1、课时作业(五十五)双曲线 基础过关组 一、单项选择题 1已知双曲线的方程为y 2 4 x 2 9 1，则下列关于双曲线说法正确的是() A虚轴长为 4 B焦距为 2 5 C离心率为 13 3 D渐近线方程为 2x3y0 解析由题意知，双曲线y 2 4 x 2 9 1 的焦点在 y 轴上，且 a24，b29，故 c213，所以 A，B 均错误； 离心率 ec a 13 2 ，故 C 错误；渐近线方程为 y2 3x，D 正确。故选 D。 答案D 2双曲线 x2 36m2 y2 m21(0m0)的离心率为 2，则 a() A2B 6 2 C 5 2 D1 解析因为双曲线的方程为x 2 a2 y2 3
2、 1，所以 e21 3 a24，因此 a 21，a1。故选 D。 答案D 4已知双曲线 x2y 2 3 1 的左、右焦点分别为 F1，F2，点 P 在双曲线上，且F1PF2120，则F1PF2 的面积为() A2 3B 3 C2 5D 5 解析由题意可知，a1，b 3，c2。不妨设点 P 在双曲线的右支上，则由双曲线的定义可得|PF1| |PF2|2a2，在F1PF2中，因为F1PF2120，所以由余弦定理得 4c2|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|cos 120，即 4c2|PF1|2|PF2|2|PF1|PF2|(|PF1|PF2|)23|PF1|PF2|4a23|PF1|PF2
3、|，所以|PF1|PF2|4b 2 3 ， 所以 SF1PF21 2|PF 1|PF2|sin 120 3b2 3 3。故选 B。 答案B 5(2021深圳市统一测试)若双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的一条渐近线经过点(1，2)，则该双曲线的 离心率为() A 3B 5 2 C 5D2 解析双曲线x 2 a2 y2 b21 的一条渐近线为 y b ax，渐近线经过点(1，2)，则有2 b a，得 b a2，所 以 e2c 2 a2 a2b2 a2 5，所以 e 5。故选 C。 答案C 6(2020全国卷)设 F1，F2是双曲线 C：x2y 2 3 1 的两个焦点，O 为坐标原点
4、，点 P 在 C 上且|OP| 2，则PF1F2的面积为() A7 2 B3 C5 2 D2 解析设 F1，F2分别为双曲线 C 的左、右焦点，则由题意可知 F1(2,0)，F2(2，0)，又|OP|2，所以 |OP|OF1|OF2|，所以PF1F2是直角三角形，所以|PF1|2|PF2|2|F1F2|216。不妨令点 P 在双曲线 C 的 右支上， 则有|PF1|PF2|2， 两边平方， 得|PF1|2|PF2|22|PF1|PF2|4， 又|PF1|2|PF2|216， 所以|PF1|PF2| 6，则 SPF1F21 2|PF 1|PF2|1 263。故选 B。 答案B 二、多项选择题 7
5、(2020山东济南三模)已知双曲线 C 的方程为 x2 16 y2 9 1，则下列说法正确的是() A双曲线 C 的实轴长为 8 B双曲线 C 的渐近线方程为 y3 4x C双曲线 C 的焦点到渐近线的距离为 3 D双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为9 4 解析因为 a216，所以 a4,2a8，故 A 正确；因为 a4，b3，所以双曲线 C 的渐近线方程为 y b ax 3 4x， 故 B 正确； c5， 焦点坐标为(5,0)， (5,0)， 焦点(5,0)到渐近线 3x4y0 的距离为 |15| 3242 3，故 C 正确；双曲线 C 上的点到焦点距离的最小值为 ca1，故 D 错误。
