1、专题探究课五专题探究课五高考中解析几何问题的热点题型高考中解析几何问题的热点题型 1.(2015全国卷)在直角坐标系 xOy 中，曲线 C：yx 2 4 与直线 l：ykxa(a0) 交于 M，N 两点， (1)当 k0 时，分别求 C 在点 M 和 N 处的切线方程； (2)y 轴上是否存在点 P，使得当 k 变动时，总有OPMOPN？说明理由. 解(1)由题设可得 M(2 a，a)，N(2 a，a)， 或 M(2 a，a)，N(2 a，a). 又 yx 2，故 y x2 4 在 x2a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 y a a(x2 a)， 即axya0. yx 2
2、 4 在 x2a处的导数值为 a，C 在点(2 a，a)处的切线方程为 ya a(x2 a)， 即axya0. 故所求切线方程为axya0 和axya0. (2)存在符合题意的点，证明如下： 设 P(0，b)为符合题意的点，M(x1，y1)，N(x2，y2)，直线 PM，PN 的斜率分别为 k1，k2. 将 ykxa 代入 C 的方程得 x24kx4a0. 故 x1x24k，x1x24a. 从而 k1k2y1b x1 y2b x2 2kx1x2（ab） （x1x2） x1x2 k（ab） a . 当 ba 时，有 k1k20， 则直线 PM 的倾斜角与直线 PN 的倾斜角互补， 故OPMOPN
3、，所以点 P(0，a)符合题意. 2.(2016北京卷)已知椭圆 C：x 2 a2 y2 b21 过点 A(2，0)，B(0，1)两点. (1)求椭圆 C 的方程及离心率； (2)设 P 为第三象限内一点且在椭圆 C 上，直线 PA 与 y 轴交于点 M，直线 PB 与 x 轴交于点 N，求证：四边形 ABNM 的面积为定值. (1)解由题意知 a2，b1. 所以椭圆方程为x 2 4 y21，又 c a2b2 3. 所以椭圆离心率 ec a 3 2 . (2)证明设 P 点坐标为(x0，y0)(x00，y00)，则 x204y204，由 B 点坐标(0，1) 得直线 PB 方程为：y1y01
4、x0 (x0)， 令 y0，得 xN x0 1y0，从而|AN|2x N2 x0 y01， 由 A 点坐标(2，0)得直线 PA 方程为 y0 y0 x02(x2)， 令 x0，得 yM 2y0 2x0， 从而|BM|1yM1 2y0 x02， 所以 S四边形ABNM1 2|AN|BM| 1 2 2 x0 y01 1 2y0 x02 x 2 04y204x0y04x08y04 2（x0y0 x02y02） 2x0y02x04y04 x0y0 x02y02 2. 即四边形 ABNM 的面积为定值 2. 3.已知中心在坐标原点， 焦点在 x 轴上的椭圆过点 P(2， 3)， 且它的离心率 e1 2
5、. (1)求椭圆的标准方程； (2)与圆(x1)2y21 相切的直线 l：ykxt 交椭圆于 M，N 两点，若椭圆上一 点 C 满足OM ON OC ，求实数的取值范围. 解(1)设椭圆的标准方程为x 2 a2 y2 b21(ab0)， 由已知得： 4 a2 3 b21， c a 1 2， c2a2b2， 解得 a28， b26， 所以椭圆的标准方程为x 2 8 y 2 6 1. (2)因为直线 l：ykxt 与圆(x1)2y21 相切， 所以 |tk| 1k212k 1t2 t (t0)， 把 ykxt 代入x 2 8 y 2 6 1 并整理得： (34k2)x28ktx(4t224)0，
6、设 M(x1，y1)，N(x2，y2)，则有 x1x2 8kt 34k2， y1y2kx1tkx2tk(x1x2)2t 6t 34k2， 因为OC (x1x2，y1y2)， 所以 C 8kt （34k2）， 6t （34k2） ， 又因为点 C 在椭圆上，所以， 8k2t2 （34k2）22 6t2 （34k2）221 2 2t2 34k2 2 1 t2 2 1 t21 ， 因为 t20，所以 1 t2 2 1 t211， 所以 022，所以的取值范围为( 2，0)(0， 2). 4.已知椭圆 C 的方程为：x22y24. (1)求椭圆 C 的离心率； (2)设 O 为坐标原点，若点 A 在直
