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1、高考外接球内切球系列专题高考外接球内切球系列专题 外接球外接球：在空间，如果一个定点与一个简单多面体的所有顶点的距离都相等，那么这个定点 就是该简单多面体的外接球的球心 题题型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径）型一、墙角模型（三条棱两两垂直，不找球心的位置即可求出球半径） 公式 2222 )2(cbaR，即 222 2cbaR，求出R 例题例题 1 1 若三棱锥的三个侧面两两垂直，且侧棱长均为3，则其外接球的表面积是 9 解：3, 3b, 3ac 222 2cbaR= 222 333）（）（）（=3 94 2 3 2 RSR 例题 2三棱锥PABC的所有顶点都在球O的

2、球面上棱锥PABC的各棱长为： 2PA，52, 5,13, 4, 3ACBCABPCPB，则球O的表面积为（） A.28B.29C.30D.31 答案：B 例题 3【2019 年高考全国卷理数】已知三棱锥 PABC 的四个顶点在球 O 的球面上， PA=PB=PC，ABC是边长为 2 的正三角形，E，F 分别是 PA，AB 的中点，CEF=90， 则球 O 的体积为 A 68 B 64 C 62 D 6 【答案】D 【解析】解法一：,PAPBPCABC为边长为 2 的等边三角形，PABC为正 三棱锥， PBAC，又E，F分别为PA，AB的中点，EFPB，EFAC， 又EFCE，,CEACCEF

3、平面PAC，PB 平面PAC， 2APBPAPBPC ，PABC为正方体的一部分， 则2 2226R ，即 6 , 2 R 3 446 6 6 338 VR.故选 D 解法二：设2PAPBPCx，,E F分别为,PA AB的中点， EFPB，且 1 2 EFPBx， ABC为边长为 2 的等边三角形，3CF， 又90CEF， 2 1 3, 2 CExAEPAx， 在AEC中，由余弦定理可得 22 43 cos 2 2 xx EAC x ， 作PDAC于D，PAPC，为AC的中点， 1 cos 2 AD EAC PAx ， 22 431 42 xx xx ， 22 12 212 22 xxx ，

4、 ， 2PAPBPC ，又=2AB BC AC，,PA PB PC两两垂直， 22226R ， 6 2 R ， 3 446 6 6 338 VR.故选 D. 题题型二、对棱相等模型（补形为长方体）型二、对棱相等模型（补形为长方体） 题设： 三棱锥 （即四面体） 中， 已知三组对棱分别相等， 求外接球半径 （CDAB ，BCAD ， BDAC ） 第一步：画出一个长方体，标出三组互为异面直线的对棱； 第二步：设出长方体的长宽高分别为cba,，xBCAD， yCDAB，zBDAC，列方程组， 222 222 222 zac ycb xba 2 )2( 222 2222 zyx cbaR ， 8 2

5、22 zyx R 例例 如下图所示三棱锥ABCD，其中5,6,7,ABCDACBDADBC则该三 棱锥外接球的表面积为 55 . 解： 7, 6, 5xzy 8 222 zyx R = 8 110 8 765 222 554 2 RS 题型三题型三垂面模型（一条直线垂直于一个平面）垂面模型（一条直线垂直于一个平面） （直棱柱的外接球、圆柱的外接球）（直棱柱的外接球、圆柱的外接球） 公式公式 222 ) 2 (r h R 22 ) 2 (hrR （其中（其中 r r 为底面外接圆半径）为底面外接圆半径） 例 题例 题 . 直 三 棱 柱 111 ABCABC的 各 顶 点 都 在 同 一 球 面

6、 上 ， 若 1 2ABACAA,120BAC，则此球的表面积等于 20 . 解：设 底面 ABC 外接圆半径为r，在 ABC , 2 ACAB由余弦定理可得cos A b2c2a2 2bc BC=a=32中根据正弦定理可得：r B BC 2 ACsin 故 r=2 又因为2h 1 AA5) 2 ( 22 h rR204 2 RS 练习练习 .在四面体SABC中，ABCSA平面，, 1, 2,120 ABACSABAC则 该四面体的外接球的表面积为（D） 11.A7 .B 3 10 .C 3 40 .D 解：在 ABC 由余弦定理可得cos Ab 2c2a2 2bc BC=a=7 设 底面 A

