1、小学奥数教练员知识梳理手册 2 / 32 一、计算部分 一、计算部分 1 1.（）运算律： 歌诀：同级运算是一国，随意到哪没话说. 一定符号不要错，带着搬家乐呵呵. 低级运算是减加，遇到乘除就害怕. 除非来把括号括，先算加减眼泪落. 数前加减符号多，最多保留仅一个. 同加异减做一做，提醒自己别出错. 同级计算有括号，仔细计算多琢磨. 括号前面若加乘，随意添去都可行. 括号前面若减除，内部变号别马虎. 跨级运算咋巧算？公因公除提外边. +=abb_a； =aba_b)(； =abca_b_c)(；=+abca_ bc)(； =ab ca_b_c)(；=abca_b_c)(； =abca_b_c)
2、(；=abacab_c)(； =acbca_bc)(； 2 2. （）乘法口算技巧 (1) 因数末尾 0： 歌诀：末尾 0，不用乘，其它乘积先写成 最后末尾才添 0，0 的个数要看清 示例：240300=_因为 243=72，所以 240300=72000 练习： 3530=_， 21040=_ (2) 因数 2 和 5，4 和 25，8 和 125： 歌诀：2 和 5 不用乘，其它乘积后添 0； 2 和 5 要配对，末尾添 0 谁都会 小学奥数教练员知识梳理手册 3 / 32 示例：1245=_1245=6225=6210=620 练习： 62564=_， 25985=_ （3） +a a(
3、1)9 的技巧： 歌诀：两位数，来乘 9，弟弟在哥前面走 哥哥乘 9 积拉开，中间把 0 补出来 示例：129=_因为 29=18，所以 129=108 练习： 239=_， 945=_ （4） +aa(1)9 的技巧： 歌诀：两位数，来乘 9，哥哥在弟前面走 弟弟一定写前头，末位就是它朋友 中间补 8 都要有，这种技巧记心头 示例：219=_因为 1 与 9 为朋友，所以 219=189 练习： 329=_， 954=_ (5) aa9 的技巧： 【歌诀】双胞胎，手拉手，它们一起乘以 9 一个乘 9 积拉开，中间把 9 补出来 其实不管几胞胎，一个乘 9 积拉开. 补 9 个数要明白，比谁少
4、 1 别胡来 示例：229=_因为 29=18，所以 229=198 练习： 339=_， 559=_， 9666=_，44449=_ (6) 因数 11 的技巧： 歌诀：看到因数有 11，心里油然笑嘻嘻 另一因数两边拉，中间数字来相加 如果相加超过 9，一定十位进前头 （两边拉，中间加 ） 另一因数是多位，灵活使用你要会 仍然两端数字拉，相邻数字依次加 如果因数三个 1，此种方法可平移 另一因数是两位，先拉后加肯定对 示例：3511=_3511=385；62111=_62111=6882 小学奥数教练员知识梳理手册 4 / 32 练习： 4511=_， 2411=_， 81111=_，126
5、111=_ (7) 因数 101 的技巧： 歌诀：两位乘以幺零幺（101） ，重写两遍要知道 此种规律能拓展，0、1 间隔是必然 到底两位写几遍？就把 1 的个数看 如果因数非两位，0 的个数要补对 两 1 之间几个 0，位数少 1 才可行 示例：43101=_43101=4343；1621001=_1621001=162162 练习： 45101=_， 81101=_， 5610101=_，201810001=_ (8) ab11的技巧： 歌诀：两位因数个位 1，到底如何来求积？ 其实也是很好求，头乘头后头加头 相加结果超过 9，十位数字进前头 还有一位要添上，个位是 1 不能忘！ 示例：2
6、141=_因为 24=8，2+4=6，所以 2141=861 练习： 5121=_， 4141=_ (9) 因数 99 的技巧： 歌诀：九十九，乘两位，方法简单谁都会 因数少 1 写前头， 后面两位找朋友 （两数之和为 100，表示朋友太友爱） 或与前面凑九九，这种方法牛牛牛 9 的个数有多少？另一因数要较小 仍然少 1 写前头，后面几位找朋友 示例：3299=_因为 321=31，10032=68（或者 9931=68） ，所以 3299=3168 练习： 5199=_， 6999=_， 小学奥数教练员知识梳理手册 5 / 32 123999=_， 4129999=_ （10）首同尾合十、尾
