1、第第 3 课时课时函数函数 yAsin(x)的性质的性质(一一) 学习目标1.会通过函数 yAsin(x)的部分图象求函数 yAsin(x)的解析式.2.结合 正弦函数的性质，掌握函数 yAsin(x)的性质 导语 同学们，大家有没有听说过一个成语“可见一斑”，大家知道这是什么意思吗？对，它比喻 见到事物的一小部分也能推知事物的整体，大家想一想，这不正是说的三角函数吗？大家知 道，三角函数是周期函数，故如果我们知道了一个周期上的三角函数的性质，这个时候是不 是可以“可见一斑”了？ 一、已知图象求函数 yAsin(x)的解析式 问题 1确定三角函数 yAsin(x)的解析式，就要确定三角函数的哪
2、些参数？ 提示A，的值其中 A 影响的是函数的最大、最小值，影响的是函数的周期 问题 2观察下图，你能说说这个图象有什么特点吗？ 提示这是一个周期上的函数图象，周期为，最大值是 3，最小值是3.除此以外，我们还 可以得到函数的单调性、对称轴、对称中心、函数的零点等函数的性质由此，我们可以推 出整个函数的性质 例 1已知问题 2 中函数的图象是函数 yAsin(x) A0，0，| 2 的图象的一部分， 求此函数的解析式 解方法一(逐一定参法) 由图象知 A3， T5 6 6 ， 2 T 2， y3sin(2x) 点 6，0在函数图象上， 6202k，kZ， 32k，kZ， 又|0，0，00，0
3、时，用x整体代换正弦函数中的 x 即可 知识梳理 函数 yAsin(x)，A0，0 的有关性质 名称性质 定义域R 值域A，A 周期性T2 对称性 对称中心 k ，0 对称轴x 2 k 奇偶性当k(kZ)时是奇函数；当k 2(kZ)时是偶函数 单调性通过整体代换可求出其单调区间 例 2已知函数 f(x)1 2sin 2x 6 5 4. (1)求 f(x)的最小正周期及单调递增区间； (2)求 f(x)的图象的对称轴方程和对称中心； (3)求 f(x)的最小值及取得最小值时 x 的取值集合 解(1)函数 f(x)的最小正周期 T2 2 ， 由 2k 22x 62k 2(kZ)， 得 k 3xk
4、6(kZ)， 所以 f(x)的单调递增区间为 k 3，k 6 (kZ) (2)令 2x 6k 2(kZ)，则 x k 2 6(kZ)，所以对称轴方程为 x k 2 6(kZ)； 令 2x 6k(kZ)，则 x k 2 12(kZ)， 所以对称中心为 k 2 12， 5 4 (kZ) (3)当 sin 2x 6 1， 即 2x 6 22k(kZ)， x 3k(kZ)时，f(x)取得最小值为 3 4， 此时 x 的取值集合是 x|x 3k，kZ. 反思感悟(1)正弦、余弦型函数奇偶性的判断方法 正弦型函数 yAsin(x)和余弦型函数 yAcos(x)不一定具备奇偶性对于函数 y Asin(x)，
5、 当k(kZ)时为奇函数， 当k 2(kZ)时为偶函数； 对于函数 yAcos(x )，当k(kZ)时为偶函数，当k 2(kZ)时为奇函数 (2)与正弦、余弦型函数有关的单调区间的求解技巧 结合正弦、余弦函数的图象，熟记它们的单调区间 确定函数 yAsin(x)(A0，0)单调区间的方法：采用“换元”法整体代换，将x 看作一个整体，可令“zx”，即通过求 yAsin z 的单调区间而求出函数的单调区 间若0,0)是 R 上的偶函数，其图象关于点 M 3 4 ，0 对称，且在区间 0， 2 上具有单调性，求和的值 解由 f(x)是偶函数，得 f(x)f(x)， 即函数 f(x)的图象关于 y 轴