7、BC 外接圆半径为r，根据正弦定理可得： r BA BC 2 Csin 故 r= 3 21 又因为2h SA 3 10 ) 2 ( 22 h rR 3 40 4 2 RS答案选答案选 D D 7已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为已知一个圆柱的两个底面的圆周在半径为2 3的同一个球的球面上的同一个球的球面上，则该圆柱体积的最则该圆柱体积的最 大值为（大值为（） A32B 32 3 C10D24 【答案】A 【分析】设圆柱底面圆半径为r，高为h，利用勾股定理可构造方程，利用h表示出r，从 而将圆柱体积表示为关于h的函数的形式， 利用导数求最值的方法即可求得圆柱体积的最大 值. 【详解】设圆柱底面

8、圆半径为r，高为h，则 2 2 2 2 3 2 h r ， 22 1 120 4 rh， 04 3h ，圆柱体积 23 12 4 Vr hhh ， 2 3 12 4 Vh，令0V ，解得：4h ， 当0,4h时，0V；当 4,4 3h时，0V， 3 12 4 Vhh 在0,4h时单调递增，在 4,4 3h时单调递减， max 486432 4 V . 故选：A. 题型四题型四正正 N N 棱锥模型棱锥模型 公式公式：R= h2 22 hr （其中 r 为底面外接圆半径，h 为高） 例题例题正三棱锥ABCS 中，底面ABC是边长为3的正三角形，侧棱长为2，则该三棱 锥的外接球体积等于 27 33

9、2 . 解：设底面 ABC 外接圆半径为r，根据正弦定理可得： r BA BC 2 Csin 故 r=1 侧棱长213h 222 rl3h R= h2 22 hr = 3 32 27 332 3 4 3 RS 3已知ABC中，4ABBC，90ABC，平面ABC外一点P满足 2 6PAPBPC ，则三棱锥PABC的外接球的表面积是（） A32B36C25D16 【答案】B 【解析】因为 2 6PAPBPC ，棱锥顶点P在底面投影为ABC的外心， 则ACP的外接圆半径等于三棱锥PABC外接球半径， ABC是等腰直角三角形，斜边 4 2AC ， 如图在ACP中，2 6PAPC， 4 2AC 则 22

10、 22 2 62 24PDPCDC ，设ACP外接圆的半径为r，则 2 2 2 42 2rr解得3r 则三棱锥PABC外接球的半径3R ， 故三棱锥PABC外接球的表面积 2 436SR 故选：B 题题型五型五面垂直面模型面垂直面模型（一（一个平面个平面垂直于垂直于另另一个平面）一个平面） 公式公式 2 2 2 2 1 2 4 l rrR （其中（其中 1 r和和 2 r为两个垂直面的底面外接圆半径，为两个垂直面的底面外接圆半径，l l 为两个面的交线长）为两个面的交线长） 例题例题.三棱锥ABCP 中，平面PAC平面ABC，PAC和ABC均为边长为2的正 三角形，则三棱锥ABCP 外接球的半

11、径为 3 15 . 解：设在 ABC 中，设 ABC 外接圆半径为 1 r，根据正弦定理可得： 1 2 Csin r BA BC 故 1 r= 3 32 在PAC中，设PAC外接圆半径为 2 r，根据正弦定理可得： 2 2 APCsin r AC 故 2 r= 3 32 又因为2l AC 2 2 2 2 1 2 4 l rrR= = 3 5 所以所以 R=R= 3 15 例题 2（2020 辽宁省高三二模） 已知三棱锥PABC， 面PAB 面ABC，4PAPB， 4 3AB ，120ACB，则三棱锥PABC外接球的表面积（） A20B32C64D80 【答案】D 【解析】如图所示： 设 PAB

12、 的外接圆的圆心为 1 O，半径为 1 r， ABC的外接圆的圆心为 2 O，半径为 2 r， 三棱锥PABC外接球球心为O，半径为R， 过点P作PDAB， 因为面PAB 面ABC， 所以PD 面ABC， 又因为4PAPB 所以 1 O在PD上， 因为 4 3AB ，所以 2 3AD ，2PD ， 所以 2 33 cos 42 AD PAD PD ， 0,PAD， 6 PAD ， 所以 1 4 28 1sin 2 PB r PAD ，则 11 4rO P， 所以 1 2O D ， 21 2OOO D 所以 2 4 3 28 sin 3 2 AB r ACB ，则 22 4rO A， 所以 22