7、线 y2 上，点 B 在椭圆 C 上，且 OAOB， 求线段 AB 长度的最小值. 解(1)由题意，椭圆 C 的标准方程为x 2 4 y 2 2 1， 所以 a24，b22，从而 c2a2b22. 因此 a2，c 2. 故椭圆 C 的离心率 ec a 2 2 . (2)设点 A，B 的坐标分别为(t，2)，(x0，y0)，其中 x00. 因为 OAOB，则OA OB 0， 所以 tx02y00，解得 t2y0 x0 . 又 x202y204， 所以|AB|2(x0t)2(y02)2 x02y0 x0 2 (y02)2 x20y204y 2 0 x20 4x204x 2 0 2 2（4x 2 0
8、） x20 4x 2 0 2 8 x204(0 x 2 04) 因为x 2 0 2 8 x204(01)的上顶点为 A，右焦点为 F，直线 AF 与圆 M：x2y26x2y70 相切. (1)求椭圆 C 的方程； (2)若不过点 A 的动直线 l 与椭圆 C 相交于 P，Q 两点，且AP AQ 0，求证：直 线 l 过定点，并求出该定点 N 的坐标. (1)解将圆 M 的一般方程 x2y26x2y70 化为标准方程为(x3)2(y 1)23， 圆 M 的圆心为 M(3，1)，半径 r 3. 由 A(0，1)，F(c，0)(c a21)得直线 AF：x cy1， 即 xcyc0. 由直线 AF
9、与圆 M 相切，得|3cc| c21 3. c 2或 c 2(舍去). a 3，椭圆 C 的方程为x 2 3 y21. (2)证明由AP AQ 0，知 APAQ，从而直线 AP 与坐标轴不垂直， 由 A(0， 1)可设直线 AP 的方程为 ykx1， 直线 AQ 的方程为 y1 kx1(k0)， 将 ykx1 代入椭圆 C 的方程x 2 3 y21 并整理得： (13k2)x26kx0， 解得 x0 或 x 6k 13k2， 因此 P 的坐标为 6k 13k2， 6k2 13k21， 即 6k 13k2， 13k2 13k2. 将上式中的 k 换成1 k，得 Q 6k k23， k23 k23
10、 . 直线 l 的方程为 y k23 k23 13k2 13k2 6k k23 6k 13k2 x 6k k23 k 23 k23， 化简得直线 l 的方程为 yk 21 4k x1 2. 因此直线 l 过定点 N 0，1 2 . 6.(2015山东卷)平面直角坐标系 xOy 中， 已知椭圆 C： x2 a2 y2 b21(ab0)的离心 率为 3 2 ，且点 3，1 2 在椭圆 C 上. (1)求椭圆 C 的方程； (2)设椭圆 E： x2 4a2 y2 4b21，P 为椭圆 C 上任意一点，过点 P 的直线 ykxm 交 椭圆 E 于 A，B 两点，射线 PO 交椭圆 E 于点 Q. ()
11、求|OQ| |OP|的值； ()求ABQ 面积的最大值. 解(1)由题意知 3 a2 1 4b21.又 a2b2 a 3 2 ， 解得 a24，b21. 所以椭圆 C 的方程为x 2 4 y21. (2)由(1)知椭圆 E 的方程为x 2 16 y2 4 1. ()设 P(x0，y0)，|OQ| |OP|，由题意知 Q(x 0，y0). 因为x 2 0 4 y201， 又（x0） 2 16 （y0） 2 4 1，即 2 4 x20 4 y20 1， 所以2，即|OQ| |OP|2. ()设 A(x1，y1)，B(x2，y2). 将 ykxm 代入椭圆 E 的方程，可得(14k2)x28kmx4
12、m2160， 由0，可得 m2416k2， 则有 x1x2 8km 14k2，x 1x24m 216 14k2 . 所以|x1x2|4 16k 24m2 14k2 . 因为直线 ykxm 与 y 轴交点的坐标为(0，m)， 所以OAB 的面积 S1 2|m|x 1x2|2 16k 24m2|m| 14k2 2 （16k 24m2）m2 14k2 2 4 m2 14k2 m2 14k2. 设 m2 14k2t，将 ykxm 代入椭圆 C 的方程， 可得(14k2)x28kmx4m240， 由0，可得 m214k2. 由可知 0t1， 因此 S2 （4t）t2 t24t，故 S2 3， 当且仅当 t1， 即 m214k2时取得最大值 2 3. 由()知，ABQ 面积为 3S， 所以ABQ 面积的最大值为 6 3.
