1、第二章第二章 函数的概念与基本初等函数函数的概念与基本初等函数 第一节第一节 函数及其表示函数及其表示 一、基础知识一、基础知识 1函数与映射的概念 2函数的有关概念 (1)函数的定义域、值域： 在函数 yf(x)，xA 中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合f(x)|xA叫做函数的值域 求函数定义域的策略 (1)确定函数的定义域常从解析式本身有意义，或从实际出发 (2)如果函数 yf(x)是用表格给出，则表格中 x 的集合即为定义域 (3)如果函数 yf(x)是用图象给出，则图象在 x 轴上的投影所覆盖的 x 的集合即
2、为定义 域 (2)函数的三要素：定义域、值域和对应关系 (3)相等函数：如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则这两个函数相等，这是 判断两函数相等的依据. 两函数值域与对应关系相同时，两函数不一定相同 (4)函数的表示法：表示函数的常用方法有：解析法、图象法、列表法 3分段函数 若函数在其定义域内，对于定义域内的不同取值区间，有着不同的对应关系，这样的函 数通常叫做分段函数 关于分段函数的 3 个注意 (1)分段函数虽然由几个部分构成，但它表示同一个函数 (2)分段函数的定义域是各段定义域的并集，值域是各段值域的并集 (3)各段函数的定义域不可以相交 考点一考点一函数的定义域函数的定义域
3、典例(1)(2019长春质检)函数 yln1x x1 1 x的定义域是( ) A1,0)(0,1)B1,0)(0,1 C(1,0)(0,1D(1,0)(0,1) (2)已知函数 f(x)的定义域为(1,0)，则函数 f(2x1)的定义域为() A(1,1)B. 1，1 2 C(1,0)D. 1 2，1 解析(1)由题意得 1x0， x10， x0， 解得1x0 或 0 x1. 所以原函数的定义域为(1,0)(0,1) (2)令 u2x1，由 f(x)的定义域为(1,0)，可知1u0，即12x10， 得1x0， lnx10， 4x20， 得10，所以 t1，故 f(x)的解析式是 f(x) lg
4、 2 x1(x1) 答案：lg 2 x1(x1) 3.口诀第 4 句已知 f(x)满足 2f(x)f 1 x 3x，则 f(x)_. 解析：2f(x)f 1 x 3x， 把中的 x 换成1 x，得 2f 1 x f(x)3 x. 联立可得 2fxf 1 x 3x， 2f 1 x fx3 x， 解此方程组可得 f(x)2x1 x(x0) 答案：2x1 x(x0) 考点三考点三分段函数分段函数 考法(一)求函数值 典例(2019石家庄模拟)已知 f(x) log3x，x0， axb，x0 (0a1)， 且 f(2)5， f(1)3， 则 f(f(3)() A2B2 C3D3 解析由题意得，f(2)
5、a 2b5， f(1)a 1b3， 联立，结合 0a0， 1 2 x1，x0， 则 f(3) 1 2 319，f(f(3)f(9)log392. 答案B 解题技法求分段函数的函数值的策略 (1)求分段函数的函数值时，要先确定要求值的自变量属于哪一区间，然后代入该区间 对应的解析式求值； (2)当出现 f(f(a)的形式时，应从内到外依次求值； (3)当自变量的值所在区间不确定时，要分类讨论，分类标准应参照分段函数不同段的 端点 考法(二)求参数或自变量的值(或范围) 典例(2018全国卷)设函数 f(x) 2 x，x0， 1，x0， 则满足 f(x1)f(2x)的 x 的取值范 围是() A(
6、，1B(0，) C(1,0)D(，0) 解析法一：分类讨论法 当 x10， 2x0， 即 x1 时， f(x1)f(2x)，即为 2 (x1)22x， 即(x1)2x，解得 x0 时，不等式组无解 当 x10， 2x0， 即1x0 时， f(x1)f(2x)，即为 12 2x，解得 x0， 2x0， 即 x0 时，f(x1)1，f(2x)1，不合题意 综上，不等式 f(x1)0， 函数 f(x)的图象如图所示 结合图象知，要使 f(x1)f(2x)， 则需 x10， 2x0， 2xx1 或 x10， 2x0， x1， 则 f(f(3)_. 解析：由题意，得 f(3)f(2)f(1)212， f
7、(f(3)f(2)2. 答案：2 3(2017全国卷)设函数 f(x) x1，x0， 2x，x0， 则满足 f(x)f x1 2 1 的 x 的取值范 围是_ 解析：由题意知，可对不等式分 x0,0 1 2讨论 当 x0 时，原不等式为 x1x1 21，解得 x 1 4， 故1 4x0. 当 01，显然成立 当 x1 2时，原不等式为 2 x2x1 21，显然成立 综上可知，所求 x 的取值范围是 1 4，. 答案： 1 4， 4设函数 f(x) 1 2 x7，x0， x，x0， 若 f(a)1，则实数 a 的取值范围是_ 解析：若 a0，则 f(a)1 1 2 a71 1 2 a3，故3a0
