1、2020 学年第一学期高二数学期末联考试题学年第一学期高二数学期末联考试题 选择题部分选择题部分 （共（共 40 分）分） 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，有且只分在每小题给出的四个选项中，有且只 有一项是符合题目要求的有一项是符合题目要求的 1直线31yx 的倾斜角是（） A 6 B 3 C 2 3 D 5 6 2 已知命题：“若ab， 则 22 acbc ” ， 则命题的原命题、 逆命题、 否命题和逆否命题中真命题的个数是 （） A0B1C2D4 3设m，n是不同的直线，是不同的平面，下列命题中正
2、确的是（） A若/m，n，/m n，则 B若/m，n，mn，则 C若/m n，/m，n/，则/ D若m，n，/m，n/，则/ 4如图所示，一个水平放置的平面图形的斜二测直观图是等腰梯形，且直观图OABC 的面积为2，则该平 面图形的面积为（） A2B4 2C4D2 2 5已知直线 1 l： 1 1 4 yx ， 2 l： 2 2yk x，则“2k ”是“ 12 ll”的（） A充分不必要条件B必要不充分条件 C充要条件D既不充分也不必要条件 6在空间直角坐标系中，点2,1,4P 关于x轴的对称点的坐标为（） A2,1, 4B2, 1, 4 C2, 1,4D2,1, 4 7过点0, 2P的直线交
3、抛物线 2 16yx于 11 ,A x y， 22 ,B xy两点，且 22 12 1yy，则OAB（O为 坐标原点）的面积是（） A 1 2 B 1 4 C 1 8 D 1 16 8正方体 1111 ABCDABC D中，二面角 11 ABDB的大小是（） A 3 B 6 C 2 3 D 5 6 9已知 2 F是双曲线 22 22 1 xy ab （0a ，0b ）的右焦点，若双曲线左支上存在一点P，使渐近线 b yx a 上任意一点Q，都有 2 PQQF，则此双曲线的离心率为（） A 2 B 3 C2D 5 10在矩形ABCD中，4AB ，3AD ，E为边AD上的一点，1DE ，现将ABE
4、沿直线BE折成 A BE，使得点 A 在平面BCDE上的射影在四边形BCDE内（不含边界） ，设二面角ABEC的大小 为，直线A B，A C与平面BCDE所成的角分别为，则（） ABCD 二、填空题：本大题共填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分，共分，共 36 分分 11已知平行直线 1 l：210 xy ， 2 l：210 xy ，则 1 l， 2 l的距离_；点0,2到直线 1 l的距离 _ 12双曲线 2 2 1 2 x y的焦距是_，渐近线方程是_ 13已知某几何体的三视图如图所示，则该几何体的体积为_，表面积为_ 14已知圆
5、C的圆心2,0，点11A ,在圆C上，则圆C的方程是_；以A为切点的圆C的切线方程 是_ 15已知空间中三点2,0,2A ，1,1,2B ，3,0,4C ，设a AB ，b AC 则向量a 与向量b 的夹 角的余弦值_ 16 已知在矩形ABCD中， 2 2AB ，BCa，PA 平面ABCD， 若在BC上存在点Q满足PQDQ， 则a的最小值是_ 17已知长方体 1111 ABCDABC D，1ABBC， 1 2AA ，点P是面 11 BCD A上异于 1 D的一动点，则异 面直线 1 AD与BP所成最小角的正弦值为_ 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应
6、写出文字说明、证明过分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤程或演算步骤 18已知方程 22 1 4 xy mm mR表示双曲线。 （）求实数m的取值集合A； （）关于x不等式 2 2110 xaxa a的解集记为B，若xB是xA的充分不必要条件，求实 数a的取值范围。 19已知直线l过点3,3M ，圆C： 22 40 xyymmR （）求圆C的圆心坐标及直线l截圆C弦长最长时直线l的方程； （）若过点M直线与圆C恒有公共点，求实数m的取值范围 20如图，在四棱锥PABCD中，底面为直角梯形，/AD BC，90BAD，PA 底面ABCD，且 2PAADABBC，M，N分别为PC，PB的中点 （
7、）求证：PBDM； （）求CD与平面ADMN所成的角的正弦值 21已知抛物线E的顶点在原点，焦点为2,0F，过焦点且斜率为k的直线交抛物线于P，Q两点， （1）求抛物线方程； （2）若2FPFQ，求k的值； （3） 过点,0T t作两条互相垂直的直线分别交抛物线E于A，B，C，D四点， 且M，N分别为线段AB， CD的中点，求TMN的面积最小值 22已知椭圆C： 22 22 1 xy ab 过点 2, 1A ，且2ab （）求椭圆C的方程： （）过点4,0B 的直线l交椭圆C于点M，N，直线MA，NA分别交直线4x 于点P，Q求 PB BQ 的值 区区 2020 学年第一学期高二数学期末试题评
8、分参考学年第一学期高二数学期末试题评分参考 一、选择题：本大题共一、选择题：本大题共 10 小题，每小题小题，每小题 4 分，共分，共 40 分在每小题给出的四个选项中，只有一分在每小题给出的四个选项中，只有一 项是符合题目要求的项是符合题目要求的 题号12345678910 答案CCABABDCDA 9 【答案】D 【解析】解法一：由题意知渐近线 b yx a 是线段 2 F P的垂直平分线，令 2 F QPQb， 由垂直平分线的定义和双曲线的定义知， 21 222PFPFbaa， 2ba， 双曲线的离心率为 5 2 c e a ； 解法二：由题意知渐近线 b yx a 是线段 2 F P的
