1、课时作业课时作业 71古典概型古典概型 一、选择题 1(2021湖北八校联考)西游记 三国演义 水浒传 红楼梦是我国古典小说四大名著若在这四大名著 中，任取 2 部进行阅读，则取到红楼梦的概率为(B) A.2 3 B.1 2 C.1 3 D.1 4 解析：依题意得所求的概率 PC 1 3 C24 1 2，故选 B. 2我国数学家陈景润在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界领先的成果哥德巴赫猜想是“每个大于 2 的偶数可 以表示为两个素数的和”， 如 30723.在不超过 30 的素数中， 随机选取两个不同的数， 其和等于 30 的概率是(C) A. 1 12 B. 1 14 C. 1 15 D. 1
2、 18 解析： 不超过 30 的素数有 2,3,5,7,11,13,17,19,23,29， 共 10 个， 从这 10 个素数中随机选取两个不同的数， 有 C210 45 种情况，其和等于 30 的情况有 3 种，则所求概率等于 3 45 1 15.故选 C. 3已知 x，y1,2,3,4,5,6，且 xy7，则 yx 2的概率为( B) A.1 3 B.2 3 C.1 2 D.5 6 解析：(x，y)的所有可能情况有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)，满足 yx 2的有(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)， 故所求概率为4 6 2 3，故选 B
3、. 4(2021湖南长沙调研)如图，A，B，C，D，E，F 为正方体 6 个面的中心，甲从这 6 个点中任意选 2 个点连成 直线，乙也从这 6 个点中任意选 2 个点连成直线，则所得的两条直线互相平行但不重合的概率为(D) A. 1 75 B. 2 75 C. 1 25 D. 4 75 解析：甲从这 6 个点中任意选 2 个点连成直线，乙也从这 6 个点中任意选 2 个点连成直线，共有 C26C261515 225 种不同取法，其中所得的两条直线相互平行但不重合有 ACDB，ADCB，AEBF，AFBE，CEFD，CF ED，共 6 对，所以所求概率为 P62 225 4 75.选 D. 5
4、(2021山东济南模拟)在埃及金字塔内，考古者发现一组神秘的数字 142857，这组数字又叫走马灯数若从 1,4,2,8,5,7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数 x，则 999x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成的一个三位 数的概率为(C) A.4 5 B.3 5 C.2 5 D. 3 10 解析：从 1,4,2,8,5,7 这 6 个数字中任意取出 3 个数字构成一个三位数 x，共有 A36120(种)从 1,4,2,8,5,7 这 6 个 数字中取两个数字，和为 9 的有 1 和 8,2 和 7,4 和 5，共 3 组所以要使 999x 的结果恰好是剩下 3 个数字构成
5、的一 个三位数，则每次抽取只能抽取一组数字中的一个，所以共有 C16C14C1264248(种)，所以 P 48 120 2 5. 6(2021贵州省适应性考试)在 2018 年中国国际大数据产业博览会期间，有甲、乙、丙、丁 4 名游客准备到贵州 的黄果树瀑布、梵净山、万峰林三个景点旅游，其中每个人只能去一个景点，每个景点至少要去一个人，则游客甲去 梵净山旅游的概率为(B) A.1 4 B.1 3 C.1 2 D.2 3 解析：4 名游客去三个景点，每个景点至少有一个人，可以先将其中 2 名游客“捆绑在一起”作为“一个人”， 再将“三个人”安排到三个景点去旅游，共有 C24A336636(种)
6、方案游客甲去梵净山旅游，若梵净山再没有其他 3 名游客去旅游，则有 C23A22326(种)方案，若“乙、丙、丁”中有 1 人也去了梵净山旅游，则有 A336(种)方案， 所以游客甲去梵净山旅游共有 12 种方案所以游客甲去梵净山旅游的概率 P12 36 1 3.故选 B. 7某区要从参加扶贫攻坚任务的 5 名干部 A，B，C，D，E 中随机选取 2 人，赴区属的某贫困村进行驻村扶贫 工作，则 A 或 B 被选中的概率是(D) A.1 5 B.2 5 C.3 5 D. 7 10 解析：从 5 名干部中随机选取 2 人有 C2510(种)选法，其中只选中 A 没选中 B 有 C133(种)选法，
