1、高考数学培优专题库教师版 第四十六讲第四十六讲填空题压轴题精选填空题压轴题精选 A A 组组 1、如果对定义在 R 上的函数)(xf，对任意两个不相等的实数 21,x x，都有 )()()()( 12212211 xfxxfxxfxxfx，则称函数)(xf为“H 函数”。给出下列函数： xey x ； 2 xy ；xxysin3 ； )0( , 0 )0( ,ln x xx y。 以上函数是“H 函数”的所有序号为_。 【答案】： 【解析】：由已知对于任意给定的不等实数 21,x x，不等式 )()()()( 12212211 xfxxfxxfxxfx恒成立，等价于不等式0)()( 2121
2、xfxfxx， 即函数)(xf是定义在 R 上的增函数； xey x 为增函数，满足条件； 函数 2 xy 在定义域上不单调，不满足条件； xxysin3 ，0cos3xy，函数在 R 上单调递增，满足条件； )0( , 0 )0( ,ln x xx y，当 x0 时，函数单调递增，当 x0 时，函数单调递减，不满足条件。 综上满足“H 函数”的函数为。 2、定义在 R 上的( )f x，满足 22 ()( )2 ( ) ,f mnf mf nm nR且(1)0f，则(2012)f 的值为。 【答案】：1006 【解析】：令0 nm，有 00f ；令 1, 0nm ，有 1 1 2 f； 令1
3、n ，则有 1 1 2 f mf m，即 2 1 )() 1(mfmf； 从而 2 )( m mf，故1006)2012(f。 3、如题（15）图，图中的实线是由三段圆弧连接而成的一条封闭 曲线C，各段弧所在的圆经过同一点P（点P不在C上）且半径相等。 高考数学培优专题库教师版 设第i段弧所对的圆心角为(1,2,3) i i，则 232311 coscossinsin 3333 _。 【答案】： 2 1 【解析】：如图连接三个圆心与弧的交点，得到一个六边形； 因为三个圆的半径相等，则六边形为正六边形； 从而4 321 ； 故 2 1 3 4 cos 3 cos 3 sin 3 sin 3 co
4、s 3 cos 321321321 。 4、设圆 C 位于抛物线 2 2yx与直线 x=3 所围成的封闭区域（包含边界）内，则圆 C 的 半径能取到的最大值为_。 【答案】：16 。 【解析】：为使圆C的半径取到最大值，显然圆心应该在 x 轴上且与直线3x 相切； 设 圆C的 半 径 为r， 则 圆C的 方 程 为 22 2 3ryrx， 将 其 与xy2 2 联 立 得 ： 2 22960 xrxr ， 令 2 224 960rr ，并由0r ，得：16 r。 5、若实数 a，b，c 满足 baba 222 ， cbacba 2222 ，则 c 的最大值是。 【答案】：3log2 2 【解析
5、】：由 1 2 2222222 ba bababa ，得1 2 ba ba，所以2ba. 由题设得 3 4 12 1 1 12 1 1 12 2 2 2 baba ba c ， 所以3log2 3 4 log 22 c。 6、 （2016 全国一卷 16） 若直线bkxy是曲线2lnxy的切线， 也是曲线) 1ln( xy 高考数学培优专题库教师版 的切线，则 b=。 【答案】：2ln1 【解析】 ： 设bkxy与2lnxy和) 1ln( xy的切点分别为),( 11 bkxx，),( 22 bkxx； 由导数的几何意义知 1 11 21 xx k，则有1 21 xx； 又切点在曲线上，可得
6、) 1ln( 2ln 22 11 xbkx xbkx ； 联立解得 2 1 2 1 2 2 1 x x k 从而由2ln 11 xbkx得出2ln1b。 7、已知椭圆)0( 1 2 2 2 2 ba b y a x 的左、右顶点分别是 A，B，左、右焦点分别是 21,F F， 若 21 2 21 AFAFFF（04），则离心率 e 的取值范围是。 【答案】：) 2 1 , 0( 【解析】：由已知 A（a，0），B（a，0）， 1 F（c，0）， 2 F（c，0）； 因为 21 2 21 AFAFFF， 则 12 4 )( 4 2 2 2 2 ee e ca c ； 又 04，则有4 12 4
