1、近五年（2017-2021）高考数学真题分类汇编 九、计数原理 一、单选题一、单选题 1（2021全国 （理） ） 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行， 则 2 个 0 不相邻的概率为 （ ） A 1 3 B 2 5 C 2 3 D 4 5 2（2021全国 （文） ） 将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行， 则 2 个 0 不相邻的概率为 （ ） A0.3B0.5C0.6D0.8 3 （2021全国（理） ）将 5 名北京冬奥会志愿者分配到花样滑冰、短道速滑、冰球和冰 壶 4 个项目进行培训，每名志愿者只分配到 1 个项目，每个项目至少分配 1 名志愿者， 则不同的分配方案
2、共有（） A60 种B120 种C240 种D480 种 4 （2020海南）要安排 3 名学生到 2 个乡村做志愿者，每名学生只能选择去一个村， 每个村里至少有一名志愿者，则不同的安排方法共有（） A2 种B3 种C6 种D8 种 5 （2020北京）在 5 (2)x 的展开式中， 2 x的系数为（ ） A5B5 C10D10 6 （2020海南）6 名同学到甲、乙、丙三个场馆做志愿者，每名同学只去 1 个场馆，甲 场馆安排 1 名，乙场馆安排 2 名，丙场馆安排 3 名，则不同的安排方法共有（） A120 种B90 种 C60 种D30 种 7（2020全国 （文） ） 如图， 将钢琴上的
3、 12 个键依次记为 a1， a2， ， a12.设 1ijk12 若 kj=3 且 ji=4，则称 ai，aj，ak为原位大三和弦；若 kj=4 且 ji=3，则称 ai，aj，ak为原 位小三和弦用这 12 个键可以构成的原位大三和弦与原位小三和弦的个数之和为 （） A5B8C10D15 8 （2020全国（理） ） 2 5 ()()xx y x y的展开式中 x3y3的系数为（） A5B10 C15D20 9 （2019全国（文） ）两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概 率是 A 1 6 B 1 4 C 1 3 D 1 2 10 （2019全国（理） ） （1+2x2
4、） （1+x）4的展开式中 x3的系数为 A12B16C20D24 11 （2019全国（理） ）我国古代典籍周易用“卦”描述万物的变化每一“重卦”由从 下到上排列的 6 个爻组成，爻分为阳爻“”和阴爻“ ”，如图就是一重卦在所有 重卦中随机取一重卦，则该重卦恰有 3 个阳爻的概率是 A 5 16 B 11 32 C 21 32 D 11 16 12 （2018全国（理） ） 5 2 2 x x 的展开式中 4 x的系数为 A10B20C40D80 13 （2017全国（理） ）(x+y)(2x-y)5的展开式中x 3y3的系数为 A-80B-40C40D80 14 （2017全国（理） ）
5、（2017 新课标全国卷理科） 6 2 1 (1)(1)x x 展开式中 2 x的系 数为 A15B20 C30D35 15 （2017全国（理） ）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作 由 1 人完成，则不同的安排方式共有() A12 种B18 种C24 种D36 种 16 （2017全国（理） ）安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作 由 1 人完成，则不同的安排方式共有() A12 种B18 种C24 种D36 种 17 （2021浙江）已知多项式 34432 1234 (1)(1)xxxa xa xa xa，则 1 a _， 2
6、34 aaa_. 18 （2020浙江）设 52345 123456 (1 2 ) xaa xa xa xa xa x，则 5 a _； 123 aaa_ 19 （2019浙江）在二项式 9 ( 2)x的展开式中，常数项是_；系数为有理数 的项的个数是_. 20 （2017浙江）已知多项式 3 1x2x 2= 54321 12345 xa xa xa xa xa，则 4 a=_， 5 a=_. 二、填空题二、填空题 21 （2020天津）在 5 2 2 x x 的展开式中， 2 x的系数是_ 22 （2020全国（理） ） 26 2 ()x x 的展开式中常数项是_（用数字作答） 23 （20