7、同首合十、合十数与重复数运算技巧： 歌诀：首首+重在前，尾尾两位在后 三个类型一个法，一个口诀搞定它. 示例：3238=_因为 3(3+1)=12，28=16，所以 3238=1216 练习： 5456=_， 2723=_ 示例：2383=_因为 28+3=19，33=9，所以 2383=1909 练习： 4565=_， 7232=_ 示例：7344=_因为 74+4=32，34=12，所以 7344=3212 练习： 4622=_， 1966=_ 3.（）整数裂项公式： 歌诀：这类题目咔咔算，一定把哥放后边. 注意前伸又后延，中间抵消不用看. 如果前伸遇到零，自生自灭无影踪. 需要注意其除数
8、，左邻右舍差记住. 练习 1+2+3+n=_； （注：1+2+3+4+_=2016） 12+23+n(n+1)=_； 123+234+n(n+1)(n+2)=_； 4.（）常用公式： 歌诀：从 1 开始平方数，连续相加记清楚. 最大底数先写出，乘以哥哥别疏忽， 然后再乘两者和，不要忘记除以 6. 三个算式不一样，结果一样真是棒. 练习： + n123 2222= _； + n13579 222222 + n246810 222222 =_； 1n+2(n1)+(n1)2+n1 + n123 3333 =+ n123 2 )(=_. 小学奥数教练员知识梳理手册 6 / 32 5.（）常用乘法算式
9、： 歌诀：这些算式最常用，一定熟记在心中. 接近一千要凑整，这些算式能帮工. 练习： =abcabc_abc_99927000； = abcabcabc_abc_713； = ababababab_101013 7 13； 1428577=_；123456799=_. 6.（）多位数的数字和： 歌诀：前面可添 0，位数要相同. 减 1 找朋友，可把 9 来凑. 练习： 当 个 a n 999 9 时， 个 a n 999 9 的数字和为_； 当 个 a n 999 9 时， 个 a n 999 9 的数字和等于做减法 0个 aa n 000时借位的次数_. 7.（）代数公式及性质： 歌诀：第五
10、则，是乘方，原来四则啥交往？ 理解道理很平常，牢记哪里不一样. 两个数，好精明，作和作差再相乘. 这种乘积有方法，各自平方再求差. 首平方，尾平方，首尾二倍不能忘. 位置在哪都能放，符号与前一个样. 练习： 平方差公式：=ab 22 _； 和（差）完全平方公式：ab 2 )(=_； aa mn=_ ； aa mn= _；(a0) am n = )( _； ab n =_)(； a1=_；a0=_（a_）. 小学奥数教练员知识梳理手册 7 / 32 8.（）分数大小比较性质： 歌诀：真分数越加越大，假分数越加越小. 练习： + + bnbbn anaan _( b a 为真分数，n0) ； +
11、+ bnbbn anaan _( b a 为假分数，n0)； bc ad ； 9.（）循环小数： 歌诀：循环小数化分数，分子首先来写出. 然后减去不循环，分母 9、0 把数攒. 不循环、是几位，0 来对应能添对. 循环节、是几位，与 9 对应都要会. 练习： =.a_, .ab_,.ab_000， ，=.abc_.abc_,.abc_000； 若最简真分数 位位 = p x mn ab 25 0.，则=ma bmax , ，且 个 p n 999 9 ； ，=_,_ 777 123 ， ，=_ 777 456 . 10. （）分数裂项： 歌诀：连加必裂差，裂差变咔咔. 方法就是撕分母，分子是差
12、别马虎. 减加交替要裂和，咔咔算式能复活. 如果分子非和差，一定首先满足它. 前面经常有个倍，丢掉别想来做对. 练习： 裂和公式： = ab _ b a+ ； 裂差公式： = ab _ ba ， + = nn _ 1 1 )( ； 1 4 2 8 5 7 小学奥数教练员知识梳理手册 8 / 32 +=_ nn1223341 1111 )( ； +=_ nnn12323421 111 )( )( 裂积公式：= n _ n 234 1231 ，= + n _ n 234 3451 . 11.（）等差数列： 歌诀：等差数列很重要，通项公式需记牢. 项的个数是多少？还有求和该咋搞？ 大减小，除（以）公