7、0 2 2 ee e （0e1）； 解得 2 1 0 e； 故答案为) 2 1 , 0(。 8、 若曲线02 22 1 xyxC：与曲线0)( 2 mmxyyC ：有四个不同的交点， 则实数m的 取值范围是_。 【答案】： 3 3 , 00 , 3 3 高考数学培优专题库教师版 【解析】：曲线02 22 xyx表示以0 , 1为圆心，以 1 为半径的圆， 曲线0mmxyy表示0, 0mmxyy或过定点0 , 1， 0y与圆有两个交点，故0mmxy也应该与圆有两个交点， 由图可以知道，临界情况即是与圆相切的时候，经计算可得， 两种相切分别对应 3 3 3 3 mm和，由图可知，m 的取值 范围应
8、是 3 3 , 00 , 3 3 。 9、已知函数 )( ,3 )0( ,ln )( 33 3 exxe exx xf，存在 321 xxx ，使得 )()()( 321 xfxfxf ， 则的 2 3) ( x xf 最大值为_。 【答案】： e 1 【解析】：由题意3ln0 2 x，则 3 2 1ex ， 又 2 2 2 3 )()( x xf x xf ，故令 x x y ln y，则 2 ln1 x x y ， 当 ), 1 ( ex 时， 0y ，当),( 3 eex，0y； 从而函数在 ), 1 ( e上单调递增，在),( 3 ee上单调递减， 故 x=e 时，函数取得最大值 e
9、1 ，即 2 3) ( x xf 的最大值为 e 1 。 10、在平面直角坐标系xOy中,设定点),(aaA ，P 是函数 x y 1 (0 x)图象上一动点，若 点AP，之间的最短距离为22 ，则满足条件的实数a的所有值为_。 【答案】：-1或 10 【解析】：由题意设 00 0 1 ,0P xx x 则有 22 2 2222 00000 2 00000 11111 2+2=+-2+22PAxaaxa xaxa xa xxxxx 高考数学培优专题库教师版 令 0 0 1 t2xt x ， 则 222 = (t)=t2222PAfatat ，对称轴 ta ； （1）当2a 时，242)2( 2
10、 2 min aafPA； 因为点AP，之间的最短距离为22 ，则有 8242 2 aa； 解得：1a 或 3a （舍去）； （2）当2a 时，2)( 2 2 min aafPA，则有102 2 a； 解得：10a 或10a （舍去）； 综上1a 或10a 。 B B 组组 1、在锐角三角形 ABC，A、B、C 的对边分别为a，b，c，6cos ba C ab ，则 tantan tantan CC AB =_。 【答案】：4 【解析】：方法一：考虑已知条件和所求结论对于角 A、B 和边 a、b 具有轮换性。 当 A=B 或 a=b 时满足题意，此时有： 1 cos 3 C ， 2 1 cos
11、1 tan 21cos2 CC C ， 2 tan 22 C ， 1 tantan2 tan 2 AB C ， tantan tantan CC AB = 4。 （方法二） 22 6cos6cos ba CabCab ab ， 2222 2222 3 6, 22 abcc abab ab ab 2 tantansincossinsincossinsin()1sin tantancossinsincossinsincossinsin CCCBABACABC ABCABCABCAB 由正弦定理，上式 222 2 22 1 4 1 1 3cos () 6 62 ccc cC ab ab 。 2、过双
12、曲线4 22 yx的右焦点 F 作倾斜角为 105的直线，交双曲线于 P、Q 两点，则 |FQFP 的值为_。 高考数学培优专题库教师版 【答案】：【答案】： 8 3 3 【解析】【解析】：(2 2,0),F 0 tan105(23).k :(23)(2 2).lyx 代入4 22 yx得： 2 (64 3)4 2(74 3)6032 30.xx 设 11221212 4 2(74 3)6032 3 ( ,),(,).,. 64 364 3 P x yQ xyxxxx 又 22 12 |1|2 2 |,|1|2 2 |,FPkxFQkx 2 1212 | | (1)|2 2()8| 6032
