厦门市高三 5
13、 月二模）已知a ,b 是相互垂直的单位向量,与a ,b 共面的向量 c 满足 2a cb c ,则c 的模为（） A 2 B2C2 2D2 3 【答案】C 【解析】a ,b 是相互垂直的单位向量,不妨设1,0 ,0,1ab ,设,cx y 由 2a cb c , 可得2xy,即2,2c 则c 的模为 22 2 +22 2c , 故选 C 11 （2021 广东省深圳市高三下学期第五次统一考试）窗花是贴在窗纸或窗户玻璃上的剪纸,是中国古老的 传统民间艺术之一每年新春佳节,我国许多地区的人们都有贴窗花的习俗,以此达到装点环境、渲染气氛的 目的,并寄托着辞旧迎新、接福纳祥的愿望图一是一张由卷曲纹和
14、回纹构成的正六边形剪纸窗花,已知图二 中正六边形ABCDEF的边长为4,圆O的圆心为正六边形的中心,半径为2,若点P在正六边形的边上运 动,MN为圆O的直径,则PM PN 的取值范围是（） A6,12B6,16C8,12D8,16 【答案】C 【解析】 如下图所示,由正六边形的几何性质可知,OAB、OBC、OCD、ODE、OEF、OFA均为边长为 4的等边三角形, 当点P位于正六边形ABCDEF的顶点时,PO 取最大值4, 当点P为正六边形各边的中点时,PO 取最小值,即 min 4sin2 3 3 PO , 所以,2 3,4PO . 所以, 2 48,12PM PNPOOMPOONPOOMP
15、OOMPO .故答案为 8,12. 12（2021 江苏省六校高三下学期第四次适应性联考） 已知向量ae ,1e ,且对任意tR,ateae 恒成立,则（） Aa e Baae C eae D aeae 【答案】C 【解析】由ateae 得 2222 22ata eteaa ee , 即 2 2210tta ea e 对任意tR恒成立,所以 2 24 210a ea e , 2 10a e ,所以 1a e ,所以 A 错误；由1e 得cos,cos,1a eaea eaa e ,由 ()10aaea aa ea ,所以 B 错误；由()1 10eaee ae e ,得()eae ,所以 C
16、正确； 由 222 10aeaeaea ,所以 D 错误.故选 C. 13 （2021 山东省烟台市高三第一次联考）如图,在平行四边形 ABCD 中,M 是 BC 的中点,且 AD=DM,N 是线 段 BD 上的动点,过点N作 AM 的垂线,垂足为 H,当AM MN 最小时,HC （） A 13 44 ABAD B 11 42 ABAD C 13 24 ABAD D 31 42 ABAD 【答案】C 【解析】|cos,AM MNAMMNAM MN , 由图易知,向量,AM AN 所成的角为钝角, 所以cos,0AM AN , NHAM, |AM MNAMMH ,当AM MN 最小时,MH 的模
17、最大, 数形结合易知点N与点D重合时,MH 的模最大,即AM MN 最小, ADDM,DHAM, H是AM的中点, 则 111111313 () 222222424 HCHMMCAMBCABBCBCABBCABAD 故选C 二、多选题二、多选题 14（2021 江苏省盐城市高三下学期 5 月第三次模拟） 将平面向量 12 ,ax x 称为二维向量,由此可推广至n 维向量 12 , n ax xx .对于n维向量a ,b ,其运算与平面向量类似,如数量积 1 cos i ii n a ba bx y （为向量a ,b 的夹角）,其向量a 的模 1 2 i i n ax ,则下列说法正确的有（）
18、A不等式 2 111 22 iii iiii nnn xyx y 可能成立 B不等式 2 111 22 iii iiii nnn xyx y 一定成立 C不等式 2 11 2 ii ii nn nxx 可能成立 D若01,2, i xin,则不等式 2 11 1 nn i ii i xn x 一定成立 【答案】ABD 【解析】对于 A,令 1212 ( ,),(,) nn ax xxby yy , 因为a ba b ,所以 222222 11221212nnnn x yx yx yxxxyyy, 所以 2 22 111 nnn iiii iii x yxy ,当且仅当 12 12 n n xx
19、x yyy 时取等号,所以 A,B 正确, 对于 C,令 12 ( ,),(1,1,1) n ax xxb ,因为a ba b ,所以 222 1212nn xxxxxxn,所以 2 2 11 nn ii ii nxx ,所以 C 错误； 对于 D,令 12 12 111 , n n abxxx xxx ,因为a ba b ,所以 12 12 1111 , n nn xxxn xxxx ,所以 2 11 1 nn i ii i xn x ,所以 D 正确,故选 ABD 15 （2021 江苏省七市高三下学期第三次调研）在 ABC 中,M是BC的中点,若AB a ,AC b ,则 AM （） A