13、差，不忘再把 1 来加. 大加小，来平均，再乘个数记在心. 练习： 通项公式：+a , ad, ad, a_ d2 1111 )(； 求和公式：S = (_+_)2_= +aan n 2 1 )( ； 奇数项和 S = 中间项_； 项数 n = (_)_+_=+aa_ n1) (. 12 （）等比数列： 歌诀：错位相减解等比，裂差也很有道理. 等比性质咋用行？记住分母不为 0. 练习： a1，a q 1 ，a q 1 2 ，_； 求和公式：+ aa qa qa qn 1111 21=_； （ q1） 等比性质： + =+ + bbbbbbbb bbbb aaaaaaaa nn n nn (0)
14、 123123 123 123123 . 小学奥数教练员知识梳理手册 9 / 32 二、应用题部分二、应用题部分 1.（）和差倍分问题： 歌诀：和差倍分应用题，算术方法要熟悉. 根据倍分搞一套，最后一定要对照. 抓住要点不变量，熟练解题你最棒. (1) 较大数=_， 较小数=_； (2) 实际量对应份量=_； 不变量有：_、_、_、_不变； 2.（）盈亏问题： 歌诀：常见题型有盈亏，一般多是二分配. 分析多是十交叉，汉字同减异相加. 盈亏常见三类型，各种类型都记清. (盈 + 亏) (大盈小盈) _=份数 (大亏小亏) 3. （）鸡兔同笼： 歌诀：鸡兔同笼，好多题型. 头和脚和，此种最多. 按
15、脚砍脚，假设之道. 头差脚和，补少去多. 分组思想，粉墨登场. (总头数4总脚数）脚差=_； (总脚数总头数2）脚差=_； 4. （）年龄问题： 歌诀：年龄问题看，年龄差不变. 时间轴分析，看看差是几. 上面都不行，最后用方程. 小学奥数教练员知识梳理手册 10 / 32 (1) 年龄差不变（可转化为倍数问题中的差不变） ； (2) 时间轴分析. 5.（）植树问题： 歌诀：植树问题多类型，两端植树或环形. 间隔到底它是啥？伸出五指看指叉. (1) 两端植树：间隔数+1=_； (2) 环形植树：间隔数=_； 6. （）方阵问题： 歌诀：方阵实心和空心，每周差 8 别犯晕. 四周角上都重复，好好思
16、考都记住. (1) n 阶实心方阵，共有 n2个对象，每边 n 个，最外一周共_个； (2) 空心方阵：相邻两层相差为_； 7. （）平均数问题： 歌诀：平均问题多混合，平均要比小的多. 十字分析多交叉，杠杆也能解决它. (1) 平均数=总量_； (2) 平均速度=总路程_； 8.（）浓度问题： 歌诀：浓度倒三角，威力真不小 数量有三套，一一都知道 圈内是因数，作差反比出 混合应用题，此法要熟悉 (1) 溶质+溶剂=_； (2) 溶质=溶液_； (3) 液溶 度浓 质溶 =%100； = AAB BAA 321 213 (成反比) B1B2 B1+ B2 A1 A2 A3 小学奥数教练员知识梳
17、理手册 11 / 32 9. （）经济问题： 歌诀：成本就是进价，加上利润标价. 打折也别害怕，多练算术方法. (1) 进价+利润=_； (2) 利润=进价利润率； (3) 定价折扣=_， 价进 率润利 润利 =%100； (4) 本金+利息=_； 10 （）工程问题： 歌诀：工程问题有点难，三量构成一个团. 题目一般不给全，利用关系量能办. 工程特例牛吃草，各大杯赛都常考. 两全一残很常见，把牛分组是要点. 解题多是分四步，写在下面看清楚. (1)工作效率工作时间=_； (2)牛吃草（总工作量变化）步骤： 设单位时间每头牛吃草量为 1（可省略） ； 求单位时间生长草量（即 草 V=？） ；