8、； 若 a0，则 f(a)1 a1，解得 a1，故 0a1. 综上可得3a0， 4x 21，x0. 若 f(a)3，则 f(a2)() A15 16 B3 C63 64或 3 D15 16或 3 解析：选 A当 a0 时，若 f(a)3，则 log2aa3，解得 a2(满足 a0)；当 a0 时， 若 f(a)3，则 4a 213，解得 a3，不满足 a0，所以舍去于是，可得 a2.故 f(a2) f(0)4 2115 16. 6已知函数 yf(2x1)的定义域是0,1，则函数 f2x1 log2x1的定义域是( ) A1,2B(1,1 C. 1 2，0D(1,0) 解析：选 D由 f(2x1
9、)的定义域是0,1， 得 0 x1，故12x11， f(x)的定义域是1,1， 要使函数 f2x1 log2x1有意义， 需满足 12x11， x10， x11， 解得1x0. 7下列函数中，不满足 f(2 018x)2 018f(x)的是() Af(x)|x|Bf(x)x|x| Cf(x)x2Df(x)2x 解析：选 C若 f(x)|x|，则 f(2 018x)|2 018x|2 018|x|2 018f(x)；若 f(x)x|x|，则 f(2 018x)2 018x|2 018x|2 018(x|x|)2 018f(x)； 若 f(x)x2， 则 f(2 018x)2 018x2， 而 2
10、 018f(x)2 018x2 0182，故 f(x)x2 不满足 f(2 018x)2 018f(x)；若 f(x)2x， 则 f(2 018x)22 018x2 018(2x)2 018f(x)故选 C. 8已知具有性质：f 1 x f(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数： f(x)x1 x；f(x)x 1 x；f(x) x，0 x1. 其中满足“倒负”变换的函数是() AB CD 解析：选 B对于，f(x)x1 x，f 1 x 1 xxf(x)，满足题意；对于，f 1 x 1 xx f(x)， 不满足题意； 对于， f 1 x 1 x，0 1 x1， 即 f 1 x 1
11、 x，x1， 0，x1， x，0 x0， 1x20 x0， 1x1 0 x1. 所以该函数的定义域为(0,1 答案：(0,1 10(2019益阳、湘潭调研)若函数 f(x) lg1x，x0， 2 x，x0， 则 f(f(9)_. 解析：函数 f(x) lg1x，x0， 2 x，x0， f(9)lg 101，f(f(9)f(1)2. 答案：2 11(2018张掖一诊)已知函数 f(x) 2x，x0， x1，x0， 若 f(a)f(1)0，则实数 a 的值等 于_ 解析：f(1)2，且 f(1)f(a)0，f(a)20，故 a0. 依题知 a12，解得 a3. 答案：3 12已知 f(x) 1 2
12、x1，x0， x12，x0， 使 f(x)1 成立的 x 的取值范围是_ 解析：由题意知 x0， 1 2x11 或 x0， x121， 解得4x0 或 0 x2， 故所求 x 的取值范围是4,2 答案：4,2 13设函数 f(x) axb，x0， 2x，x0， 且 f(2)3，f(1)f(1) (1)求函数 f(x)的解析式； (2)在如图所示的直角坐标系中画出 f(x)的图象 解：(1)由 f(2)3，f(1)f(1)，得 2ab3， ab2， 解得 a1， b1， 所以 f(x) x1，x0， 2x，x0. (2)函数 f(x)的图象如图所示 第二节第二节 函数的单调性与最值函数的单调性与
13、最值 一、基础知识一、基础知识 1增函数、减函数 定义：设函数 f(x)的定义域为 I： (1)增函数：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1x2 时，都有 f(x1)f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是增函数 (2)减函数：如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 x1，x2，当 x1f(x2)，那么就说函数 f(x)在区间 D 上是减函数 增(减)函数定义中的 x1，x2的三个特征 一是任意性；二是有大小，即 x1x2)；三是同属于一个单调区间，三者缺一不可 2单调性、单调区间 若函数 yf(x)在区间 D 上是增函