13、 22 2 5ROOO A 所以三棱锥PABC外接球的表面积 2 2 442 580SR.故选：D 例题 3 已知四棱锥 的顶点都在球 O 上， = 3， = 4， = 1， = 2 6， = 5， 平面 平面 ABCD，且 ，则球 O 的体积为_ 16.【答案】 125 6 【解析】解：取 AC 的中点 O，AD 中点 H，连接 OH，OB， OD，PH， = 3， = 4， = 1， = 2 6， = 5， 2+ 2= 2，2+ 2= 2， 则 ， ， 到 A，B，C，D 的距离相等， 平面 平面 ABCD，平面 平面 = ， ， 平面 ABCD， 平面 PAD， ，H 分别为 AC，AD

14、 的中点， /， 平面 PAD，又 ， 到 P、A、D 的距离相等 为四棱锥 的外接球的球心，得 =2+ 2=( 1 2 )2+ ( 6)2= 5 2， 球 O 的体积为 = 4 3 3 = 4 3 ( 5 2) 3 = 125 6 故答案为：125 6 题型六题型六 二面角模型二面角模型 公式：公式： 4sin cos2 2 2 22 2 lmnnm R （其中 4 m 2 2 1 l r , 4 n 2 2 2 l r , 1 r， 2 r分别为两个底面外接圆半径 ，为二面角， l 为两面的交线长 ） 例 题例 题 1 1. 在 四 面 体ABCS 中 ，BCAB ，2 BCAB， SA=

15、SC=2,二 面 角 BACS的余弦值为 3 3 ，则四面体ABCS 的外接球表面积为 6 解：设在PACRt中，设PACRt外接圆半径为 1 r，根据正弦定理可得： 1 222。 2 ABCsin 2490r AC ACBCABACB 故 1 r=1。 又因为2l AC0 4 m 2 2 1 l r 在SAC中，设SAC外接圆半径为 2 r，2, 2ACSASAACSAC是等边 三角形，根据正弦定理可得： 2 2 ASCsin r AC 故 2 r= 3 32 又因为2l AC 4 n 2 2 2 l r = 3 3 设二面角BACS为 3 6 sin 3 3 cos 4sin cos2 2

16、 2 22 2 lmnnm R = 2 3 64 2 RS 例 2等腰三角形ABC的腰5ABAC，6BC ，将它沿高AD翻折，使二面角 BADC成60，此时四面体ABCD外接球的体积为（） A7B28C19 19 6 D 28 7 3 【答案】D 【解析】由题意，设BCD所在的小圆为 1 O，半径为r， 又因为二面角BADC为 0 60， 即 0 60BDC， 所以BCD为边长为3的等边三角形， 又正弦定理可得， 0 3 22 3 sin60 r ，即 2 3BE ， 设球的半径为R，且4AD， 在直角ADE中， 2 2222 244(2 3)28RADDER， 所以 7R ，所以球的体积为

17、33 4428 7 ( 7) 333 VR，故选 D 题型七题型七矩形模型矩形模型 两直角三角形拼接在一起两直角三角形拼接在一起( (斜边相同斜边相同, ,也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥也可看作矩形沿对角线折起所得三棱锥) )模型模型 题设：如图 7， 90ACBAPB，求三棱锥ABCP 外接球半径（分析：取公共的 斜边的中点O，连接OCOP,，则ABOPOCOBOA 2 1 ，O为三棱锥ABCP 外接球球心，然后在OCP中求出半径） 例 题 1 （ 2020 新 疆 维 吾 尔 自 治 区 ） 在 四 面 体 ABCD 中 ， 2AB ， 1DADBCACB ，则四面体ABCD的外接球的

18、表面积为() AB2C3D4 【答案】B 【解析】由 2AB ，1DADBCACB， 所以 222 CACBAB ， 222 ADBDAB 可得 90ACBADB ，所以 2 2 OAOBOCOD ， 即O为外接球的球心，球的半径 2 2 R 所以四面体ABCD的外接球的表面积为： 2 1 442 2 SR.故选：B 例题 2 （2020黑龙江省哈尔滨三中）四面体SABC中，ACBC，SA平面ABC， 6SA ， 7AC ， 3BC ，则该四面体外接球的表面积为（） A 32 3 B 16 3 C16D32 【答案】C 【解析】如图所示： 由已知可得SAB与SBC为直角三角形，所以该几何体的外

