1、1 含指数式的极值点偏移问题 近几年全国各地的模拟试题、 高考试题中频繁出现一类考查函数导数的题型： 在给定区间内 研究两函数之间的不等关系. 要解决这类问题，往往是直接构造某个新函数，或者分离变量 之后构造新的函数， 通过研究构造的新函数的单调性来求出最值或者得到我们想要的不等关 系. 这一类问题多数与指数函数有关，解题时除了直接构造一元函数求解，还可将问题转化 为对数问题，再用对数平均不等式求解，本文对此类问题做一探究. （2016 年新课标 I 卷理数压轴 21 题）已知函数 2 ) 1()2()(xaexxf x 有两个零点 21,x x.证明： 12 2xx. 法二：参变分离再构造差
2、量函数 由已知得： 12 0f xf x，不难发现 1 1x ， 2 1x ， 故可整理得： 12 12 22 12 22 11 xx xexe a xx 设 2 2 1 x xe g x x ，则 12 g xg x 那么 2 3 21 1 x x gxe x ，当1x 时， 0gx ， g x单调递减；当1x 时， 0gx ， g x单调递增 2 设0m ，构造代数式： 1112 222 1111 111 1 mmmm mmmm gmgmeeee mmmm 设 2 1 1 1 m m h me m ，0m KS5UKS5UKS5U 则 2 2 2 2 0 1 m m h me m ，故 h
3、 m单调递增，有 00h mh 因此，对于任意的0m ，11gmgm 由 12 g xg x可知 1 x、 2 x不可能在 g x的同一个单调区间上， 不妨设 12 xx，则必有 12 1xx 令 1 10mx ，则有 11112 11112gxgxgxg xg x 而 1 21x， 2 1x ， g x在1,上单调递增， 因此： 1212 22gxg xxx 整理得： 12 2xx 法三：参变分离再构造对称函数 由法二，得 2 2 1 x xe g x x ，构造( )( )(2),(,1)G xg xgxx ， 利用单调性可证，此处略. 3 法五：利用“对数平均”不等式 参变分离得： 2
4、2 2 2 1 1 ) 1( )2( ) 1( )2( 21 x ex x ex a xx ，由0a得，21 21 xx， 将上述等式两边取以e为底的对数，得 2 2 2 2 1 2 1 1 ) 1( )2( ln ) 1( )2( lnx x x x x x ， 化简得： 2121 2 2 2 1 )2ln()2ln() 1ln() 1ln(xxxxxx， 故 21 21 21 2 2 2 1 )2ln()2ln() 1ln() 1ln( 1 xx xx xx xx )2()2( )2ln()2ln( ) 1() 1( ) 1ln() 1ln( )1() 1( 21 21 2 2 2 1 2
5、 2 2 1 21 xx xx xx xx xx 由对数平均不等式得： 22 12 2222 1212 ln(-1) -ln(-1) 2 (1)(1)(1)(1) xx xxxx ， 12 1212 ln(2-)-ln(2-)2 2222 xx xxxx （）（）（）（） ， 从而 12 22 1212 2(2)2 1 (1)(1)22 xx xxxx （）（） 121212 22 1212 2(2)4()2 (1)(1)4() xxxxxx xxxx 1212 22 1212 2(2)2 1 (1)(1)4() xxxx xxxx 4 等价于： 1212 22 1212 2(2)2 0 (1
6、)(1)4() xxxx xxxx 12 22 1212 21 (2) (1)(1)4() xx xxxx 由 22 1212 (1)(1)0,4()0 xxxx，故 12 2xx，证毕. (2010 天津理)已知函数 x fxxexR.如果 12 xx，且 12 fxfx. 证明： 12 2xx. 设函数 x fxeaxaaR，其图象与x轴交于 12 ,0,0A xB x两点，且 12 xx.证明： 12 0fx x（ fx为函数 fx的导函数）. 【解析】根据题意： 1 1 0 x eaxa， 2 2 0 x eaxa移项取对数得： 11 ln(1)lnxxa 22 ln(1)lnxxa