13、316(74 3) (84 3) |8| 64 364 3 (84 3)( 4)8 3 . 364 3 FPFQkx xxx 3、 已知, ,a b c分别为ABC的三个内角, ,A B C的对边，a=2， 且(2)(sinsin )()sinbABc bC， 则ABC面积的最大值为。 【答案】： 【解析】：因为在ABC 中，a=2，(2)(sinsin )()sinbABc bC 则根据正弦定理可得cbcb)(4 2 ，即4 22 bccb； 由基本不等式可得bcbcb 24，则4bc，当且仅当 b=c=2 时取等号； 此时ABC为等边三角形，它的面积为3 2 3 22 2 1 sin 2
14、1 AbcS ABC 。 4、设)(xf是定义在R上的可导函数，且满足0)()( xxfxf ，则不等式 )1(1)1( 2 xfxxf的解集为。 【答案】： |12xx 【分析】：令( )( )g xxf x，则 ( )( )( )0g xf xxfx，则( )g x为增函数， 不等式)1(1)1( 2 xfxxf可化为 22 1 (1)1 (1)xfxxfx， 即 2 (1)(1)gxgx，由 2 11 12 10 xx x x ， 高考数学培优专题库教师版 故不等式)1(1)1( 2 xfxxf的解集为 |12xx 。 5、已知函数)(xf满足：),)()()()(4 , 4 1 ) 1
15、 (Ryxyxfyxfyfxff 则)2010(f_。 【答案】： 1 2 【解析】：取 x=1，y=0 得 2 1 )0(f 法一：通过计算).4(),3(),2(fff，寻得周期为 6。 法二：取 x=n ，y=1，有) 1() 1()(nfnfnf， 同理)()2() 1(nfnfnf 联立得：6)()3() 1()2(Tnfnfnfnf 故 2 1 )0()2010( ff。 6、已知ACBD、为圆O: 22 4xy的两条相互垂直的弦，垂足为 1,2M,则四边形 ABCD的面积的最大值为。 【答案】：5 【解析】:如图连接 OA、OD 作 OEAC，OFBD 垂足分别为 E、F， 设圆
16、心 O 到 AC、BD 的距离分别为 21,d d， 因为 ACBD 于 M，则四边形 OEMF 为矩形； 又点 1,2M ，从而有 3 2 2 2 1 dd； 则四边形 ABCD 的面积为5)(8)4(42 2 1 2222 2121 ddddBDACS， 当且仅当 2 2 2 1 dd时取等号； 故四边形ABCD的面积的最大值为 5。 高考数学培优专题库教师版 7、（15 年福建理科）已知 ACAB，tAC t AB , 1 ，若P点是ABC所在平面内 一点，且 AC AC AB AB AP 4 ，则 PCPB的最大值为。 【答案】：13 【解析】：由题意建立如图所示的坐标系，可得 A(0
17、，0)，B( t 1，0)，C(0，t)， 因为 AC AC AB AB AP 4 ，则 P（1，4）； 从而)4, 1(, )4, 1 1 ( tPC t PB； 则1317) 1 4()4(4 1 1 t tt t PCPB， 当且仅当 t t 1 4 ，即 2 1 t时等号成立； 故 PCPB的最大值为 13。 8、 已知函数( ) 2 3f xxx=+，xR.若方程( )10f xa x-=恰 高考数学培优专题库教师版 有 4 个互异的实数根，则实数a的取值范围为_。 【答案】：01a 【解析】：方法一：显然0a. （1）当()1ya x= -与 2 3yxx= -相切时，1a=，此时
18、( )10f xa x-=恰有 3 个互 异的实数根； （2）当直线()1ya x=-与函数 2 3yxx=+相切时，9a=，此 时( )10f xa x-=恰有 2 个互异的实数根； 结合图象可知01a 。 方法二：显然1a，所以 2 3 1 xx a x + = - ； 令1tx=-，则 4 5at t =+ ； 因为( ), 4 44t t - -+，所以 ( ) 4 5,19,t t + ； 结合图象可得01a 。 9、 若函数( )f x= 22 (1)()xxaxb 的图像关于直线 2x 对称，则( )f x的最大值是_。 【答案】：【答案】：1616 【解析】由【解析】由( )f