6、对称， f(x)在 x0 时取得最值， 即 sin 1 或1. 00，k1 时，2 3；k2 时，2. 故 2，2 或 2 3. 1知识清单： (1)由图象求三角函数的解析式 (2)三角函数的性质的综合问题 (3)三角函数的实际应用 2方法归纳：特殊点法、数形结合法 3常见误区：求值时递增区间上的零点和递减区间上的零点的区别 1函数 ysin 2x 6 的最小正周期是() A. 2 BC2D4 答案B 2若函数 f(x)3sin(x)对任意 x 都有 f 6xf 6x，则 f 6 等于() A3 或 0B3 或 0 C0D3 或 3 答案D 解析由 f 6xf 6x得，直线 x 6是函数图象的
7、对称轴，解得 f 6 3. 3已知函数 f(x)Asin(x) 0， 20)的一个周期上，当 x 6时，有最大值 2，当 x 2 3 时，有最小 值2，则_. 答案2 解析由题意得T 2 2 3 6 2，所以 T，又 T 2 ，解得2. 课时对点练课时对点练 1若 x1 4，x 23 4 是函数 f(x)sin x(0)两个相邻的最值点，则等于() A2B.3 2 C1D.1 2 答案A 解析由题意知T 2x 2x13 4 4 2，所以 T，2. 2.函数 yAsin(x) A0，0，| 2 的部分图象如图所示，则() Ay2sin 2x 6 By2sin 2x 3 Cy2sin x 6 Dy
8、2sin x 3 答案A 解析由题图可知，A2，T2 3 6 ，所以2.由函数图象经过点 3，2可得 2sin 2 32， 所以 2 3 22k，kZ，所以 62k，kZ，因为|0)的部分图象如图，则等于() A5B4C3D2 答案B 解析由题中图象可知 x0 4x 0T 2，T 2， 2 2.4. 5若将函数 y3sin 2x 3 的图象向左平移 6个单位长度，则平移后图象的一个对称中心是 () A. 6，0B. 6，0C. 12，0D. 3，0 答案A 解析将函数 y3sin 2x 3 的图象向左平移 6 个单位长度得 y3sin 2 x 6 3 3sin 2x2 3 ， 令 2x2 3
9、k(kZ)，解得 x 3 k 2 (kZ)， 当 k1 时，x 3 2 6， 所以平移后图象的一个对称中心为 6，0. 6(多选)设函数 f(x) 3cos 2xsin 2x，则下列选项正确的是() Af(x)的最小正周期是 Bf(x)在a，b上单调递减，那么 ba 的最大值是 2 Cf(x)满足 f 6xf 6x Dyf(x)的图象可以由 y2cos 2x 的图象向右平移11 12 个单位长度得到 答案ABD 解析f(x) 3cos 2xsin 2x 2 3 2 cos 2x1 2sin 2x2cos 2x 6 ， 对于 A，T2 2 ，故 A 正确； 对于 B， 当 2k2x 62k时，
10、yf(x)单调递减， 故单调递减区间为 12k， 5 12k， kZ，ba 的最大值是5 12 12 2，故 B 正确； 对于 C, f 6x2cos 2 6x 6 2cos 2x 2 2sin 2x， f 6x2cos 2 6x 62cos 22x2sin 2x， 即 x 6不是 yf(x)的对称轴， 故 C 错误； 对于 D，y2cos 2x 的图象向右平移11 12 个单位长度得到 y2cos 2 x11 12 2cos 2x11 6 2cos 2x 6 ，故 D 正确 7若 f(x)cos 2x 3 | 2 是奇函数，则_. 答案 6 解析由题意可知 3 2k，kZ，即 6k，kZ.又
11、|0， 0)的部分图象如图所示， 则 f(0)_. 答案 6 2 解析由图象可得 A 2，周期为 4 7 12 3 ，所以2，将 7 12， 2代入得 27 12 2k3 2 ，kZ，即2k 3，kZ，所以 f(0) 2sin 2sin 3 6 2 . 9已知函数 f(x)Asin(x)b A0，0，| 2 的图象如图所示 (1)求出函数 f(x)的解析式； (2)若将函数 f(x)的图象向右移动 3个单位长度，再把所有点的横坐标变为原来的 1 4(纵坐标不 变)，得到函数 yg(x)的图象，求出函数 yg(x)的单调递增区间及对称中心 解(1)由图象得 Ab6， Ab2， 解得 A4， b2