7、20全国（理） ）4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学，则不同的安排方法共有_种. 24 （2019天津（理） ） 8 3 1 2 8 x x 展开式中的常数项为_. 25 （2019上海）在 6 1 x x 的二项展开式中，常数项的值为_ 26 （2019上海）首届中国国际进口博览会在上海举行，某高校拟派 4 人参加连续 5 天 的志愿者活动，其中甲连续参加 2 天，其他人各参加 1 天，则不同的安排方法有_ 种（结果用数值表示） 27（2018上海） 在 7 1x的二项展开式中， 2 x项的系数为 . （结果用数值表示） 28
8、 （2018浙江）从 1，3，5，7，9 中任取 2 个数字，从 0，2，4，6 中任取 2 个数字， 一共可以组成_个没有重复数字的四位数.(用数字作答) 29 （2018浙江）二项式 83 1 () 2 x x 的展开式的常数项是_ 30 （2018天津（理） ）在二项式 5 1 () 2 x x 的展开式中， 2 x的系数为_ 31 （2018全国（理） ）从2位女生，4位男生中选3人参加科技比赛，且至少有1位女 生入选，则不同的选法共有_种 （用数字填写答案） 32 （2017天津（理） ）用数字 1，2，3，4，5，6，7，8，9 组成没有重复数字，且至 多有一个数字是偶数的四位数，
9、这样的四位数一共有_个.（用数字作答） 33 （2017山东（理） ）已知(13 )nx的展开式中含有 2 x 项的系数是 54，则 n=_. 34 （2017浙江）从 6 男 2 女共 8 名学生中选出队长 1 人，副队长 1 人，普通队员 2 人， 组成 4 人服务队，要求服务队中至少有 1 名女生，共有_种不同的选法 （用 数字作答） 四、解答题四、解答题 35（2019江苏） 设 2* 012 (1),4, nn n xaa xa xa xnnN.已知 2 324 2aa a. （1）求 n 的值； （2）设(13)3 n ab，其中 * , a bN，求 22 3ab的值. 近五年（
10、2017-2021）高考数学真题分类汇编 九、计数原理（答案解析） 1C 【分析】 采用插空法，4 个 1 产生 5 个空，分 2 个 0 相邻和 2 个 0 不相邻进行求解. 【解析】 将 4 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可利用插空法，4 个 1 产生 5 个空， 若 2 个 0 相邻，则有 1 5 5C 种排法，若 2 个 0 不相邻，则有 2 5 10C 种排法， 所以 2 个 0 不相邻的概率为 102 5 103 .故选：C. 2C 【解析】 解：将 3 个 1 和 2 个 0 随机排成一行，可以是： 00111,01011,01101,01110,10011,10101,
11、10110,11001,11010,11100， 共 10 种排法，其中 2 个 0 不相邻的排列方法为： 01011,01101,01110,10101,10110,11010，共 6 种方法， 故 2 个 0 不相邻的概率为 6 =0.6 10 ，故选：C. 3C 【分析】 先确定有一个项目中分配 2 名志愿者， 其余各项目中分配 1 名志愿者， 然后利用组合， 排列， 乘法原理求得. 【解析】 根据题意，有一个项目中分配 2 名志愿者，其余各项目中分配 1 名志愿者，可以先从 5 名志 愿者中任选 2 人，组成一个小组，有 2 5 C种选法；然后连同其余三人，看成四个元素，四个 项目看成
12、四个不同的位置，四个不同的元素在四个不同的位置的排列方法数有 4！种，根据 乘法原理，完成这件事，共有 2 5 4!240C 种不同的分配方案， 故选：C. 4C 【分析】 首先将 3 名学生分成两个组，然后将 2 组学生安排到 2 个村即可. 【解析】 第一步，将 3 名学生分成两个组，有 12 32 3C C 种分法 第二步，将 2 组学生安排到 2 个村，有 2 2 2A 种安排方法 所以，不同的安排方法共有3 26种 故选：C 5C 【分析】 首先写出展开式的通项公式，然后结合通项公式确定 2 x的系数即可. 【解析】 5 2x 展开式的通项公式为： 5 5 2 155 22 r r