19、 x图像关于直线图像关于直线x= =2 2 对称，则对称，则 0=0=( 1)( 3)ff= = 22 1 ( 3) ( 3)3ab ， 0=0=(1)( 5)ff= = 22 1 ( 5) ( 5)5ab ，解得，解得a=8=8，b=15=15， ( )f x= = 22 (1)(815)xxx， ( )fx= = 22 2 (815)(1)(28)x xxxx= = 32 4(672)xxx = =4(2)(25)(25)xxx 当当x( (, ,25 ) )( (2,2,25 ) )时，时，( )fx0 0， 高考数学培优专题库教师版 当当x( (25 , ,2)2)( (25 ,+,+
20、) )时，时，( )fx0 0， ( )f x在在（，25 ）单调递增单调递增， 在在（25 ，2 2）单调递减单调递减，在在（2 2，25 ） 单调递增，在（单调递增，在（25 ，+ +）单调递减，故当）单调递减，故当x= =25 和和x= =25 时取极大值，时取极大值， ( 25)f = =( 25)f =16=16。 10、已知正数a b c，满足：4ln53lnbcaacccacb ，则 b a 的取值范围是。 【答案】：e，7 【解析】：由已知条件4ln53lnbcaacccacb ，可化为： 35 4 a c ab cc ab cc b e c 。 设= ab xy cc ，则题
21、目转化为： 已知xy，满足 35 4 00 x xy xy ye xy ， ，求 y x 的取值范围。 作出（xy，）所在平面区域（如图）。求出= x y e的切 线的斜率e，设过切点 00 P xy，的切线为=0y exm m， 则 00 000 = yexmm e xxx ，要使它最小，须=0m。 从而 y x 的最小值在 00 P xy，处，为e。此时，点 00 P xy，在= x y e上,A B之间。 当（xy，）对应点C时， =45 =205 =7=7 =534 =2012 yxyxy yx yxyxx ， 则 y x 的最大值在C处且7 max x y 故 y x 的取值范围为
22、7e，即 b a 的取值范围是 7e，。 C C 组组 高考数学培优专题库教师版 1、设 1 e， 2 e为单位向量，非零向量 21 eyexb， 2 e，Ryx,。若 1 e， 2 e的夹角为 6 ， 则 b x 的最大值等于_。 【答案】：】：2 【解析】：由已知xyyxeexyyxeyexb32 22 21 22 2 21 2 ； 则 22 | | 3 xx xyxy b ，当 x0 时， | 0 | x b ； 当 x0 时， 22 |11 2 | 3 31 1 24 x yy y xx x b ； 故 b x 的最大值为 2。 2、 在面积为 2 的ABC中， E， F 分别是 AB
23、， AC 的中点， 点 P 在直线 EF 上， 则 2 BCPCPB 的最小值是_。 【答案】：2 3 【解析】：由题设知，PBC的面积为 1，以 B 为原点，BC 所在直线为x轴，过点 B 与直 线 BC 垂直的直线为y轴建立平面直角坐标系，设 2 ( ,0),( ,)(0)C aP ta a ， 则) 2 ,(), 2 ,( a taPC a tPB ； 从而320 4 34 ) 2 ( 4 )( 2 2 22 2 2 a a a ta a tatBCPCPB， 当且仅当 416 , 23 a ta时取等号，故 2 BCPCPB的最小值是2 3。 3、已知双曲线 22 22 1(0,0)
24、xy ab ab 的左、右焦点分别为 12 (,0),( ,0)FcF c，若双曲线上 存在一点P使 12 21 sin sin PFFa PF Fc ，则该双曲线的离心率的取值范围是。 高考数学培优专题库教师版 【答案】：(1，21) 【解析】：方法一：因为在 12 PFF中，由正弦定理得 21 1221 sinsin PFPF PFFPF F 则由已知，得 1211 ac PFPF ，即 12 aPFcPF，且知点 P 在双曲线的右支上； 设点 00 (,)xy由焦点半径公式，得 1020 ,PFaex PFexa， 则有 00 ()()a aexc exa，解得 0 ()(1) ()(1
25、) a caa e x e cae e ； 由双曲线的几何性质知 0 (1) (1) a e xaa e e 则，整理得 2 210,ee 解得2121(1,)ee ，又，故椭圆的离心率(1,21)e。 方法 2：由方法一知 12 c PFPF a 由双曲线的定义知：aPFPF2 21 ； aPFPF a c 2 22 ，即 ac a PF 2 2 2 ， 由双曲线的几何性质知：acPF 2 ，则有ac ac a 2 2 ，即02 22 aacc； 化简得： 2 210,ee 解得2121(1,)ee ，又，故椭圆的离心率(1,21)e。 4、如图，在正方形 ABCD 中，E 为 AB 的中点
