1、4.2.2指数函数的图象与性质指数函数的图象与性质(一一) 学习目标1.掌握指数函数的图象和性质.2.学会利用指数函数的图象和性质解决简单的函 数定义域的问题 导语 请同学们口答指数函数的定义和指数函数的解析式的特征大家有没有用我们昨天学习的方 法和你的家长讨论零花钱的事情？一般来说，函数的图象与性质紧密联系，图象可反映函数 的性质，所以我们今天学习指数函数的图象和性质 一、指数函数的图象 问题 1用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再画出指数函数 y2x与 y 1 2 x 的图象. x21012 y2x y 1 2 x 提示(1)1 4 1 2 124421 1 2 1 4 (2)
2、y2x和 y 1 2 x的图象如图所示 问题 2通过图象，分析 y2x与 y 1 2 x的性质并完成下列表格. 函数y2x y 1 2 x 定义域xRxR 值域(0，)(0，) 单调性增函数减函数 最值无最值无最值 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 特殊点(0,1)(0,1) y 的变换情况 当 x0 时，0y0 时，y1 当 x1； 当 x0 时，0y10a1 图象 性 质 定义域R 值域(0，) 最值无最值 过定点过定点(0,1)，即 x0 时，y1 函数值 的变化 当 x0 时，0y0 时，y1 当 x0 时，0y1； 当 x1 单调性在 R 上是增函数在 R 上是减函数 奇偶性非奇非偶函
3、数 对称性 yax与 y 1 a x的图象关于 y 轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在 x 轴上方；(2)当 x0 时，有 a01，故过定点(0,1)；(3)当 0a1 时，底数越大，图象越靠近 y 轴；(5)任意底数互为倒 数的两个指数函数的图象关于 y 轴对称 例 1如图是指数函数yax，ybx，ycx，ydx的图象，则 a，b，c，d 与 1 的大 小关系是() Aab1cdBba1dc C1abcdDab1dc 答案B 解析作直线 x1，由下到上分别与，相交，所以 ba1d1 和 0a1 时，图象的大体形状 (2)在 y 轴右侧，指数函数的图象“底大图高” 跟踪训练 1已知 0m
4、n1，则指数函数ymx，ynx的图象为() 答案C 解析由于 0mn0，13x1， 0 1 13x1， 1 1 13x0， 01 1 13x0，且 y1 三、指数函数图象的应用 例 3(1)若函数 f(x)2ax mn(a0，且 a1)的图象恒过点(1,4)，则 mn 等于( ) A3B1C1D2 答案C 解析由函数 f(x)2ax mn(a0，且 a1)的图象恒过(1,4)，得 m10,2am1n4， 解得 m1，n2， mn1. (2)要使 g(x)3x 1t 的图象不经过第二象限，则 t 的取值范围为( ) At1Bt0，且 a1)的图象恒过的定点是_ 答案(1，1) 解析因为 yax的
5、图象过定点(0,1)， 所以令 x10， 即 x1， 则 f(1)1， 故 f(x)2ax 13 的图象恒过定点(1，1) (2)已知直线 y2a 与函数 y|2x2|的图象有两个公共点，求实数 a 的取值范围 解函数 y|2x2|的图象如图所示要使直线 y2a 与该图象有两个公共点，则有 02a2， 即 0a0 且 a1)过定点的问题，要使 f(x)0. 1函数 f(x)x与 g(x) 1 x的图象关于( ) A原点对称Bx 轴对称 Cy 轴对称D直线 yx 对称 答案C 解析设点(x，y)为函数 f(x)x的图象上任意一点，则点(x，y)为 g(x) x 1 x的图象 上的点因为点(x，y
6、)与点(x，y)关于 y 轴对称，所以函数 f(x)x与 g(x) 1 x的图象关于 y 轴对称 2.指数函数 yax与 ybx的图象如图所示，则() Aa0，b0 Ba0 C0a1 D0a1,0b1 答案C 解析结合指数函数图象的特点可知 0a1. 3函数 f(x)3ax 1(a0，且 a1)的图象恒过定点( ) A(1,2)B(1,2)C(1,1)D(0,2) 答案A 解析yax的图象恒过定点(0,1)， 令 x10，即 x1，则 f(1)2. 故 f(x)3ax 1的图象恒过定点(1,2) 4函数 y 2 1 1 0.7x 的定义域为_ 答案x|x1 解析由 x210，得 x1， 函数
