1、公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性 一、函数单调性的判定方法一、函数单调性的判定方法 如果函数在上单调增加（单调减少）, 那么它的图形是一条沿轴正向上升（下降） 的曲线. 这时曲线的各点处的切线斜率是非负的（是非正的）, 即(或) 由 此可见, 函数的单调性与导数的符号有着密切的关系. 反过来, 能否用
2、导数的符号来判定函数的单调性呢？ 定理定理 (函数单调性的判定法) 设函数在上连续, 在内可导. (1)如果在内, 那么函数在上单调增加; (2)如果在内, 那么函数在上单调减少. 证明证明 只证(1)（2）可类似证得） 在上任取两点, 应用拉格朗日中值定理, 得到 . 由于在上式中, 因此, 如果在内导数保持正号, 即, 那么也有,于是 从而，因此函数在上单调增加. 证毕 例例 3-193-19判定函数在上的单调性. 解解 因为在内, 所以由判定法可知函数在上单调增加. 例例 3-203-20 讨论函数的单调性. 解解 由于且函数的定义域为 令, 得, 因为在内, 所以函数在上单调减少;又在
3、 内, 所以函数在上单调增加. 例例 3-213-21讨论函数的单调性. 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 解解: 显然函数的定义域为, 而函数的导数为 所以函数在处不可导. 又因为时, 所以函数在上单调减少; 因为时, 所以函数在上单调增加. 说明说明: :如果函数在定义区间上连续,除去有限个导数不存在的点外导数存在且连续,那么只 要用方程的根及导数不存在的点来划分
4、函数的定义区间, 就能保证在各个部分区间内 保持固定的符号, 因而函数在每个部分区间上单调. 例例 3-223-22. . 确定函数的单调区间. 解解 该函数的定义域为. 而,令, 得. 列表 +-+ 函数f(x)在区间和内单调增加, 在区间上单调减少. 例例 3-233-23 讨论函数的单调性. 解解 函数的定义域为 函数的导数为:, 除时,外, 在其余各点处均有因此函数在区间 上单调减少; 因为当时, 所以函数在及上都是单调增加的. 从而在整个定义域 内是单调增加的.其在处曲线有一水平切线. 说明说明: :一般地, 如果在某区间内的有限个点处为零, 在其余各点处均为正（或负）时, 那么 在
5、该区间上仍旧是单调增加（或单调减少）的. 例例 3-243-24 证明: 当时,. 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 证明证明: 令, 则 因为当时, 因此在上单调增加, 从而当时,又由于 , 故, 即, 也就是,(). 二、函数的凹凸性与拐点二、函数的凹凸性与拐点 在给出凸性严格定义之前，从直观上看一下函数图形凸性的几何特征，如图所示， 图形上任意弧段位于所张弦的下
6、方图形上任意弧段位于所张弦的上方 定义定义 3-6-13-6-1 设在区间I上连续, 如果对I上任意两点, 恒有 那么称在I上的下凸函数下凸函数; 如果恒有 那么称在I上的上凸函数上凸函数. 函数的上凸下凸的性质叫做函数的凸性函数的凸性 二、判定函数的凸性的充分条件二、判定函数的凸性的充分条件 定理定理 设在上连续, 在(a,b)内具有一阶和二阶导数, 那么 (1)若在内, 则在上是下凸的; (2)若在内, 则在上是上凸的. 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWo
7、rd 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 4 证明证明 只证(1)(2)的证明类似). 设, 记. 由拉格朗日中值公式, 得 , , 两式相加并应用拉格朗日中值公式得 , 即, 所以在上的图形是凹的. 拐点拐点: 连续曲线上凸与下凸的分界点称为这曲线的拐点拐点. 确定曲线确定曲线的凹凸区间和拐点的步骤的凹凸区间和拐点的步骤: (1)确定函数的定义域; (2)求出在二阶导数; (3)求使二阶导数为零的点和使二阶导数不存在的点; (4)判断或列表判断, 确定出曲线凹凸区间和拐点; 注: 根据具体情况（1）、（3）步有时省略. 例例 3-343-34
8、判断曲线的凸性. 解解: : 因为,.令得, 当时, 所以曲线在内为上凸的; 当时, 所以曲线在内为下凸的. 例例 3-353-35 求曲线的拐点及凸性区间. 解解: : (1)函数的定义域为; (2),;(3)解方程, 得,; (4)列表判断: 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 5 在区间和上曲线是下凸的, 在区间上曲线是上凸的. 点和是曲线的 拐点. 例例 3-363-36 问曲线是否有拐点？ 解,. 当时, 在区间内曲线是下凸的, 因此曲线无拐点. 例例 3-373-37 求曲线的拐点. 解 (1)函数的定义域为; (2),; (3)函数无二阶导数为零的点，二阶导数不存在的点为; (4)判断: 当时,; 当时,因此, 点是曲线的拐点. 拉格朗日中值定理： 如果函数 f(x)在（a，b）上可导，a,b上连续，则必有一a,b使得 f()*(b-a)=f(b)-f(a) 示意图 令 f(x)为 y，所以该公式可写成y=f(x+x)*x (01) 上式给出了自变量取得的有限增量x 时，函数增量y 的准确表达式，因此本定理也叫有限增 量定理。
