1、【学而思高中数学讲义】 典例分析 空间几何体的表面积和体积计算 棱柱 【例 1】 将一个边长为 a 的正方体，切成 27 个全等的小正方体，则表面积增加了 （） A 2 6aB 2 12aC 2 18aD 2 24a 【例 2】 长方体的全面积为11，12条棱长度之和为24， 则长方体的一条对角线长为 （） A2 3B14C5D6 【例 3】 一个长方体共一个顶点的三个面的面积分别为2，3，6，这个长方体的对角 线长为_. 【例 4】正三棱柱侧面的一条对角线长为 2， 且与底边的夹角为45角， 则此三棱柱的体 积为（） A 6 2 B6C 6 6 D 6 3 【例 5】 （2008 四川）已知
2、正四棱柱的对角线的长为6，且对角线与底面所成角的余弦值 为 3 3 ，则该正四棱柱的体积等于 【例 6】 长方体中共点的三条棱长分别为a，b，c ()abc，分别过这三条棱中的一条 及其对棱的对角面的面积分别记为 a S， b S， c S，则（） A abc SSSB acb SSSC bca SSSD cba SSS 【例 7】 （2009 陕西 10）若正方体的棱长为2，则以该正方体各个面的中心为顶点的凸 多面体的体积为（） A 2 6 B 2 3 C 3 3 D 2 3 板块三.空间几何体的表面积 和体积 【学而思高中数学讲义】 【例 8】 底面是菱形的直棱柱，它的对角线的长分别是 9
3、 和 15，高是 5，求这个棱柱的侧面 积 【例 9】 （2008 四川文 12）若三棱柱的一个侧面是边长为2的正方形，另外两个侧面都是 有一个内角为60的菱形，则该棱柱的体积等于（） A2B2 2C3 2D4 2 【例 10】在体积为15的斜三棱柱 111 ABCABC中，S是 1 C C上的一点，SABC的体积 为 3，则三棱锥 111 SABC的体积为（） A1B 3 2 C2D3 【例 11】直三棱柱 111 ABCABC各侧棱和底面边长均为a，点D是 1 CC上任意一点，连 结 1 AB，BD， 1 AD，AD，则三棱锥 1 AABD的体积（） A 3 1 6 aB 3 3 6 aC
4、 3 3 12 aD 3 1 12 a ? D ? C ? 1 ? B ? 1 ? A ? 1 ? C ? B ? A 【例 12】如图， 在三棱柱 111 ABCABC中， 若E，F分别为AB，AC的中点， 平面 11 EBC F 将三棱柱分成体积为 1 V， 2 V的两部分，那么 12 :V V ? V ? 2 ? V ? 1 ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 ? F ? E C ? B ? A 【学而思高中数学讲义】 【例 13】（2005 上海春季）有两个相同的直三棱柱，高为 2 a ，底面三角形的三边长分 别为3a、4a、5a0a 用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可
5、能的情形 中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是 【例 14】平行六面体 1111 ABCDABC D中，在从B点出发的三条棱上分别取其中点 ,E F G，则棱锥BEFG的体积与平行六面体体积的比值为_ 【例 15】如图，在长方体 1111 ABCDABC D中，6AB ，4AD ， 1 3AA ，分别过BC， 11 AD的两个平行截面将长方体分成三部分，其体积分别记为 11 1AEADFD VV ， 1 111 2EBE AFCF D VV ， 1 11 1 3B E B C FC VV ，若 123 :V VV1:4:1，则截面 11 AEFD的面积 为 ? E ? 1 ? F ?