7、只选中 B 没选 中 A 有 C133(种)选法，A 和 B 均选中有 1 种选法，所以所求概率 P331 10 7 10，故选 D. 8(2021辽宁丹东质检)已知 alog0.55，blog32，c20.3，d 1 2 2，从这四个数中任取一个数 m，使函数 f(x) 1 3x 3mx2x2 有极值点的概率为( B) A.1 4 B.1 2 C.3 4 D1 解析： f(x)x22mx1， 若函数f(x)有极值点， 则4m240， 解得m1或m1， 而alog0.552,0blog321,0d 1 2 21，故满足条件的数有 2 个，分别是 a，c，故满足条件的概率为2 4 1 2，故选
8、B. 9(2021河北九校联考)博览会安排了分别标有“1 号”“2 号”“3 号”的三辆车，等可能随机顺序前往酒店接 嘉宾某嘉宾突发奇想，设计两种乘车方案方案一：不乘坐第一辆车，若第二辆车的车序号大于第一辆车的车序号， 就乘坐此车，否则乘坐第三辆车；方案二：直接乘坐第一辆车记方案一与方案二坐到“3 号”车的概率分别为 P1， P2，则(D) AP1P21 4 BP1P21 3 CP1P2DP1P25 6 解析：三辆车的出发顺序共有 6 种可能：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)若该嘉宾按方案一乘 车，坐到“3 号”车的可能情况有(1,
9、3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，共 3 种，所以其坐到“3 号”车的概率 P13 6 1 2；若该嘉 宾按方案二乘车，坐到“3 号”车的可能情况有(3,1,2)，(3,2,1)，共 2 种，所以其坐到“3 号”车的概率 P22 6 1 3.所 以 P1P25 6，故选 D. 10(2021广东广州综合测试)为了让居民了解垃圾分类，养成垃圾分类的习惯，让绿色环保理念深入人心某市 将垃圾分为四类：可回收物、厨余垃圾、有害垃圾和其他垃圾某班按此四类由 10 位同学组成了 4 个宣传小组，其 中可回收物与厨余垃圾宣传小组各有 2 位同学，有害垃圾与其他垃圾宣传小组各有 3 位同学现从这 10
10、 位同学中选 派 5 人到某小区进行宣传活动，则每个宣传小组至少选派 1 人的概率为(C) A. 5 14 B. 9 14 C.3 7 D.4 7 解析：从 10 位同学中选派 5 人，不同的方法数为 C510252.每个宣传小组至少选派 1 人，由于一共有 4 个宣传小 组，所以有一个宣传小组要选派 2 人，其他宣传小组各选派 1 人若可回收物与厨余垃圾宣传小组中的一个选派 2 人，则不同的方法数为 C12C22C12C13C1336；若有害垃圾与其他垃圾宣传小组中的一个选派 2 人，则不同的方 法数为C12C23C13C12C1272.所以每个宣传小组至少选派1人的不同方法数为367210
11、8.所以从这10位同学中 选派 5 人到某小区进行宣传活动，每个宣传小组至少选派 1 人的概率为108 252 3 7.故选 C. 二、填空题 11(2021江苏苏北联考)“石头、剪子、布”是大家熟悉的二人游戏，其规则是：在石头、剪子和布中，二人各 随机选出一种，若相同则平局；若不同，则石头克剪子，剪子克布，布克石头甲、乙两人玩一次该游戏，则甲不输 的概率是2 3. 解析：由题意得，甲、乙两人玩一次该游戏，结果共有 9 种情况，如图，其中甲不输有 6 种情况，故所求概率为 6 9 2 3. 12(2021湖南岳阳模拟)连续掷两次骰子，得到的点数依次作为点 P 的横、纵坐标，则点 P 落在圆 x
12、2y219 内的概率为11 36. 解析：由题意知，连续掷两次骰子共有情况 6636(种)，而满足条件的情况有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)， (2,2)，(2,3)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(4,1)，共 11 种，所以根据古典概型的概率计算公式，可得所求概率 P11 36. 13(2021浙江衢州模拟)将含有甲、乙、丙的 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交 通，一组分发宣传资料，则甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的概率为 9 20. 解析：将 6 人平均分成两组参加“文明交通”志愿者活动，其中一组指挥交通，一组分
13、发宣传资料的基本事件总 数为 C3620(种)，甲、乙至少一人参加指挥交通且甲、丙不在同一组的基本事件有 C13C22C13C22C239(种)，故所求 概率 P 9 20. 14将一颗质地均匀的骰子(一种各个面上分别标有 1,2,3,4,5,6 个点的正方体玩具)先后抛掷 2 次，则出现向上的 点数之和小于 10 的概率是5 6. 解析：将一颗质地均匀的骰子先后抛掷 2 次，所有等可能的结果有(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)， (2,2)，(6,6)，共 36 种情况设事件 A“出现向上的点数之和小于 10”，其对立事件 A “出现向上的点数
