1、3.4函数的应用函数的应用(一一) 学习目标1.初步体会一次函数、二次函数、幂函数、分段函数模型的广泛应用，能运用函 数思想处理现实生活中的简单应用问题.2.能将实际问题转化为熟悉的模型，建立合适的数学 模型解决简单的实际问题 一、一次函数模型的应用 例 1为了发展电信事业，方便用户，电信公司对移动电话采用不同的收费方式，其中所使 用的“如意卡”与“便民卡”在某市范围内每月(30 天)的通话时间 x(分)与通话费用 y(元)的 关系如图所示 (1)分别求出通话费用 y1，y2与通话时间 x 之间的函数解析式； (2)请帮助用户计算在一个月内使用哪种卡便宜 解(1)由图象可设 y1k1x30(k
2、10)，y2k2x(k20)，把点 B(30,35)，C(30,15)分别代入 y1 k1x30，y2k2x，得 k11 6，k 21 2. y11 6x30(x0)，y 21 2x(x0) (2)令 y1y2，即 1 6x30 1 2x，则 x90. 当 x90 时，y1y2，两种卡收费一致； 当 xy2，使用便民卡便宜； 当 x90 时，y10， 所以 y 是一个单调递增函数，再由 250 x400 知， 当 x400 时，y 取得最大值， 此时 y1.64008001 440(元) 所以买进 400 份报纸所获利润最大，获利 1 440 元 二、二次函数模型的应用 例 2某水果批发商销售
3、每箱进价为 40 元的苹果，假设每箱售价不得低于 50 元且不得高于 55 元市场调查发现，若每箱以 50 元的价格销售，平均每天销售 90 箱，价格每提高 1 元， 平均每天少销售 3 箱 (1)求平均每天的销售量 y(箱)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (2)求该批发商平均每天的销售利润 w(元)与销售单价 x(元/箱)之间的函数关系式； (3)当每箱苹果的售价为多少元时，可以获得最大利润？最大利润是多少？ 解(1)根据题意，得 y903(x50)，化简， 得 y3x240(50 x55，xN) (2)因为该批发商平均每天的销售利润平均每天的销售量每箱销售利润 所以 w(x40
4、)(3x240)3x2360 x9 600(50 x55，xN) (3)因为 w3x2360 x9 600 3(x60)21 200， 所以当 x60 时，w 随 x 的增大而增大 又 50 x55，xN，所以当 x55 时，w 有最大值，最大值为 1 125. 所以当每箱苹果的售价为 55 元时，可以获得最大利润，且最大利润为 1 125 元 反思感悟利用二次函数求最值的方法及注意点 (1)方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法以及函数 的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题 (2)注意：取得最值时的自变量与实际意义是否相符 跟
5、踪训练 2据市场分析，烟台某海鲜加工公司当月产量在 10 吨至 25 吨时，月生产总成本 y(万元)可以看成月产量 x(吨)的二次函数；当月产量为 10 吨时，月总成本为 20 万元；当月产 量为 15 吨时，月总成本最低为 17.5 万元，为二次函数的顶点 (1)写出月总成本 y(万元)关于月产量 x(吨)的函数关系式； (2)已知该产品销售价为每吨 1.6 万元，那么月产量为多少时，可获最大利润？ 解(1)设 ya(x15)217.5(a0)， 将 x10，y20 代入上式，得 2025a17.5， 解得 a 1 10.所以 y 1 10(x15) 217.5(10 x25) (2)设最大
6、利润为 Q(x)， 则 Q(x)1.6xy1.6x 1 10 x15 217.5 1 10(x23) 212.9(10 x25) 所以月产量为 23 吨时，可获最大利润 12.9 万元 三、分段函数模型的应用 例 3中国“一带一路”倡议提出后，某科技企业为抓住“一带一路”带来的机遇，决定开 发生产一款大型电子设备，生产这种设备的年固定成本为 500 万元，每生产 x 台需要另投入 成本 C(x)(万元)当年产量不足 80 台时，C(x)1 2x 240 x，当年产量不小于 80 台时，C(x) 101x8 100 x 2 180，若每台设备售价为 100 万元，通过市场分析，该企业生产的电子设
