1、习题课函数模型的应用 第四章指数函数与对数函数 1.能自建确定性函数模型解决实际问题. 2.了解建立拟合函数模型的步骤，并了解检验和调整的必要性. 学 习 目 标 随堂演练课时对点练 一、建立函数模型解决实际问题 二、实际问题中的函数模型选择问题 内容索引 一、建立函数模型解决实际问题 例1某地规划对一片面积为a的沙漠进行治理，每年治理面积占上一 年底沙漠面积的百分比均为x(0 x1).当治理面积达到这片沙漠面积的 一半时，正好用了10年时间. (1)求x的值； 解由于每年治理面积占上一年底沙漠面积的百分比均为x(0 x1)， 解得 1 10 1 =1. 2 x - 解设从今年开始，还需治理n
2、年， 3 102 11 , 22 n 故至少还需治理15年. 反思感悟与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题 的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是 耐心读题、仔细理解题意，只有吃透题意，才能将实际问题转化为数 学模型进行解答. 跟踪训练1某化工厂生产一种溶液的成品，生产过程的最后工序是 过滤溶液中的杂质，过滤初期溶液含杂质为2%，每经过一次过滤均可 使溶液杂质含量减少一半，记过滤次数为x(xN*)时溶液杂质含量为y， (1)分别求出1次过滤、2次过滤以后的溶液杂质含量y1，y2的值； (参考数据：lg 20.301) (2)写出y与x的函数关系式(要求写出定
3、义域)； 解因为每经过一次过滤均可使溶液杂质含量减少一半， (3)按市场要求，出厂成品杂质含量不能超过0.02%，问至少经过几次 过滤才能使产品达到市场要求？ 解设至少应过滤x次才能使产品达到市场要求， 又xN*，所以x7， 即至少应过滤7次才能使产品达到市场要求. 二、实际问题中的函数模型选择问题 例2近年来，我国积极参与国际组织，承担国际责任，为国家进步、社 会发展、个人成才带来了更多机遇，因此，面临职业选择时，越来越多 的青年人选择通过创业、创新的方式实现人生价值.其中，某位大学生带 领其团队自主创业，通过直播带货的方式售卖特色农产品，下面为三年 来农产品销售量的统计表： 年份20172
4、0182019 销售量/万斤415583 结合国家支持大学生创业政策和农产品市场需求情况，该大学生提出了 2020年销售115万斤特色农产品的目标，经过创业团队所有队员的共同努 力，2020年实际销售123万斤，超额完成预定目标. (1)将2017,2018,2019,2020年分别定义为第1年、第2年、第3年、第4年， 现有两个函数模型：二次函数模型为f(x)ax2bxc(a0)；幂函数模 型为g(x)kx3mxn(k0).请你通过计算分析确定：选用哪个函数模型 能更好的反映该创业团队农产品的年销售量y与第x年的关系； 年份201720182019 销售量/万斤415583 解若选择二次函数
5、模型， 依题意，将前三年数据分别代入f(x)ax2bxc(a0)， 所以f(x)7x27x41. 将x4代入f(x)，得f(4)7427441125， 所以此与2020年实际销售量误差为1251232(万斤). 若选择幂函数模型， 依题意，将前三年数据分别代入g(x)kx3mxn(k0)， 所以此与2020年销售量的实际误差为1321239(万斤). 显然20，且a1)进行 拟合研究. (1)国际数据公司(IDC)预测2022年全球数据量将达到80.0 ZB，你认为依 据哪一个函数拟合更为合理； 年份2008200920102011 x(单位：年)0123 数据量(单位：ZB)0.490.81
6、.21.82 (参考数据：1.531070.29，1.5311107.55，1.5312164.55，1.5313 251.76) 解设2008,2009,2010,2011，2020年分别对应第1年，第2年，第3年， 第4年，第13年，设数据量为y，由已知列表如下： x123413 y0.490.81.21.8280.0 画出散点图如图： 由散点图知，5个点在一条曲线上， 应选择函数g(x)max. (2)设我国2022年的数据量为c ZB，根据拟合函数，请你估计我国的数据 量达到100c ZB约需要多少年？ 年份2008200920102011 x(单位：年)0123 数据量(单位：ZB)