18、已知a头m天；b 头 n 天；则 草 =V_. 原有草量；牛分组 11. （）行程问题： 歌诀：行程问题类型多，根据特点一一说. 各种要点都记清，根据知识会巧用. 试卷如若无行程，老师出题没水平. 流水行船车过桥，环形时钟都重要. 根据类型多练习，熟能生巧要谨记. (1) 速度时间=_，路程时间=_； (2) 路程和速度和=_，路程差速度差=_； 小学奥数教练员知识梳理手册 12 / 32 (3) 静静静水水逆水顺 =VVVVVVVV_,_,_ ,_； 特别提醒：水中落失物体（漂浮）时， 从_到_与从_到_的时间相同！ (4) 环形运动： （以同地出发为例） 背向时，共走 1 周相遇_次； 同
19、向时，快比慢多走 1 周追及_次 (5) 多次往返相遇：包括迎面相遇和背后追及（以两端同时出发为例） 第 1 次迎面共走 1 个全程，以后每共走_个全程就迎面 1 次； 第 1 次追上快比慢多走 1 个全程，以后每多走_个全程追上 1 次； (6) 时钟的一周长为_大格=_个小格=_度， 分/分/格小 针分 =V_o，分/分/格小 针时 =V_o； 小学奥数教练员知识梳理手册 13 / 32 三、数论部分三、数论部分 1. （）数的表示法： 歌诀：数的表示法，展开要点抓. 数字若有关，数字要设全. 位值原则好，数论多用到. (1) =abc_； （a取数字 19，b、c 取数字 09） (2)
20、 ）数位为（=ab bn_； 2. （）数的进制： 歌诀：数进制，换底数，这个一定要记住. 进制之间常转换，幂和展开是关键. 短除倒序来取余，进位就要看进率. 3. （）数的整除： 歌诀：数的整除性，可以倒着用. 从 2 到 13，都要记熟练. 9 有什么法？数字可乱加. 11 怎么办？偶加奇就减. 三位一截开，减加 7 倍在. (1) 若a|b，b|c，则a|c； (2) 若a|b，a|c，则a|(bc)； 十进制 二进制 n 进制 幂和展开 幂和展开 倒序取余 进制 基本数字 位置值 进率 十进制 09 ， 102， 101， 100 满十进一 二进制 0，1 ，22，21，20 满二进一
21、 n 进制 0n1 ，n2，n1，n0 满 n 进一 小学奥数教练员知识梳理手册 14 / 32 (3) 若a|c，b|c，则_|c； 特例：当(a，b)=1 时，_|c； (4) 设整数 N= a aa a nn 12 1， （ an0） 2、5 的整除性：_； 4、25 的整除性：_； 8、125 的整除性：_； 3、9 的整除性：_； 7、11、13 的整除性：_； 6 的整除性：_； 14 的整除性：_； 15 的整除性：_； 99 的整除性：_. 4. （）质数与合数： 歌诀：质数合数如何辨，因数个数是关键. 如果因数仅两个，记住它就是质数. 一百以内二十五，这个要求都背熟. 多于两
22、个是合数，分解因数练功夫. (1) 100 以内的质数(25 个)： _ _； (2) 偶数个质数的和为奇数，则必有一个质数为_； 5. （）平方数： 歌诀：平方数，很常见，性质一定记心间. 偶数末位 0、4、6，奇数末位 1、5、9. 偶平方一定是 4 倍，出现余数它不会. 奇平方是 8 余 1，一定仔细看清晰. 十位数字是奇数，个位一定 6 来住. 平方因数奇数个，常常难题它攻克. 小学奥数教练员知识梳理手册 15 / 32 (1) 1000 以内平方数 0、 1、 4、 9、16、25、36、49、64、81、100、121、144、169、196、225、256、 289、324、36
23、1、400、441、484、529、576、625、676、729、784、841、900、961 (2) 末位数字为：_、_、_、_、_、_； (3) 偶平方数必为_，奇平方数必为_（n 为自然数） ； (4) 十位上数字为奇数，则个位数字为_； (5) 完全平方数有_个因数； (6) 数字和被 9 除余_； (7) 若aa(mod10) 2 ，则=a_；若abab(mod100) 2 ，则=ab_； 若abcabc(mod1000) 2 ，则=abc_； 6. （）因数与倍数： 歌诀：因数倍数很重要，数论问题常用到. 因数个数怎么算，分解质因放在前. 指数加 1 再相乘，因数个数算得清.