7、备能 全部售完 (1)求年利润 y(万元)关于年产量 x(台)的函数关系式； (2)年产量为多少台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大？并求出这个最大利润 解(1)当 0 x80 时，y100 x 1 2x 240 x 5001 2x 260 x500， 当 x80 时，y100 x 101x8 100 x 2 180 5001 680 x8 100 x， 于是 y 1 2x 260 x500，0 x80， 1 680 x8 100 x，x80. (2)由(1)可知当 0 x80 时，y1 2(x60) 21 300， 当 x60 时，y 取得最大值为 1 300， 当 x80 时，y
8、1 680 x8 100 x1 6802x8 100 x 1 500， 当且仅当 x8 100 x 即 x90 时，y 取最大值为 1 500， 综上所述，当年产量为 90 台时，该企业在这一电子设备的生产中所获利润最大，最大利润为 1 500 万元 反思感悟应用分段函数时的三个注意点 (1)分段函数的“段”一定要分得合理，不重不漏 (2)分段函数的定义域为对应每一段自变量取值范围的并集 (3)分段函数的值域或最值求法：逐段求函数值的范围，最后比较再下结论 跟踪训练 3经市场调查， 某城市的一种小商品在过去的近 20 天内的日销售量(件)与价格(元) 均为时间 t(天)的函数，且日销售量近似满
9、足 g(t)802t，价格近似满足 f(t) 151 2t，0t10， 251 2t，10t20. (1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t(0t20)的函数表达式； (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值 解(1)由已知得， y 151 2t802t，0t10， 251 2t802t，10t20 t3040t，0t10， 50t40t，10t20 t210t1 200，0t10， t290t2 000，10t20. (2)由(1)知，当 0t10 时， yt210t1 200(t5)21 225， 函数图象开口向下，对称轴为 t5，该函数在 t0,5上单调递增，在 t(5,1
10、0上单调递减， ymax1 225(当 t5 时取得)， ymin1 200(当 t0 或 10 时取得)； 当 10t20 时，yt290t2 000(t45)225， 函数图象开口向上，对称轴为 t45， 该函数在 t(10,20上单调递减， y0，Q1005x0，得 0 x20， 故当 x13 时，每天获利最大 3某品种鲜花进货价 5 元/支，据市场调查，当销售价格 x(元/支)在 x5,15时，每天售出 该鲜花支数 p(x) 500 x4，若想每天获得的利润最多，则销售价格应定为( ) A9 元B11 元 C13 元D15 元 答案D 解析设每天的利润为 y 元，则 y(x5) 500
11、 x4500 1 1 x4 ，5x15，显然此函数 在5,15上单调递增，故当 x15 时，y 取得最大值 4 甲、 乙两人在一次赛跑中， 路程 s 与时间 t 的函数关系如图所示， 则下列说法正确的是() A甲比乙先出发 B乙比甲跑的路程多 C甲、乙两人的速度相同 D甲先到达终点 答案D 5.某医学团队研制出预防某疾病的新药，服用 x 小时后血液中的残留量为 y 毫克，如图所示 为函数 yf(x)的图象，当血液中药物残留量不小于 240 毫克时，治疗有效设某人上午 8： 00 第一次服药，为保证疗效，则第二次服药最迟的时间应为() A上午 10：00B中午 12：00 C下午 4：00D下午
