1、第一单元长方体和正方体 【例 1】有一个无盖的正方体纸盒，下底标有字母“M”，沿图中粗线将其剪开 展成平面图形会是（）。 解析：根据正方体的表面展开图共有 11 种情况，本题中“M”是底面，如果沿图 中粗线将其剪开展成平面图形，四个小正方形会连在一起，并且标有“M”底面 应和最边上的一个小正方形连在一起，可由此进行选择。 解答：B 【例 2】一种无盖的长方体玻璃鱼缸，它的长和宽都是 40 厘米，高是 20 厘米， 做 2 个这样的鱼缸，至少要多少平方厘米的玻璃？ 解析：根据题意可知，如果把两个鱼缸口口对接，就可变成一个棱长是 40 厘米的正方体（如下图），这样一来只要求出它的表面积即可知道做这
2、两个鱼缸 一共需要多少玻璃。 解答：40406=9600（平方厘米） 答：至少需要 9600 平方厘米玻璃。 【例 3】如下图，有一块长 40 厘米、宽 20 厘米的长方形铁皮，在铁皮的四个角 上分别剪去一个边长是 5 厘米的小正方形，做一个深 5 厘米的长方体无盖铁盒。 这个铁盒的容积是多少立方厘米？ 解析： 根据题意可知，这样做成的长方体铁盒的长是用长方形铁皮的长减去两个 小正方形的边长，即 4052=30（厘米） ，宽是用长方形铁皮的宽减去两个小 正方形的边长，即 2052=10（厘米） ，高就是小正方形的边长 5 厘米，因此， 此时焊接成的长方体铁盒的容积是 30105=1500（立方
3、厘米） 。 解答： 4052=30（厘米） 2052=10（厘米） 30105=1500（立方厘米） 答：这个铁盒的容积是 1500 立方厘米。 【例 4】一个长方体，如果高增加 2 厘米，就变成一个正方体，这时表面积比原 来增加 56 平方厘米，原来长方体的体积是多少立方厘米？ 解析：根据题意，可以作出下图。表面积比原来的长方体增加了 56 平方厘米， 从图中可看出，高增加了 2 厘米，使长方体变成了正方体，而增加的面积只是四 周 4 个面的面积，跟顶面和底面无关，所以只要将 564=14（平方厘米）就可 以求出增加的四个面中的其中一个面的面积。这个增加的面是个长方形，而这个 长方形的宽就是
4、增加的 2 厘米，因此，只要把求出的这个长方形的面积除以宽， 就可算出长方形的长，也就是：142=7（厘米） 。而这个长方形的长，也就是增 加后的正方体每条边的棱长。由于原长方体的高比现在的正方体的棱短 2 厘米， 所以原长方体的高就是 7-2=5（厘米） 。算出了原长方体的长，根据题意，原长 方体的底面为正方形，因此，原来长方体的底面的长和宽相等，都是 7 厘米，所 以这个长方体的体积是 775=245（立方厘米） 。 解答： 564=14（平方厘米） 142=7（厘米） 7-2=5(厘米) 775=245（立方厘米） 答：原来长方体的体积是 245 立方厘米。 【例 5】一个长方体的宽是
5、7 厘米、高是 5 厘米，把它从长边的中点处截成完全 相同的两个小长方体后，每个小长方体的表面积比原来大长方体的表面积少 144 平方厘米。原来长方体的表面积是多少？ 解析： 根据题意可知，把原来长方体从长边的中点处截成完全相同的两个小长方 体， 每个小长方体比原来的大长方体的表面积减少的面积，也就相当于原来大长 方体上、下、前、后四个面面积和的一半。这样从整体思考，可以直接求出大长 方体的上、下、前、后四个面面积和。原来大长方体上、下、前、后四个面面积 和是 1442=288（平方厘米） ，加上左右两个面的面积，即得原来大长方体的表 面积 288+752=358（平方厘米） 。 解答： 14
