1、公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 1 1 专题专题二二压轴解答题压轴解答题 第四关第四关以极值为背景的解答题以极值为背景的解答题 【名师综述【名师综述】极值点极值点不同于零点不同于零点，极值点不仅导数值为零极值点不仅导数值为零（中学中学只研究只研究可导函数可导函数） ，而且在其附近导数值要而且在其附近导数值要 变号变号. .因此因此以极值为背景的解答题以极值为背景的解答题
2、，不仅要考虑等量关系不仅要考虑等量关系，更要注意不等量关系更要注意不等量关系，这也是这也是考查考查分类讨论分类讨论思想思想 的一个常见的载体的一个常见的载体. . 类型一类型一求求函数极值函数极值或或单调区间单调区间或或最值最值问题问题 典例典例 1 1已知函数 2 lnx fx xa ，其中a为常数. （1）若0a ，求函数 f x的极值； （2）若函数 f x在0, a上单调递增，求实数a的取值范围； （3）若1a ，设函数 f x在0,1上的极值点为 0 x，求证： 0 2f x . 【答案】(1)当xe时， f x的极大值为 1 2e ，无极小值；(2) 1 2 2ae ；(3)证明见
3、解析. 【解析】 x 0, e e , e f x0 fx极大值 1 2e 当xe时， f x的极大值为 1 2e ，无极小值. （2） 3 12ln a x x fx xa ，由题意 0fx 对0,xa恒成立. 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 2 2 0,xa， 3 0 xa， 12ln0 a x x 对0,xa恒成立， 2 lnax xx对0,xa恒成立. 令 2
4、lng xx xx，0,xa，则 2ln1gxx， 若 1 2 0ae ，即 1 2 0ae ，则 2ln10gxx 对0,xa恒成立， 2 lng xx xx在0, a上单调递减， 则 2lnaaaa ，0lna ，1a 与 1 2 ae 矛盾，舍去； 若 1 2 ae ，即 1 2 ae ，令 2ln10gxx ，得 1 2 xe ， 当 1 2 0 xe 时， 2ln10gxx ， 2 lng xx xx单调递减， 当 1 2 exa 时， 2ln10gxx ， 2 lng xx xx单调递增， 当 1 2 xe 时， 1 2 min g xg e 1111 2222 2ln2eeee
5、， 1 2 2ae .综上 1 2 2ae . （3）当1a 时， 2 ln 1 x f x x ， 3 12 ln 1 xx x fx x x ， 令 1 2 lnh xxx x ，0,1x， 则 1 2 ln1hxx 2ln1x ，令 0hx ，得 1 2 xe ， 当 1 2 1ex 时， 0hx ， 1 2 lnh xxx x 单调递减， 1 2 0,21h xe ， 3 12 ln 0 1 xx x fx x x 恒成立， 2 ln 1 x f x x 单调递减，且 1 2 f xfe . 当 1 2 0 xe 时， 0hx ， 1 2 lnh xxx x 单调递增， 1111 22
6、22 1 2lnh eeee 1 2 210e 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 3 3 又 2222 12lnh eeee 2 5 10 e ， 存在唯一 1 2 0 0,xe ，使得 0 0h x， 0 0fx， 当 0 0 xx时， 0 0fx， 2 ln 1 x f x x 单调递增， 当 1 2 0 xxe 时， 0 0fx， 2 ln 1 x f x x 单调
7、递减，且 1 2 f xfe ， 由和可知， 2 ln 1 x f x x 在 0 0,x单调递增，在 0,1 x上单调递减， 当 0 xx时， 2 ln 1 x f x x 取极大值. 0000 1 2 ln0h xxxx ， 0 0 0 1 ln 2 x x x ， 0 0 2 0 ln 1 x f x x 2 00 0 11 21 11 2 22 xx x ， 又 1 2 0 0,2xe ， 2 0 111 2,0 222 x ， 0 2 0 1 2 11 2 22 f x x . 【名师指点】以导函数为研究对象，实质讨论研究方程的根与系数的关系. 【举一反三】【举一反三】已知函数 2