12、 6：00 答案C 解析由图象知， 当 0 x4 时，设直线 ykx，把点(4,320)代入得 k80，所以 y80 x； 当 4x20 时，设 yf(x)kxb， 将点(4,320)和(20,0)代入得 4kb320， 20kb0， 解得 k20， b400， 此时 yf(x)20 x400， 所以 f(x) 80 x，0 x4， 20 x400，4x20， 当 0 x4 时，令 80 x240，得 3x4， 当 4x20 时，令 y20 x400240，解得 4x8， 所以 3x8， 故第二次服药最迟的时间应为 8 小时后，即下午 4：00. 6(多选)已知每生产 100 克饼干的原材料加
13、工费为 1.8 元，某食品加工厂对饼干采用两种包 装，其包装费用、销售价格如表所示： 型号小包装大包装 质量100 克300 克 包装费0.5 元0.7 元 销售价格3.0 元8.4 元 则下列说法正确的是() A买小包装实惠 B买大包装实惠 C卖 3 小包比卖 1 大包盈利多 D卖 1 大包比卖 3 小包盈利多 答案BD 解析大包装 300 克 8.4 元，则等价于 100 克 2.8 元，小包装 100 克 3 元，则买大包装实惠， 故 A 错误， B 正确； 卖 1 大包盈利 8.40.71.832.3(元)， 卖 3 小包盈利 3(30.51.8) 2.1(元)， 则卖 1 大包比卖
14、3 小包盈利多，故 C 错误，D 正确 7某种产品每件 80 元，每天可售出 30 件，如果每件定价 120 元，则每天可售出 20 件，如 果售出件数是定价的一次函数，则这个函数解析式为_ 答案y1 4x50(0 x200) 解析设解析式为 ykxb(k0)， 其中 x 为每件产品的定价(单位：元)，y 为每天售出的件数(单位：件)， 由 30k80b， 20k120b， 解得 k1 4， b50， y1 4x50(0 x200) 8.小明自小不爱数学，成年后还做过数学噩梦，心狂跳不止：梦见数学考试了，水池有个进 水管， 5 小时可注满， 池底有一个出水管， 8 小时可放完满池水 若同时打开
15、进水管和出水管， 多少小时可注满空池？“这题也太变态了，你到底想放水还是注水？”小明质疑这类问题的 合理性其实这类放水、注水问题只是个数学模型，用来刻画“增加量消耗量改变量”， 这类数量关系可以用于处理现实生活中的大量问题例如，某仓库从某时刻开始 4 小时内只 进货不出货，在随后的 8 小时内同时进出货，接着按此进出货速度，不进货，直到把仓库中 的货出完假设每小时进、出货量是常数，仓库中的货物量 y(吨)与时间 x(时)之间的部分关 系如图，那么从不进货起_小时后该仓库内的货恰好运完 答案8 解析由图象可知，在 0 到 4 小时进货 20 吨，故进货速度是每小时 5 吨， 所以出货速度为每小时
16、(205830)815 4 (吨)， 从不进货起，需要 3015 4 8(小时)将该仓库的货恰好运完 9 经研究发现， 学生的注意力与老师的授课时间有关， 开始授课时， 学生的注意力逐渐集中， 到达理想的状态后保持一段时间，随后开始逐渐分散，用 f(x)表示学生的注意力，x 表示授课 时间(单位：分)，实验结果表明 f(x)与 x 有如下关系：f(x) 5x9，0 x10， 59，10 x16， 3x107，16x30. (1)开始授课后多少分钟，学生的注意力最集中？能维持多长时间？ (2)若讲解某一道数学题需要 55 的注意力以及 10 分钟的时间，老师能否及时在学生一直达到 所需注意力的状
17、态下讲完这道题？ 解(1)由题意得，当 0 x10 时，f(x)5x9，此时函数单调递增； 当 10 x16 时，函数 f(x)取得最大值，此时 f(x)59； 当 16x30 时，f(x)3x107，此时函数单调递减 所以开始授课后 10 分钟，学生的注意力最集中，能维持 6 分钟 (2)当 0 x10 时，令 f(x)55，即 5x955， 解得 9.2x10，集中注意力时间共 109.20.8(分钟)； 当 10 x16 时，f(x)5955，集中注意力时间共 6 分钟； 当 16x30 时，令 f(x)55，即3x10755，解得 16x52 3 ，则集中注意力时间共52 3 164