20、 1 2 ab B 1 2 ab C 2 221 2 2 abab D 221 2 ab 【答案】BC 【解析】由题意,在ABC中,M是BC的中点, 根据平面向量的平行四边形法则,可得 11 ()() 22 AMABACab , 所以 1 = 2 AMab , 又由 2 222 2 111 22 222 ababaabbab .故选 BC. 16 （2021 江苏省苏州市高三下学期三模）已知ABC是边长为 2 的正三角形,该三角形重心为点 G,点 P 为ABC所在平面内任一点,下列等式一定成立的是（） A| 2ABAC B 2AB AC C 3PAPBPCPG D| |ABBCABCB 【答案
21、】BC 【解析】因为ABC是边长为 2 的正三角形, 所以|ABAC 2 ABAC 22 2ABAB ACAC 1 42 2 242 3 2 ,故 A 不正确； 1 | |cos2 22 2 AB ACABACBAC ,故 B 正确； 根据重心的性质可得 2 1 () 3 2 AGABAC 1 () 3 ABAC , 所以3 3PGPAPBPAPCPA , 所以3PG PAPBPC ,故 C 正确； 因为| | 2ABBCAC , |ABCB 2 ABCB 22 2ABCBAB CB 1 442 2 2 2 2 3,故 D 不正确.故选 BC 17 （2021 华大新高考联盟高三下学期 3 月
22、教学质量测评）已知边长为 4 的正方形ABCD的对角线的交点 为O,以O为圆心,6 为半径作圆；若点E在圆O上运动,则（） A 72EA EBEB ECEC EDED EA B 56EA ECEB ED C 144EA EBEB ECEC EDED EA D 28EA ECEB ED 【答案】BC 【解析】作出图形如图所示,以O为坐标原点, 线段BC,AB的垂直平分线分别为x、y轴建立平面直角坐标系xOy； 观察可知,2, 2A ,2, 2B,2,2C,2,2D , 设,E x y,则 22 36xy, 故2, 2EAxy ,2, 2EBxy ,2,2ECxy , 故ED 2,2xy , 故E
23、A EB EB ECEC EDED EA 2 4144EAECEBEDEO , 56EA ECEB ED . 故选 BC 18 （2021 河北省张家口市高三下学期阶段模拟）已知a ,b 是平面上夹角为 3 的两个单位向量,c 在该平面 上,且(a c )(b c )=0,则下列结论中正确的有（） A1ab B1ab rr C 3c Da b ,c 的夹角是钝角 【答案】BC 【解析】如图,OA a ,OB b ,1OAOB, 3 AOB ,则1ABOA,即1ab rr ,B 正确； OCc ,由(a c )(b c )=0 得BCAC,点C在以AB直径的圆上 （可以与,A B重合） AB中点
24、是M, 则23abOM ,A 错； cOC 的最大值为 31 3 22 OMMC ,C 正确； ab 与OM 同向,由图,OM 与c 的夹角不可能为钝角D 错误故选 BC 19 （2021 湖北省部分重点中学高三联考）对于给定的ABC,其外心为O,重心为G,垂心为H,则下列结 论正确的是（） A 21 2 AO ABAB BOA OB OA OCOB OC C过点G的直线l交ABAC、于EF、,若AE AB ,AFAC ,则 11 3 DAH 与 coscos ABAC ABBACC 共线 【答案】ACD 【解析】 如图,设 AB 中点为 M,则OMAB,AO cos OAMAM 2 1 co
25、scos 22 AB AO ABAO ABOABABAOOABABAB ,故 A 正确； OAOBOAOC 等价于0OA OBOC 等价于 0OACB ,即OABC, 对于一般三角形而言,O是外心,OA不一定与BC垂直,比如直角三角形ABC中, 若B为直角顶点,则O为斜边AC的中点,OA与BC不垂直.故 B 错误； 设BC的中点为D, 则 2111111 33333 AGADABACAEAFAEAF , E,F,G 三点共线, 11 1 33 ,即 11 3 ,故 C 正确； coscoscoscos ABACAB BCAC BC BC ABBACCABBACC coscos coscos A
26、B BCBACBCC ABBACC 0BCBC , coscos ABAC ABBACC 与BC 垂直,又 AHBC , coscos ABAC ABBACC 与AH 共线,故 D 正确. 故选 ACD. 三、填空题三、填空题 20 （2021 广东省惠州市高三二模）若向量a ,b 满足3ab ,则a b 的最小值为_. 【答案】 3 4 【解析】因为3ab ,所以 2 3ab ,即 2 3ab , 所以 22 23aabb .因为 2 2 22 22ababa ba b 所以4 3a b ,所以 3 4 a b .故a b 的最小值为 3 4 21 （2021 江苏省淮安市高三下学期 5 月模拟）已知平行四边形ABCD中,3AB ,4AD, 3 BAD ,平 面内有动点E,满足2EDEC,则DBDAAE 的取值范围为_ 【答案】 12,24 【解析】因为平行四边形ABCD中,3AB ,4AD, 3 BAD , 所以建立如图所示的坐标系, 则0,0A,3,0B,5,2 3C,2,2 3D,设,E x y, 平面内有动点E,满足2EDEC, 22 22 22 3452 3xyxy , 即 2 2 62 34xy, 26448xx, 3,0,=312,24DBDAAEAB AEx yx . 故答案为 12,24.