6、故选 ABC。 答案ABC 8关于渐近线方程为 xy0 的双曲线有下述四个结论，其中正确的是() A实轴长与虚轴长相等 B离心率是 2 C过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段的长与实轴长相等 D顶点到渐近线与焦点到渐近线的距离比值为 2 解析因为双曲线的渐近线方程为 yx，故此双曲线为等轴双曲线，即 ab，c 2a，则离心率 e 2，故 AB 均正确。过焦点且与实轴垂直的直线被双曲线截得的线段长为 2b 2 a 2a，故等于实轴长，C 正 确。不妨取一个顶点(a,0)，其到渐近线 xy0 的距离 d1 a 2 2 2 a，焦点到渐近线的距离 d2b，又 ab， 所以d1 d2 2 2 ，
7、故 D 错误。故选 ABC。 答案ABC 三、填空题 9(2020北京高考)已知双曲线 C：x 2 6 y 2 3 1，则 C 的右焦点的坐标为_；C 的焦点到其渐近线 的距离是_。 解析双曲线 C：x 2 6 y 2 3 1 中，c2639，所以 c3，则 C 的右焦点的坐标为(3,0)，C 的渐近线方 程为 y 3 6x，即 y 1 2x，即 x 2y0，则 C 的焦点到其渐近线的距离 d 3 3 3。 答案(3,0)3 10已知点 P(1， 3)在双曲线 C： x2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线上，F 为双曲线 C 的右焦点，O 为原点。 若FPO90，则双曲线 C 的方程为
8、_，其离心率为_。 解析因为双曲线 C：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的渐近线方程为 y b ax，点 P(1， 3)在渐近线上，所以 b a 3。在 RtOPF 中，|OP| 3212，FOP60，所以|OF|c4。又 c2a2b2，所以 b2 3，a 2，所以双曲线 C 的方程为x 2 4 y2 121，离心率 e c a2。 答案 x2 4 y2 121 2 11已知直线 l 过点 A(1,0)且与B：x2y22x0 相切于点 D，以坐标轴为对称轴的双曲线 E 过点 D，其一条渐近线平行于 l，则双曲线 E 的实轴长为_。 解析圆 B 的标准方程为(x1)2y21，所以圆 B
9、的圆心为 B(1,0)，半径 r1。如图，不妨设切点 D 在第一象限，连接 BD，则 tanBAD|BD| |AD| 3 3 ，所以直线 l 的斜率 ktanBAD 3 3 ，又直线 l 与双曲线 E 的一条渐近线平行， 所以双曲线 E 的渐近线方程为 y 3 3 x， 设双曲线 E 的方程为 3x29y2(0)(*)。 过点 D 作 DCx 轴于点 C，则BDCBAD30，所以|BC|BD|sin 301 2，|CD|BD|cos 30 3 2 ， 所以点 D 的横坐标 xD|OC|OB|BC|1 2，点 D 的纵坐标 y D|CD| 3 2 ，将点 D 1 2， 3 2 代入方程(*)得
10、31 49 3 4，即6，所以双曲线 E 的方程为 3x 29y26，即3y2 2 x 2 2 1，所以双曲线 E 的实轴长 为2 6 3 。 答案 2 6 3 四、解答题 12设 A，B 分别为双曲线x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右顶点，双曲线的实轴长为 4 3，焦点到渐近线 的距离为 3。 (1)求双曲线的方程； (2)已知直线 y 3 3 x2 与双曲线的右支交于 M、N 两点，且在双曲线的右支上存在点 D，使OM ON tOD (O 为坐标原点)，求 t 的值及点 D 的坐标。 解(1)由题意知 a2 3。 因为双曲线的渐近线方程为 yb ax，即 bxay0， 所以由
11、焦点到渐近线的距离为 3， 得 |bc| b2a2 3， 又 c2a2b2，所以 b23， 所以双曲线的方程为 x2 12 y2 3 1。 (2)设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， D(x0，y0)(x00)， 则 x1x2tx0，y1y2ty0。 将 y 3 3 x2 代入 x2 12 y2 3 1， 整理得 x216 3x840， 则 x1x216 3，y1y2 3 3 (x1x2)412。 所以 x0 y0 4 3 3 ， x20 12 y20 3 1， 得 x04 3， y03， 所以 t4，点 D 的坐标为(4 3，3)。 13(2021八省联考)双曲线 C：x 2 a2 y2