19、接球球心为SB的中点O， 因为7,3ACBC,且ACBC,所以 10AB = , 所以 22 6 104SBSAAB , 所以四面体SABC的外接球半径2R ,则表面积 2 416SR .故答案选：C 例题 3.九章算术是我国古代数学名著,它在几何学中的研究比 西方早一千多年,书中将四个面都为直角三角形的四面体称为 鳖臑.在鳖臑ABCD的四个直角三角形中，BD是Rt BAD和 Rt BCD的斜边，且所有直角三角形斜边长分别为5AD ， 1314BCBD，它的所有顶点都在球O的球面上， 则球O的体积为_. 答案： 题型八题型八外接球常规做法（找球心）外接球常规做法（找球心） 例题例题 1 1.已

20、知三棱锥SABC的所有顶点都在球O的求面上,ABC是边长为1的正三角 形,SC为球O的直径,且2SC ，则此棱锥的体积为（） A 2 6 B 3 6 C 2 3 D 2 2 【答案】A 【解析】根据题意作出图形： 设球心为 O，过 ABC 三点的小圆的圆心为 O1，则 OO1平面 ABC， 延长 CO1交球于点 D，则 SD平面 ABCCO1= 233 323 ， 1 16 1 33 OO ， 高 SD=2OO1= 2 6 3 ，ABC 是边长为 1 的正三角形，SABC= 3 4 ， 132 62 3436 SABC V 三棱锥 例题例题 2. (2020 全国 1 卷)已知,A B C为球

21、O的球面上的三个点， 1 O为ABC的 外接圆，若 1 O的面积为 1 4 ,ABBCACOO,则球O的表面积为 A. 64 B. 48 C. 36 D. 32 【答案】A 【解析】设圆 1 O半径为r，球的半径为R，依题意，得 2 4 ,2rr ，ABC为 等边三角形， 由正弦定理可得 2 sin602 3ABr ， 1 2 3OOAB，根据球的截面性质 1 OO 平面ABC， 2222 11111 ,4OOO A ROAOOO AOOr，球O的表面积 2 464SR .故选：A 题型九题型九 内切球问题内切球问题 概念：若一个多面体的各面都与一个球的球面相切， 则称这个多面体是这个球的外切

22、多面 体，这个球是这个多面体的内切球。 等体积法等体积法 设内切球的半径为r，建立等式： PBCOPACOPABOABCOABCP VVVVV rSSSSrSrSrSrSV PBCPACPABABCPBCPACPABABCABCP )( 3 1 3 1 3 1 3 1 3 1 PBCOPACOPABOABCO ABCP SSSS V r 3 例题例题 1 1三棱锥ABCP 中， 底面ABC是边长为2的正三角形，PA底面ABC， 2PA，则该三棱锥的内切球半径为 例题 2.若在母线长为 5,高为 4 的圆锥中挖去一个小球，则剩余部分体积的最小值 为. 15. 若在母线长为5，高为4的圆锥中挖去一

23、个小球，则剩余部分体积的最小值为 _ 【答案】 15 2 【分析】球是圆锥的内切球时，剩余部分体积最小求出球的半径即可得 【详解】如图是圆锥的轴截面，它的内切圆是圆锥的内切球的大圆设半径为R， 易知母线长为5，高为 4 时，底面半径为r 22 543 ， 因此 11 6 4(556) 22 R ， 3 2 R ， 所以剩余部分体积的最小值为 3 232 1414315 34 333322 Vr hR 故答案为： 15 2 16已知三棱锥 PABC 的底面 ABC 是边长为 6 的等边三角形，PAPBPC，先 在三棱锥 PABC 内放入一个内切球 O1，然后再放入一个球 O2，使得球 O2与球

24、O1及三 棱锥PABC的三个侧面都相切， 则球O1的体积为， 球O2的表面积为 解：设 O 为ABC 外接圆的圆心，因为 ABC 是边长为 6 的等边三角形， 所以， 因为 OP2+OA2PA2，解得 OP3， 设球 O1的半径为 r，球 O2的半径为 R， 由等体积法可得， ， 所以1， 所以球 O1的体积为； 作截面图如图所示，可知 O1OO1N1， 则 PN1，PO12，PO21R， 因为PO2EPO1F，则，即，解得， 所以球 O2的表面积为 故答案为：； 题型十题型十最值问题最值问题 例题 1 已知三棱锥PABC的顶点都在半径为 5 3 的球面上，1AB ， 3BC ，2AC ， 则

