1、第第 3 讲讲定积分与微积分基本定理定积分与微积分基本定理 一、选择题 1.(2017西安调研)定积分错误错误!(2xex)dx 的值为() A.e2B.e1C.eD.e1 解析错误错误!(2xex)dx(x2ex)| 1 0)1e 11e.故选 C. 答案C 2.若错误错误! 2x1 x dx3ln 2(a1)，则 a 的值是() A.2B.3C.4D.6 解析错误错误! 2x1 x dx(x2ln x)| a 1a 2ln a1， a2ln a13ln 2，则 a2. 答案A 3.从空中自由下落的一物体，在第一秒末恰经过电视塔顶，在第二秒末物体落 地，已知自由落体的运动速度为 vgt(g
2、为常数)，则电视塔高为() A.1 2g B.gC.3 2g D.2g 解析电视塔高 h错误错误!gtdt 1 2gt 2 |213 2g. 答案C 4.如图所示，曲线 yx21，x2，x0，y0 围成的阴影 部分的面积为() A.错误错误!|x21|dx B.错误错误! C.错误错误!(x21)dx D.错误错误!(x21)dx错误错误!(1x2)dx 解析由曲线 y|x21|的对称性知，所求阴影部分的面积与如下图形的面积 相等，即错误错误!|x21|dx. 答案A 5.若 S1错误错误!x2dx，S2错误错误!1 xdx，S 3错误错误!exdx，则 S1，S2，S3的大小关系为 () A
3、.S1S2S3B.S2S1S3 C.S2S3S1D.S3S20，若错误错误!(2x2)dx8，则 t_. 解析由错误错误!(2x2)dx8 得， (x22x) | t 0t 22t8， 解得 t4 或 t2(舍 去). 答案4 7.已知二次函数 yf(x)的图象如图所示，则它与 x 轴所围成的 面积为_. 解析根据 f(x)的图象可设 f(x)a(x1)(x1)(a0，若曲线 y x与直线 xa，y0 所围成封闭图形的 面积为 a2，则 a_. 解析封闭图形如图所示， 则错误错误!xdx2 3a 3 2 0a2，解得 a4 9. 答案 4 9 三、解答题 9.计算下列定积分： (1)错误错误!
4、 x1 x dx； (2)错误错误!x22xdx； (3)2sin x 4 dx； (4)错误错误!(x2tan xx31)dx； (5)错误错误!|x22x|dx. 解(1)原式 1 2x 2ln x | 2 1 1 22 2ln 2 1 2ln 13 2ln 2； (2)由定积分的几何意义知，所求定积分是由 x0，x2，y x22x，以及 x 轴围成的图象的面积， 即圆(x1)2y21 的面积的一半， 错误错误!x22x 2 ； (3)原式(sin xcos x)dx(cos xsin x) cos 2 sin 2 (cos 0sin 0)2； (4)原式错误错误!(x2tan xx3)d
5、x错误错误!1dx0 x| 1 -12； (5)|x22x| x22x，2x0， x22x，0 x2， 错误错误!|x22x|dx 错误错误!(x22x)dx 错误错误!(x22x)dx 1 3x 3x2 | 0 -2 1 3x 3x2 | 2 08. 10.求曲线 yx2，直线 yx，y3x 围成的图形的面积. 解作出曲线 yx2，直线 yx，y3x 的图象，所求面积为 图中阴影部分的面积. 解方程组 yx2， yx， 得交点(1，1)， 解方程组 yx2， y3x，得交点(3，9)， 因此，所求图形的面积为 S错误错误!(3xx)dx错误错误!(3xx2)dx 错误错误!2xdx错误错误!
6、(3xx2)dxx2| 1 0 3 2x 21 3x 3 | 3 1 1 3 23 21 33 3 3 21 21 31 3 13 3 . 11.若 f(x)x22错误错误!f(x)dx，则错误错误!f(x)dx() A.1B.1 3 C.1 3 D.1 解析由题意知 f(x)x22错误错误!f(x)dx， 设 m错误错误!f(x)dx，f(x)x22m， 错误错误!f(x)dx错误错误!(x22m)dx 1 3x 32mx | 1 0 1 32mm，m 1 3. 答案B 12.一辆汽车在高速公路上行驶，由于遇到紧急情况而刹车，以速度 v(t)73t 25 1t(t 的单位：s，v 的单位：m
7、/s)行驶至停止.在此期间汽车继续行驶的距 离(单位：m)是() A.125ln 5B.825ln 11 3 C.425ln 5D.450ln 2 解析令 v(t)0，得 t4 或 t8 3(舍去)， 汽车行驶距离 s错误错误! 73t 25 1t dt 7t3 2t 225ln（1t） | 4 0 282425ln 5425ln 5(m). 答案C 13.(2017郑州调研)错误错误!( 1x2ex1)dx_. 解析错误错误!( 1x2ex1)dx错误错误!1x2dx错误错误!(ex1)dx. 因为错误错误!1x2dx 表示单位圆的上半部分的面积， 则错误错误!1x2dx 2 ，又错误错误!
8、(ex1)dx(exx)|1 1 (e11)(e 11)e1 e2， 所以错误错误!( 1x2ex1)dx 2 e1 e2. 答案 2 e1 e2 14.在区间0， 1上给定曲线 yx2.试在此区间内确定点 t 的值， 使图中的阴影部分的面积 S1与 S2之和最小，并求最小值. 解S1面积等于边长分别为t 与 t2的矩形面积去掉曲线yx2 与 x 轴、直线 xt 所围成的面积，即 S1tt2错误错误!x2dx2 3t 3. S2的面积等于曲线 yx2与 x 轴，xt，x1 围成的面积去掉矩形边长分别为 t2，1t 的面积，即 S2错误错误!x2dxt2(1t)2 3t 3t21 3. 所以阴影部分的面积 S(t)S1S24 3t 3t21 3(0t1). 令 S(t)4t22t4t t1 2 0，得 t0 或 t1 2. t0 时，S(t)1 3；t 1 2时，S(t) 1 4；t1 时，S(t) 2 3. 所以当 t1 2时，S(t)最小，且最小值为 1 4.