13、rr rr r TCxC x ， 令 5 2 2 r 可得：1r ，则 2 x的系数为： 1 1 5 22510C . 故选：C. 【小结】 二项式定理的核心是通项公式， 求解此类问题可以分两步完成： 第一步根据所给出的条件(特 定项)和通项公式，建立方程来确定指数(求解时要注意二项式系数中 n 和 r 的隐含条件，即 n，r 均为非负整数，且 nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等)；第二步是根据所 求的指数，再求所求解的项 6C 【分析】 分别安排各场馆的志愿者，利用组合计数和乘法计数原理求解. 【解析】 首先从6名同学中选1名去甲场馆，方法数有 1 6 C； 然后从其余5名同学中选2
14、名去乙场馆，方法数有 2 5 C； 最后剩下的3名同学去丙场馆. 故不同的安排方法共有 12 65 6 1060CC种. 故选：C 【小结】 本小题主要考查分步计数原理和组合数的计算，属于基础题. 7C 【分析】 根据原位大三和弦满足3,4kjji ，原位小三和弦满足4,3kjji 从1i 开始，利用列举法即可解出 【解析】 根据题意可知，原位大三和弦满足：3,4kjji 1,5,8ijk；2,6,9ijk；3,7,10ijk；4,8,11ijk； 5,9,12ijk 原位小三和弦满足：4,3kjji 1,4,8ijk；2,5,9ijk；3,6,10ijk；4,7,11ijk； 5,8,12i
15、jk 故个数之和为 10 故选：C 【小结】 本题主要考查列举法的应用，以及对新定义的理解和应用，属于基础题 8C 【分析】 求得 5 ()xy展开式的通项公式为 5 15 rrr r TC xy （rN且5r ） ，即可求得 2 y x x 与 5 ()xy展开式的乘积为 6 5 rrr C xy 或 42 5 rrr C xy 形式， 对r分别赋值为 3， 1 即可求得 33 x y的 系数，问题得解. 【解析】 5 ()xy展开式的通项公式为 5 15 rrr r TC xy （rN且5r ） 所以 2 y x x 的各项与 5 ()xy展开式的通项的乘积可表示为： 56 155 rrr
16、rrr r xTxC xyC xy 和 22 542 155 rrrrrr r TC xy x Cy yy x x 在 6 15 rrr r xTC xy 中，令3r ，可得： 333 45 xTC x y，该项中 33 x y的系数为10， 在 42 15 2 rrr r TC x x y y 中，令1r ，可得： 5 2 133 2 TC y x x y，该项中 33 x y的系数为5 所以 33 x y的系数为10515 故选：C 【小结】 本题主要考查了二项式定理及其展开式的通项公式， 还考查了赋值法、 转化能力及分析能力， 属于中档题. 9D 【分析】 男女生人数相同可利用整体发分析
17、出两位女生相邻的概率，进而得解. 【解析】 两位男同学和两位女同学排成一列， 因为男生和女生人数相等， 两位女生相邻与不相邻的排 法种数相同，所以两位女生相邻与不相邻的概率均是 1 2 故选 D 【小结】 本题考查常见背景中的古典概型，渗透了数学建模和数学运算素养采取等同法，利用等价 转化的思想解题 10A 【分析】 本题利用二项展开式通项公式求展开式指定项的系数 【解析】 由题意得 x3的系数为 31 44 24812CC，故选 A 【小结】 本题主要考查二项式定理，利用展开式通项公式求展开式指定项的系数 11A 【分析】 本题主要考查利用两个计数原理与排列组合计算古典概型问题， 渗透了传统
18、文化、 数学计算 等数学素养，“重卦”中每一爻有两种情况，基本事件计算是住店问题，该重卦恰有 3 个阳爻 是相同元素的排列问题，利用直接法即可计算 【解析】 由题知， 每一爻有 2 种情况， 一重卦的 6 爻有 6 2 情况， 其中 6 爻中恰有 3 个阳爻情况有 3 6 C， 所以该重卦恰有 3 个阳爻的概率为 3 6 6 2 C = 5 16 ，故选 A 【小结】 对利用排列组合计算古典概型问题， 首先要分析元素是否可重复，其次要分析是排列问题还 是组合问题本题是重复元素的排列问题，所以基本事件的计算是“住店”问题，满足条件事 件的计算是相同元素的排列问题即为组合问题 12C 【解析】 分