25、三棱锥PABC体积的最大值为（） A 3 2 B1C 3 D 5 3 18 【答案】A 【解析】解：如图，设球心为O，由1AB ， 3BC ，2AC 可得ABC为直角三 角形， 斜边AC的中点O为球小圆的圆心， 接OO，OA， 则OO 平面ABC， 由 5 3 OA ，1O A 可得 4 3 OO ，故三棱锥PABC的最大体积为 113453 () 332332 ABC SO P ，故 选：A 例题 2 （2020河南省高三三模）已知三棱锥SABC的底面是等边三角形，且 6SASBSC ，则当三棱锥SABC的体积最大时，其外接球的表面积为（） A9B12C18D27 【答案】C 【解析】在AC

26、上找中点D，连接DB，SD，如下图所示， 因为三棱锥SABC的底面是等边三角形，即ABC是等边三角形， 所以DBAC，又因为SASC，所以DSAC. 设ASC，SB与平面SAC所成的角BSD，则 1111 sinsinsin 3232 SABC VSA SCBDSA SCSB ， 当 2 时， SABC V 最大，此时SA，SB，SC两两垂直， 所以三棱锥的外接球即为以SA，SB，SC为长宽高的长方体的外接球，如下图， 因为 6SASBSC ， 所以外接球的半径 222 666 3 2 22 R . 则其外接球的表面积为 2 2 3 2 44=18 2 SR . 故选：C. 例题 3已知ABC

27、的三个顶点落在半径为R的球O的表面上，三角形有一个角为 3 且其 对边长为 3，球心O到ABC所在的平面的距离恰好等于半径R的一半，点P为球面上任 意一点，则PABC三棱锥的体积的最大值为（） A 8 3 3 B 7 3 3 C 9 3 4 D 7 3 4 【答案】C 【解析】设ABC外接圆的圆心为 1 O，则 1 OO 平面ABC，所以 1 2 R OO 设ABC外接圆的半径为r，3ABc， 3 C 由正弦定理可得： 3 2 sin 3 r ，解得： 3r 由球的截面圆性质可得： 2 222 1 3 2 R ROOr ，解得：2R 所以点P到平面ABC的距离的最大值为： 1 3ROO. 在A

28、BC中，由余弦定理可得： 22222 32cos2ababCababababab 当且仅当3ab时，等号成立，所以max9ab. 所以 19 3 sin 234 ABC Sab =，当且仅当3ab时，等号成立. 当三棱锥PABC的底面面积最大，高最大时，其体积最大. 所以三棱锥PABC的体积的最大值为 19 39 3 3 344 P ABC V 故选 C 例题 4已知点A，B，C，D均在球O的球面上，1ABBC， 2AC ，若三棱锥 DABC体积的最大值是 1 3 ，则球O的表面积为_ 【答案】 81 16 【解析】设ABC的外接圆的半径为r， 1ABBC， 2AC ， 则 222 ABBCA

29、C ， ABC为直角三角形，且 2 2 r = 11 1 1 22 ABC S ， 三棱锥DABC体积的最大值是 1 3 ，A，B，C，D均在球O的球面上， D到平面ABC的最大距离 1 3 3 3 2 1 2 ABC V h S ， 设球O的半径为R，则 2 22 RrhR， 即 2 2 2 2 2 2 RR 解得 9 8 R ， 球O的表面积为 2 9 4 8 81 16 S . 故答案为： 81 16 . 例题 5（2020 河南省高三三模） 已知三棱锥DABC中，DA平面ABC，2ABAD， 3BCAC ，则三棱锥DABC体积最大时，其外接球的体积为（） A 20 2 3 B 64 2

30、 3 C 4 5 3 D 20 5 3 【答案】D 【解析】如图所示： 因为DA平面ABC，2ABAD， 所以当ABC的面积最大时，此时三棱锥DABC的体积最大. 设ACm，则 33BCACm ， 2 2 2 2 34 22 cos 233 mm m ACB mmm ， 所以 2 242 2 4 2 2284 sin1 33 mmm ACB mm . 所以 42 2222 4 1841 343 434 ABC mm Smmm m ， 当 2 4m ，即2m 时， ABC S最大. 当2m 时， 2 22 222 3 1 cos 2 2 22 BAC ，则cos120BAC . 将三棱锥DABC

