1、第第 2 课时课时定点、定值、范围、最值问题定点、定值、范围、最值问题 一、选择题 1.设抛物线 y28x 的准线与 x 轴交于点 Q，若过点 Q 的直线 l 与抛物线有公共 点，则直线 l 的斜率的取值范围是() A. 1 2， 1 2B.2，2 C.1，1D.4，4 解析Q(2，0)，设直线 l 的方程为 yk(x2)，代入抛物线方程，消去 y 整 理得 k2x2(4k28)x4k20，由(4k28)24k24k264(1k2)0，解得 1k1. 答案C 2.(2017石家庄模拟)已知 P 为双曲线 C： x2 9 y 2 161 上的点， 点 M 满足|OM |1， 且OM PM 0，则
2、当|PM |取得最小值时点 P 到双曲线 C 的渐近线的距离为 () A.9 5 B.12 5 C.4D.5 解析由OM PM 0，得 OMPM，根据勾股定理，求|MP|的最小值可以转 化为求|OP|的最小值，当|OP|取得最小值时，点 P 的位置为双曲线的顶点(3， 0)，而双曲线的渐近线为 4x3y0，所求的距离 d12 5 ，故选 B. 答案B 3.已知椭圆 C 的方程为x 2 16 y2 m21(m0)，如果直线 y 2 2 x 与椭圆的一个交点 M 在 x 轴上的射影恰好是椭圆的右焦点 F，则 m 的值为() A.2B.2 2C.8D.2 3 解析根据已知条件得 c 16m2，则点(
3、 16m2， 2 2 16m2)在椭圆x 2 16 y2 m21(m0)上， 16m 2 16 16m 2 2m2 1，可得 m2 2. 答案B 4.若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线与抛物线 yx 22 有公共点，则此 双曲线的离心率的取值范围是() A.3，)B.(3，) C.(1，3D.(1，3) 解析依题意可知双曲线渐近线方程为 yb ax，与抛物线方程联立消去 y 得 x2b ax20. 渐近线与抛物线有交点， b 2 a280，求得 b 28a2， c a2b23a，ec a3. 答案A 5.(2016丽水一模)斜率为 1 的直线 l 与椭圆x 2 4 y21
4、 相交于 A，B 两点，则|AB| 的最大值为() A.2B.4 5 5 C.4 10 5 D.8 10 5 解析设 A，B 两点的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)， 直线 l 的方程为 yxt，由 x24y24， yxt 消去 y， 得 5x28tx4(t21)0， 则 x1x28 5t，x 1x24（t 21） 5 . |AB| 1k2|x1x2| 1k2 （x1x2）24x1x2 2 8 5t 2 44（t 21） 5 4 2 5 5t2， 当 t0 时，|AB|max4 10 5 . 答案C 二、填空题 6.已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线方程是
5、y 3x，它的一个焦 点与抛物线 y216x 的焦点相同，则双曲线的方程为_. 解析由条件知双曲线的焦点为(4，0)， 所以 a2b216， b a 3， 解得 a2，b2 3， 故双曲线方程为x 2 4 y 2 121. 答案 x2 4 y 2 121 7.已知动点 P(x， y)在椭圆x 2 25 y2 161 上， 若 A 点坐标为(3， 0)， |AM |1， 且PM AM 0，则|PM |的最小值是_. 解析PM AM 0，AM PM . |PM |2|AP |2|AM |2|AP |21， 椭圆右顶点到右焦点 A 的距离最小， 故|AP |min2，|PM |min 3. 答案3
6、8.(2017平顶山模拟)若双曲线x2y 2 b21(b0)的一条渐近线与圆x 2(y2)21 至多有一个公共点，则双曲线离心率的取值范围是_. 解析双曲线的渐近线方程为 ybx，则有 |02| 1b21，解得 b 23，则 e21 b24，e1，1e2. 答案(1，2 三、解答题 9.如图，椭圆 E：x 2 a2 y2 b21(ab0)的离心率是 2 2 ，点 P(0，1) 在短轴 CD 上，且PC PD 1. (1)求椭圆 E 的方程； (2)设 O 为坐标原点，过点 P 的动直线与椭圆交于 A，B 两点.是否存在常数， 使得OA OB PA PB为定值？若存在，求的值；若不存在，请说明理
7、由. 解(1)由已知，点 C，D 的坐标分别为(0，b)，(0，b). 又点 P 的坐标为(0，1)，且PC PD 1， 于是 1b21， c a 2 2 ， a2b2c2. 解得 a2，b 2. 所以椭圆 E 方程为x 2 4 y 2 2 1. (2)当直线 AB 的斜率存在时， 设直线 AB 的方程为 ykx1， A，B 的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2). 联立 x2 4 y 2 2 1， ykx1， 得(2k21)x24kx20. 其判别式(4k)28(2k21)0， 所以，x1x2 4k 2k21，x 1x2 2 2k21. 从而， OA OB PA PBx1x2y1y2 x