14、数或减函数， 则称函数 yf(x)在这一区间具有(严格的) 单调性，区间 D 叫做函数 yf(x)的单调区间. 有关单调区间的两个防范 (1)单调区间只能用区间表示，不能用不等式表示 (2)有多个单调区间应分别写，不能用符号“”连接，也不能用“或”连接，只能用 “逗号”或“和”连接 3函数的最值 设函数 yf(x)的定义域为 I，如果存在实数 M 满足： (1)对于任意的 xI，都有 f(x)M 或 f(x)M. (2)存在 x0I，使得 f(x0)M. 那么，我们称 M 是函数 yf(x)的最大值或最小值 函数最值存在的两条结论 (1)闭区间上的连续函数一定存在最大值和最小值当函数在闭区间上
15、单调时最值一定 在端点取到 (2)开区间上的“单峰”函数一定存在最大(小)值 二、常用结论二、常用结论 在公共定义域内： (1)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递增，则 f(x)g(x)是增函数； (2)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递减，则 f(x)g(x)是减函数； (3)函数 f(x)单调递增，g(x)单调递减，则 f(x)g(x)是增函数； (4)函数 f(x)单调递减，g(x)单调递增，则 f(x)g(x)是减函数； (5)若 k0，则 kf(x)与 f(x)单调性相同；若 k0)在公共定义域内与 yf(x)，y 1 fx的单调性相反； (7)复合函数 yfg(x)的单调性
16、与 yf(u)和 ug(x)的单调性有关 简记： “同增异减” 考点一考点一确定函数的单调性确定函数的单调性 区间区间 ) 典例(1)求函数 f(x)x22|x|1 的单调区间 (2)试讨论函数 f(x) ax x1(a0)在(1,1)上的单调性 解(1)易知 f(x) x22x1，x0， x22x1，x0 x122，x0， x122，x0. 画出函数图象如图所示，可知单调递增区间为(，1和0,1， 单调递减区间为1,0和1，) (2)法一：定义法 设1x1x21， f(x)a x11 x1a 1 1 x1 ， 则 f(x1)f(x2)a 1 1 x11 a 1 1 x21 ax2x1 x11
17、x21. 由于1x1x20，x110，x210 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)f(x2)， 函数 f(x)在(1,1)上单调递减； 当 a0 时，f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0 时，f(x)0，函数 f(x)在(1,1)上单调递减； 当 a0，函数 f(x)在(1,1)上单调递增 解题技法判断函数单调性和求单调区间的方法 (1)定义法：一般步骤为设元作差变形判断符号得出结论 (2)图象法：如果 f(x)是以图象形式给出的，或者 f(x)的图象易作出，则可由图象的上升 或下降确定单调性 (3)导数法：先求导数，利用导数值的正负确定函数的单调性及区间 (4)性质法：对于由基本
18、初等函数的和、差构成的函数，根据各初等函数的增减性及复 合函数单调性性质进行判断；复合函数单调性，可用同增异减来确定 题组训练 1下列函数中，满足“x1，x2(0，)且 x1x2，(x1x2)f(x1)f(x2)0”的是 () Af(x)2xBf(x)|x1| Cf(x)1 xx Df(x)ln(x1) 解析：选 C由(x1x2)f(x1)f(x2)0)在(0，)上的单调性 解：设 x1，x2是任意两个正数，且 x1x2， 则 f(x1)f(x2) x1a x1 x2a x2x1x2 x1x2 (x1x2a) 当 0 x1x2 a时，0 x1x2a，x1x20，即 f(x1)f(x2)， 所以
19、函数 f(x)在(0， a 上是减函数； 当 ax1a，x1x20， 所以 f(x1)f(x2)0，即 f(x1)0)在(0， a 上是减函数，在 a，)上是增函数 考点二考点二求函数的值域求函数的值域 最值最值 ) 典例(1)(2019深圳调研)函数 y|x1|x2|的值域为_ (2)若函数 f(x)a xb(a0)在 1 2，2上的值域为 1 2，2， 则 a_， b_. (3)函数 f(x) x24x，x0， sin x，x0 的最大值为_ 解析(1)图象法 函数 y 2x1，x1， 3，1x0)在 1 2，2上是增函数， f(x)minf 1 2 1 2，f(x) maxf(2)2.