31、放入直三棱柱 11 DBCABC中， 1 O， 2 O分别为上下底面外接圆圆心，设外接圆半径为r， 则 12 OO的中点O为直三棱柱 11 DBCABC外接球球心，设外接球半径为R， 如图所示： 根据正弦定理 2 3 2 sin120 r ，解得2r = =，所以 22 125R . 故外接球体积 3 420 5 5 33 V .故选：D 例题 6如图，圆形纸片的圆心为 O，半径为 5 cm，该纸片上的等边三角形 ABC 的中心为 O。D、E、F 为圆 O 上的点，DBC，ECA，FAB 分别是以 BC，CA，AB 为底边 的等腰三角形。沿虚线剪开后，分别以 BC，CA，AB 为折痕折起DBC

32、，ECA， FAB，使得 D、E、F 重合，得到三棱锥。当ABC 的边长变化时，所得三棱锥体积（单 位：cm3）的最大值为_。 解析解析 如下图，设正三角形的边长为 x，则xxOG 6 3 2 3 3 1 . xSGFG 6 3 5， 3 3 55 6 3 6 3 5 22 22 xxGOSGhSO 三棱锥的体积 54 3 3 5 12 15 3 3 55 4 3 3 1 3 1 xxxhSV ABC . 令 54 3 3 5)(xxxn，则 43 3 35 20)(xxxn， 令34, 0 3 4 , 0)( 4 3 x x xxn， 1544548 12 75 max V. 例题例题 7三

33、棱锥三棱锥 中，中， 平面平面, = 30, 的面积为的面积为 2，则三棱锥，则三棱锥 的外接球体积的最小值为（的外接球体积的最小值为（） A4B4 3 C64D32 3 【答案】D 【解析】设 = ，由的面积为 2，得 = 4 ，进而得到外接圆的半径 = 和 到平面的距离为 = 1 2 = 2 ，在利用球的性质，得到求得半径，即可求解. 【详解】 如图所示，设 = ，由的面积为 2，得 = 4 ， 因为 = 300，外接圆的半径 = ， 因为 平面，且 = 4 ， 所以到平面的距离为 = 1 2 = 2 ， 设球的半径为 R，则 =2+ 2=2+ 4 2 2 2 = 2， 当且仅当 =2时等

34、号成立， 所以三棱锥 的外接球的体积的最小值为4 3 2 3 = 32 3 ，故选 A. 例题 8（2020福建高三期末（理） ）在外接球半径为 4 的正三棱锥中，体积最大的正三棱锥 的高h （） A 14 3 B 13 4 C 7 2 D 16 3 【答案】D 【解析】 【分析】设正三棱锥底面的边长为a，高为 h，由勾股定理可得 2 22 3 4(4) 3 ha ， 则 22 1 8 3 hha，三棱锥的体积 23 3 8 4 Vhh ，对其求导，分析其单调性与最值即可 得解. 【详解】 解：设正三棱锥底面的边长为a，高为 h，根据图形可知 2 22 3 4(4) 3 ha ， 则 22 1

35、 80, 3 hha08h . 又正三棱锥的体积 2 13 34 Va h 2 3 8 4 hhh 23 3 8 4 hh ， 则 2 3 163 4 Vhh ， 令0V ， 则 16 3 h 或0h （舍去） ， 函数 23 3 8 4 Vhh 在 16 0, 3 上单调递增，在 16 ,8 3 上单调递减， 当 16 3 h 时，V 取得最大值，故选：D. 例题 9 （2020遵义市南白中学高三期末）已知A，B，C，D四点在同一个球的球面上， 6ABBC ，90ABC，若四面体ABCD体积的最大值为 3，则这个球的表面积 为（） A4B8 C16D32 【答案】C 【解析】 【分析】 由底

36、面积 ABC S不变,可得高最大时体积最大, 即DQ与面ABC垂直时体积最大, 设 球心为O,半径为R,在直角AQO中,利用勾股定理列方程求出半径R，即可求出球的表面 积. 【详解】 根据 6ABBC ,可得直角三角形ABC的面积为 3, 其所在球的小圆的圆心在斜边AC的中点上, 设小圆的圆心为Q, 由于底面积 ABC S不变,高最大时体积最大, 所以DQ与面ABC垂直时体积最大, 最大值为为 1 3 3 ABC SDQ , 即 1 33,3 3 DQDQ ,如图, 设球心为O,半径为R, 则在直角AQO中,即 222 ( 3)(3,)2RRR, 则这个球的表面积为 2 4216S ,故选 C