9、垂直平分线， 且直线 2 F P的方程为 a yxc b ；则由 b yx a a yxc b ，解得 2 a x c ab y c ， 即直线 2 F P与渐近线 b yx a 的交点为 2 , aab M cc ； 由题意知 2 ,0F c，利用中点坐标公式求得点P的坐标为 22 22 , acab cc ； 又点P在双曲线上， 2 22 2 222 2 4 1 ac a a cc ，化简得 22 5ca ，解得5 c a ，故选：D 10 【答案】A 【解析】如图所示，在矩形ABCD中，过A作AFBE交于点O，将ABE沿直线 BE 折成A BE，则 点 A 在面BCDE内的射影 O 在线
10、段OF上， 设 A 到平面BCDE上的距离为h，则hA O ， 由二面角、线面角的定义得：tan h O O ，tan h O B ，tan h O C ， 显然OOOB，OOOOC，所以tan最大，所以最大， 当 O 与O重合时，maxtan h OB ，mintan h OC ， 因为 h OB h OC ，所以 max (tan) min (tan)，则tantan， 所以，所以，故选A 二二、填空题：本大题共填空题：本大题共 7 小题，多空题每题小题，多空题每题 6 分，单空题每题分，单空题每题 4 分分，共，共 36 分分 11 2 5 5 5 5 ；122 3， 2 2 yx ；1
11、3 4 3 ；5 2 25 14 2 2 210 xy，34yx；15 10 10 ；164 2； 17 2 5 解：如图所示：当 11 C PDC时候， 1 AD和BP所成角就是 1 PBC最小 1 2 5 C P ， 1 5BC 所以 1 2 sin 5 C P BP 三、解答题：本大题共三、解答题：本大题共 5 小题，共小题，共 74 分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤分解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤 18解： （）由题意：40mm，可得集合04Am mm或 （）由题意：1Bx axa xB是xA的充分不必要条件， 4a 或10a 实数a的取值范围：4a 或1a 19解：（
12、）圆C方程标准化为： 2 2 24xym 圆心C的坐标为 0, 2 直线l截圆C弦长最长，即l过圆心， 故此时l的方程为： 232 030 y x ， 整理得：5360 xy； （）若过点M的直线与圆C恒有公共点， 则点M在圆上或圆内， 2 2 334 30m ， 得30m 20解：如图， （）因为N是PB的中点，PAPB， 所以ANPB 因为AD 平面PAB， 所以ADPB， 从而PB 平面ADMN 因为DM 平面ADMN， 所以PBDM （）取AD的中点G，连结BG、NG，/BGCD， 所以BG与平面ADMN所成的角和CD与平面ADMN所成的角相等 因为PB 平面ADMN， 所以BGN是B
13、G与平面ADMN所成的角 在RtBGN中， 10 sin 5 BN BNG BG 故所成的角的正弦值 10 5 21解： （1） 2 8yx； （2）如图，若0k 不妨设QFm，则2PFm 在RtPQM中，PMm，3PQm， 得2 2QMm，tan2 2kQPM， 同理0k 时， 2 2k 所以 2 2k （其他方法酌情给分） （3）根据题意得AB，CD斜率存在 故设AB：x myt ，CD： 1 xyt m ， 11 ,A x y， 22 ,B xy， 33 ,C x y， 44 ,D xy 由 2 2 880 8 xmyt ymyt yx 22 1212 444,4 22 yyxx mmt
14、Mmtm 同理可得 2 44 ,Nt mm 所以 2 242 16164 1TNm mm m ， 422 161641TMmmmm 11 816 2 TMN STM TNm m 当且仅当1m 时，面积取到最小值16 22解： （） 22 1 82 xy ； （）1 【详解】 （1）设椭圆方程为： 22 22 1 xy ab 0ab， 由题意可得： 22 41 1 2 ab ab ，解得： 2 2 8 2 a b ，故椭圆方程为： 22 1 82 xy （2）设 11 ,M x y， 22 ,N xy，直线MN的方程为：4yk x， 与椭圆方程 22 1 82 xy 联立可得： 2 22 448
15、xkx，即： 2222 41326480kxk xk， 则： 2 12 2 32 41 k xx k ， 2 12 2 648 41 k x x k 直线MA的方程为： 1 1 1 12 2 y yx x ， 令4x 可得： 11 11 1111 4121412 212 2222 P k xkxyx y xxxx ， 同理可得： 2 2 214 2 Q kx y x 很明显 0 PQ y y ，且： P Q PBy PQy ，注意到： 1221 12 1212 424244 2121 2222 PQ xxxxxx yykk xxxx ， 而： 12211212 4242238xxxxx xxx 22 22 64832 238 4141 kk kk 222 2 6483328 41 20 41 kkk k ， 故 0 PQ yy ， PQ yy 从而1 P Q PBy PQy