26、，P 为以 A 为圆心，AB 为半径的圆弧上的任 意一点，设向量 APDEAC，则+的最小值为。 【答案】： 2 1 【解析】：以 A 为原点，以 AB 所在的为 x 轴，建立平面直角坐标系，设正方形 ABCD 的 边长为 1，则 E（ ，0），C（1，1），D（0，1），A（0，0）， 从而) 1 , 1 ( AC，) 1, 2 1 ( DE ，设 )sin,(cosP， 高考数学培优专题库教师版 因为 )sin,cos 2 ()sin,(cos) 1, 2 1 ( APDEAC 则有 1sin 1cos 2 ，解得 sincos2 3 sincos2 cos2sin2 ； 从而 sinco
27、s2 cos2sin23 ； 又因为 2 0 ，则1cos0 , 1sin0， 故当cos取最大值 1 时， 2 1 2 203 min 。 5、（2015 全国一卷 16）在平面四边形 ABCD 中2,750BCCBA则 AB 的取值 范围是_。 【答案】： 62, 62 【解析】：如图所示，延长 BA，CD 交于点 E， 则在ADE 中，DAE=105 ，ADE=45 ，E=30 ； 设mCDxDExAExAD , 4 62 , 2 2 , 2 1 ， 因为 BC=2，则115sin) 4 62 ( 0 mx； 从而62 4 62 mx； 则有40 x， 又xxmxAB 2 2 26 2
28、2 4 62 ； 故AB的取值范围是 62, 62 。 高考数学培优专题库教师版 6、数列 n a满足 1 ( 1)21 n nn aan ，则 n a的前60项和为 。 【答案】：1830 【解析】：因为 1 ( 1)21 n nn aan ， 所以 21 1aa， 32 3aa， 43 5aa， 54 7aa， 65 9aa， 76 11aa， ， 5857 113aa， 5958 115aa， 6059 117aa。 由 21 1aa， 32 3aa可得 13 2aa； 由 65 9aa， 76 11aa可得 57 2aa； 由 5857 113aa， 5958 115aa可得 5759
29、 2aa； 从而 59577531 aaaaaa 30152 59577531 aaaaaa 又 21 1aa， 43 5aa， 65 9aa， 5857 113aa， 6059 117aa， 所以)()( 5957316058642 aaaaaaaaa )()()()( 5960563412 aaaaaaaa 1770 2 11830 117951 ； 从而18001770 5957316058642 aaaaaaaaa； 因此1830180030)()( 605864259573160 aaaaaaaaaS。 7、已知P点为圆 1 O与圆 2 O的公共点， 222 1:( )()Oxayb
30、b， 222 2:( )()Oxcydd， 若9, ac ac bd ，则点P与直线l：34250 xy上任意一点M之间的距离的最小值为。 【答案】：2 【解析】：设 ac k bd 则圆 2222 1:( )()Oxaykak a， 222 2(2)()0axky axy 圆 2222 2:( )()Oxcykck c， 222 2(2)()0cxky cxy； 故 , a c是关于m的方程 222 2(2)()0mxky mxy的两根； 高考数学培优专题库教师版 因此由韦达定理得 22 9acxy，所以点P在圆 22 9xy上， 其到直线l距离就是点P与 直线l上任意一点M之间的距离的最小
31、值，为 |304025| 32. 5 d 8、（2015 天津理）在等腰梯形ABCD中,已知/ /,2,1,60ABDC ABBCABC ， 动点E和F分别在线段BC和DC上，且 DCDF 9 1 ， 则 AFAE的最小值 为。 【答案】： 29 18 【解析】：因为， ， ， ， 当且仅当 21 92 即 2 3 时 AFAE的最小值为 29 18。 9、已知函数)()(,2)(f 2 Raaxxxgx x 其中。对于不相等的实数 1 x， 2 x，设 21 21 )()( xx xfxf m ， 21 21 )()( n xx xgxg 。现有如下命题： (1) 对于任意不相等的实数 1