24、最大公约小公倍，两者相乘谁都会. 等于两数来乘积，四个一帮可求一. 如果两数都很大，想到辗转相除法. (1) 因数个数=指数加 1 再相乘（先分解质因数）以=Nabc mnr 为例： 那么 N 的因数共有_个； 所有因数之和为_； (2) 完全平方数有_个因数； (3) a ba b( , ) , (4) =a bb ab( , )( ,) (5) =a b a b( , ) , _； (6) = b c a d ,_； (7) = b c a d ,_； 7. （）数字谜： 歌诀：数字谜，真是牛，做题要找突破口. 常用算式要想到，黄金解题出三角. 数字和，弃九法，进位次数放在哪？ 小学奥数教
25、练员知识梳理手册 16 / 32 多种方法来应用，年号经常嵌此中. (1) 首位分析；(2) 末位分析；(3) 数位分析；(4) 黄金三角 109 分析； (5) 整除性分析；(6) 奇偶分析；(7) 分解质因数法；(8) 质合数分析； (9) ab ab ab = =_ 8= ， abc abc abc = =_ 8=8 ； (10）数字和及弃九分析，两数相加每进位一次数字和少_. 8. （）幻方： 歌诀：脚踩一方大地，头顶九重云天 五子居住中宫，二四就在两肩 六八跑到下边，腰间它是七三 不管怎么翻转，规律总是不变 (1) 中宫数e=_； (2) 2e=+ai=_=_=_； (3) 2a=_
26、，2c=_， 2g=_，2i=_. 9. （）余数与同余： 歌诀：数论题目有挑战，同余问题多经典. 经常用到四定理，中国定理是剩余. 三人同行七十稀，五树梅花廿一枝. 七子团圆整半月，除百零五便得知. 费尔马，和欧拉，大幂余数用到它. 还有定理威尔逊，阶乘同余要相信. (1) 若ab (modp)，则 ba (modp) (2) 若ab (modp)，bc(modp)，则_ (modp) (3) 同余式四则运算与取余互换顺序： 若ab (modp)，cd (modp) 则a cb d (modp)； 若ab (modp)，cd (modp) 则ac bd(modp)； 若ab (modp)，则
27、acbc (modp)； 2 9 4 7 5 3 6 1 8 a b c d e f g h i 小学奥数教练员知识梳理手册 17 / 32 若ab (modp)，则a nbn (modp)（n 为正整数） ； 若 nanb (mod (np)，则ab (modp)（n 为正整数） ； 若 nanb (modp) 且(n，p)=1 则ab (modp)； (4) 若 ， 则， ， = xc xbx xa (mod7) (mod5)_ (mod3) ； （k 为自然数） (5) 费尔马小定理：已知 p 为质数，且pa，那么 ap p _ (mod ) 1 ； (6) 带余除法：ab=qr，a=b
28、q+r，b arq ar(),()； (7) 不大于 n 且与 n 互质的数的个数（欧拉数） ： =nn( )_（p ppr, 12 为 n 的质因数） (8) 欧拉定理：当na时， an n _(mod ) ( ) (9) 威尔逊定理：当 n 为质数，+ nn1 ! 1_ mod)()( 10 （）高斯取整： 歌诀：中括号，是取整，遇到余数赶快扔. 大括号，是取小，小于 1，要知晓. 两者相加是原数，这种转化要记住. (1) x：不大于 x 的_如=._,_3 144； (2) x：x 的_如=._3 14，= _4，x_0； (3) x+x=_； 11. （）不定方程： 歌诀：不定方程解真
29、多，通解却可全包括. 邮资问题两公式，迎刃而解是小事. 分数分拆怎么办？对应因子再加减. (1) 当a b c( , )时，方程+=axbyc有整数解， 如果特解为 = = yy xx 0 0 ，那么它的通解为_； （t 为整数） 小学奥数教练员知识梳理手册 18 / 32 (2) 当a bc( , )|时，方程+=axbyc无_解 (3) 用a与 b 凑整数，当(a，b)=1 时，不能凑的最大数是_；不能凑的数有_种； (4) n 1 = ab 11 ， n m = ab 11 ， n 1 =+ abc 111 . 如=+ ab6 111 ，= = = 61 362 183 124 96 6
