1、数学试题 第 1 页，共 6 页 惠州市惠州市 2022022 2 届高三届高三第一次第一次调研调研考试考试试题试题 数数 学学 全卷满分 150 分，考试时间 120 分钟 注意事项：注意事项： 1、答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号、座位号、学校、班级等考生信息填写在答题 卡上 2、作答单项及多项选择题时，选出每个小题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案 信息点涂黑如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案，写在本试卷上无效 3、 非选择题必须用黑色字迹签字笔作答， 作图题可先用铅笔作答， 答案必须写在答题卡各题 指定的位置上，写在本试卷上无效 一、一、单项选择题单项选择题：本
2、题共本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 40 分分 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求，选对得 5 分，选错得分，选错得 0 分分 1 已知集合 2Ax x= ， Bx xa= ， 若A B =R， 则实数a的取值范围为 （ ） A( ,2 B( )1,+ C( ),2 D( )2,+ 2已知i是虚数单位，复数 2 1 i i 在复平面内所对应的点位于（ ） A第一象限 B第二象限 C第三象限 D第四象限 3已知向量 ()1, 3am= ， ()2,bm= ，则“ 3m= ”是“ / /ab”的（ ）
3、条件 A充分不必要 B必要不充分 C充要 D既不充分也不必要 4若 3 sin() 5 = ，则cos(2 ) =（ ） A 16 25 B 7 25 C 7 25 D 24 25 5函数 2 ( ) 22 xx x f x = + 的大致图象是（ ） A B C D x y O x y O x y O x y O A A f x( ) = 2x 2x 2 x 数学试题 第 2 页，共 6 页 6若随机变量X满足正态分布 () 2 ,N ，则有 ()0.6827PX+ ， ()220.9545PX+ 现有20000人参加数学测试，成绩大致服从正态 分布 () 2 100,10N ，则可估计本次
4、测试数学成绩 120 分以上的学生人数约为（ ） A1587 B228 C455 D3174 7意大利数学家斐波那契的算经中记载了一个有趣的问题：已知一对兔子每个月可以 生一对兔子，而一对兔子出生后在第二个月就开始生小兔子假如没有发生死亡现象， 那么兔子对数依次为：1、1、2、3、5、8、13、21、，这就是著名的斐波那契 数列，它的递推公式是 12( 3, ) nnn aaann =+，其中 1 1a =， 2 1a =若从该数 列的前300项中随机地抽取一个数，则这个数是偶数的概率为（ ） A 1 3 B 33 100 C 1 2 D 67 100 8 已知等比数列 n a的各项均为正数，
5、 公比为q， 且 1 1a ， 6767 12aaa a+ ， 记 n a 的前n项积为 n T，则下列选项错误的是（ ） A01q B 6 1a C 12 1T D 13 1T 二、二、多多项选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，在每小题给出的四个选项中， 有多项符合题目要求有多项符合题目要求全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9已知函数 ( )2sin 2 3 f xx =+ ，则下列结论正确的有（ ） A函数( )yf x=的最小正周期为 B
6、将函数( ) yf x= 的图象右移 3 个单位后，得到一个奇函数 C 5 6 x = 是函数 ( )yf x= 的一条对称轴 D 5 0 6 ，是函数( )yf x= 的一个对称中心 数学试题 第 3 页，共 6 页 10 在空间中， 、 是两个不同的平面， m、 n 是两条不同的直线， 下列说法正确的有 （ ） A若 ，/， ，则 B若/， ， ，则/ C若/， ， ，则/ D若 ， ， = ， ，则 11下列不等关系中，正确的有（ ） A若ab，则 22 a cb c B若ab，则 11 ab C 0.234 log3log 4log 18 D 0.30.20.3 0.335 12在平面
