1、第第 4 讲讲幂函数与二次函数幂函数与二次函数 一、选择题 1.(2017郑州外国语学校期中)已知1，1，2，3，则使函数 yx 的值域 为 R，且为奇函数的所有的值为() A.1，3B.1，1 C.1，3D.1，1，3 解析因为函数 yx 为奇函数，故的可能值为1，1，3.又 yx1 的值域为 y|y0，函数 yx，yx3的值域都为 R.所以符合要求的的值为 1，3. 答案A 2.已知 a，b，cR，函数 f(x)ax2bxc.若 f(0)f(4)f(1)，则() A.a0，4ab0B.a0，2ab0D.af(1)，所以函数图象应开口向上，即 a0，且其对称轴为 x2，即 b 2a2，所以
2、4ab0. 答案A 3.在同一坐标系内，函数 yxa(a0)和 yax1 a的图象可能是( ) 解析若 a0，yxa的图象知排除 A，B 选项，但 yax1 a的图象均不适合，综 上选 B. 答案B 4.(2017焦作模拟)函数 f(x)x22axa 在区间(，1)上有最小值，则函数 g(x)f（x） x 在区间(1，)上一定() A.有最小值B.有最大值 C.是减函数D.是增函数 解析f(x)x22axa 在(，1)上有最小值，且 f(x)关于 xa 对称， a1). 若 a0，则 g(x)在(1，)上是增函数， 若 0a0 在区间(1，4)内有解，则实数 a 的取值范 围是() A.(，2
3、)B.(2，) C.(6，)D.(，6) 解析不等式 x24x2a0 在区间(1，4)内有解等价于 a(x24x2)max， 令 f(x)x24x2，x(1，4)， 所以 f(x)f(4)2，所以 a1 2 2 5，得 2 2 3 1 2 3 2 5 3 ，即 PRQ. 答案PRQ 7.若 f(x)x22ax 与 g(x) a x1在区间1，2上都是减函数，则 a 的取值范围 是_. 解析由 f(x)x22ax 在1，2上是减函数可得1，2a，)，a1. y 1 x1在(1，)上为减函数， 由 g(x) a x1在1，2上是减函数可得 a0， 故 00 时，f(x)(x1)2，若当 x 2，1
4、 2 时， nf(x)m 恒成立，则 mn 的最小值为_. 解析当 x0，f(x)f(x)(x1)2， x 2，1 2 ， f(x)minf(1)0，f(x)maxf(2)1， m1，n0，mn1.mn 的最小值是 1. 答案1 三、解答题 9.已知幂函数 f(x)x(m 2m)1(mN*)的图象经过点(2， 2)，试确定 m 的值，并 求满足条件 f(2a)f(a1)的实数 a 的取值范围. 解幂函数 f(x)的图象经过点(2， 2)， 22(m 2m)1，即 21 22 (m2m) 1 . m2m2.解得 m1 或 m2. 又mN*，m1.f(x)x 1 2， 则函数的定义域为0，)，并且
5、在定义域上为增函数. 由 f(2a)f(a1)得 2a0， a10， 2aa1， 解得 1a1，即 a1 2时， f(x)maxf(1)2a1， 2a11，即 a1 满足题意. 综上可知，a1 3或1. 11.(2016浙江卷)已知函数 f(x)x2bx，则“b0”是“f(f(x)的最小值与 f(x)的最 小值相等”的() A.充分不必要条件B.必要不充分条件 C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件 解析f(x)x2bx xb 2 2 b 2 4 ，当 xb 2时，f(x) minb 2 4 . 又 f(f(x)(f(x)2bf(x) f（x）b 2 2 b 2 4 ，当 f(x)b 2时，
6、f(f(x) minb 2 4 ， 当b 2 b2 4 时，f(f(x)可以取到最小值b 2 4 ，即 b22b0，解得 b0 或 b2， 故“b0，若 a，bR，且 a b0，则 f(a)f(b)的值() A.恒大于 0B.恒小于 0 C.等于 0D.无法判断 解析依题意，幂函数 f(x)在(0，)上是增函数， m2m11， 4m9m510，解得 m2，则 f(x)x 2 015. 函数 f(x)x2 015在 R 上是奇函数，且为增函数. 由 ab0，得 ab， f(a)f(b)，则 f(a)f(b)0. 答案A 13.已知函数 f(x) 2 x，x2， （x1）3，x2， 若关于 x 的方程 f(x)k 有两个不同的实 根，则实数 k 的取值范围是_. 解析作出函数 yf(x)的图象如图.则当 0k0，bR，cR). (1)若函数 f(x)的最小值是 f(1)0，且 c1， F(x) f（x） ，x0， f（x） ，x0， （x1）2，x0. F(2)F(2)(21)2(21)28. (2)由 a1，c0，得 f(x)x2bx， 从而|f(x)|1 在区间(0，1上恒成立等价于1x2bx1 在区间(0，1上恒成 立， 即 b1 xx 且 b 1 xx 在(0，1上恒成立. 又1 xx 的最小值为 0， 1 xx 的最大值为2. 2b0. 故 b 的取值范围是2，0.