18、3(分钟)， 因为 0.864 3 122 15 0，则 0 x13. y(52040 x)x20040 x2520 x200 40(x6.5)21 490,0 x13. 易知，当 x6.5 时，y 有最大值 所以只需将销售单价定为 11.5 元，就可获得最大利润 11某市生产总值连续两年持续增加，第一年的增长率为 p，第二年的增长率为 q，则该市这 两年生产总值的年平均增长率为() A.pq 2 B.p1q11 2 C. pqD. p1q11 答案D 解析设年平均增长率为 x， 则有(1p)(1q)(1x)2， 解得 x p1q11. 12加工爆米花时，爆开且不糊的粒数占加工总粒数的百分比称
19、为“可食用率”在特定条 件下，可食用率 p 与加工时间 t(单位：分钟)满足函数关系 pat2btc(a，b，c 是常数)， 如图记录了三次实验的数据 根据上述函数模型和实验数据， 可以得到最佳加工时间为() A3.50 分钟B3.75 分钟 C4.00 分钟D4.25 分钟 答案B 解析根据图象，把(t，p)的三组数据(3,0.7)，(4,0.8)，(5,0.5)分别代入函数关系式， 得 0.79a3bc， 0.816a4bc， 0.525a5bc， 解得 a0.2， b1.5， c2.0. p0.2t21.5t2.01 5 t15 4 213 16. 当 t15 4 3.75 时，p 取得
20、最大值， 即最佳加工时间为 3.75 分钟 13某市出租车收费标准如下：起步价为 8 元，起步里程为 3 千米(不超过 3 千米按起步价付 费)；超过 3 千米但不超过 8 千米时，超过部分按每千米 2.15 元收费；超过 8 千米时，超过 部分按每千米 2.85 元收费，另每次乘坐需付燃油附加费 1 元若某人乘坐出租车行驶了 5.6 千米，则需付车费_元，若某人乘坐一次出租车付费 22.6 元，则此出租车行驶了 _千米 答案14.599 解析设出租车行驶 x 千米时，付费 y 元， 则 y 9，0 x3， 82.15x31，38， 当 x5.6 时，y82.152.6114.59(元) 由
21、y22.6，知 x8， 由 82.1552.85(x8)122.6， 解得 x9. 14.某汽车运输公司购买了一批豪华大客车投入运营，据市场分析，每辆客车营运的利润 y 与 营运年数 x(xN)为二次函数关系(如图)，则客车有营运利润的时间不超过_年 答案7 解析由图得 y(x6)211， 令 y0，得 6 11x6 11， 所以有营运利润的时间为 2 11， 又 62 1126，不符合要求， 若 21319，则12，即 s 对应的明文为 l， 同理可以确定出 h 对应的明文为 o，x 对应的明文为 v，c 对应的明文为 e， 原来的明文是 love. 16荷兰阿斯麦尔公司(ASML)是全球高
22、端光刻机霸主，最新的 EUV(极紫外光源)具备 7 nm 工艺芯片是手机中的重要部件，除此以外还有如液晶屏、电池等配件如果某工厂一条手 机配件生产线的产量(单位：百个)与生产成本 x(单位：百元)满足如下关系：(x) 1 2x 23，0 x2， 6 3 1x，2x5， 此外，还需要投入其他成本(如运输、包装成本等)2x 百元，已知这 种手机配件的市场售价为 16 元/个(即 16 百元/百个)，且市场需要始终供不应求记这条生产 线获得的利润为 L(x)(单位：百元) (1)求 L(x)的函数表达式； (2)当投入的生产成本为多少时，这条生产线获得的利润最大？最大利润是多少？ 解(1)L(x)16(x)2xx 8x23x480 x2， 96 48 1x3x2x5. (2)当 0 x2 时，L(x)8x23x48，对称轴方程为 x 3 16， 所以 L(x)maxL(2)74； 当 274， 所以当投入的生产成本为 300 元时，这条生产线获得的利润最大，最大利润为 7 500 元