12、 b21(a0，b0)的左顶点为 A，右焦点为 F，动点 B 在 C 上。当 BFAF 时，|AF|BF|。 (1)求 C 的离心率； (2)若 B 在第一象限，证明：BFA2BAF。 解(1)设双曲线的半焦距为 c，则 F(c,0)，B c，b 2 a ， 因为|AF|BF|，故b 2 a ac， 故 c2ac2a20，即 e2e20， 解得 e2 或 e1(舍去)。 (2)设 B(x0，y0)，其中 x0a，y00。 因为 e2，故 c2a，b 3a， 故渐近线方程为 y 3x， 所以BAF 0， 3 ，BFA 0，2 3 ， 又 tanBFA y0 x0c y0 x02a， tanBAF
13、 y0 x0a， 所 以 tan 2 BAF 2y0 x0a 1 y0 x0a 2 2y0 x0a x0a2y20 2y0 x0a x0a2b2 x20 a21 2y0 x0a x0a23a2 x20 a21 2y0 x0a x0a23x2 0a2 2y0 x0a3x0a y0 x02atanBFA， 又因为 2BAF 0，2 3 ， 故BFA2BAF。 素养提升组 14(多选)(2021厦门期末)已知 F1，F2是双曲线 E：x 2 a2 y2 b21(a0，b0)的左、右焦点，过 F 1作倾斜 角为 6的直线分别交 y 轴和双曲线右支于点 M，P，|PM|MF 1|，下列判断正确的是()
14、APF2F1 3 B|MF2|1 2|PF 1| CE 的离心率等于 3 DE 的渐近线方程为 y 2x 解析如图，由|PM|MF1|，可得 M 为 PF1的中点，又 O 为 F1F2的中点，可得 OMPF2，PF2F1 90，PF1F230，|MF2|1 2|PF 1|，故 A 错误，B 正确；设|F1F2|2c，则|PF1| 2c cos 30 4 3 3 c，|PF2|2ctan 302 3 3 c，则 2a|PF1|PF2|2 3 3 c，可得 ec a 3， b a c2 a21 2，则双曲线的渐近线方程为 y b ax，即 y 2x。故 C，D 正确。故选 BCD。 答案BCD 1
15、5已知双曲线 C1，C2的焦点分别在 x 轴，y 轴上，渐近线方程都为 y1 ax，离心率分别为 e 1，e2，则 e1e2的最小值为_。 解析由题意得双曲线 C1的方程为x 2 a2y 2t(a0，t0)，双曲线 C2的方程为 y2x2 a2(a0，0)，所 以 e1e2 a21 a a212 a21 a 2a1 a2 2(当且仅当 a1 时等号成立)。 答案2 2 16双曲线 C 的一条渐近线方程是 x2y0，且双曲线 C 过点(2 2，1)。 (1)求双曲线 C 的方程； (2)设双曲线 C 的左、右顶点分别是 A1，A2，P 为 C 上异于点 A1，A2的任意一点，直线 PA1，PA2
16、分别与 直线 l：x1 交于点 M，N，求|MN|的最小值。 解(1)由题可设双曲线 C 的方程为 x24y2k(k0)，把(2 2，1)代入可得 k4， 所以双曲线 C 的方程为x 2 4 y21。 (2)由题易知，当 P 在双曲线右支上时，|MN|取得最小值。由(1)可得 A1(2,0)，A2(2,0)， 根据双曲线方程可得 y x2 y x2 1 4。 设 P(x，y)(x0，y0)，直线 PA1，PA2的斜率分别为 k1，k2(k1，k20)，则 k1k21 4。 直线 PA1的方程为 yk1(x2)， 令 x1，得 M(1,3k1)， 直线 PA2的方程为 yk2(x2)， 令 x1，得 N(1，k2)， 所以|MN|3k1(k2)|3k1k22 3k1k2 3， 当且仅当 3k1k2，即 k1 3 6 ，k2 3 2 时，等号成立。 故|MN|的最小值为 3。