7、y 2 1 1 0.7x 的定义域为x|x1 课时对点练课时对点练 1函数 y2x 1的图象是( ) 答案A 解析当 x0 时，y2，且函数单调递增 2函数 f(x)ax b的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则下列结论正确的是( ) Aa1，b1，b0 C0a0D0a1，b0 答案D 解析从曲线的变化趋势，可以得到函数 f(x)为减函数，从而有 0a1； 又当 x0 时，f(x)1，即 a b0，即 b1 时，函数 f(x)ax单调递增，当 x0 时，g(0)a1，此时两函数的图象大致为 选项 A. 4函数 y 1 2 x x 1 的定义域是() ARBx|x1 C. x|x0Dx|x0
8、且 x1 答案C 解析要使 y 1 2 x x 1 有意义， 只需x1 x 有意义，即 x0. 5设函数 f(x) 2 x，x0， 1x2，x0， 则满足 f(x1)f(2x)的 x 的取值范围是() A(，0)B(0，)C(，1)D(0,1) 答案C 解析函数 f(x) 2 x，x0， 1x2，x0 的图象如图， 显然函数 f(x)在 R 上单调递减， f(x1)2x， 解得 x1，1b1，且1b0，函数的图象如图所示 故图象过第一、二、三象限 7函数 f(x)2ax 11 的图象恒过定点_ 答案(1,3) 解析令 x10，得 x1，又 f(1)2113， 所以 f(x)的图象恒过定点(1,
9、3) 8若 0a1，b0， 若存在 x1，x2，x3(x1x20，即 x1x22，则 x1x2x32. 由图象知，当 x2 时，f(x)0,1， 所以 f(x1x2x3)0,1 12函数 f(x)x2 x |x| 的图象大致为() 答案B 解析f(x)x2 x |x| 2x，x0， 2x，x0. 由指数函数的图象知 B 正确 13若函数 f(x) 1 3 |x|m1 的图象与 x 轴有公共点，则实数 m 的取值范围为( ) Am1Bm1 C0m1D0m1 答案D 解析函数 f(x) 1 3 |x|m1 的图象与 x 轴有公共点， 即 m1 1 3 |x|有实数解， 由于1 1 3 |x|0，故
10、1m10，解得 0m1. 14 已知实数 a， b 满足等式 1 2 a 1 3 b， 给出下列五个关系式： 0ba； ab0； 0ab； ba0；ab.其中不可能成立的有_个 答案2 解析作 y 1 2 x与 y 1 3 x的图象(图略) 当 ab0 时， 1 2 a 1 3 b1； 当 abb0 时，也可以使 1 2 a 1 3 b. 故，都可能成立，不可能成立的关系式是，. 15 已知函数f(x)(xa)(xb)(其中ab)的图象如图所示， 则函数g(x)axb的图象是() 答案A 解析由函数 f(x)(xa)(xb)(其中 ab)的图象可知 0a1，b1，所以函数 g(x)axb 是减
11、函数，排除选项 C，D；又因为函数图象过点(0,1b)(其中 1b0，且 a1) (1)若 f(x)的图象如图所示，求 a，b 的值； (2)若 f(x)的图象如图所示，求 a，b 的取值范围； (3)在(1)中，若|f(x)|m 有且仅有一个实数根，求 m 的取值范围 解(1)由图知 f(x)的图象过点(2,0)，(0，2)， 所以 a2b0， a0b2， 又因为 a0，且 a1，所以 a 3，b3. (2)由图知 f(x)单调递减，所以 0a1， 又 f(0)0，即 a0b0，所以 b1. 故 a 的取值范围为(0,1)，b 的取值范围为(，1) (3)由(1)知 f(x)( 3)x3，则画出|f(x)|( 3)x3|的图象如图所示，要使|f(x)|m 有且仅有一 个实数根，则 m0 或 m3. 故 m 的取值范围为3，)0