20、即 2ab1 2， a 2b2， 解得 a1，b5 2. (3)当 x0 时，f(x)x24x(x2)24，而2(，0，此时 f(x)在 x2 处 取得最大值，且 f(2)4；当 x0 时，f(x)sin x，此时 f(x)在区间(0，)上的最大值为 1. 综上所述，函数 f(x)的最大值为 4. 答案(1)3，)(2)1 5 2 (3)4 提醒(1)求函数的最值时，应先确定函数的定义域 (2)求分段函数的最值时，应先求出每一段上的最值，再选取其中最大的作为分段函数 的最大值，最小的作为分段函数的最小值 题组训练 1函数 f(x)x 24 x 的值域为_ 解析：当 x0 时，f(x)x4 x4
21、， 当且仅当 x2 时取等号； 当 x0 恒成立， 则实数 a 的取值范围是_ 解析：对任意 x1，)，f(x)0 恒成立等价于 x22xa0 在 x1，)上恒成 立，即 ax22x 在 x1，)上恒成立 又函数 yx22x 在1，)上单调递减， (x22x)max3，故 a3， 又a1，3f(3)f(2) Bf()f(2)f(3) Cf()f(3)f(2) Df()f(2)f(3)f(2)，即 f()f(3)f(2) 答案A 解题技法比较函数值大小的解题思路 比较函数值的大小时，若自变量的值不在同一个单调区间内，要利用其函数性质，转化 到同一个单调区间内进行比较，对于选择题、填空题能数形结合
22、的尽量用图象法求解 考法(二)解函数不等式 典例设函数 f(x) 2x，xf(h(x)的形式， 再根据函数的单调性去掉 “f”，得到一般的不等式 g(x)h(x)(或 g(x)h(x) 考法(三)利用单调性求参数的范围(或值) 典例(2019南京调研)已知函数 f(x)xa x a 2在(1，)上是增函数，则实数 a 的 取值范围是_ 解析设 1x11. 函数 f(x)在(1，)上是增函数， f(x1)f(x2)x1a x1 a 2 x2a x2 a 2 (x1x2) 1 a x1x20. x1x20，即 ax 1x2. 1x11，x1x2x11 时， f(x2)f(x1)(x2 x1)abB
23、cba CacbDbac 解析：选 D由于函数 f(x)的图象向左平移 1 个单位后得到的图象关于 y 轴对称，故函 数 yf(x)的图象关于直线 x1 对称，所以 af 1 2 f 5 2 .当 x2x11 时，f(x2)f(x1)(x2 x1)ac. 2已知函数 f(x) ax2x1 4，x1， logax1，x1 是 R 上的单调函数，则实数 a 的取值范围是 () A. 1 4， 1 2B. 1 4， 1 2 C. 0，1 2D. 1 2，1 解析：选 B由对数函数的定义可得 a0，且 a1. 又函数 f(x)在 R 上单调，而二次函数 yax2x1 4的图象开口向上， 所以函数 f(
24、x)在 R 上单调递减， 故有 0a1， 1 2a1， a1211 4log a11， 即 0a1， 00 时，f(x)3x 为减函数；当 x 0，3 2 时，f(x)x23x 为减函数， 当 x 3 2，时，f(x)x23x 为增函数；当 x(0，)时，f(x) 1 x1为增函数；当 x(0，)时，f(x)|x|为减函数 2若函数 f(x)ax1 在 R 上单调递减，则函数 g(x)a(x24x3)的单调递增区间是 () A(2，)B(，2) C(4，)D(，4) 解析：选 B因为 f(x)ax1 在 R 上单调递减，所以 a0. 而 g(x)a(x24x3)a(x2)2a. 因为 a0，所
25、以 g(x)在(，2)上单调递增 3已知函数 f(x)是定义在区间0，)上的函数，且在该区间上单调递增，则满足 f(2x 1)f 1 3 的 x 的取值范围是() A. 1 3， 2 3B. 1 3， 2 3 C. 1 2， 2 3D. 1 2， 2 3 解析：选 D因为函数 f(x)是定义在区间0，)上的增函数，满足 f(2x1)f 1 3 . 所以 02x11 3，解得 1 2x 2 3. 4(2019菏泽模拟)定义新运算：当 ab 时，aba；当 ab 时，abb2，则函 数 f(x)(1x)x(2x)，x2，2的最大值等于() A1B1 C6D12 解析：选 C由题意知当2x1 时，f