30、 2 （对应因数都加 6） ：应对,_,_,_,_,_7;8;9;10;12； 所以，=+=+=+=+=+ 67891012 11111111111 . 小学奥数教练员知识梳理手册 19 / 32 四、几何部分四、几何部分 1. （）角： 歌诀：两条射线共顶点，组成角的始终边. 一周三百六等分，角的 1 度记在心. 周角平角和直角，锐角钝角分清好. (1) 周角（360） ，平角（180） ，直角（90） ， 锐角（_a_） ，钝角（_a _） ； (2) 余角：1+2=_，补角：3+4=_； 2. （）多边形： 歌诀：多边形，很有用，掌握熟练来填空. (1) 三角形任意两边之和大于_，两边之
31、差小于_； (2) 三角形一个外角等于与它不相邻的两个内角和(1=_+_)； (3) n 边形内角和=_ ，外角和为_，对角线共有_条； (4) 常用面积公式： 1 2 3 4 a h h a a h a a b a b 宽长 形方长 =Sab=; ； 形方正 =Sa=_ 2 a h ； 形边四行平 S=_ ； 形梯 =S=_ b a h c 1 A B C D 2 小学奥数教练员知识梳理手册 20 / 32 (5) 如图，直角三角形中，30 角所对直角边等于_； S ABC=_ (6) 正方形格点面积：=S_(N 为内点数，L 为边界点数)； 正三角形格点面积：=S_； 3. （）一笔画：
32、歌诀：数学题，一笔画，知识源于数学家. 数学家名叫欧拉，从此拓扑诞生啦. 哥尼斯堡有七桥，市民遛弯把暑消. 突然有人发奇想，能否每桥走一趟, 点的连线分奇偶，偶点进出都会有. 如果某点是奇点，起点终点很明显. 如果没有奇数点，一笔画出是必然. 如果只有两奇点，一起一终也能画. 如果多于两奇点，一笔画出是笑谈. (1) 无奇点时，可画一条_（起点与终点_） ； (2) 2 个奇点时，可画一条_ （起点与终点_） ； (3) 多于 2 个奇点时，不能一笔画若要进行一笔画，有两种方法： 同一条线画多次，或添加线路；减少一些线路，这些线路不画 4. （）勾股定理： 歌诀：数学名题，勾股定理. 记住数组
33、，还有弦图. 勾三股四弦五，扩倍也能算勾股. (1) 直角三角形中，+=ab_ 22 ； (2) 勾股数组：(3，4，_)、(6，8，_)、(5，12，_)、(10，24，_) a 2a 30 b a 30 a 2 B A C D 小学奥数教练员知识梳理手册 21 / 32 (3) 弦图法（改斜归正法） ； 5. （）同底等高： 歌诀：几何图形知比例，根据比例求面积. 同底等高是根本，五大模型来延伸. (1) 狭义：两个三角形的底相同、高相等，则这两个三角形面积_； (2) 动态：三角形底边固定，顶点在底的平行线上拉动，形成的三角形面积_（简称_） ； (3) 广义：两个三角形的底在一条直线上
34、，高相同，则这两个三角形面积比 等于_之比； 6. （）推出图形： 歌诀：推出图形是一半，一半模型好灵验. 掌握要点学得快，重复等于未覆盖. (1) 推出三角形：平行四边形的推出三角形面积等于平行四边形面积的_； (2) 推出四边形：一般四边形的推出四边形面积等于原四边形面积的_； b a c a b c a b S1 S2 =SS:_ :_ 12 = SS ABCABE _ A B C D E a a a b S1 S2 =SS:_ :_ 12 = SS ABCABE _ A B C D E a b c a+b+c a b a+b a b c a+b+c 小学奥数教练员知识梳理手册 22 /
35、 32 7. （）共边定理： 歌诀：共边定理多模型，这里主要指风筝. 四个基本三角形，可以交叉来相乘. 田三捉蟹方法灵，三面埋伏求阴影. 共边定理：两个同形（三角形或长方形）的底相同，则面积比等于高之比. 8. （）蝴蝶定理（梯形中） 歌诀：梯形之中有蝴蝶，翩翩起舞真好学. 上下相似两边等，不忘交叉来相乘. (1) 左右相等； (2) 交叉相乘（积相等） ； (3) 上下相似（面积比等于上、下底边长的_）. 9. （）共角定理： 歌诀：两角相等或互补，共角定理都清楚. 此角两边来乘积，面积份数来标记. a b a b c c d d ； 阴= S_ a b c d ； 阴= S_ 各边中点连线