8、1lnf xxaxg xxa aR， 当1a 时，求函数 h xf xg x的极值； 若存在与函数 f x， g x的图象都相切的直线，求实数a的取值范围 【答案】 （1）当 1 2 x 时，函数 h x取得极小值为 11 +ln2 4 ，无极大值； （2）1, 【解析】 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 4 4 所以 2111 21 xx h xx xx 所以当 1 0
9、 2 x时， 0h x，当 1 2 x 时， 0h x， 所以函数 h x在区间 1 0, 2 单调递减，在区间 1 , 2 单调递增， 所以当 1 2 x 时，函数 h x取得极小值为 11 +ln2 4 ，无极大值； （2）设函数 f x上点 11 ,xf x与函数 g x上点 22 ,xg x处切线相同， 则 12 12 12 f xg x fxgx xx 所以 2 112 1 212 1ln1 2 xaxxa xa xxx 所以 1 2 1 22 a x x ，代入 2 12 112 2 1ln xx xaxxa x 得： 2 2 2 22 1 ln20 * 424 aa xa xx
10、设 2 2 1 ln2 424 aa F xxa xx ，则 2 323 1121 222 axax Fx xxxx 不妨设 2 000 210(0)xaxx 则当 0 0 xx时， 0Fx，当 0 xx时， 0Fx 所以 F x在区间 0 0,x上单调递减，在区间 0, x 上单调递增， 代入 2 0 0 00 1 21 =2 x ax xx 可得： 2 0000 min 0 1 2ln2F xF xxxx x 设 2 1 2ln2G xxxx x ，则 2 11 220Gxx xx 对0 x 恒成立， 所以 G x在区间0,上单调递增，又 1 =0G 公众号：渝城高中数学会 6083969
11、16高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 5 5 所以当01x时 0G x ，即当 0 01x时 0 0F x, 又当 2a xe 时 2 2 242 1 ln2 424 a aa aa F xea ee 2 2 11 0 4 a a e 因此当 0 01x时，函数 F x必有零点；即当 0 01x时，必存在 2 x使得 *成立； 即存在 12 ,x x使得函数 f x上点 11 ,xf x与函数 g x上点 22
12、,xg x处切线相同 又由 1 2yx x 得： 2 1 20y x 所以 1 20,1yx x 在单调递减，因此 2 0 0 00 1 21 =21+ x ax xx ， 所以实数a的取值范围是1, 类型二类型二由由极值确定参数取值范围极值确定参数取值范围问题问题 典例典例 2 2已知函数 ln,f xxax g xex aR（e是自然对数的底数） （1）若直线yex为曲线 yf x的一条切线，求实数a的值； （2）若函数 yf xg x在区间1,上为单调函数，求实数a的取值范围； （3）设 ,1,H xf xg xxe，若 H x在定义域上有极值点（极值点是指函数取得极值时对应 的自变量的
13、值） ，求实数a的取值范围. 【答案】 （1） 1 e e ； （2） ,1,ee ； （3） 1 0a e 或 11 2 a e . 【解析】 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 6 6 （2）设 ln1h xf xg xxae x x， 当 h x单调递增时， 则 1 0h xae x 在1,上恒成立， 1 ae x 在1,上恒成立， 又 1 0,1 , x 0,ae
14、解得ae 当 h x单调递减时， 则 1 0h xae x 在1,上恒成立， 1 ae x 在1,上恒成立， 1,ae 1ae 综上 h x单调时a的取值范围为 ,1,ee （3） 2 ln ln x H xxax exexa x ， 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 7 7 令 ln ,1, x t xa xe x 则 2 1 lnx tx x ， 当1,xe时， 0t
15、x， t x单调递增， 1tt xt e，即 1 at xa e . 1）当0a ，即0a 时， 0,t x 2 ln,1,H xe x xaxxe， 则 ln1 20,HxexaxH x 单调递增， H x在1,xe上无极值点 2）当 1 0a e 即 1 a e 时， 0,t x 2 ln,1,H xe x xaxxe 111 2ln1 ,2,1HxeaxxHxea xxe I）当21a ，即 1 2 a 时， 0Hx ， Hx 在 1,e递增， 1210Hea ， H x在1,e上递增， H x在1,e上无极值点 II）当 11 2 a e 时，由 11 20, 2 Hxaxe xa 可