7、-得： 1212 ln(1)ln(1)xxxx，即： 5 KS5UKS5UKS5U 招式演练：招式演练： 已知函数 2x f xaxeaR在0,上有两个零点为 1212 ,()x xxx. （1）求实数a的取值范围； （2）求证： 12 4xx. 【答案】 （1） 2 , 4 e ;（2）见解析.KS5UKS5UKS5U 【解析】试题分析： （1） 2x f xaxe在0,上有两个零点等价于方程 2 x e a x 有两 个根，即ya与 2 x e y x 有两个交点，研究函数 2 x e y x 单调性，结合数形结合可得结果； （2） 1 2 1 x axe， 2 2 2 x axe，两式相
8、除可得 21 2 2 1 xx x e x ，设 2 1 (1) x t t x ，只需证明 lnln220h ttt tt即可. 6 试题解析： （1） 2x f xaxe在0,上有两个零点，方程 2 x e a x ，则 3 2 x ex hx x ，于是0,2x时， 0hx ，即 h x在0,2上单调递减；当 2,x时， 0hx ，即 h x在2, 【方法点睛】 本题主要考查利用导数研究函数单调性进而求最值、 不等式恒成立问题以及不 等式证明问题，属于难题.对于求不等式恒成立时的参数范围问题，在可能的情况下把参数 分离出来，使不等式一端是含有参数的不等式，另一端是一个区间上具体的函数,
9、这样就把 问题转化为一端是函数, 另一端是参数的不等式，便于问题的解决. 但要注意分离参数法不 是万能的, 如果分离参数后,得出的函数解析式较为复杂, 性质很难研究, 就不要使用分离参 数法. 已知函数 2 1 1 x x f xe x . (1)求 f x的单调区间； 7 (2)证明:当 1212 f xf xxx时， 12 0 xx. 【解析】 (1) f x在,0上单调递增，在0,上单调递减； (2)由(1)知当1x 时， 0f x 不妨设 12 xx，因为 12 f xf x，即 12 12 22 12 11 11 xx xx ee xx ，则 12 01xx， 要 证 明 12 0
10、xx， 即 12 0 xx ， 只 需 证 明 12 f xfx， 即 22 f xfxKS5UKS5UKS5U 而 22 ()()f xfx等价于 2 2 22 (1)10 x x ex ， 令 2 ( )(1)10 x g xx ex x ，则 2 ( )(1 2 )1 x g xx e， 令 2 ( )(1 2 )1 x h xx e，则 2 ( )40 x h xxe ， 所以( )h x单调递减， ( )00h xh，即 0gx，所以 g x单调递减， 所以 00g xg，得证 已 知 函 数), 0()(Rbabeaxxf x ， 若 任 意 不 同 的 实 数 21,x x满 足
11、 )()( 21 xfxf，求证：axxln2 21 . 8 方案一（差为自变量方案一（差为自变量） ： 法三：法三：令 221121 ln,ln, 21 uxuxeueu xx ， 9 原式 1 2 21 12 2 1 2 21 2 12 2 21 21 21 ln)(ln )( ) lnln ( u u uu uu u u uu uu uu uu uu 0ln 2 1 1 2 1 2 u u u u u u ，则令 1 2 u u t ， 设0 2 ) 1( 2 12 2 1 2 11 )( 1 ln)( 2 tt t tt tt tttt tg t tttg， 则)(tg在), 1 ( 为减函数， 则1t时)(tg有最大值0) 1 (g， 故0 1 ln0)( t tttg，证毕. 已知函数 x f xeaxa aR，其中e为自然对数的底数. （1）讨论函数 yf x的单调性； （2）若函数 f x有两个零点 12 ,x x，证明： 12 2lnxxa. 【答案】 （1）见解析（2）见解析 【解析】 （） x fxea 当a0时， fx0，则函数 f x为 R 上的单调递增函数 当a0时，令 fx0，则xlna 若xlna，则 fx0， f x在,lna上是单调减函数； 若xlna，则 fx0， f x在lna,上是单调增函数. 10 KS5UKS5UKS5U