7、直角坐标系xOy中，已知双曲线 C： 2 2 2 1 x y a =() 0a ，若圆 () 2 2 21xy+=与双曲线 C 的渐近线相切，则下列选项中，正确的有（ ） A双曲线 C 的实轴长为 6 B双曲线 C 的离心率 2 3 3 e = C点 P 为双曲线 C 上任意一点，若点 P 到 C 的两条渐近线的距离分别为 12 ,d d， 则 12 3 4 d d= D直线 1 yk xm=+与 C 交于 A，B 两点，点 D 为弦 AB 的中点，若 OD（其中 O 为坐 标原点）的斜率为 2 k，则 12 1 3 k k= 三、填空题：本题共三、填空题：本题共4小题，每小题小题，每小题5分
8、，共分，共20分分 13已知函数( ) x f xe=，则曲线( )f x在点(1, (1)f处的切线方程为_ 数学试题 第 4 页，共 6 页 14某市场去年各月份的收入、支出的统计数据 如右图所示，已知利润 P=收入-支出，请根 据此统计图写出一个关于利润 P 的正确统 计结论：_ 15已知点 P 在抛物线 2 8yx=上，点 F 为该抛 物线的焦点，又已知点 A 的坐标为()6 3， 则PAF周长的最小值为_ 16粽子古称“角黍”，是中国传统的节庆食品之一，由粽叶包裹糯米等食材蒸制而 成因各地风俗不同，粽子的形状和味道也不同南粤流行的“五角粽子”（又称 “塔粽”），其形状可以看成所有棱长
9、均相等的正四棱锥现制作一个棱长均为 8cm 的五角粽子，需要在该粽子内部放入一颗咸蛋黄，蛋黄的形状近似地看成球，则当这 个蛋黄的体积最大时，蛋黄的体积与粽子体积的比值为_ 四、解答题：本题共四、解答题：本题共 6 小题，共小题，共 70 分分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 17（本小题满分 10 分） 已知条件ABC面积3 ABC S=，条件 6 ADC =； 请从上述两个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答 如图，在平面四边形ABCD中， 2 3 ABC =，BACDAC=，_， 2 3CD = ， 2AB = ，求AC 【注：如果选择多个条
10、件分别解答，按第一个解答计分】 A C B D 数学试题 第 5 页，共 6 页 18（本小题满分 12 分） 已知数列 n a中， 1=1 a，且 1 = nn aan +（2n且 * nN ） （1）求数列 n a的通项公式; （2）若 () 1 = 1 2 n n n a b n + ，求证： 12 2 n bbb+ 19（本小题满分 12 分） 如图，已知四边形ABCD为直角梯形，2BC =， 1 2 BCAD=，/ /BCAD，CDAD， 且平面PDC 平面ABCD，PCD是边长为 2 的等边三角形 （1）证明：ABPB； （2）求二面角PABD的大小。 20（本小题满分 12 分）
11、 甲、乙、丙三人进行羽毛球练习赛，其中两人比赛，另一人当裁判，每局比赛结束时， 负的一方在下一局当裁判设各局中双方获胜的概率均为 1 2 ，各局比赛的结果相互独立， 第 1 1 局甲当裁判 （1）求第4局甲当裁判的概率； （2）用随机变量X表示前4局中乙当裁判的次数，求X的分布列及数学期望 P C D A B 数学试题 第 6 页，共 6 页 21（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系xOy中， 已知椭圆 C: 22 22 1 xy ab += 的右焦点为( )10 , ， 且经过点 ()01A, （1）求椭圆 C 的方程； （2）直线 l：yk xt= +()1t 与椭圆 C 交于两个不
12、同点 P，Q，直线 AP 与 x 轴交 于点 M，直线 AQ 与 x 轴交于点 N，若1OM ON=，求证：直线 l 经过定点 22（本小题满分 12 分） 设函数( )lnf xxa x= ()aR，( )( )g xx f x= （1）若( )0f x 恒成立，求 a 的取值范围； （2）若 ( ) 2 2 e g x =有两个不同的实数根，求 a 的取值范围 第 1 页，共 11 页 惠州市惠州市 2022 届高三第一次届高三第一次调研调研考试考试 数学试题数学试题参考参考答案与评分细则答案与评分细则 一、单项选择题：本题共单项选择题：本题共 8 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分
13、，共分，共 40 分分 1【解析】由ABR，结合数轴可得2a； 2【解析】 2 1 = 2(1+) (1)(1+) = 1，复数 z 对应复平面上的点为(1,1)，在第二象限； 3【解析】由/32abmm或，因此“2m”是“/ab”的充分不必要条件； 4【解析】由sin( ) = 3 5，得sin = 3 5， cos2 = 1 2sin 2 = 1 2 9 25 = 7 25 5【解析】因为() = 2 2+2，所以() = 2 2+2 = ()，函数() = 2 2+2为奇函数，排除A； 0时，() = 2 2+2 0恒成立，排除;因为(1) = 2 21+21 = 4 5，( 1 2)