16、得 Hx 在 1 1, 2a 递减， 1 , 2 e a 递增， 又 121 0,2221 0HeaHeeaee ae 0 1,xe使得 0 0,Hx H x在 0 1,x上单调递减，在 0, x e上单调递增， 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 8 8 H x在1,e上有一个极小值点 3）当 1 a e 时， 221 ln1 ,0 2 e HxexxHxex eex 由
17、得， Hx 在1, 2 e 上单调递减，在, 2 e e 上单调递增， 又 2 110,0HeHe e ， 0Hx 在 1,e上恒成立， H x无极值点 4）当 1 0a e 时， t x在1,e递增， 0 1,xe使得 0 0 lnx a x ， 当 0 1,xx时， 0,t x 当 0, xx e时， 0t x ， 2 0 2 0 ln,1 ln, e axx xxx H x e x xaxxxe ， 0 0 ,1 1 2, e axlnxxx Hx e lnxaxxxe ， 令 2 ln,1,2ln1axx xk xxe kxaxx， 下面证明 0kx，即证 ln1 2ln1,2 x a
18、xxa x ， 又 2 ln1ln ()0 xx xx min ln12x xe ， 即证 1 a e ，所以结论成立，即 0kx， 0 1,1,xeH x在 0 1,x递减， 0, x e递增， 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 9 9 0 x为 H x的极小值. 综上当 1 0a e 或 11 2 a e 时， H x在1,e上有极值点 【名师指点】由极值的情况，探讨
19、导函数零点的情况，进而研究方程根的分布情况. 【举一反三】【举一反三】已知函数 2 ln1f xaxxxaR恰有两个极值点 12 ,x x，且 12 xx. （1）求实数a的取值范围； （2）若不等式 12 lnln1xx 恒成立，求实数的取值范围. 【答案】 （1）2 , e ； （2）1,. 【解析】 当0,xe时， 0gx； 当,xe时， 0gx， 所以 g x在0,e上单调递增，在, e 上单调递减， 10g， 当xe时， 0g x ， 所以 2 0g e a 21 0g e ae 解得2ae， 故实数a的取值范围是2 , e . （2）由（1）得， 11 ln2a xx， 22 ln
20、2a xx，两式相加得 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 10 10 1212 lnln2axxxx， 故 12 12 2 lnln xx xx a 两式相减可得 1212 lnln2axxxx， 故 12 12 2 lnln xx a xx 所以 12 lnln1xx 等价于 12 2 1 xx a ， 所以 12 21xxa 所以 12 12 12 221 lnln
21、xx xx xx ， 即 1212 12 lnln 1 xxxx xx ， 所以 11 22 1 2 ln 1 1 xx xx x x ， 因为 12 0 xx，令 1 2 0,1 x t x ，所以 ln 1 1 tt t 即ln110ttt，令 ln11h tttt， 则 0h t 在0,1上恒成立， lnh tt t ， 令 lnI tt t ， 22 1 0,1 t Itt ttt 当1时， 0I t所以 h t在0,1上单调递减， 10h th 所以 h t在0,1上单调递增， 所以 10h th符合题意 当0时， 0I t所以 h t在0,1上单调递增 公众号：渝城高中数学会 60
22、8396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 11 11 10h th 故 h t在0,1上单调递减， 所以 10h th不符合题意； 当01时， 01I tt 所以 h t在,1上单调递增， 所以 10h th所以 h t在,1上单调递减， 故 10h th不符合题意 综上所述，实数的取值范围是1,. 类型三类型三利用利用极值证明不等式极值证明不等式问题问题 典例典例 3 3已知函数 2ln1.f xxmxm
