1、4.4.2对数函数的图象和性质对数函数的图象和性质(一一) 学习目标1.初步掌握对数函数的图象和性质.2.会类比指数函数研究对数函数的性质.3.掌 握对数函数的图象和性质的简单应用 导语 同学们，还记得我们是如何研究指数函数的吗？实际上，研究对数函数的思路和研究指数函 数的思路是一致的，我们可以用类比的方法来研究对数函数请同学们看下面的问题 1. 一、对数函数的图象和性质 问题 1请同学们利用列表、描点、连线的画图步骤，先完成下列表格，再在同一坐标系下 画出对数函数 ylog2x 和 1 2 logyx的函数图象. x0.250.512481632 ylog2x 1 2 logyx 提示(1)
2、2101234521012345 (2)描点、连线 问题 2通过观察函数 ylog2x 和 1 2 logyx的图象，分析性质，并完成下表： 函数ylog2x 1 2 logyx 定义域x(0，)x(0，) 值域RR 单调性增函数减函数 最值无最值无最值 奇偶性非奇非偶函数非奇非偶函数 特殊点(1,0)(1,0) y 的变换情况当 0 x1 时，y1 时，y0当 0 x0；当 x1 时，y0，且 a1) 底数a10a1 图象 定义域(0，) 值域R 单调性在(0，)上是增函数在(0，)上是减函数 最值无最大、最小值 奇偶性非奇非偶函数 共点性图象过定点(1,0)，即 x1 时，y0 函数值特点
3、 x(0,1)时，y(，0)； x1，)时，y0， ) x(0,1)时，y(0，)； x1，)时，y(，0 对称性 函数 ylogax 与 1 log a yx的图象关于 x 轴对称 注意点： (1)函数图象只出现在 y 轴右侧；(2)对任意底数 a，当 x1 时，y0，故过定点(1,0)；(3)当 0a1 时，底数越大，图象越靠近 x 轴；(5)任意 底数互为倒数的两个对数函数的图象关于 x 轴对称 例 1(1)如图，若 C1，C2分别为函数 ylogax 和 ylogbx 的图象，则() A0ab1 B0bab1 Dba1 答案B 解析作直线 y1，则直线与 C1，C2的交点的横坐标分别为
4、 a，b，易知 0ba0，且 a1)的图象恒过定点(3,2)，则实数 b_，c _. 答案22 解析函数的图象恒过定点(3,2)， 将(3,2)代入 yloga(xb)c， 得 2loga(3b)c. 又当 a0，且 a1 时，loga10 恒成立， c2,3b1，b2，c2. (3)已知 f(x)loga|x|(a0，且 a1)满足 f(5)1，试画出函数 f(x)的图象 解因为 f(5)1，所以 loga51，即 a5， 故 f(x)log5|x| log5x，x0， log5x，x0)图象不变，x0)的图 象关于 y 轴对称 (2)作 y|f(x)|的图象时，保留 yf(x)的 x 轴及
5、上方图象不变，把 x 轴下方图象以 x 轴为对称 轴翻折上去即可 (3)有关对数函数平移也符合“左加右减，上加下减”的规律 (4)yf(x)与 yf(x)关于 y 轴对称，yf(x)与 yf(x)关于 x 轴对称，yf(x)与 yf(x) 关于原点对称 跟踪训练 1(1)函数 f(x)loga|x|1(a1)的图象大致为() 答案C 解析函数 f(x)loga|x|1(a1)是偶函数， f(x)的图象关于 y 轴对称， 当 x0 时，f(x)logax1 单调递增； 当 x0，且 a1)； (4)log50.4，log60.4. 解(1)因为 ylog3x 在(0，)上单调递增，1.92， 所
6、以 log31.9log210，log0.32log0.32. (3)当 a1 时，函数 ylogax 在(0，)上单调递增， 则有 logaloga3.14； 当 0a1 时，函数 ylogax 在(0，)上单调递减， 则有 loga1 时，logaloga3.14； 当 0a1 时，logaloga3.14. (4)在同一直角坐标系中，作出 ylog5x，ylog6x 的图象，再作出直线 x0.4(图略)，观察图 象可得 log50.40，且 a1)； (2)log3，log23，log32. 解(1)当 a1 时，ylogax 在(0，)上是增函数， 又 5.15.9，所以 loga5.