36、: (1) 交叉相乘积相等(风筝型)； (2) = SSS SSS CODCOBCBD ABDAODAOB ； = SSS SSS AOBBOCABC AODCODACD . d a b c =ac_ 阴= S_ d a b c A B C D O b a 小学奥数教练员知识梳理手册 23 / 32 鸟头沙漏和母子，发现共角就能使. 根据比例搞一套，不忘最后来对照. (1) 如果两个三角形有两个角_或_，那么称此为共角三角形； (2) 共角三角形的面积比等于共角的两边的长度乘积之比 包括：鸟头型、_、_. 10 （）燕尾定理： 歌诀：共边定理有燕尾，囧字标数要学会. 燕尾三角连一连，各块面积能
37、求全. 燕尾定理：D 是 BC 边上的任意一点，连结 AD， E 在 AD 上，连结 BE、CE 则 + = + SSSS SSSS _ 2424 1313 . 11. （）曲边图形： 歌诀：曲边不是直线形，面积弧长咋求成. 首先引入圆周率，计算方便很必需. 圆的面积和周长，圆周率来帮忙. (1) 圆： 圆= S_，=C_； (2) 扇形： 形扇 =S_，弧长 L=_； (3) 圆环： 环圆 =S_； (4) 圆中方面积之比为_:_；方中圆面积之比为_:_； (5) 动圆平面内旋转问题：动圆转动的圈数等于_. ；= S S ABC ADE _ b a c d A B C D E 鸟头型 ；=
38、S S CDO ABO _ 沙漏型 a A B D C O b d c ；= S S ABC CDE _ 母子型 b a c d A B C D E a b c d S1 S2 = S S _. 2 1 A B C E D S1 S3 S2 S4 小学奥数教练员知识梳理手册 24 / 32 12. （）立体图形： 歌诀：立体图形真丰富，根据分类都记住. 柱体锥体球台体，体积公式很好记. 柱体均是底乘高，锥体除以 3 记牢. 锥体拦腰切成台，球体表面展不开. 体染视图和旋转，都要培养空间感. (1) 体积及表面积 (2) 正方体表面展开图（共_种） ： R O R r R O n L a b c
39、 体方长 =Vabc 表 =S_ h 底柱圆 =VSh 侧= S_ r2 r 锥圆 =V_ h r r2 l 侧= S_ 球 =V_ R 表 =S_ 小学奥数教练员知识梳理手册 25 / 32 (3) 三视图：正视图、俯视图、左视图； (4) 长方体染色分割： 长方体(+2)(b+2)(c+2)表面染色，然后分割成棱为 1 的小正方体， 染 3 面（顶角上）有_个； 染 2 面（棱中间）有_个； 染 1 面（面中间）有_个； 未染色（体中间）有_个 a c b 小学奥数教练员知识梳理手册 26 / 32 五、计数部分五、计数部分 1. （）加法原理与乘法原理： 歌诀：哪种计数用加法？分类计数来
40、相加. 传球标数带递推，兔子数列在此类. 哪种计数用乘法？分步计数才用它. 每步都要来完成，相乘结果算得清. (1) 字典排列，标数法，传球法； (2) 斐波那契数列（兔子数列） ：1、1、2、3、5、8、_、_、 2. （）排列与组合： 歌诀：排列组合咋分开？关键在于排不排. 有序就是排列算，无序就用组合干. 相邻对象可以捆，插空对象不相邻. 特殊对象要先排，插空却是后边来. 重复对象可标签，相同对象用隔板. 环排随意给固定，错位排列记得清. (1) 从 n 个不同对象中选出m个排成一列（既选又排有序） ： =An m _； (2) 从 n 个不同对象中选出m个（只选不排无序） ： ，= A
41、 CC A m m nn nmm m _， +CCCC nnnn n012 =_； (3) 常用方法：特殊优先考虑；相邻捆绑法（代表法） ；不相邻插空法； (4) 环形排列：n 人的环形排列，共有_种方法; (5) 重复排列：n 个对象中有m个相同的排列有_种; (6) 相同对象：不空时，用_法；可以空时，用_法； (7) 错位排列数列：_、_、_、_、_、_、. 小学奥数教练员知识梳理手册 27 / 32 3. （）几何图形计数： 歌诀：三角形，四边形，到底如何能说清. 每种计数都要学，根据特点会总结. (1) 三角形计数： 三角形个数： + + CCCC a b cabc3 3333. (
42、2) 在 ab 的正方形格中， 正方形个数：_； 长方形个数：_； 4. （）图形区域分割： 歌诀：上下级，分图形，规律特点请记清. 点分线，线分面，面分体的不常见. 还有很多多边形，归纳公式来填空. (1) n 个点分直线：P n( )=_； (2) n 条直线分平面：P n( )=_； (3) n 个平面分空间：P n( )=_； (4) n 个边形分平面：P n( )=_； 5. （）图形区域染色： 歌诀：区域染色很头疼，染色顺序乱哄哄. 首先统计区域数，从多到少都记着. 如果出现环形染，下面公式本领显. (1) 先染相邻区域较多的区域，各自染法使用乘法原理； (2) 环形区域染色：用(