14、= 2 3 (1)，排除 C 【另解】【另解】当x时，根据一次函数与指数函数的增长速度，可知0y，再结合奇偶性可选 B. 6【解析】依据题意可知 = 100, = 10，由于( 2 +2) 0.9545， 所以(80 120) 0.9545因此本次考试 120分以上的学生约有20000 10.9545 2 = 455人. 7【解析】依题意数列第 1、2 项为奇数，第 3 项为偶数，第 4、5 项为奇数，第 6 项又为偶数，依次循 环，因此共有偶数 300 100 3 ，因此 1001 3003 P ； 8【解析】 0,0, n aq 由 6767 1aaa a， 676767 1110a aa
15、aaa ， 又 1 1a ，等比数列 n a是递减数列，且 6 1a ， 7 1a ，选项 A、B 正确；又 6 121 21267 1Taaaa a， 13 131 2137 1Taaaa，选项 C 正确，选项 D 错误； 二、多二、多项选择题项选择题：本题共本题共 4 小题，每小题满分小题，每小题满分 5 分，共分，共 20 分分在每小题给出的四个选项中，有多项符合在每小题给出的四个选项中，有多项符合 题目要求题目要求全部选对得全部选对得 5 分，部分选对得分，部分选对得 2 分，有选错的得分，有选错的得 0 分分 9【解析】 2sin 2 3 f xx ，4 312 T ，A 正确；，将
16、 2sin 2 3 f xx 的 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 D B A C B C A D 题号 9 10 11 12 全部正确选项 AD ABD CD BCD 第 2 页，共 11 页 图象右移 3 个单位后得函数 2sin 22sin 2 333 g xxx 的图像，不满足 gxg x，所以 g x不是奇函数，B 错误；因为 5 2sin 20 63 ，所以 5 6 x 不是 函数 yf x的对称轴，而是函数 yf x对称中心的横坐标，C 错误，D 正确 10【解析】由 ，/，得 ，又由 ，得 ，A 正确；由/， ，得 ， 又由 ，得/，B 正确；若/， ， ，m，n 可
17、能平行也可能是异面直线，C错误； 由面面垂直的性质定理知 D 正确 11【解析】：对于 A：若 ， = 0，则有2= 2，不正确；对于 B：若 0 ，则1 1 ，不 正确；对于 C：因为log0.23 log0.21 = 0，1 = log33 log34 log416 = 2， 所以log0.23 log34 log418，正确；对于 D：0.30.3 0.30= 1，1 = 30 30.2 30.3 50.3，所 以0.30.3 30.2 0， 7 分 则 22 233 1 lnln = xexxxe x xxx ， 令() = ln + 2，() = ln， 当0 0，此时函数 = ()
18、单调递增； 当 1时，() 0，此时函数 = ()单调递减8 分 (1) = 1 +2，(2) = 0， 当 0， 当1 (2) = 0，则() 0； 当 2时，() (2) = 0，则() 2时， 2 2 ln =0 2 xe x xx ，11 分 当 0时，() ， 第 11 页，共 11 页 则 2 3 0 2 a e ， 即 a 的取值范围是 2 3 0 2e ， 12 分 【解法【解法 2 带参讨论带参讨论】 2 ( ) 2 e g x 有两个不同的实根，即 2 ln0 2 e xax x 有两个不同的正根，6 分 令 2 ( )ln,0 2 e h xxaxx x ， 222 22
19、 122 ( ) 22 eaxxe h xa xxx 当0a时，( )0h x在(0,)恒成立，则( )h x在(0,)上单调递增，不满足题设；7 分 当0a 时，令 22 ( )22xaxxe，由 2 4+80ae 可知 存在 12 ,x x，使 12 ( )()0 xx且 12 0 xx ， 则由 22 22 022=axxe 得 22 22 2=2axxe （*） 8 分 因为( )h x在 2 (0,)x上单调递增，在 2 (,)x 上单调递减， 22 2 2222 22 2 2 ( )()ln=ln 22 max axee h xh xxaxx xx ， 将（*）式代入上式，得 2 22 2 ( )()ln1 max e h xh xx x 9 分 令 2 ( )ln1 e xx x ，则( ) x在(0,)上单调递增且 2 ()0e， 欲使 yh x有两个零点，则需 2 2 22 2 ( )()ln10= () max e xxxe x ， 则 2 2 xe，10 分 2 2 11 2 2 ae e a ，即 22 11 22aeae，11 分 化解得 2 23ae ，即 2 3 2 a e ， a的取值范围为 2 3 (0,) 2e 12 分
