1、第第 7 讲讲抛物线抛物线 一、选择题 1.(2016全国卷)设 F 为抛物线 C：y24x 的焦点，曲线 yk x(k0)与 C 交于点 P，PFx 轴，则 k() A.1 2 B.1C.3 2 D.2 解析由题可知抛物线的焦点坐标为(1，0)， 由 PFx 轴知，|PF|2，所以 P 点的坐标为(1，2). 代入曲线 yk x(k0)得 k2，故选 D. 答案D 2.点 M(5，3)到抛物线 yax2(a0)的准线的距离为 6，那么抛物线的方程是 () A.y12x2B.y12x2或 y36x2 C.y36x2D.y 1 12x 2或 y1 36x 2 解析分两类 a0，a0)的焦点为 F
2、，其准线与双曲线 y2x2 1 相交于 A，B 两点，若ABF 为等边三角形，则 p_. 解析y22px 的准线为 xp 2 .由于ABF 为等边三角形.因此不妨设 A p 2， p 3 ， B p 2， p 3 ， 又点 A， B 在双曲线 y2x21 上， 从而p 2 3 p 2 4 1， 所以 p2 3. 答案2 3 三、解答题 9.(2016江苏卷)如图，在平面直角坐标系 xOy 中，已知直线 l： xy20，抛物线 C：y22px(p0). (1)若直线 l 过抛物线 C 的焦点，求抛物线 C 的方程； (2)已知抛物线 C 上存在关于直线 l 对称的相异两点 P 和 Q. 求证：线
3、段 PQ 的中点坐标为(2p，p)； 求 p 的取值范围. (1)解l：xy20，l 与 x 轴的交点坐标为(2，0). 即抛物线的焦点为(2，0)，p 22，p4. 抛物线 C 的方程为 y28x. (2)证明设点 P(x1，y1)，Q(x2，y2). 则 y212px1， y222px2，则 x1y 2 1 2p， x2y 2 2 2p， kPQ y1y2 y21 2p y22 2p 2p y1y2， 又P，Q 关于 l 对称.kPQ1，即 y1y22p， y1y2 2 p，又PQ 的中点一定在 l 上， x1x2 2 y1y2 2 22p. 线段 PQ 的中点坐标为(2p，p). 解PQ
4、 的中点为(2p，p)， y1y22p， x1x2y 2 1y22 2p 42p， 即 y1y22p， y21y228p4p2， y1y22p， y1y24p24p， 即关于 y 的方程 y22py4p24p0，有两个不等实根.0. 即(2p)24(4p24p)0，解得 0p4 3， 故所求 p 的范围为 0，4 3 . 10.已知抛物线 y22px(p0)的焦点为 F，A(x1，y1)，B(x2，y2)是过 F 的直线与 抛物线的两个交点，求证： (1)y1y2p2，x1x2p 2 4 ； (2) 1 |AF| 1 |BF|为定值； (3)以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 证明(1)
5、由已知得抛物线焦点坐标为(p 2，0). 由题意可设直线方程为 xmyp 2，代入 y 22px， 得 y22p(myp 2)，即 y 22pmyp20.(*) 则 y1，y2是方程(*)的两个实数根， 所以 y1y2p2. 因为 y212px1，y222px2，所以 y21y224p2x1x2， 所以 x1x2y 2 1y22 4p2 p4 4p2 p2 4 . (2) 1 |AF| 1 |BF| 1 x1p 2 1 x2p 2 x1x2p x1x2p 2（x 1x2）p 2 4 . 因为 x1x2p 2 4 ，x1x2|AB|p，代入上式， 得 1 |AF| 1 |BF| |AB| p2
6、4 p 2（|AB|p） p2 4 2 p(定值). (3)设 AB 的中点为 M(x0，y0)，分别过 A，B 作准线的垂线，垂 足为 C，D，过 M 作准线的垂线，垂足为 N， 则|MN|1 2(|AC|BD|) 1 2(|AF|BF|) 1 2|AB|. 所以以 AB 为直径的圆与抛物线的准线相切. 11.(2017合肥模拟)已知抛物线 y22px(p0)的焦点弦 AB 的两端点坐标分别为 A(x1，y1)，B(x2，y2)，则y1y2 x1x2的值一定等于( ) A.4B.4C.p2D.p2 解析若焦点弦 ABx 轴，则 x1x2p 2，则 x 1x2p 2 4 ； 若焦点弦 AB 不
7、垂直于 x 轴，可设 AB：yk(xp 2)， 联立 y22px 得 k2x2(k2p2p)xp 2k2 4 0， 则 x1x2p 2 4 .又 y212px1，y222px2， y21y224p2x1x2p4，又y1y20，y1y2p2. 故y1y2 x1x24. 答案A 12.(2016四川卷)设 O 为坐标原点，P 是以 F 为焦点的抛物线 y22px(p0)上任 意一点，M 是线段 PF 上的点，且|PM|2|MF|，则直线 OM 的斜率的最大值 为() A. 3 3 B.2 3 C. 2 2 D.1 解析如图， 由题可知 F p 2，0，设 P 点坐标为 y20 2p，y 0 (y0
8、0)， 则OM OF FM OF 1 3FP OF 1 3(OP OF )1 3OP 2 3OF y20 6p p 3， y0 3 ， kOM y0 3 y20 6p p 3 2 y0 p 2p y0 2 2 2 2 2 ，当且仅当 y202p2等号成立.故选 C. 答案C 13.(2016湖北七校联考)已知抛物线方程为 y24x，直线 l 的方程为 2xy4 0，在抛物线上有一动点 A，点 A 到 y 轴的距离为 m，到直线 l 的距离为 n， 则 mn 的最小值为_. 解析如图，过 A 作 AHl，AN 垂直于抛物线的准线，则|AH|AN|mn 1，连接 AF，则|AF|AH|mn1，由平
9、面几何知识，知当 A，F，H 三点 共线时，|AF|AH|mn1 取得最小值，最小值为 F 到直线 l 的距离，即 6 5 6 5 5 ，即 mn 的最小值为6 5 5 1. 答案 6 5 5 1 14.(2017南昌模拟)已知抛物线 C1：y24x 和 C2：x22py(p0)的焦点分别为 F1，F2，点 P(1，1)，且 F1F2OP(O 为坐标原点). (1)求抛物线 C2的方程； (2)过点 O 的直线交 C1的下半部分于点 M， 交 C2的左半部分于点 N， 求PMN 面积的最小值. 解(1)由题意知 F1(1，0)，F2 0，p 2 ， F1F2 1，p 2 ， F1F2OP，F1
10、F2 OP 1，p 2 (1，1)1p 20， p2，抛物线 C2的方程为 x24y. (2)设过点 O 的直线为 ykx(k0)， 联立 ykx， y24x 得 M 4 k2， 4 k ， 联立 ykx. x24y得 N(4k，4k 2)， 从而|MN| 1k2| 4 k24k| 1k2 4 k24k， 又点 P 到直线 MN 的距离 d |k1| 1k2， 进而 SPMN1 2 |k1| 1k2 1k 2 4 k24k 2（1k） （1k 3） k2 2（1k） 2（1kk2） k2 2 k1 k2 k 1 k1， 令 tk1 k(t2)， 则有 SPMN2(t2)(t1)， 当 t2 时，此时 k1，SPMN取得最小值. 即当过点 O 的直线为 yx 时，PMN 面积的最小值为 8.