32、x， 2 x，都有0m ； 高考数学培优专题库教师版 (2) 对于任意a的及任意不相等的实数 1 x， 2 x，都有0n ； (3) 对于任意的a，存在不相等的实数 1 x， 2 x，使得nm; (4) 对于任意的a，存在不相等的实数 1 x， 2 x，使得nm. 其中的真命题有_(写出所有真命题的序号）。 【答案】：(1) (4) 【解析】：(1)设 1 x 2 x ，函数 x 2y 单调递增，所有 1 x 2 2 x 2 ， 1 x- 2 x0， 则 21 21 )()( xx xfxf m = 21 x 21 22 xx x 0，所以正确； (2)设 1 x 2 x,则 1 x- 2 x
33、0,则 21 21 )()( n xx xgxg axx xx axxxx xx xxaxx 21 21 2121 21 21 2 2 2 1 )()( ，可令 1 x=1， 2 x=2， 4a，则01n，所以错误； (3)因为nm，由（2）得： 21 21 )()( xx xfxf axx 21 ，分母乘到右边，右边即为 )()( 21 xgxg，所以原等式即为)()( 21 xfxf=)()( 21 xgxg， 即为)()( 21 xgxf=)()(f 21 xgx，令)()()(xgxfxh， 则原题意转化为对于任意的a，函数)()()(xgxfxh存在不相等的实数 1 x， 2 x使得
34、 函数值相等，axxxh x 2 2)(，则axnx x 22l2)(h，则22l2)(h ）（ nx x ， 令 0hx ， 且12x ， 可得 h x为极小值。 若10000a ， 则 0h x ， 即 0h x ， h x单调递增，不满足题意，所以错误。 (4)由(3) 得)()( 21 xfxf=)()( 21 xgxg，则 1122 f xg xg xf x，设 h xf xg x，有 1 x， 2 x使其函数值相等，则 h x不恒为单调。 2 2xh xxax， 2 ln22 x h xxa， 2 2ln220 x hx 恒成立， h x单调递 增且 0h ， 0h 。所以 h x
35、先减后增，满足题意，所以正确。 10、设函数( ),0,0. xxx f xabccacb其中 高考数学培优专题库教师版 (1)记集合( , , ) , ,Ma b c a b ca不能构成一个三角形的三条边长， 且 =b,则( , , )a b cM所 对应的( )f x的零点的取值集合为_； (2)若_, ,a b cABC是的三条边长，则下列结论正确的是_。(写出所有正确结论 的序号) ,1 ,0;xf x , xxx xRxa b c 使不能构成一个三角形的三条边长； 若 1,2 ,0.ABCxf x 为钝角三角形，则使 【答案】：(1) 10( ，(2) 【解析】 ：(1)由题意知
36、2 c ba,所以方程0 xxx abc可化为02 xx ca,即2)( x a c 又2 a c ,所以当0 x时. 2)(2 xx a c 此时10 x;当0 x时21)( x a c ,无解.所以( )f x的 零点的取值集合为 01xx 。 (2)令1)()( )( )( xx x xxx x c b c a c cba c xf xF， 则)ln()()ln()()( c b c b c a c a xF xx ，因为0,0.cacb所以0)ln(, 0)ln( c b c a ， 即0)ln()()ln()()( c b c b c a c a xF xx ，所以1)()()( xx x xxx c b c a c cba xF是单调递减 函数，所以在) 1 ,(上1) 1 ()( c ba FxF， 又, ,a b cABC是的三条边长，cba01) 1 ()( c ba FxF， 所以 ,1 ,0;xf x 又因为)(xF是单调递减函数，所以在R一定存在零点 0 x,即 000 xxx cba,此时 000 , xxx cba不能构成三角形的三边. ABC为钝角三角形，则由余弦定理易知0 222 cba,即0)2(f,又0) 1 (f，且 )(xf连续，所以 1,2 ,0.xf x 使故都正确。