23、R （1）当1m时，求 f x的单调区间； （2）令 g xxf x，区间 15 22 ,Dee ，e为自然对数的底数。 （）若函数 g x在区间D上有两个极值，求实数m的取值范围； （）设函数 g x在区间D上的两个极值分别为 1 g x和 2 g x， 求证： 12 xxe. 【答案】 （1）增区间0,2，减区间2,， （2）详见解析 【解析】 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下
24、载！下载！ 12 12 （2） （）因为 2 2 lng xx xmxx， 所以 2ln2212ln21gxxmxxmx ， 15 22 ,xee ， 若函数 g x在区间 D 上有两个极值，等价于 2ln21gxxmx在 15 22 ,ee 上有两个不同的零点， 令 0gx，得 2ln1 2 x m x ， 设 2 2ln112ln , xx t xtx xx ，令 0,txxe x 1 2 xe 11 22 ,xee 1 2 xe 15 22 ,xee 5 2 xe tx 大于 00小于 0 t x0增1 2 2 e 减5 2 6 e 所以m的范围为 51 22 31 , ee （）由（）
25、知，若函数 g x在区间 D 上有两个极值分别为 1 g x和 2 g x，不妨设 12 xx，则 12 12 2ln12ln1 2 xx m xx ， 所以 1212 1212 212ln12ln12ln1lnxxxx xxxx 即 1 12121 12 1 1222 2 1 lnln1lnln 1 x xxxxx xx x xxxx x ， 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！
26、下载！ 13 13 要证 12 x xe，只需证 12 lnln12xx ，即证 1 21 1 2 2 1 ln2 1 x xx x x x ， 令 3 1 2 1 x et x ，即证 1 ln2 1 t t t ，即证 1 ln2 1 t t t ， 令 21 ln 1 t p tt t ，因为 2 22 114 0 11 t p t t tt t ， 所以 p t在 3,1 e上单调增， 10p，所以 0p t ， 即 21 ln0, 1 t t t 所以 1 ln2 1 t t t ，得证。 【名师指点】由极值的情况，揭示等量条件与不等量条件，进而研究证明等式或不等式. 【举一反三】【
27、举一反三】设函数 3 ( )(1)f xxaxb,Rx ，其中 Rba, (I)求)(xf的单调区间； (II) 若)(xf存在极值点 0 x，且)()( 01 xfxf，其中 01 xx ，求证： 10 23xx； 【答案】 （）详见解析（）详见解析 （2）当0a时，令0)( xf，解得 3 3 1 a x，或 3 3 1 a x. 当x变化时，)( xf，)(xf的变化情况如下表： x ) 3 3 1 ,( a 3 3 1 a ) 3 3 1 , 3 3 1 ( aa 3 3 1 a ), 3 3 1 ( a )( xf00 )(xf单调递增极大值单调递减极小值单调递增 公众号：渝城高中数
28、学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 14 14 所以)(xf的单调递减区间为) 3 3 1 , 3 3 1 ( aa ，单调递增区间为) 3 3 1 ,( a ，), 3 3 1 ( a . （） 证明： 因为)(xf存在极值点， 所以由 （） 知0a， 且1 0 x， 由题意， 得0) 1( 3)( 2 00 axxf， 即 3 ) 1( 2 0 a x， 进而b a x a baxxxf
29、 33 2 ) 1()( 00 3 00 . 又baaxx a bxaxxf32)1 ( 3 8 )22()22()23( 000 3 00 )( 33 2 00 xfb a x a ，且 00 23xx ，由题意及（）知，存在唯一实数满足)()( 01 xfxf，且 01 xx ，因此 01 23xx，所以32 01 xx； 【精选名校模拟】【精选名校模拟】 1.已知函数f(x)=x b x ，g(x)=2 lna x （1）若0b ，函数 f x的图像与函数 g x的图像相切，求a的值； （2）若0a ，1b ，函数 F xxf xg x满足对任意 12 ,0,1x x （x1x2） ，都
