1、第第 6 讲讲对数与对数函数对数与对数函数 一、选择题 1.(2015四川卷)设 a,b 为正实数,则“ab1”是“log2alog2b0”的() A.充分必要条件B.充分不必要条件 C.必要不充分条件D.既不充分也不必要条件 解析因为 ylog2x 在(0,)上单调递增,所以当 ab1 时,有 log2alog2blog210; 当 log2alog2b0log21 时,有 ab1. 答案A 2.(2017石家庄模拟)已知 alog23log23,blog29log23,clog32,则 a, b,c 的大小关系是() A.abcC.abbc 解析因为 alog23log23log23 33
2、 2log 231, blog29log23log23 3 a,clog320,且 a1)的图象如图所示,则下列函数图象正确的是 () 解析由题意 ylogax(a0,且 a1)的图象过(3,1)点,可解得 a3.选项 A 中,y3 x 1 3 x ,显然图象错误;选项 B 中,yx3,由幂函数图象可知正确; 选项 C 中,y(x)3x3,显然与所画图象不符;选项 D 中,ylog3(x) 的图象与 ylog3x 的图象关于 y 轴对称,显然不符.故选 B. 答案B 4.已知函数 f(x) log2x,x0, 3 x1,x0,则 f(f(1)f log31 2 的值是() A.5B.3C.1D
3、.7 2 解析由题意可知 f(1)log210, f(f(1)f(0)3012, f log31 2 3log31 213log 321213, 所以 f(f(1)f log31 2 5. 答案A 5.(2016浙江卷)已知 a,b0 且 a1,b1,若 logab1,则() A.(a1)(b1)0 C.(b1)(ba)0 解析a0,b0 且 a1,b1. 由 logab1 得 logab a0. a1,且b a1 或 0a1 且 0 b aa1 或 0ba0. 答案D 二、填空题 6.设 f(x)log 2 1xa是奇函数,则使 f(x)0 的 x 的取值范围是_. 解析由 f(x)是奇函数
4、可得 a1, f(x)lg1x 1x,定义域为(1,1). 由 f(x)0,可得 01x 1x1,1x2 (a0, 且 a1)的值域是4, ), 则实数 a 的取值范围是_. 解析当 x2 时,f(x)4;又函数 f(x)的值域为4,),所以 a1 3loga24, 解 1a2,所以实数 a 的取值范围为(1,2. 答案(1,2 三、解答题 9.设 f(x)loga(1x)loga(3x)(a0,a1),且 f(1)2. (1)求 a 的值及 f(x)的定义域; (2)求 f(x)在区间 0,3 2 上的最大值. 解(1)f(1)2,loga42(a0,a1), a2. 由 1x0, 3x0,
5、得1x3, 函数 f(x)的定义域为(1,3). (2)f(x)log2(1x)log2(3x) log2(1x)(3x)log2(x1)24, 当 x(1,1时,f(x)是增函数; 当 x(1,3)时,f(x)是减函数, 故函数 f(x)在 0,3 2 上的最大值是 f(1)log242. 10.(2016衡阳月考)已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 且 f(0)0, 当 x0 时, f(x)log1 2x. (1)求函数 f(x)的解析式; (2)解不等式 f(x21)2. 解(1)当 x0,则 f(x)log1 2(x). 因为函数 f(x)是偶函数,所以 f(x)f(x)lo
6、g1 2(x), 所以函数 f(x)的解析式为 f(x) log1 2x,x0, 0,x0, log1 2(x) ,x2 转化为 f(|x21|)f(4). 又因为函数 f(x)在(0,)上是减函数, 所以|x21|4,解得 5xbcB.cba C.cabD.acb 解析函数 yf(x)是定义在 R 上的偶函数,当 x(,0时,f(x)为减函数, f(x)在0,)为增函数, bf(log1 24)f(2)f(2),12 0.32ba. 答案B 12.已知函数 f(x)ln x 1x,若 f(a)f(b)0,且 0ab1,则 ab 的取值范围 是_. 解析由题意可知 ln a 1aln b 1b
7、0, 即 ln a 1a b 1b 0,从而 a 1a b 1b1,化简得 ab1,故 aba(1a) a2a a1 2 2 1 4, 又 0ab1, 0a1 2,故 0 a1 2 2 1 4 1 4. 答案 0,1 4 13.(2016浙江卷)已知 ab1,若 logablogba5 2,a bba,则 a_,b _. 解析logablogbalogab 1 logab 5 2, logab2 或1 2.ab1,log ab0,且 a1)的最大值是 1, 最小值是1 8,求 a 的值. 解由题意知 f(x)1 2(log ax1)(logax2) 1 2(log 2 ax3logax2) 1 2 logax3 2 2 1 8. 当 f(x)取最小值1 8时,log ax3 2. 又x2,8,a(0,1). f(x)是关于 logax 的二次函数, 函数 f(x)的最大值必在 x2 或 x8 时取得. 若1 2 loga23 2 2 1 81,则 a2 1 3, 此时 f(x)取得最小值时,x(21 3) 3 2 22,8,舍去. 若1 2 loga83 2 2 1 81,则 a 1 2, 此时 f(x)取得最小值时,x 1 2 3 22 22,8, 符合题意,a1 2.