19、析：写出 10 3 15 2 rrr r TCx ，然后可得结果 解析：由题可得 5 210 3 155 2 2 r r rrrr r TCxCx x 令103r4,则r2 所以 22 55 2240 rr CC 故选 C. 小结：本题主要考查二项式定理，属于基础题 13C 【解析】 555 222xyxyxxyyxy， 由 5 2xy展开式的通项公式 5 15 C2 rr r r Txy 可得： 当3r 时， 5 2xxy展开式中 33 x y的系数为 3 32 5 C2140 ； 当2r = =时， 5 2yxy展开式中 33 x y的系数为 2 23 5 C2180 ， 则 33 x y
20、的系数为804040. 故选 C. 14C 【解析】 因为 666 22 11 (1)(1)1 (1)(1)xxx xx ，则 6 (1) x展开式中含 2 x的项为 222 6 1 C15xx， 6 2 1 (1) x x 展开式中含 2 x的项为 442 6 2 1 C15xx x ，故 2 x的系数为 15 1530，选 C. 小结:对于两个二项式乘积的问题，用第一个二项式中的每项乘以第二个二项 式的每项，分析含 2 x的项共有几项，进行相加即可.这类问题的易错点主要是 未能分析清楚构成这一项的具体情况，尤其是两个二项展开式中的r不同. 15D 【解析】 4 项工作分成 3 组,可得：
21、2 4 C=6， 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 可得： 3 636 3 A种 故选 D. 16D 【解析】 4 项工作分成 3 组,可得： 2 4 C=6， 安排 3 名志愿者完成 4 项工作，每人至少完成 1 项，每项工作由 1 人完成， 可得： 3 636 3 A种 故选 D. 175;10. 【分析】 根据二项展开式定理，分别求出 43, (1(4)xx的展开式，即可得出结论. 【解析】 332 (1)331xxxx， 4432 (1)4641xxxxx， 所以 12 145,363aa ， 34 347,1 10aa ， 所以 23
22、4 10aaa. 故答案为：5,10. 188051 【分析】 利用二项式展开式的通项公式计算即可. 【解析】 5 (1 2 ) x的通项为 155 (2 )2 rrrrr r TCxC x ， 令4r ，则 4444 55 280TC xx，故 5 80a ； 1122 12355 12251aaaCC . 故答案为：80；51. 【点晴】 本题主要考查利用二项式定理求指定项的系数问题， 考查学生的数学运算能力，是一道基础 题. 1916 25 【分析】 本题主要考查二项式定理、二项展开式的通项公式、二项式系数，属于常规题目.从写出二 项展开式的通项入手，根据要求，考察x的幂指数，使问题得解
23、. 【解析】 9 ( 2)x的通项为 9 19( 2) (0,1,29) rrr r TCx r 可得常数项为 09 19( 2) 16 2TC， 因系数为有理数，1,3,5,7,9r=，有 246810 T , T , T , T , T共 5 个项 【小结】 此类问题解法比较明确，首要的是要准确记忆通项公式，特别是“幂指数”不能记混，其次， 计算要细心，确保结果正确. 20164 【解析】 由二项式展开式可得通项公式为： 22 3232 CC2CC2 rrmmmrmmr m xxx ，分别取 0,1rm和1,0rm可得 4 4 1216a ，取0rm，可得 2 5 1 24a 【小结】 本
24、题主要考查二项式定理的通项与系数，属于简单题 二项展开式定理的问题也是高考命 题热点之一，关于二项式定理的命题方向比较明确，主要从以下几个方面命题： （1）考查二 项展开式的通项公式 1 Cr n rr rn Tab ； （可以考查某一项，也可考查某一项的系数） （2）考 查各项系数和和各项的二项式系数和； （3）二项式定理的应用 2110 【分析】 写出二项展开式的通项公式，整理后令x的指数为 2，即可求出 【解析】 因为 5 2 2 x x 的展开式的通项公式为 55 3 155 2 2 20,1,2,3,4,5 r rrrrr r TC xCxr x ，令532r，解得1r 所以 2 x