37、. 例题 10.（2020广东高三（理） ） 我国古代数学名著九章算术中有这样一些数学用语， “堑 堵”意指底面为直角三角形，且侧棱垂直于底面的三棱柱，而“阳马”指底面为矩形，且有一 侧棱垂直于底面的四棱锥.现有一如图所示的堑堵，ACBC，若 1 2AAAB，当阳马 11 BA ACC体积最大时，则堑堵 111 ABCABC的外接球体积为（） A2 2B 8 2 3 C14 2 3 D4 2 【答案】B 【解析】 【分析】根据 11 BA ACC体积的最大值求得此时,AC BC的长，判断出球心的位置，求得 111 ABCABC的外接球的半径，进而求得球的体积. 【详解】依题意可知BC平面 11

38、 ACC A.设,ACa BCb，则 222 4abAB . 11 1 111 323 B A ACC VACAABCACBC 22 1142 32323 ACBC ，当且仅当2ACBC时取得最大值.依题意可知 1111 ,ABCABAABB是以 1 AB为斜边的直角三角形，所以堑堵 111 ABCABC外接球的 直径为 1 AB，故半径 22 11 11 2 22 OBABAAAB.所以外接球的体积为 3 48 2 2 33 . 特别说明：由于BC平面 11 ACC A， 1111 ,ABCABAABB是以 1 AB为斜边的直角三角 形，所以堑堵 111 ABCABC外接球的直径为 1 AB

39、为定值，即无论阳马 11 BA ACC体积是 否取得最大值，堑堵 111 ABCABC外接球保持不变，所以可以直接由直径 1 AB的长，计算 出外接球的半径，进而求得外接球的体积.故选：B 例题 11 （2020河南高三（理） ）菱形 ABCD 的边长为 2，ABC60，沿对角线 AC 将三 角形 ACD 折起，当三棱锥 DABC 体积最大时，其外接球表面积为（） A 15 3 B 2 15 3 C 20 9 D 20 3 【答案】D 【解析】 【分析】当平面 ACD 与平面 ABC 垂直时体积最大，如图所示，利用勾股定理得到 222 3 ( 3)() 3 ROG 和 222 2 3 () 3

40、 ROG ，计算得到答案. 【详解】易知：当平面 ACD 与平面 ABC 垂直时体积最大. 如图所示： E为AC中点，连接 ,DE BE，外接球球心O的投影为G是ABC中心，在BE上 3BE ， 3DE ， 3 3 EG ， 2 3 3 BG 设半径为R，则 222 3 ( 3)() 3 ROG ， 222 2 3 () 3 ROG 解得： 15 3 R ，表面积 2 20 4 3 SR 故选：D 例题 11. 如图，在直角梯形中，点 是线段 上异于点 ， 的动点，于点 ，将沿折起到的位置，并使， 则五棱锥的体积的取值范围为_ 【答案】 【解析】，平面，设，则 五棱锥 的体积， 得或（舍去）

41、， 当 时，单调递增，故，即的取值范围是，故答案为. 12 （2020山东枣庄市高三期中）已知二面角PABC-的大小为 120，且 90PABABC，ABAP，6ABBC.若点 P、A、B、C 都在同一个球面上， 则该球的表面积的最小值为_. 【答案】 288 7 【解析】 设06ABxx，则6BCx， 设 PAB 和ABC的外心分别为E、H，则,E H分别为,PB AC的中点， 过点,E H分别作 PAB 和ABC所在平面的垂线， 两垂线的交点为点O， 则O为三棱锥 PABC的外心， 连接OB，则OB为三棱锥外接球的半径 取AB的中点G，连接EG、GH、OG，如图所示， 由题意可知， 2 x

42、 EG ，3 2 x GH ， 2 x GB ，且EGAB，GHAB， EGH为二面角PABC-的平面角，即120EGH ， 连接EH， OE 平面PAB，OH 平面ABC， OEEG，OHGH， ,O E G H 四点共圆，且该圆的直径为OG 在EGH中，由余弦定理知， 22 2 222 13 2cos3239 2222242 xxxxx EHEGGHEG GHEGHx EGH的外接圆直径 2 23 9 sin120423 EHx OGx ， 22 2 222 4371272 9 34221277 xx OBOGGBxx 当 12 7 x 时， 2 OB取得最小值，为 72 7 ， 此时该球的表面积取得最小值，为 2 72288 44 77 OB 故答案为： 288 7