26、(x)x2，当 11 是 R 上的增函数，则实数 a 的取值范围是 () A3,0)B(，2 C3，2D(，0) 解析： 选 C若 f(x)是 R 上的增函数， 则应满足 a 21， a0， 12a15a 1， 解得3a 2. 7已知函数 f(x) x22x3，则该函数的单调递增区间为_ 解析：设 tx22x3，由 t0，即 x22x30，解得 x1 或 x3，所以函数 f(x) 的定义域为(，13，)因为函数 tx22x3 的图象的对称轴为 x1，所以 函数 tx22x3 在(，1上单调递减，在3，)上单调递增，所以函数 f(x)的单 调递增区间为3，) 答案：3，) 8函数 f(x) 1
27、x，x1， x22，x1 的最大值为_ 解析：当 x1 时，函数 f(x)1 x为减函数，所以 f(x)在 x1 处取得最大值，为 f(1)1； 当 x1 时，易知函数 f(x)x22 在 x0 处取得最大值，为 f(0)2.故函数 f(x)的最大值为 2. 答案：2 9若函数 f(x)1 x在区间2，a上的最大值与最小值的和为 3 4，则 a_. 解析：由 f(x)1 x的图象知，f(x) 1 x在(0，)上是减函数，2，a (0，)， f(x)1 x在2，a上也是减函数， f(x)maxf(2)1 2，f(x) minf(a)1 a， 1 2 1 a 3 4，a4. 答案：4 10(201
28、9甘肃会宁联考)若 f(x)xa1 x2 在区间(2，)上是增函数，则实数 a 的 取值范围是_ 解析：f(x)xa1 x2 x2a3 x2 1a3 x2，要使函数在区间(2，)上是增函数， 需使 a30，解得 a0，解得 m0.综上可得，m 的取值范围 是(0,1 2已知函数 f(x)ln xx，若 f(a2a)f(a3)，则正数 a 的取值范围是_ 解析：因为 f(x)ln xx 在(0，)上是增函数， 所以 a2aa3， a2a0， a30， 解得3a3. 又 a0，所以 a3. 答案：(3，) 3已知定义在 R 上的函数 f(x)满足： f(xy)f(x)f(y)1，当 x0 时，f(
29、x)1. (1)求 f(0)的值，并证明 f(x)在 R 上是单调增函数; (2)若 f(1)1，解关于 x 的不等式 f(x22x)f(1x)4. 解：(1)令 xy0，得 f(0)1. 在 R 上任取 x1x2，则 x1x20，f(x1x2)1. 又 f(x1)f(x1x2)x2f(x1x2)f(x2)1f(x2)， 所以函数 f(x)在 R 上是单调增函数 (2)由 f(1)1，得 f(2)3，f(3)5. 由 f(x22x)f(1x)4 得 f(x2x1)f(3)， 又函数 f(x)在 R 上是增函数，故 x2x13， 解得 x1， 故原不等式的解集为x|x1 第三节第三节 函数的奇偶
30、性与周期性函数的奇偶性与周期性 一、基础知 1函数的奇偶性 偶函数奇函数 定义 如果对于函数 f(x)的定义域内任意一个 x 都有 f(x)f(x)，那 么函数 f(x)是偶函数 都有 f(x)f(x)，那 么函数 f(x)是奇函数 图象特征关于 y 轴对称关于原点对称 函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的前提条件 若 f(x)0，则奇(偶)函数定义的等价形式如下： (1)f(x)f(x)f(x)f(x)0 fx fx 1f(x)为偶函数； (2)f(x)f(x)f(x)f(x)0 fx fx 1f(x)为奇函数 2函数的周期性 (1)周期函数 对于函数 f(x)，如果存在一个非零常数
31、T，使得当 x 取定义域内的任何值时，都有 f(x T)f(x)，那么就称函数 f(x)为周期函数，称 T 为这个函数的周期 周期函数定义的实质 存在一个非零常数 T，使 f(xT)f(x)为恒等式，即自变量 x 每增加一个 T 后，函数值 就会重复出现一次 (2)最小正周期 如果在周期函数 f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做 f(x) 的最小正周期 二、常用结论二、常用结论 1函数奇偶性常用结论 (1)如果函数 f(x)是奇函数且在 x0 处有定义，则一定有 f(0)0；如果函数 f(x)是偶函 数，那么 f(x)f(|x|) (2)奇函数在两个对称的区间上具有相
32、同的单调性；偶函数在两个对称的区间上具有相 反的单调性 (3)在公共定义域内有：奇奇奇，偶偶偶，奇奇偶，偶偶偶，奇偶 奇 2函数周期性常用结论 对 f(x)定义域内任一自变量 x： (1)若 f(xa)f(x)，则 T2a(a0) (2)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0) (3)若 f(xa) 1 fx，则 T2a(a0) 3函数图象的对称性 (1)若函数 yf(xa)是偶函数， 即 f(ax)f(ax)， 则函数 yf(x)的图象关于直线 xa 对称 (2)若对于 R 上的任意 x 都有 f(2ax)f(x)或 f(x)f(2ax)，则 yf(x)的图象关于直 线 xa 对称 (3