12、， 又T 22，T4， 2 T 1 2， 由 f 3 6，得 62k 2，kZ， 即 32k，又|0，0，| 2 的图象过点 P 5 12，0，且图象上与 P 点最 近的一个最低点坐标为 6，2. (1)求函数的解析式； (2)若将此函数的图象向左平移 6个单位长度后，再向上平移 2 个单位长度得到 g(x)的图象， 求 g(x)在 6， 3 上的值域 解(1)因为一个最低点的坐标为 6，2，所以 A2， 又因为| 5 12 6|1 4T，所以最小正周期 T， 所以2 T 2，所以 y2sin(2x)， 因为点 6，2在函数图象上， 所以 2 6 22k，kZ， 解得 62k(kZ)， 又|0
13、，0，|0，0，| 2 的图象可知，A2，T8，故2 T 4， 又 f(0)0 且| 2，则可得出0， 故 f(x)2sin 4x. 又根据函数的对称性可知 f(1)f(3)f(5) f(7) 2，f(2)f(6)2，f(4)f(8)0， 所以 f(1)f(2)f(3)f(8)0, 所以 f(1)f(2)f(3)f(2 021) 252f(1)f(2)f(3)f(8)f(2 017)f(2 018)f(2 021) f(2 017)f(2 018)f(2021) f(1)f(2)f(3)f(4)f(5) 22 20 22 2. 13将函数 f(x)1 2sin 2x 3 1 的图象向右平移_个
14、单位长度后，再进行周期变换可 以得到如图所示的图象() A. 12 B. 6 C. 3 D. 4 答案B 解析设图象对应的函数为 yAsin(x)B， 根据函数的图象可得 A1.510.5，2 T40， 则 2，B 1.50.5 2 1， 即 y1 2sin 2x1， 将(0,1)代入可得 1 2sin 11，解得0， 故所给的图为 y1 2sin 2x1 的图象， 故将函数 f(x)1 2sin 2x 3 1 的图象向右平移 6个单位长度后，再进行周期变换可以得到如 图所示的图象 14某同学利用描点法画函数 yAsin(x) 其中 0A2，02， 20，0)若 f(x)在区间 6， 2 上具
15、有单调 性，且 f 2 f 2 3 f 6 ，则 f(x)的最小正周期为_ 答案 解析由 f(x)在区间 6， 2 上具有单调性， 且 f 2 f 6 知， 3，0为函数 f(x)的对称中心 由 f 2 f 2 3 知，函数 f(x)的图象的一条对称轴为直线 x1 2 2 2 3 7 12. 设函数 f(x)的最小正周期为 T， 则 1 2T 2 6，即 T 2 3 ， 所以7 12 3 T 4， 解得 T. 16.如图为函数 f(x)Asin(x) A0，0，| 2，xR的部分图象 (1)求函数 f(x)的解析式； (2)求函数 f(x)的单调递增区间； (3)将函数 yf(x)的图象向右平
16、移 2个单位长度，得到函数 yg(x)的图象，若方程 g(x)m 在 2，0上有两个不相等的实数根，求实数 m 的取值范围 解(1)由题中的图象知，A2，T 4 3 12 4， 所以 T，2 T 2， 因为图象过点 12，2， 所以 2 12 22k，kZ， 解得 32k，kZ， 因为| 2， 所以 3， 故函数解析式为 f(x)2sin 2x 3 . (2)令 2k 22x 32k 2，kZ， 解得 k5 12xk 12，kZ， 所以 f(x)的单调递增区间为 k5 12，k 12 ，kZ. (3)由题意得 g(x)2sin 2x2 3 在 2，0上的图象如图所示， 由函数的图象可知，当 m 3，2)时，方程 g(x)m 在 2，0上有两个不相等的实数根， 故实数 m 的取值范围是 3，2)