30、有 12 12 11 3|F xF x xx 恒成立，求a的取值范围； （3）若1b ，函数 G x=f(x)+g(x),且 G(x)有两个极值点x1,x2,其中x1 1 0 3 ，求 12 G xG x的 最小值 【答案】 （1） 2 e a ； （2） 1 0 2 a； （3） 20ln3 16 3 . 【解析】 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 15 15 设 h(
31、x)= F(x)+ 3 x = x 2+1+2alnx+3 x ，则原不等式h(x)在(0,1上递减 即 h(x)=2x+ 2a x - 2 3 0 x 在(0,1上恒成立.所以 2a 3 x -2x 2在(0,1上恒成立. 设 y= 3 x -2x 2,在(0,1上递减，所以 y min=3-2=1，所以 2a1，又 a0，所以 00),由题意知 x1,x2是 x 2+2ax+1=0 的两根， x1x2=1, x1+x2=2a,x2= 1 1 x ,2a= 1 1 1 x x , G(x1)-G(x2)=G(x1)-G( 1 1 x )= 111 11 11 2lnxxx xx 令H(x)=
32、2 11 lnxxx xx ,H (x)=2() 2 1 1 x lnx= 2 2 11lnxxx x 当 1 0, 3 x 时，H/(x)0, H(x)在 1 0, 3 上单调递减，H(x)的最小值为 120ln3 16 33 H 即 G(x1)-G(x2) 的最小值为 20ln3 16 3 2.已知函数 1 x f xaxe（0a ，e是自然对数的底数）. （1）若函数 f x在区间1,2上是单调减函数，求实数a的取值范围； （2）求函数 f x的极值； （3）设函数 f x图像上任意一点处的切线为l，求l在x轴上的截距的取值范围. 【答案】 （1）实数a的取值范围是 1 ,00, 3 ；
33、 （2）当0a 时，函数 f x在 1a x a 取得极大值 1 a a a e ，没有极小值；当0a 时，函数 f x在 1a x a 取得极小值 1 a a a e ，没有极大值； （3）切线l 在x轴上的截距的取值范围是 11 ,4, aa . 【解析】 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 16 16 经检验， 1 3 a 时， f x是1,2上的单调减函数， 又0a
34、 ，所以实数a的取值范围是 1 ,00, 3 （2）由 1=0 x fxaxa e ，得 1a x a ， 当0a 时，有 1 ,0 a xfx a ； 1 ,0 a xfx a ， 所以函数 f x在 1 , a a 上单调递增，在 1 , a a 上单调递减， 所以函数 f x在 1a x a 取得极大值 1 a a a e ，没有极小值 当0a 时，有 1 ,0 a xfx a ； 1 ,0 a xfx a ， 所以函数 f x在 1 , a a 上单调递减，在 1 , a a 上单调递增， 所以函数 f x在 1a x a 取得极小值 1 a a a e ，没有极大值 综上可知: 当0
35、a 时，函数 f x在 1a x a 取得极大 值 1 a a a e ，没有极小值； 当0a 时，函数 f x在 1a x a 取得极小值 1 a a a e ，没有极大值 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 17 17 （3）设切点为 ,1 t T tate， 则曲线在点T处的切线l方程为11 tt yateataxt e ， 当 1a t a 时，切线l的方程为 1
36、=1= a t a yatea e ，其在x轴上的截距不存在 当 1a t a 时，令0y ，得切线l在x轴上的截距为 1 1 at xt ata 1 1 ataa t ata 1 1 a t ata 1 1 1 1 t t a 111 12 1 1 t aa t a ， 令 1 1tm a ，0m，考虑函数 11 2h mm ma ，则 2 1 1h m m ， 列表如下： m , 1 11,00,111, h m0 0 h m极大值极小值 所以 11 ,4,h m aa 故切线l在x轴上的截距的取值范围是 11 ,4, aa 3. 设函数( )cos2(1)(cos1)f xaxax，其中