33、)若函数 yf(xb)是奇函数，即 f(xb)f(xb)0，则函数 yf(x)关于点(b,0)中 心对称 考点一考点一函数奇偶性的判断函数奇偶性的判断 典例判断下列函数的奇偶性： (1)f(x) 36x2 |x3|3； (2)f(x) 1x2 x21； (3)f(x)log21x 2 |x2|2 ； (4)f(x) x2x，x0. 解(1)由 f(x) 36x2 |x3|3， 可知 36x20， |x3|30 6x6， x0 且 x6， 故函数 f(x)的定 义域为(6,0)(0,6，定义域不关于原点对称，故 f(x)为非奇非偶函数 (2)由 1x20， x210 x21x1，故函数 f(x)
34、的定义域为1,1，关于原点对称， 且 f(x)0，所以 f(x)f(x)f(x)，所以函数 f(x)既是奇函数又是偶函数 (3)由 1x20， |x2|20 1x0 或 0 x1， 定义域关于原点对称 此时 f(x)log21x 2 |x2|2 log21x 2 2x2 log21x 2 x ， 故有 f(x)log21x 2 x log21x 2 x f(x)， 所以函数 f(x)为奇函数 (4)法一：图象法 画出函数 f(x) x2x，x0 的图象如图所示， 图象关于 y 轴对称， 故 f(x)为偶函数 法二：定义法 易知函数 f(x)的定义域为(，0)(0，)，关于原点对称， 当 x0
35、时，f(x)x2x，则当 x0，故 f(x)x2xf(x)；当 x0 时，x0，故 f(x)x2xf(x)，故原函数是偶函数 法三：f(x)还可以写成 f(x)x2|x|(x0)，故 f(x)为偶函数 题组训练 1(2018福建期末)下列函数为偶函数的是() Aytan x 4Byx2e|x| Cyxcos xDyln|x|sin x 解析：选 B对于选项 A，易知 ytan x 4 为非奇非偶函数；对于选项 B，设 f(x) x2e|x|， 则 f(x)(x)2e| x|x2e|x|f(x)， 所以 yx2e|x|为偶函数； 对于选项 C， 设 f(x) xcos x，则 f(x)xcos(
36、x)xcos xf(x)，所以 yxcos x 为奇函数；对于选项 D， 设 f(x)ln|x|sin x，则 f(2)ln 2sin 2，f(2)ln 2sin(2)ln 2sin 2f(2)，所以 y ln|x|sin x 为非奇非偶函数，故选 B. 2设函数 f(x)e xex 2 ，则下列结论错误的是() A|f(x)|是偶函数 Bf(x)是奇函数 Cf(x)|f(x)|是奇函数 Df(|x|)f(x)是偶函数 解析：选 Df(x)e xex 2 ， 则 f(x)e xex 2 f(x) f(x)是奇函数 f(|x|)f(|x|)， f(|x|)是偶函数，f(|x|)f(x)是奇函数
37、考点二考点二函数奇偶性的应用函数奇偶性的应用 典例(1)(2019福建三明模拟)函数 yf(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)() A2xB2 x C2 x D2x (2)(2018贵阳摸底考试)已知函数 f(x)a 2 ex1(aR)是奇函数，则函数 f(x)的值域为 () A(1,1)B(2,2) C(3,3)D(4,4) 解析(1)当 x0 时，x0，x0 时，f(x)2 x.f(x)是 R 上的奇函数，当 x0 时，f(x)f(x)2 x. (2)法一： 由 f(x)是奇函数知 f(x)f(x)， 所以 a 2 e x1a 2 ex1， 得 2a 2 ex1 2 e x1，
38、所以 a 1 ex1 ex ex11，所以 f(x)1 2 ex1.因为 e x11，所以 0 1 ex11， 11 2 ex11， 所以 0 1 ex11， 11 2 ex10 时，f(x)x2x，则当 x0 时，函数 f(x)的最大值为 _ 解析：法一：当 x0，所以 f(x)x2x.又因为函数 f(x)为奇函数，所以 f(x) f(x)x2x x1 2 21 4，所以当 x0 时，f(x)x2x x1 2 21 4，最小值为 1 4，因为函数 f(x)为奇函数，所 以当 x0 时，函数 f(x)的最大值为1 4. 答案：1 4 3(2018合肥八中模拟)若函数 f(x)xln(x ax2