7、0.490.81.21.82 解将数据(1,0.49)，(13,80.0)代入g(x)max中得， 所以g(x)0.321.53x， 由题意得c0.321.5313， 则100c0.321.53x， 解得x24， 所以我国的数据量达到100c ZB约需要11年. 1.知识清单： (1)建立函数模型解决实际问题. (2)实际问题中的函数模型选择问题. 2.方法归纳：转化法. 3.常见误区：对函数拟合效果的分析不能做出正确选择. 课堂小结 随堂演练 1.某种植物生长发育的数量y与时间x的关系如下表： 则下面的函数关系式中，拟合效果最好的是 A.y2x1 B.yx21 C.y2x1 D.y1.5x2
8、2.5x2 1234 x123 y138 2.若镭经过100年后剩留原来质量的95.76%，设质量为1的镭经过x年后剩 留量为y，则x，y的函数关系是 1234 100 0.9576 x y 100 10.0424 x y 解析设镭的衰变率为p， 则x，y的函数关系是y(1p)x， 当x100时，y0.957 6，即0.957 6(1p)100， 1234 解得 1 100 0.95761p 即 100 0.9576. x y 1234 1234 1 50 4 9 1 e kt ， 1 1 50 84 =e= , 279 t kt - 4.一个模具厂一年中12月份的产量是1月份产量的m倍，那么
9、该模具厂这 一年中产量的月平均增长率是_. 解析设每月的产量增长率为x,1月份产量为a， 则a(1x)11ma， 1234 课时对点练 基础巩固 12345678910 11 12 13 14 15 16 1.某种产品今年的产量是a，如果保持5%的年增长率，那么经过x年 (xN*)，该产品的产量y满足 A.ya(15%x) B.ya5% C.ya(15%)x1 D.ya(15%)x 解析今年产量为a，经过1年后产量为ya(15%)，经过2年后产量为 ya(15%)2，依此类推，经过x年后产量为ya(15%)x. 12345678910 11 12 13 14 15 16 2.中国茶文化博大精深
10、.茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关.经验表明，某 种绿茶用85 的水泡制，再等到茶水温度降至60 时饮用，可以产生最佳口 感. 为分析泡制一杯最佳口感茶水所需的时间，某研究人员每隔1 min测量一次 茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图.观察散点图的分布情况， 下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律 A.ymx2n(m0) B.ymxn(m0) C.ymaxn(m0，a0，a1) D.ymlogaxn(m0，a0，a1) 解析由函数图象可知符合条件的只有指数型函数模型. 3.某大型超市为了满足顾客对商品的购物需求，对超市的商品种类做了 一定的调整，结果调整初期利润
11、增长迅速，随着时间的推移，增长速 度越来越慢，如果建立恰当的函数模型来反映该超市调整后利润y与售 出商品的数量x的关系，则可选用 A.一次函数 B.二次函数 C.指数型函数 D.对数型函数 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由题目信息可得，初期增长迅速，后来增长越来越慢，故可用 对数型函数模型来反映y与x的关系. 4.“道高一尺，魔高一丈”出于西游记第五十回用来比喻取得一定 成就后遇到的障碍会更大或正义终将战胜邪恶，若用下列函数中的一 个来表示这句话的含义，则最合适的是(注：1丈10尺) A.y10 x，x0 B.y x，x0 C.yx10，x0 D.yx9，x0
12、 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析因为一丈等于十尺，所以“道高一尺，魔高一丈”更适合用y 10 x，x0来表示. 12345678910 11 12 13 14 15 16 5.某公司2021一整年的奖金有如下四种方案可供员工选择(奖金均在年底 一次性发放). 方案1：奖金10万元 方案2：前半年的半年奖金4.5万元，后半年的半年奖金为前半年的半年 奖金的1.2倍 方案3：第一个季度奖金2万元，以后每一个季度的奖金均在上一季度的 基础上增加5 000元 方案4：第n个月的奖金基本奖金7 000元200n元 如果你是该公司员工，你选择的奖金方案是 A.方案1 B.