6、42=288（平方厘米） 288+752=358（平方厘米） 答：原来长方体的表面积是 358 平方厘米。 【例 6】如下图是一张长方形铁皮，利用图中的阴影部分刚好能做成一个长是 8 厘米，宽是 4 厘米，高是 2 厘米的长方体盒子（连接处忽略不计） ，这张长方形 铁皮的面积是多少平方厘米？ 解析： 要求长方形铁皮的面积， 需要知道这个长方形铁皮的长和宽各是多少厘米。 根据题意可知，长方形铁皮的长是由长方体的 2 个长和 2 个高组成，则长方形铁 皮的长是 82+22=20（厘米） ；长方形铁皮的宽是由长方体的一个宽和 2 个高 组成，则长方形铁皮的宽是 4+22=8（厘米） ，因此，这张长方
7、形铁皮的面积是 208=160（平方厘米） 。 解答： 82+22=20（厘米） 4+22=8（厘米） 208=160（平方厘米） 答：这张长方形铁皮的面积是 160 平方厘米。 【例 7】计算下面图形的体积。 解析：题中给出的图形是一个不规则的图形，不能直接求出体积。我们换一种思 路，假设还有同样的一个图形，将这两个图形进行拼接，那么就会形成一个长 2dm，宽 2dm，高（10+8）dm 的长方体，然后根据长方体体积=长宽高，求出 拼成的大长方体的体积为 1822=72（dm 3） ，最后除以 2 即可求出该图形的体 积 722=36（dm 3） 。 解答： 1822=72（dm 3） 72
8、2=36（dm 3） 答：该图形的体积是 36 立方分米。 【例 8】 如图， 一个长方体玻璃容器长 10 分米，宽 5 分米，高 6 分米，装满还需要 60 升水。玻璃容器与已装入的水的接触 面积是多少平方分米？ 解析： 根据题意可知， 玻璃容器与水接触 的面积，也就是水与玻璃容器接触的面 积， 如果我们把玻璃容器里的水看作一个 长方体，这个长方体的前后左右和下面与玻璃接触，所以这道题目其实就是求水 的五个面的总面积。已知装满该容器还需要 60 升水，于是就可以先求出容器的 容积：1056=300（升） ，然后就可以求出容器中已装入水的体积是：300 60=240（升） ，这样就能求出水的高
9、是：240105=4.8（分米） ，进而求得玻璃 与水接触的面积：105（104.854.8）2=194（平方分米） 。 解答： 1056-60=240（升） 240105=4.8（分米） 105（104.854.8）2=194（平方分米） 答：鱼缸的玻璃已装入的水的接触面积是 194 平方分米。 【例 9】妈妈新买了两盒点心要送给外公，茶叶盒的长 20 厘米，宽 12 厘米，高 3 厘米，将这两盒点心包装在一起，怎样包装最省包装纸？最少需要多少平方厘 米包装纸？ 解析：如下图所示，要想使包装纸最省，就要将最大的面重合在一起。根据题意 可知，最大的面长 20 厘米，宽 12 厘米，所以将这两个
10、面重叠起来最省包装纸。 重叠后形成的新的长方体长 20 厘米，宽 12 厘米，高 3+3=6（厘米） ，然后根据 长方体表面积的计算方法求解即可。 解答：3+3=6（厘米） （2012+206+126）2=864（平方厘米） 答：将最大的面重叠起来最省包装纸，最少需要 864 平方厘米。 【例 10】把一根长方体木材截成两块完全一样的正方体后，表面积增加了 32 平 方厘米，原来这块长方体的表面积是多少？ 解析：将一个长方体截成两段后，两段都是正方体（如下图所示） ，则说明：原 来长方体的高与宽相等，而原来长方体的长正好是高或者宽的 2 倍。将一个长方 体截成两段后，表面积增加了 32 平方厘米，那么增加的面积在哪里呢。从图上 黑色的部分，我们可以看出，表面积增加了两个横截面，所以，每个横截面的面 积就是 32216（厘米） 。所以，这个小正方体的棱长就是 4 厘米，也就是说 原来长方体的宽与高都是 4 厘米。而长正好是宽的 2 倍，即 428（厘米） 。 所以，原来长方体的表面积为： （848444）2160（平方厘米） 。 解答： 32216（厘米） 428（厘米） （848444）2160 （平方厘米） 答：这个长方体的表面积为 160 平方厘米。