39、)为偶函数，则 a_. 解析：f(x)xln(x ax2)为偶函数， f(x)f(x)，即xln( ax2x)xln(x ax2)，从而 ln( ax2)2x20，即 ln a 0，故 a1. 答案：1 考点三考点三函数的周期性函数的周期性 典例(1)(2018开封期末)已知定义在 R 上的函数 f(x)满足 f(x)f(x2)，当 x(0,2 时，f(x)2xlog2x，则 f(2 019)() A5B.1 2 C2D2 (2)(2018江苏高考)函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)，且在区间(2,2上，f(x) cosx 2 ，0 x2， |x 1 2|，2x0， 则 f(f(1
40、5)的值为_ 解析(1)由 f(x)f(x2)，得 f(x4)f(x)，所以函数 f(x)是周期为 4 的周期函数， 所以 f(2 019)f(50443)f(3)f(12)f(1)(20)2. (2)由函数 f(x)满足 f(x4)f(x)(xR)， 可知函数 f(x)的周期是 4， 所以 f(15)f(1)|1 1 2|1 2， 所以 f(f(15)f 1 2 cos 4 2 2 . 答案(1)D(2) 2 2 题组训练 1 (2019山西八校联考)已知f(x)是定义在R上的函数， 且满足f(x2) 1 fx， 当2x3 时，f(x)x，则 f 11 2 _. 解析：f(x2) 1 fx，
41、f(x4)f(x)， f 11 2 f 5 2 ，又 2x3 时，f(x)x， f 5 2 5 2，f 11 2 5 2. 答案：5 2 2 (2019哈尔滨六中期中)设 f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的函数， 当 x2,1)时， f(x) 4x22，2x0， x，0 x0 的 x 的取值范围是_ 解析：当 x0 时，lg x0，所以 x1， 当 x0 时，由奇函数的对称性得1x0 时，f(x)2x23x1，求 f(x)的解析式 解：当 x0，则 f(x)2(x)23(x)12x23x1. 由于 f(x)是奇函数，故 f(x)f(x)， 所以当 x0， 0，x0， 2x23x1，x0.
42、 12设函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数，对任意实数 x 有 f 3 2xf 3 2x成立 (1)证明 yf(x)是周期函数，并指出其周期； (2)若 f(1)2，求 f(2)f(3)的值 解：(1)证明：由 f 3 2xf 3 2x， 且 f(x)f(x)，知 f(3x)f 3 2 3 2x f 3 2 3 2x f(x)f(x)， 所以 yf(x)是周期函数，且 T3 是其一个周期 (2)因为 f(x)为定义在 R 上的奇函数，所以 f(0)0， 且 f(1)f(1)2，又 T3 是 yf(x)的一个周期，所以 f(2)f(3)f(1)f(0) 202. B 级 1已知 f(x)是
43、R 上最小正周期为 2 的周期函数，且当 0 x2 时，f(x)x3x，则函数 yf(x)的图象在区间0,6上与 x 轴的交点的个数为() A6B7 C8D9 解析：选 B因为 f(x)是最小正周期为 2 的周期函数，且 0 x2 时，f(x)x3xx(x 1)(x1)， 所以当 0 x2 时，f(x)0 有两个根，即 x10，x21. 由周期函数的性质知，当 2x0， 0，x0， x2mx，x0 是奇函数 (1)求实数 m 的值； (2)若函数 f(x)在区间1，a2上单调递增，求实数 a 的取值范围 解：(1)设 x0， 所以 f(x)(x)22(x)x22x. 又 f(x)为奇函数，所以
44、 f(x)f(x)， 于是 x1， a21， 所以 1a3， 故实数 a 的取值范围是(1,3 第四节第四节 函数性质的综合问题函数性质的综合问题 考点一考点一函数的单调性与奇偶性函数的单调性与奇偶性 典例(1)(2017全国卷)函数 f(x)在(，)上单调递减，且为奇函数若 f(1) 1，则满足1f(x2)1 的 x 的取值范围是() A2,2B1,1 C0,4D1,3 (2)函数 yf(x)在0,2上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数，则下列结论成立的是() Af(1)f 5 2 f 7 2Bf 7 2 f(1)f 5 2 Cf 7 2 f 5 2 f(1) Df 5 2 f(1)f 7