13、方案2C.方案3 D.方案4 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析方案2：所得奖金为4.54.51.29.9(万元)， 方案3：所得奖金为2(20.5)(21)(21.5)11(万元)， 方案4：所得奖金为(7 000200)(7 0002002)(7 000 20012)99 600(元)9.96(万元). 所以应选方案3. 6.(多选)某工厂生产一种溶液，按市场要求杂质含量不得超过0.1%，而这 种溶液最初的杂质含量为2%，现进行过滤，已知每过滤一次杂质含量减 少 ，则使产品达到市场要求的过滤次数可以为(参考数据：lg 20.301， lg 30.477) A.
14、6 B.9 C.8 D.7 解析设经过n次过滤，产品达到市场要求， 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 7.通过市场调查知某商品每件的市场价y(单位：元)与上市时间x(单位： 天)的数据如下： 上市时间x天41036 市场价y元905190 根据上表数据，当a0时，下列函数：yaxk；yax2bxc； yalogmx中能恰当的描述该商品的市场价y与上市时间x的变化关系 的是_(只需写出序号即可). 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析根据表格提供数据可知，y随着x的增大先变小，后变大
15、，即至少 有递减和递增两个过程，而，对应的函数为单调函数，不符合题意； 为二次函数，有递减和递增两个区间，当a0时，能恰当的描述该商 品的市场价y与上市时间x的变化关系. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析2016年的垃圾量为a(1b)吨， 从2015年开始经过6年到2021年时该区的垃圾量应为a(1b)6吨. 8.据某校环保小组调查，某区垃圾量的年增长率为b,2015年产生的垃 圾量为a吨，由此预测该区2021年的垃圾量应为_吨. a(1b)6 12345678910 11 12 13 14 15 16 9.芦荟是一种经济价值很高的观赏、食用植物，不仅可美化居室
16、、净化空气， 又可美容保健，因此深受人们欢迎，在国内占有很大的市场.某人准备进军芦荟 市场，栽培芦荟，为了了解行情，进行市场调研，从4月1日起，芦荟的种植成 本Q(单位：元/10 kg)与上市时间t(单位：天)的数据情况如下表： t50110250 Q150108150 (1)根据上表数据，从下列函数中选取一个最好能反映芦荟种植成本Q与上市时 间t的变化关系的函数：Qatb，Qat2btc，Qabt，Qalogbt； 解由所提供的数据可知，刻画芦荟种植成本Q与上市时间t的变化关 系的函数不可能是常函数， 若用函数Qatb，Qabt，Qalogbt中的任意一个来反映时都应有 a0， 且上述三个函
17、数均为单调函数，这与表格所提供的数据不符合， 所以应选用二次函数Qat2btc进行描述， 将表格所提供的三组数据分别代入函数Qat2btc，可得 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 所以刻画芦荟种植成本Q与上市时间的变化关系的函数为 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)利用你选择的函数，求芦荟种植成本最低时的上市天数及最低种植 成本. t50110250 Q150108150 12345678910 11 12 13 14 15 16 解由(1)可得，函数Q为开口向上，对称轴为 1
18、2345678910 11 12 13 14 15 16 10.某网购店从2017年起参与“双十一”促销活动，已知20172019年 “双十一”期间该网购店的销售额分别为10万元、12万元、13万元， 为了估计以后每年“双十一”的销售额，以这三年的销售额为依据， 用一个函数模拟该网站的销售额y(万元)与年份数x的关系(为计算方便， 2017年用x1代替，依此类推)，模拟可以选用二次函数yax2bxc 或函数yabxc(其中a，b，c为常数)，若已知2020年“双十一”期间 该网购店的销售额为13.4万元，请问以上哪个函数作为模拟函数比较 好？请说明理由，并根据以上结果预测2021年“双十一”期