37、0a ，记|( )|f x的最大值为A （）求( )fx； （）求A； （）证明|( )| 2fxA 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 18 18 【答案】 （） ( ) 2 sin2(1)sinfxaxax ； （） 2 1 23 ,0 5 61 1 ,1 85 32,1 aa aa Aa a aa ； （）见解析 【解析】 试题解析： （） ( ) 2 sin2(1)
38、sinfxaxax （）当1a 时， |( )| |sin2(1)(cos1)|fxaxax2(1)aa32a(0)f 因此，32Aa4 分 当01a时，将( )f x变形为 2 ( )2 cos(1)cos1f xaxax 令 2 ( )2(1)1g tatat， 则A是| ( )|g t在 1,1上的最大值，( 1)ga，(1)32ga， 且当 1 4 a t a 时，( )g t取得极小值，极小值为 22 1(1)61 ()1 488 aaaa g aaa 令 1 11 4 a a ，解得 1 3 a （舍去） ， 1 5 a （）当 1 0 5 a时，( )g t在( 1,1)内无极值
39、点，| ( 1)|ga，| (1)| 23ga，| ( 1)| | (1)|gg，所以 23Aa （）当 1 1 5 a时，由( 1)(1)2(1)0gga，知 1 ( 1)(1)() 4 a ggg a 又 1(1)(1 7 ) |()|( 1)|0 48 aaa gg aa ，所以 2 161 |()| 48 aaa Ag aa 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 19
40、 19 综上， 2 1 23 ,0 5 61 1 ,1 85 32,1 aa aa Aa a aa 9 分 （）由（）得 |( )| | 2 sin2(1)sin| 2|1|fxaxaxaa . 当 1 0 5 a时， |( )| 1242(23 )2fxaaaA . 当 1 1 5 a时， 13 1 884 a A a ，所以 |( )| 12fxaA . 当1a 时， |( )| 31642fxaaA ，所以 |( )| 2fxA. 4. ()讨论函数 x x2 f(x) x2 e的单调性，并证明当0 x 时，(2)20 x xex； ()证明：当0,1)a时，函数 2 x =(0) x
41、eaxa gx x （ ）有最小值.设( )g x的最小值为( )h a，求函 数( )h a的值域 【答案】 （）详见解析； （） 2 1 ( ,. 24 e . 【解析】 2 22 (1)(2)(2) ( )0, (2)(2) xxx xxexex e fx xx 且仅当0 x 时，( )0fx ，所以( )f x在(, 2),( 2,) 单调递增， 因此当(0,)x时，( )(0)1,f xf 所以(2)(2),(2)20 xx xexxex 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获
42、取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 20 20 （II） 22 (2)(2)2 ( )( ( ), x xea xx g xf xa xx 由（I）知，( )f xa单调递增，对任意0,1),(0)10,(2)0,afaafaa 因此，存在唯一 0 (0,2,x 使得 0 ()0,f xa即 0 ()0g x， 当 0 0 xx时，( )0,( )0, ( )f xag xg x单调递减； 当 0 xx时，( )0,( )0, ( )f xag xg x单调递增. 因此( )g x在 0 xx处取得最小值，最小值为
43、000 000 0 22 000 (1)+ ()(1) (). 2 xxx ea xef xxe g x xxx 于是 0 0 h( ) 2 x e a x ，由 2 (1) ()0, 2(2)2 xxx exee xxx 单调递增 所以，由 0 (0,2,x 得 0 022 0 1 ( ). 2022224 x eeee h a x 因为 2 x e x 单调递增，对任意 2 1 ( , 24 e 存在唯一的 0 (0,2,x 0 ()0,1),af x 使得( ),h a所以( )h a的值域是 2 1 ( , 24 e 综上，当0,1)a时，( )g x有( )h a，( )h a的值域