8、1x2(y11)(y21) (1)(1k2)x1x2k(x1x2)1 （24）k 2（21） 2k21 1 2k212. 所以，当1 时， 1 2k2123. 此时， OA OB PA PB3 为定值. 当直线 AB 斜率不存在时，直线 AB 即为直线 CD， 此时OA OB PA PBOC OD PC PD 213， 故存在常数1，使得OA OB PA PB为定值3. 10.(2016浙江卷)如图，设椭圆x 2 a2y 21(a1). (1)求直线 ykx1 被椭圆截得的线段长(用 a，k 表示)； (2)若任意以点 A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点， 求椭圆离心率的取值范围
9、. 解(1)设直线 ykx1 被椭圆截得的线段为 AM， 由 ykx1， x2 a2y 21，得(1a2k2)x2 2a2kx0. 故 x10，x2 2a2k 1a2k2， 因此|AM| 1k2|x1x2| 2a2|k| 1a2k2 1k 2. (2)假设圆与椭圆的公共点有 4 个， 由对称性可设 y 轴左侧的椭圆上有两个不同 的点 P，Q，满足|AP|AQ|. 记直线 AP，AQ 的斜率分别为 k1，k2，且 k1，k20，k1k2. 由(1)知|AP|2a 2|k1| 1k2 1 1a2k21 ，|AQ|2a 2|k2| 1k2 2 1a2k22 ， 故2a 2|k1| 1k2 1 1a2
10、k21 2a 2|k2| 1k2 2 1a2k22 ， 所以(k21k22)1k21k22a2(2a2)k21k220. 由于 k1k2，k1，k20 得 1k21k22a2(2a2)k21k220， 因此 1 k211 1 k2211a2(a22)， 因为式关于 k1，k2的方程有解的充要条件是 1a2(a22)1，所以 a 2. 因此，任意以点 A(0，1)为圆心的圆与椭圆至多有 3 个公共点的充要条件为 1 a 2， 由 ec a a21 a 得，所求离心率的取值范围是 0， 2 2 . 11.(2016湖南师大附中月考)设双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线
11、 与抛物线 y2x 的一个交点的横坐标为 x0，若 x01，则双曲线 C 的离心率 e 的取值范围是() A. 1， 6 2B.( 2，) C.(1， 2)D. 6 2 ， 解析不妨联立 yb ax 与 y 2x 的方程，消去 y 得b2 a2x 2x，由 x01 知b2 a21， 即c 2a2 a2 1，故 e22，又 e1，所以 1e 2，故选 C. 答案C 12.(2017河南省八市质检)已知双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的离心率为 2，它 的两条渐近线与抛物线 y22px(p0)的准线分别交于 A，B 两点，O 为坐标 原点.若AOB 的面积为 3，则抛物线的准线方程为
12、() A.x2B.x2 C.x1D.x1 解析因为 ec a2，所以 c2a，b 3a，双曲线的渐近线方程为 y 3x， 又抛物线的准线方程为 xp 2， 联立双曲线的渐近线方程和抛物线的准线方程 得 A p 2， 3p 2，B p 2， 3p 2，在AOB 中，|AB| 3p，点 O 到 AB 的距 离为p 2，所以 1 2 3p p 2 3，所以 p2，所以抛物线的准线方程为 x1， 故选 D. 答案D 13.(2017绵阳诊断)若点 O 和点 F 分别为椭圆x 2 9 y 2 8 1 的中点和左焦点，点 P 为椭圆上的任一点，则OP FP 的最小值为_. 解析点 P 为椭圆x 2 9 y
13、 2 8 1 上的任意一点，设 P(x，y)(3x3，2 2y 2 2)，依题意得左焦点 F(1，0)，OP (x，y)，FP (x1，y)，OP FP x(x1)y2x2x728x 2 9 1 9 x9 2 2 23 4 . 3x3， 3 2x 9 2 15 2 ，9 4 x9 2 2 225 4 ， 1 4 1 9 x9 2 2 225 36 ，61 9 x9 2 2 23 4 12，即 6OP FP 12，故最小值 为 6. 答案6 14.(2017衡水中学高三联考)已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)短轴的两个顶点与 右焦点的连线构成等边三角形， 直线 3x4y60 与圆
14、 x2(yb)2a2相切. (1)求椭圆 C 的方程； (2)已知过椭圆 C 的左顶点 A 的两条直线 l1，l2分别交椭圆 C 于 M，N 两点，且 l1l2，求证：直线 MN 过定点，并求出定点坐标； (3)在(2)的条件下求AMN 面积的最大值. 解(1)由题意，得 a2b， |4b6| 5 a， a2， b1， 即 C：x 2 4 y21. (2)由题意得直线 l1，l2的斜率存在且不为 0. A(2，0)，设 l1：xmy2，l2：x1 my2， 由 xmy2， x24y240，得(m 24)y24my0， M 2m28 m24 ， 4m m24 .同理，N 28m2 4m21， 4m 4m21 . m1 时，kMN 5m 4（m21）， lMN：y 5m 4（m21） x6 5 .此时过定点 6 5，0. m1 时，lMN：x6 5，过点 6 5，0. lMN恒过定点 6 5，0. (3)由(2)知 SAMN1 2 4 5|y MyN| 2 5| 4m m24 4m 4m21|8| m3m 4m417m24| 8|m 1 m| 4 m1 m 2 9 8 4|m 1 m| 9 |m 1 m| . 令 t|m 1 m|2，当且仅当 m1 时取等号， SAMN16 25，且当 m1 时取等号. (SAMN)max16 25.
