1、第第 4 讲讲数列求和数列求和 一、选择题 1.等差数列an的通项公式为 an2n1，其前 n 项和为 Sn，则数列 Sn n 的前 10 项的和为() A.120B.70C.75D.100 解析因为Sn n n2，所以 Sn n 的前 10 项和为 103109 2 75. 答案C 2.数列an的前 n 项和为 Sn，已知 Sn1234(1)n 1n，则 S17 () A.9B.8C.17D.16 解析S171234561516171(23)(45) (67)(1415)(1617)11119. 答案A 3.数列an的通项公式为 an(1)n 1(4n3)，则它的前 100 项之和 S100
2、 等于 () A.200B.200C.400D.400 解析S100(413)(423)(433)(41003)4(12) (34)(99100)4(50)200. 答案B 4.(2017高安中学模拟)已知数列 5，6，1，5，该数列的特点是从第二项 起， 每一项都等于它的前后两项之和， 则这个数列的前16项之和S16等于() A.5B.6C.7D.16 解析根据题意这个数列的前 7 项分别为 5，6，1，5，6，1，5，6， 发现从第 7 项起，数字重复出现，所以此数列为周期数列，且周期为 6，前 6 项和为 561(5)(6)(1)0. 又因为 16264，所以这个数列的前 16 项之和
3、S162077.故选 C. 答案C 5.已知数列an满足 a11，an1an2n(nN*)，则 S2 016() A.22 0161B.321 0083 C.321 0081D.321 0072 解析a11，a2 2 a12，又 an2an1 an1an 2 n1 2n 2.an 2 an 2.a1，a3，a5，成 等比数列；a2，a4，a6，成等比数列， S2 016a1a2a3a4a5a6a2 015a2 016 (a1a3a5a2 015)(a2a4a6a2 016) 12 1 008 12 2（12 1 008） 12 321 0083.故选 B. 答案B 二、填空题 6.(2017保
4、定模拟)有穷数列 1，12，124，1242n 1 所有项 的和为_. 解析由题意知所求数列的通项为12 n 12 2n1，故由分组求和法及等比数列 的求和公式可得和为2（12 n） 12 n2n 12n. 答案2n 12n 7.(2016宝鸡模拟)数列an满足 anan11 2(nN *)，且 a11，Sn是数列an 的前 n 项和，则 S21_. 解析由 anan11 2a n1an2，an2an， 则 a1a3a5a21，a2a4a6a20， S21a1(a2a3)(a4a5)(a20a21) 1101 26. 答案6 8.(2017安阳二模)已知数列an中，an4n5，等比数列bn的公
5、比 q 满足 q anan1(n2)且 b1a2，则|b1|b2|b3|bn|_. 解析由已知得 b1a23， q4， bn(3)(4)n 1， |bn|34n1， 即|bn|是以 3 为首项， 4 为公比的等比数列， |b1|b2|bn|3（14 n） 14 4n1. 答案4n1 三、解答题 9.(2016北京卷)已知an是等差数列，bn是等比数列，且 b23，b39，a1 b1，a14b4. (1)求an的通项公式； (2)设 cnanbn，求数列cn的前 n 项和. 解(1)设等差数列an的公差为 d，等比数列bn的公比为 q， 由 b2b1q3， b3b1q29 得 b11， q3.
6、bnb1qn 13n1， 又 a1b11，a14b434 127， 1(141)d27，解得 d2. ana1(n1)d1(n1)22n1(n1，2，3，). (2)由(1)知 an2n1，bn3n 1，因此 cnanbn2n13n1. 从而数列cn的前 n 项和 Sn13(2n1)133n 1 n（12n1） 2 13 n 13 n23 n1 2 . 10.(2017贵阳一模)已知数列an的前 n 项和是 Sn，且 Sn1 2a n1(nN*). (1)求数列an的通项公式； (2)设 bnlog 1 3 (1Sn1)(nN*)，令 Tn 1 b1b2 1 b2b3 1 bnbn1，求 T
7、n. 解(1)当 n1 时，a1S1， 由 S11 2a 11，得 a12 3， 当 n2 时，Sn11 2a n，Sn111 2a n1， 则 SnSn11 2(a n1an)，即 an1 2(a n1an)， 所以 an1 3a n1(n2). 故数列an是以2 3为首项， 1 3为公比的等比数列. 故 an2 3 1 3 n1 2 1 3 n (nN*). (2)因为 1Sn1 2a n 1 3 n . 所以 bnlog 1 3 (1Sn1)log 1 3 1 3 n1 n1， 因为 1 bnbn1 1 （n1） （n2） 1 n1 1 n2， 所以 Tn 1 b1b2 1 b2b3 1
8、 bnbn1 1 2 1 3 1 3 1 4 1 n1 1 n2 1 2 1 n2 n 2（2n2）. 11.(2016 郑 州 模 拟 ) 已 知 数 列 an 的 通 项 公 式 为an 1 （n1） nn n1(nN *)，其前 n 项和为 Sn，则在数列 S1，S2，S2 016 中，有理数项的项数为() A.42B.43 C.44D.45 解析an 1 （n1） nn n1 （n1） nn n1 （n1） nn n1（n1） nn n1 n n n1 n1 . 所以 Sn1 2 2 2 2 3 3 3 3 4 4 n n n1 n1 1 n1 n1 ， 因此 S3，S8，S15为有理
9、项，又下标 3，8，15，的通项公式为 n21(n2)， 所以 n212 016，且 n2， 所以 2n44，所以有理项的项数为 43. 答案B 12.(2017济南模拟)在数列an中，an1(1)nan2n1，则数列an的前 12 项和等于() A.76B.78 C.80D.82 解析因为 an1(1)nan2n1，所以 a2a11， a3a23，a4a35，a5a47，a6a59，a7a611，a11a1019， a12a1121，所以 a1a32，a4a28，a12a1040， 所以从第一项开始，依次取两个相邻奇数项的和都等于 2，从第二项开始，依 次取两个相邻偶数项的和构成以 8 为首
10、项，以 16 为公差的等差数列，以上式 相加可得，S12a1a2a3a12(a1a3)(a5a7)(a9a11)(a2a4) (a6a8)(a10a12)328244078. 答案B 13.设 f(x) 4x 4x2，若 Sf 1 2 015 f 2 2 015 f 2 014 2 015 ，则 S_. 解析f(x) 4x 4x2， f(1x) 41 x 41 x2 2 24x， f(x)f(1x) 4x 4x2 2 24x1. Sf 1 2 015 f 2 2 015 f 2 014 2 015 ， Sf 2 014 2 015 f 2 013 2 015 f 1 2 015 ， 得， 2S
11、 f 1 2 015 f 2 014 2 015 f 2 2 015 f 2 013 2 015 f 2 014 2 015 f 1 2 0152 014， S2 014 2 1 007. 答案1 007 14.(2015山东卷)已知数列an是首项为正数的等差数列，数列 1 anan1的前 n 项和为 n 2n1. (1)求数列an的通项公式； (2)设 bn(an1)2an，求数列bn的前 n 项和 Tn. 解(1)设数列an的公差为 d， 令 n1，得 1 a1a2 1 3， 所以 a1a23. 令 n2，得 1 a1a2 1 a2a3 2 5， 所以 a2a315. 解得 a11，d2，所以 an2n1. (2)由(1)知 bn2n22n 1n4n， 所以 Tn141242n4n， 所以 4Tn142243n4n 1， 两式相减，得3Tn41424nn4n 1 4（14 n） 14 n4n 113n 3 4n 14 3. 所以 Tn3n1 9 4n 14 9 4（3n1）4n 1 9 .