6、 1 ? F ? E ? D ? C ? B ? A ? A ? 1 ? D ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 棱锥 【例 16】侧面都是直角三角形的正三棱锥，若底面边长为2，则三棱锥的全面积是多 少？ 【例 17】侧棱长与底面边长相等的正三棱锥称为正四面体，则棱长为1的正四面体的体 积是_； 【例 18】已知正三棱锥的侧面积为 183cm 2 ，高为 3cm 求它的体积 【例 19】已知正四棱锥底面正方形的边长为4，高与斜高的夹角为30，求正四棱锥的 全面积与体积 【例 20】正棱锥的高增为原来的n倍，底面边长缩为原来的 1 n ，那么体积（） 【学而思高中数学讲义】 A缩为原来的 1
7、 n B增为原来的n倍 C没有变化D以上结论都不对 【例 21】（2009辽宁11） 正六棱锥PABCDEF中，G为PB的中点， 则三棱锥DGAC 与三棱锥PGAC体积之比为（） A1 1B1 2C2 1D3 2 棱台 【例 22】正三棱台 111 ABCABC中，已知10AB ，棱台的侧面积为20 3， 1 OO，分别 为上、下底面正三角形的中心， 1 D D为棱台的斜高， 1 60D DA，求上底面的边 长 【例 23】已知三棱台 111 ABCABC中25 ABC S， 1 1 1 A B C S9，高6h 求三棱锥 1 AABC的体积 1 AABC V 求三棱锥 111 BABC的体积
8、 1 1 1 B A B C V 求三棱锥 11 ABCC的体积 11 ABCC V ? C ? B ? A ? A ? 1 ? B ? 1 ? C ? 1 【例 24】正四棱台的斜高为 4，侧棱长为 5，侧面积为 64，求棱台上、下底的边长 【例 25】已知正六棱台的上，下底面边长分别为2和4，高为2，则其体积为_ 圆柱 【例 26】轴截面是正方形的圆柱叫等边圆柱已知：等边圆柱的底面半径为 r，求全面 积 圆锥 【例 27】轴截面是正三角形的圆锥叫等边圆锥已知：等边圆锥底面半径为 r，求全面 积 【学而思高中数学讲义】 【例 28】已知圆锥的侧面展开图是一个半圆，且这个圆锥的体积为 8 3
9、3 求圆锥的表 面积 【例 29】将圆心角为120，面积为3的扇形，作为圆锥的侧面，求圆锥的表面积和体 积 【例 30】如图，圆锥形封闭容器，高为 h，圆锥内水面高为 11 , 3 h hh ，若将圆锥倒置后， 圆锥内水面高为 22. hh，求 ? B ? A ? S ? S ? D ? ? C ? ? h ? 2 ? B ? A ? C ? D ? h ? 1 圆台 【例 31】已知圆台的上下底面半径分别是2、5，且侧面面积等于两底面面积之和，求 该圆台的母线长 【例 32】图中所示的圆及其外切正方形绕图中由虚线表示的对称轴旋转一周生成的几 何体称为圆柱容球，求证：在圆柱容球中，球的体积是圆
10、柱体积的 2 3 ，球的表面 积也是圆柱全面积的 2 3 旋转体 【例 33】如图所示，半径为R的半圆内的阴影部分以直径AB所在直线为轴，旋转一周 得到一几何体，求该几何体的表面积（其中30BAC） 【学而思高中数学讲义】 ? C ? B ? A ? O 【例 34】如图， 在四边形ABCD中，90DAB，135ADC，5AB ，2 2CD ， 2AD ，求四边形ABCD绕AD旋转一周所成几何体的表面积及体积 ? A ? B ? C ? D 【例 35】如图所示，已知等腰梯形ABCD的上底2cmAD ，下底10cmBC ，底角 60ABC，现绕腰AB旋转一周，求所得的旋转体的体积 ? l ?
11、A ? B ? C ? D ? E ? F ? 60 【例 36】在ABC中，2AB ， 3 2 BC ，120ABC（如图所示） ，若将ABC绕直 线BC旋转一周，则所形成的旋转体的体积是（） ? D ? C ? B ? A 【学而思高中数学讲义】 A 9 2 B 7 2 C 5 2 D 3 2 球体 【例 37】球的体积与其表面积的数值相等，则球的半径等于（） A 1 2 B1C2D3 【例 38】一平面截一球得到直径是6的圆面，球心到这个平面的距离4，求该球的表面 积与体积 【例 39】直径为 10cm 的一个大金属球，熔化后铸成若干个直径为 2cm 的小球，如果不 计损耗，可铸成这样的
12、小球的个数为（） A5B15C25D125 【例 40】（09 年西城区期末考试 12） 若A，B两点在半径为 2 的球面上， 且以线段AB 为直径的小圆周长为2，则此球的表面积为_，A，B两点间的球面 距离为_ 【例 41】已知一个球的直径为d，一个正方体的棱长为a，如果它们的表面积相等，则 （） Ada且V 球 V正方体Bda且V 球 V正方体 Cda且V 球 V正方体Dda且V 球 V正方体 【例 42】已知球的表面积为20，球面上有A、B、C三点如果2ABAC， 2 3BC ，则球心到平面ABC的距离为（） A1B2C3D2 【例 43】平面截球得到半径是3的圆面，球心到这个平面的距离
13、是4，则该球的表面积 是（） A20B 416 3 3 C100D 500 3 【例 44】（2006 全国 II）过球的一条半径的中点，作垂直于该半径的平面，则所得截 面的面积与球的表面积的比为（） A 3 16 B 9 16 C 3 8 D 9 32 【例 45】设A、B、C、D是 球 面 上 的 四 个 点 ， 且 在 同 一 平 面 内 ， 【学而思高中数学讲义】 3ABBCCDDA，球心到该平面的距离是球半径的一半，则球的体积是 （） A8 6B64 6C24 2D72 2 【例 46】把四个半径都是 1 的球中的三个放在桌面上， 使它两两外切， 然后在它们上面 放上第四个球，使它与前三个都相切，求第四个球的最高点与桌面的距离 【例 47】球面上有三点A，B，C组成这个球的一个截面的内接三角形三个顶点，已 知球的半径为R，且A，C两点的球面距离为 2 R，A，B两点及B，C两点的 球面距离均为 3 R，球心到这个截面的距离为6，求球的表面积