25、的系数为 1 5 210C 故答案为：10 【小结】 本题主要考查二项展开式的通项公式的应用，属于基础题 22240 【分析】 写出 6 2 2 x x 二项式展开通项，即可求得常数项. 【解析】 6 2 2 x x 其二项式展开通项： 6 2 61 2 r r r r Cx x T 12 2 6 (2) rrrr xCx 12 3 6(2) rrr Cx 当1230r，解得4r 6 2 2 x x 的展开式中常数项是： 66 442 21615 16240CC. 故答案为：240. 【小结】 本题考查二项式定理， 利用通项公式求二项展开式中的指定项， 解题关键是掌握 n ab的 展开通项公式
26、 1 Cr n rr rn Tab ，考查了分析能力和计算能力，属于基础题. 2336 【分析】 根据题意，有且只有 2 名同学在同一个小区，利用先选后排的思想，结合排列组合和乘法计 数原理得解. 【解析】 4 名同学到 3 个小区参加垃圾分类宣传活动，每名同学只去 1 个小区，每个小区至少安排 1 名同学 先取 2 名同学看作一组，选法有： 2 4 6C 现在可看成是 3 组同学分配到 3 个小区，分法有： 3 3 6A 根据分步乘法原理，可得不同的安排方法6 636种 故答案为：36. 【小结】 本题主要考查了计数原理的综合应用， 解题关键是掌握分步乘法原理和捆绑法的使用， 考查 了分析能
27、力和计算能力，属于中档题. 2428 【分析】 根据二项展开式的通项公式得出通项，根据方程思想得出r的值，再求出其常数项 【解析】 88 48 4 188 3 1 (2 )()( 1) 2 8 rrrrrrr r TCxC x x ， 由840r，得2r = =， 所以的常数项为 22 8 ( 1)28C. 【小结】 本题考查二项式定理的应用，牢记常数项是由指数幂为 0 求得的 2515 【分析】 写出二项展开式通项，通过 3 60 2 r 得到4r ，从而求得常数项. 【解析】 二项展开式通项为： 3 6 66 22 666 1 r rr rrrrr CxCxxCx x 当 3 60 2 r
28、 时，4r 常数项为： 4 6 15C 本题正确结果：15 【小结】 本题考查二项式定理的应用，属于基础题. 2624 【分析】 首先安排甲，可知连续2天的情况共有4种，其余的人全排列，相乘得到结果. 【解析】 在5天里，连续2天的情况，一共有4种 剩下的3人全排列： 3 3 A 故一共有： 3 3 424A种 【小结】 本题考查基础的排列组合问题， 解题的关键在于对排列组合问题中的特殊元素， 要优先考虑， 然后再考虑普通元素. 2721. 【分析】 利用二项式展开式的通项公式求得展开式中 x2的系数 【解析】 二项式（1+x）7展开式的通项公式为 Tr+1= 7 r Cxr， 令 r=2，得
29、展开式中 x2的系数为 2 7 C=21 故答案为 21 【小结】 求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略 (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第 r1 项，再由特定项的特点求出 r 值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数项，再由通项写出第 r1 项，由 特定项得出 r 值，最后求出其参数. 281260. 【解析】 分析:按是否取零分类讨论，若取零，则先排首位，最后根据分类与分步计数原理计数. 解析：若不取零，则排列数为 224 534 C C A ,若取零，则排列数为 2113 5333 C C A A , 因此一共有 2242113 5345333 C