45、 2 解析(1)f(x)为奇函数， f(x)f(x) f(1)1，f(1)f(1)1. 故由1f(x2)1，得 f(1)f(x2)f(1) 又 f(x)在(，)上单调递减， 1x21，1x3. (2)函数 yf(x)在0,2上单调递增，且函数 f(x2)是偶函数， 函数 yf(x)在2,4上单调递减，且在0,4上函数 yf(x)满足 f(2x)f(2x)， f(1)f(3)，f 7 2 f(3)f 5 2 ， 即 f 7 2 f(1)f(x2)或 f(x1)f(x2)的形式，再根据函数的奇偶性与单调性， 列出不等式(组)，要注意函数定义域对 参数的影响 题组训练 1已知函数 f(x)满足以下两
46、个条件：任意 x1，x2(0，)且 x1x2，(x1x2)f(x1) f(x2)0；对定义域内任意 x 有 f(x)f(x)0，则符合条件的函数是() Af(x)2xBf(x)1|x| Cf(x)x3Df(x)ln(x23) 解析：选 C由条件可知，f(x)在(0，)上单调递减，则可排除 A、D 选项，由条 件可知，f(x)为奇函数，则可排除 B 选项，故选 C. 2 (2018石家庄一模)设 f(x)是定义在2b,3b上的偶函数， 且在2b,0上为增函数， 则 f(x1)f(3)的解集为() A3,3B2,4 C1,5D0,6 解析：选 B因为 f(x)是定义在2b,3b上的偶函数， 所以有
47、2b3b0，解得 b3， 由函数 f(x)在6,0上为增函数，得 f(x)在(0,6上为减函数，故 f(x1)f(3)f(|x 1|)f(3)|x1|3，故2x4. 考点二考点二函数的周期性与奇偶性函数的周期性与奇偶性 典例(2017山东高考)已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且 f(x4)f(x2)若当 x 3,0时，f(x)6 x，则 f(919)_. 解析f(x4)f(x2)， f(x6)f(x)，f(x)的周期为 6， 91915361，f(919)f(1) 又 f(x)为偶函数，f(919)f(1)f(1)6. 答案6 解题技法 已知 f(x)是周期函数且为偶函数，求函数值，常
48、利用奇偶性及周期性进行交换，将所求 函数值的自变量转化到已知解析式的函数定义域内， 把未知区间上的函数性质转化为已知区 间上的函数性质求解 题组训练 1 已知定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x)f x3 2 ， 且 f(1)2， 则 f(2 018)_. 解析：因为 f(x)f x3 2 ，所以 f(x3)f x3 2 3 2f x3 2 f(x) 所以 f(x)是以 3 为周期的周期函数 则 f(2 018)f(67232)f(2)f(1)f(1)2. 答案：2 2已知 f(x)是定义在 R 上以 3 为周期的偶函数，若 f(1)1，f(5)2a3，则实数 a 的取 值范围为_ 解
49、析： f(x)是定义在 R 上的周期为 3 的偶函数， f(5)f(56)f(1)f(1)， f(1)1， f(5)2a31，即 a0B减函数且 f(x)0D增函数且 f(x)0，又函数 f(x)为奇 函数，所以 f(x)在区间 1 2，0上也单调递增，且 f(x)0.由 f x3 2 f(x)知，函数的周期为3 2， 所以在区间 1，3 2 上，函数 f(x)单调递增且 f(x)0. 答案(1)C(2)D 解题技法 (1)函数的奇偶性、对称性、周期性，知二断一特别注意“奇函数若在 x0 处有定义， 则一定有 f(0)0；偶函数一定有 f(|x|)f(x)”在解题中的应用 (2)解决周期性、奇
50、偶性与单调性结合的问题，通常先利用周期性转化自变量所在的区 间，再利用奇偶性和单调性求解 题组训练 1定义在 R 上的奇函数 f(x)满足 f(x2)f(x)，且在0,2)上单调递减，则下列结论正 确的是() A0f(1)f(3)Bf(3)0f(1) Cf(1)0f(3)Df(3)f(1)f(0)f(1)， 即 f(1)0f(3) 2已知函数 yf(x)的定义域为 R，且满足下列三个条件：对任意的 x1，x24,8， 当 x10 恒成立； f(x4)f(x)； yf(x4)是偶函数 若 af(6)， bf(11)，cf(17)，则 a，b，c 的大小关系正确的是() AabcBbac Cacb