43、+1)种颜色给 n 个环形区域染色， 相邻区域不同色， 数奇为 数偶为 = n P n n _() ( ) _() n 层三角形个数： 正立有：； +nnn nnn 22222 +=_ (1)(1)(1)(2)322 1 倒立有： n nnnnn 222 + (1)(2)(3)(4)(5) a条线 b条线 c条线 小学奥数教练员知识梳理手册 28 / 32 6. （）容斥原理： 歌诀：容斥原理本领大，维恩图形画一画. 三圆交叉有三层，分清相斥和相容. 中间个数先填起，根据实际细分析. (1) =+ABAB_； (2) =+ABCABCABBCAC+_. B C A B C 小学奥数教练员知识梳
44、理手册 29 / 32 六、构造与论证六、构造与论证 1. （）约瑟夫问题： 歌诀：约瑟夫，能活下，关键动了脑袋瓜. 环形残忍来抽杀，规律记牢人人夸. 把 1N 排成一圈，从 1 开始，划去 k1 个，留下第 k 个，如此下去， 当 + kNk mNkmk pp mod(1) 11 1 )( )(时，留下的数是Nk mkk p 1)( )( . 特例： (1) N 个数排成一行， 划奇保偶时，最后剩下一个数在第_位； 划偶保奇时，最后剩下一个数在第_位. (2) N 个数排成一圈， 划奇保偶时，最后剩下一个数在第_位； 划偶保奇时，最后剩下一个数在第_位. 2. （）天平称物： 歌诀：天平来称
45、物，真是花功夫. 砝码怎么放？结果不一样. 常有找假币，砝码难寻觅. (1) 一端放砝码，砝码尽量少，称重质量尽量多的砝码构造： 1 克、2 克、4 克、_克 (2) 两端均可放砝码，砝码尽量少，称量质量尽量多的砝码构造： 1 克、3 克、9 克、_克 3. （）挑剔数列： 歌诀：挑剔数列怎么做？关键满足数间隔. 若能必须去构造，否则论证不能少. (1) 当 n =4k+1（k 为自然数）或 4k+2 时，不能排成 2n 位数； (2) 当 n =4k+3（k 为自然数）或 4k 时，可以排出 2n 位数，但 n 越大越难造 小学奥数教练员知识梳理手册 30 / 32 4. （）抽屉原理： 歌
46、诀：构造论证好多题，要用抽屉的原理. 难点就是抽屉造，染色剩余常用到. 极值原理在其中，不熟做题不轻松. (1) 抽屉原理一： 把(+1)个苹果放到 n 个抽屉中，必有一个抽屉至少放有_个苹果； (2) 抽屉原理二： 把(mn+1)个苹果放到 n 个抽屉中，必有一个抽屉至少放有_个苹果 简写：因为(mn+1)n=m1， 所以，必有一个抽屉至少放有(m+1)个苹果 5. （）博弈问题： 歌诀：甲乙两人做游戏，根据要求把棋取. 一堆棋子先后取，巴什就要来博奕. 二堆棋子威佐夫，三堆棋子是吉姆. 各种类型多思考，做对题目很快乐. (1) 有两堆物品，每堆物品若干个，两人轮流从中取物品 若每人每次只能
47、从一堆取，且至少取一个，奇异局势为_； (2) 若每人每次可以从一堆取若干，至少取一个，或者从两堆中取相同个数， 奇异局势是： （0，0） 、 （1，2） 、 （3，5） 、_、_、 小学奥数教练员知识梳理手册 31 / 32 静态知识点静态知识点 （1） =abab_ 33 )( )(，=abab_ 44 )( )(； =ab_ 3 )(； （2） 不定方程+=xyaxbyN（N 为常数）整数解求法：变形为_， 解下来对_进行分解质因数； 特别地，不定方程=xyaxay0整数解求法： 两边同时除以axy，得到分拆方程_； （3） 将军饮马问题：在直线l同侧有两点 A、B，在l上取一点 P， 使得 AP+PB 最小值等于_（其中_是 B 关于直线l的对称点） ； （4） 把 N(=pppr aaaar 2 12 12 )表示成 n 个非零连续自然数之和形式， 共有_种表示方法，即_种 n 最大值为 2N 分解成两个奇偶不同且差最小的因数中的_数； （5） 塞瓦定理：如图，在ABC 中，AD、BE、CF 交于一点 O， 则= FBDCEA AFBDCE _. A B C F D E O B A C D P l