30、C AC C A A1260个没有重复数字的四位数. 小结：求解排列、组合问题常用的解题方法： (1)元素相邻的排列问题“捆邦法”；(2)元素相间的排列问题“插空法”；(3)元素有顺 序限制的排列问题“除序法”；(4)带有“含”与“不含”“至多”“至少”的排列组合问题间 接法. 297 【解析】 分析:先根据二项式展开式的通项公式写出第 r+1 项，再根据项的次数为零解得 r，代入即得 结果. 解析：二项式 83 1 () 2 x x 的展开式的通项公式为 8 4 83 3 188 11 C ()()C 22 r rrrr r r Txx x , 令 84 0 3 r 得 2r = =，故所求
31、的常数项为 2 8 2 1 C=7. 2 小结：求二项展开式有关问题的常见类型及解题策略： (1)求展开式中的特定项.可依据条件写出第1r 项，再由特定项的特点求出r值即可. (2)已知展开式的某项，求特定项的系数.可由某项得出参数的值，再由通项写出第1r 项， 由特定项得出r值，最后求出特定项的系数. 30 5 2 . 【分析】 由题意结合二项式定理展开式的通项公式得到r的值，然后求解 2 x的系数即可. 【解析】 结合二项式定理的通项公式有： 3 5 5 2 155 11 22 r r r rrr r TC xC x x ， 令 3 52 2 r可得：2r = =，则 2 x的系数为： 2
32、 2 5 115 10 242 C . 【小结】 （1）二项式定理的核心是通项公式，求解此类问题可以分两步完成：第一步根据所给出的 条件（特定项）和通项公式，建立方程来确定指数（求解时要注意二项式系数中n和r的隐 含条件，即n、r均为非负整数，且nr，如常数项指数为零、有理项指数为整数等）)； 第二步是根据所求的指数，再求所求解的项 （2）求两个多项式的积的特定项，可先化简或利用分类加法计数原理讨论求解 3116 【分析】 首先想到所选的人中没有女生， 有多少种选法， 再者需要确定从6人中任选3人的选法种数， 之后应用减法运算，求得结果. 【解析】 根据题意，没有女生入选有 3 4 4C种选法
33、，从6名学生中任意选3人有 3 6 20C 种选法， 故至少有1位女生入选，则不同的选法共有20416种，故答案是16. 【小结】 该题是一道关于组合计数的题目，并且在涉及到“至多、至少”问题时多采用间接法，一般方 法是得出选3人的选法种数，间接法就是利用总的减去没有女生的选法种数，该题还可以用 直接法，分别求出有1名女生和有两名女生分别有多少种选法，之后用加法运算求解. 321080 【解析】 4134 5454 AC C A1080 334 【解析】 （1+3x）n的展开式中通项公式：Tr+1 r n （3x）r3r r n xr 含有 x2的系数是 54，r2 22 3 n 54，可得
34、2 n 6， 1 2 n n 6，nN*解得 n4故答案为 4 34660 【解析】 第一类，先选1女3男，有 31 62 40C C 种，这4人选2人作为队长和副队有 2 4 12A 种，故 有40 12480种；第二类，先选2女2男，有 22 62 15C C 种，这4人选2人作为队长和 副队有 2 4 12A 种，故有15 12180种，根据分类计数原理共有480 180660种，故 答案为660. 35 （1）5n ； （2）-32. 【解析】 （1）因为 0122 (1)CCCC4 nnn nnnn xxxxn， 所以 23 23 (1)(1)(2) C,C 26 nn n nn n
35、n aa ， 4 4 (1)(2)(3) C 24 n n nnn a 因为 2 324 2aa a， 所以 2 (1)(2)(1)(1)(2)(3) 2 6224 n nnn nn nnn ， 解得5n （2）由（1）知，5n 5 (13)(13) n 0122334455 555555 CC3C ( 3)C ( 3)C ( 3)C ( 3) 3ab 解法一： 因为 * , a bN，所以 024135 555555 C3C9C76,C3C9C44ab， 从而 2222 3763 4432ab 解法二： 50122334455 555555 (13)CC (3)C (3)C (3)C (3)C (3) 0122334455 555555 CCC ( 3)C ( 3)C ( 3)(3C3) 因为 * , a bN，所以 5 (13)3ab 因此 22555 3(3)(3)(13)(13)( 2)32ababab