14、之 和大于或等于 10”，A包含的可能结果有(4,6)，(5,5)，(5,6)，(6,4)，(6,5)，(6,6)，共 6 种情况所以由古典概型的概 率公式，得 P( A ) 6 36 1 6，所以 P(A)1 1 6 5 6. 三、解答题 15在某项大型活动中，甲、乙等五名志愿者被随机地分到 A，B，C，D 四个不同的岗位服务，每个岗位至少有 一名志愿者 (1)求甲、乙两人同时参加 A 岗位服务的概率； (2)求甲、乙两人不在同一个岗位服务的概率； (3)求五名志愿者中仅有一人参加 A 岗位服务的概率 解：(1)记“甲、乙两人同时参加 A 岗位服务”为事件 EA，那么 P(EA) A33 C
15、25A44 1 40，即甲、乙两人同时参加 A 岗 位服务的概率是 1 40. (2)记“甲、乙两人同时参加同一岗位服务”为事件 E，那么 P(E) A44 C25A44 1 10，所以甲、乙两人不在同一岗位服 务的概率是 P( E )1P(E) 9 10. (3)有两人同时参加 A 岗位服务的概率 P2C 2 5A33 C25A44 1 4，所以仅有一人参加 A 岗位服务的概率 P 11P23 4. 16 (2021河北武邑调研)第 24 届冬奥会将于 2022 年在中国北京和张家口举行 为宣传冬奥会， 让更多的人了解、 喜爱冰雪项目，某大学举办了冬奥会知识竞赛，并从中随机抽取了 100 名
16、学生的成绩(单位：分，满分 100 分)，绘制 成如图所示的频率分布直方图： (1)试根据频率分布直方图估计这 100 人的平均成绩(同一组数据用该组区间的中点值代替)； (2)若采用分层抽样的方法从成绩在70,80)，80,90)，90,100的学生中共抽取 6 人，再将其随机分配到 3 个社区 开展冬奥会宣传活动(每个社区 2 人)，求“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率 解：(1)平均成绩 x 0.02450.16550.22650.30750.20850.109573.00. (2)由题意知，从成绩在70,80)，80,90)，90,100的学生中分别选取了 3 人，2 人，1
17、 人 6 人平均分成 3 组分配到 3 个社区的方法共有 C26C2490(种) 成绩在同一区间的学生分配到不同社区的方法有 A33A2336(种)， 所以“成绩在同一区间的学生分配到不同社区”的概率 P36 90 2 5. 17(2021湖北宜昌调研)易系辞上有“河出图，洛出书”之说，河图、洛书是中华文化，阴阳五行术数之 源，其中河图的排列结构是一、六在后，二、七在前，三、八在左，四、九在右，五、十背中如图，白点为阳数， 黑点为阴数若从这 10 个数中任取 3 个数，则这 3 个数中至少有 2 个阳数且能构成等差数列的概率为(C) A.1 5 B. 1 20 C. 1 12 D. 3 40
18、解析：本题考查古典概型概率与等差数列的综合所有的情况有 C310120(种)，3 个数中至少有 2 个阳数且能构 成等差数列的情况有(1,2,3)，(3,4,5)，(5,6,7)，(7,8,9)，(1,4,7)，(3,6,9)，(1,3,5)，(3,5,7)，(5,7,9)，(1,5,9)，共 10 种， 所以所求事件的概率 P 10 120 1 12.故选 C. 18某中学组织了一次数学学业水平模拟测试，学校从测试合格的男、女生各随机抽取 100 人的成绩进行统计分 析，制成了如图所示的男生和女生数学成绩的频率分布直方图 (注：分组区间为60,70)，70,80)，80,90)，90,100
19、) (1)若得分大于或等于 80 认定为优秀，则男、女生的优秀人数各为多少？ (2)在(1)中所述的优秀学生中用分层抽样的方法抽取 5 人，从这 5 人中任意选取 2 人，求至少有一名男生的概率 解：(1)由题可得，男生优秀人数为 100(0.010.02)1030，女生优秀人数为 100(0.0150.03)1045. (2)因为样本容量与总体中的个体数的比是 5 3045 1 15，所以样本中包含的男生人数为 30 1 152，女生人数为 45 1 153. 则从 5 人中任意选取 2 人共有 C2510 种，抽取的 2 人中没有男生有 C233(种)，则至少有一名男生有 C25C23 7(种)故至少有一名男生的概率为 P 7 10，即选取的 2 人中至少有一名男生的概率为 7 10.