44、是 2 1 ( ,. 24 e 5. 设函数( ) a x f xxebx ，曲线( )yf x在点(2,(2)f处的切线方程为(1)4yex， （1）求a，b的值； （2）求( )f x的单调区间. 【答案】 （）2a ，be； （2）)(xf的单调递增区间为(,) . 【解析】 试题分析： （1）根据题意求出( )fx，根据(2)22fe，(2)1fe ，求a，b的值； 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：6083969
45、16608396916 下载！下载！ 21 21 （2） 由题意知判断)(x f ， 即判断 1 1)( x exxg的单调性， 知( )0g x ， 即( )0fx， 由此求得( )f x 的单调区间. 试题解析： （1）因为bxxexf xa )(，所以bexxf xa )1 ()(. 依题设， , 1)2( , 22)2( ef ef 即 , 1 , 2222 2 2 ebe ebe a a 解得eba , 2 ； （2）由（）知exxexf x 2 )(. 由)1 ()( 12 xx exexf即0 2 x e知，)(x f 与 1 1 x ex同号. 令 1 1)( x exxg，则
46、 1 1)( x exg. 所以，当) 1 ,(x时，0)( x g，)(xg在区间) 1 ,(上单调递减； 当), 1 ( x时，0)( x g，)(xg在区间), 1 ( 上单调递增. 故1) 1 (g是)(xg在区间),(上的最小值， 从而),(, 0)(xxg. 综上可知，0)( x f，),(x，故)(xf的单调递增区间为),(. 6. 设函数f(x)=ax 2-a-lnx，其中 aR.R. （）讨论f(x)的单调性； （）确定a的所有可能取值，使得 1 1 ( ) x f xe x 在区间（1，+）内恒成立(e=2.718为自然对数的 底数). 【答案】 （）当x 1 0,) 2a
47、 （时，( )fx0，( )f x单 调递增； （） 1 ,) 2 a+ . 【解析】 1 2 11 ( )2e x h xax xx - =-+-，( )0h x 的解不易确定，因此结合（）的结论，缩小a的范围，设 公众号：渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 22 22 ( )g x= 1 11 exx 1 1 x x ex xe ，并设( )s x= 1 exx ，通过研究(
48、)s x的单调性得1x 时，( )0g x ，从而 ( )0f x ， 这 样 得 出0a 不 合 题 意 ， 又 1 0 2 a时 ，( )f x的 极 小 值 点 1 1 2 x a ， 且 1 ()(1)0 2 ff a ， 也 不 合 题 意 ， 从 而 1 2 a ， 此 时 考 虑 1 2 11 ( )2e x h xax xx - =-+-得 ( )h x 2 111 x xxx -+-0，得此时( )h x单调递增，从而有( )(1)0h xh，得出结论 试题解析： （I） 2 121 ( )20). ax fxaxx xx ( 0a 当时，( )fx0，( )f x在0 +（
49、 ， ）内单调递减. 0a 当时，由( )fx=0，有 1 2 x a . 此时，当x 1 0,) 2a （时，( )fx0，( )f x单调递增. （II）令( )g x= 1 11 exx ，( )s x= 1 exx . 则( )s x= 1 e1 x . 而当1x 时，( )s x0， 所以( )s x在区间1+ )（，内单调递增. 又由(1)s=0，有( )s x0， 从而当1x 时，( )f x0. 当0a ，1x 时，( )f x= 2 (1)ln0a xx. 故当( )f x( )g x在区间1+ )（，内恒成立时，必有0a . 当 1 0 2 a时， 1 2a 1. 公众号：
50、渝城高中数学会 608396916高中数学资料分享 QQ 群：608396916 欢迎大家关注公众号，获取最新消息！欢迎大家关注公众号，获取最新消息！WordWord 文档进文档进 QQQQ 群：群：608396916608396916 下载！下载！ 23 23 由（I）有 1 ()(1)0 2 ff a ,从而 1 ()0 2 g a ， 所以此时( )f x( )g x在区间1+ )（，内不恒成立. 当 1 2 a 时，令( )( )( )(1)h xf xg x x=-， 当1x时， 32 1 2222 111112121 ( )2e0 x xxxx h xaxx xxxxxxx - -