19、间该网店 的销售额. 12345678910 11 12 13 14 15 16 解若选用二次函数yax2bxc， 若选用函数yabxc， 则预测2021年“双十一”期间该网店的销售额为13.75万元. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 综合运用 11.已知碳14是一种放射性元素，在放射过程中，质量会不断减少.已知1 克碳14经过5730年，质量经过放射消耗到0.5克，则再经过多少年，质量 可放射消耗到0.125克 A.5730 B.11460 C.17190 D.22920 解析由题意可得，碳14的半衰期为
20、5730年， 则再过5730年后，质量从0.5克消耗到0.25克， 过11460年后，质量可消耗到0.125克. 12345678910 11 12 13 14 15 16 12.根据统计，一名工人组装第x件某产品所用的时间(单位：分钟)为f(x) 组装第A件产品用时15 min，那么c和A的值分别是 A.75,25 B.75,16C.60,25 D.60,16 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 13.2020年11月24日凌晨4时30分，我国在文昌航天发射场用长征五号遥 五运载火箭把嫦娥五号探测器顺利地送入
21、预定轨道，开启我国首次外太 空采样返回之旅.据科学家们测算：火箭的最大速度至少 达11.2千米/秒时，可将嫦娥五号探测器顺利送入外太空. 若火箭的最大速度v(单位：米/秒)，燃料的质量M(单位： 吨)和嫦娥五号探测器的质量m(单位：吨)近似满足函数 关系式v5 600lg ，当燃料质量与嫦娥五号探测 器质量的比值至少为“()”顺利送入外太空 A.9 B.99 C.999 D.9 999 12345678910 11 12 13 14 15 16 解析由条件可知11.2千米/秒11 200米/秒， 当燃料质量与嫦娥五号探测器质量的比值 至少为99时，顺利送入外太空. 12345678910 11
22、 12 13 14 15 16 14.某地区发生里氏8.0级特大地震.地震专家对发生的余震进行了监测， 记录的部分数据如下表： 强度(J)1.610193.210194.510196.41019 震级(里氏)5.05.25.35.4 注：地震强度是指地震时释放的能量. 地震强度(x)和震级(y)的模拟函数关系 可以选用yalg xb(其中a，b为常 数).利用散点图(如图)可知a的值等于 _.(取lg 20.3进行计算) 解析由记录的部分数据， 可知当x1.61019时，y5.0，当x3.21019时，y5.2. 12345678910 11 12 13 14 15 16 拓广探究 12345
23、678910 11 12 13 14 15 16 15.某公司为了实现1 000万元的利润目标，准备制定一个激励销售人员 的奖励方案：销售利润达到10万元及以上时，按销售利润进行奖励， 且奖金数额y(单位：万元)随销售利润x(单位：万元)的增加而增加，但 奖金数额不超过5万元，同时奖金数额不超过利润的25%，其中下列模 型中能符合公司要求的是_.(参考数据：1.0036006，lg 70.845) 解析由题意知，符合公司要求的模型只需满足： 当x10,1 000时， (1)函数为增函数； (2)函数的最大值不超过5； 12345678910 11 12 13 14 15 16 中，函数y0.0
24、25x，易知满足(1)，但当x200时，y5不满足公司要求； 中，函数y1.003x，易知满足(1)，但当x600时，y5不满足公司要求； 12345678910 11 12 13 14 15 16 12345678910 11 12 13 14 15 16 16.科学家发现某种特别物质的温度y(单位：摄氏度)随时间x(单位：分 钟)的变化规律满足关系式：ym2x21x(0 x4，m0). (1)若m2，求经过多少分钟，该物质的温度为5摄氏度？ 解由题意，得m2， 解得x1(负值舍去)， 因此，经过1分钟，该物质的温度为5摄氏度. 12345678910 11 12 13 14 15 16 (2)如果该物质温度总不低于2摄氏度，求m的取值范围. 解由题意得m2x21x2对一切0 x4恒成立， 则由m2x21x2， 12345678910 11 12 13 14 15 16 本课结束 更多精彩内容请登录：