7、1loga5.9； 当 0a1 时，ylogax 在(0，)上是减函数， 又 5.1loga5.9. 综上，当 a1 时，loga5.1loga5.9； 当 0aloga5.9. (2)log231 2log 23， 又 1log232，1 2log 231. 又 log321 2log 321， log3log23log32. 三、利用单调性解对数不等式 例 3解下列关于 x 的不等式： (1) 11 77 loglog4xx； (2)loga(2x5)loga(x1)； (3)logx1 21. 解(1)由题意可得 x0， 4x0， x4x， 解得 0 x2. 所以原不等式的解集为x|0
8、x1 时，原不等式等价于 2x50， x10， 2x5x1. 解得 x4. 当 0a0， x10， 2x5x1， 解得5 2x1 时，原不等式的解集为x|x4； 当 0a1 时，原不等式的解集为 x| 5 2x1 时，logx1 2log xx，所以 x1 2，无解； 当 0 xlog xx，所以1 2xlogab 的不等式，借助 ylogax 的单调性求解，如果 a 的取值不确定，需分 a1 与 0ab 的不等式， 应将 b 化为以 a 为底数的对数式的形式(blogaab)， 再借助 ylogax 的单调性求解 (3)形如 logf(x)alogg(x)a(f(x)，g(x)0 且不等于
9、1，a0)的不等式，可利用换底公式化为同底的 对数进行求解，或利用函数图象求解 跟踪训练 3(1)求满足不等式 log3x1 的 x 的取值集合； (2)已知 log0.7(2x)log0.7(x1)，求 x 的取值范围 解(1)log3x0， x3， 即 0 x3. x 的取值集合为x|0 x3 (2)函数 ylog0.7x 在(0，)上为减函数， 由 log0.7(2x)0， x10， 2xx1， 解得 x1. x 的取值范围是(1，) 1知识清单： (1)对数函数的图象及性质 (2)利用对数函数的图象及性质比较大小 (3)利用单调性解对数不等式 2方法归纳：分类讨论、数形结合法 3常见误
10、区：作对数函数图象时易忽视底数 a1 与 0a1 两种情况 1函数 yloga(x1)(0a1)的图象大致是() 答案A 解析0abcBbac CcabDbca 答案A 解析a20.21blog43.20c1， abc. 3不等式 11 22 log23 0， 5x60， 2x35x6， 解得6 5x3. 4若 loga2 31 时，满足条件； 当 0a1 时，由 0a1， loga2 3log aa， 得 0a2 3， 综上，实数 a 的取值范围是 0，2 3 (1，) 课时对点练课时对点练 1函数 ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx 的图象如图所示，则 a，b，c，d
11、的大小顺序 是() A1dcabBcd1ab Ccd1baDdc1ab 答案B 解析令函数 ylogax，ylogbx，ylogcx，ylogdx 取同样的函数值 1，得到的自变量的值 恰好分别是 a，b，c，d.直线 y1 从左到右依次与上述四个函数的图象交于 A(c,1)，B(d,1)， C(a,1)，D(b,1)，从而得出 cda1，b1，d1，c1，cd1ab. 2若 lg(2x4)1，则 x 的取值范围是() A(，7B(2,7 C7，)D(2，) 答案B 解析由 lg(2x4)1，得 02x410，即 2x7. 3设 alog37，b21.1，c0.83.1，则() AbacBca
12、b CcbaDacb 答案B 解析alog37，1a2. c0.83.1，0c1.即 cab. 4函数 f(x)logax(0a1)在a2，a上的最大值是() A0B1C2Da 答案C 解析0a1 时，f(x)lg(x1)在(1，)上单调递增，所以 B 正确 6(多选)已知 a0，b0，且 ab1，a1，则函数 f(x)ax与函数 g(x)logbx 在同一坐标 系中的图象可能是() 答案AB 解析g(x)logbx 1 log b xlogax， f(x)和 g(x)的单调性相同， 结合选项可知 A，B 正确 7函数 yloga(x4)2(a0 且 a1)恒过定点_ 答案(5,2) 解析令
13、x41 得 x5，此时 yloga122， 所以函数 yloga(x4)2 恒过定点(5,2) 8如果函数 f(x)(3a)x与 g(x)logax(a0，且 a1)的增减性相同，则实数 a 的取值范围 是_ 答案(1,2) 解析若 f(x)，g(x)均为增函数，则 3a1， a1， 即 1a2； 若 f(x)，g(x)均为减函数，则 03a1， 0a0，且 a1)； (3)log30.2，log40.2； (4)log3，log3. 解(1)因为函数 yln x 在(0，)上是增函数， 又 0.32，所以 ln 0.31 时，函数 ylogax 在(0，)上是增函数， 又 3.15.2，所以
14、 loga3.1loga5.2； 当 0a1 时，函数 ylogax 在(0，)上是减函数， 又 3.1loga5.2. 综上所述，当 a1 时，loga3.1loga5.2； 当 0aloga5.2. (3)因为 0log0.23log0.24，所以 1 log0.23 1 log0.24， 即 log30.23， 所以 log3log331. 同理，1loglog3，所以 log3log3. 10已知 f(x)|lg x|，且1 cab1，试借助图象比较 f(a)，f(b)，f(c)的大小 解先作出函数 ylg x 的图象， 再将图象位于 x 轴下方的部分以 x 轴为对称轴翻折到 x 轴上
15、 方，于是得 f(x)|lg x|图象(如图)，由图象可知，f(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调 递增 由1 cab1 得 f 1 c f(a)f(b)， 又 f 1 c |lg 1 c|lg c|lg c|f(c) f(c)f(a)f(b) 11已知函数 f(x)ln x，g(x)lg x，h(x)log3x，直线 ya(a0)与这三个函数的交点的横坐 标分别为 x1，x2，x3，则 x1，x2，x3的大小关系是() Ax2x3x1Bx1x3x2 Cx1x2x3Dx3x2x1 答案A 解析分别作出这三个函数的大致图象，如图所示 由图可知，x2x3x1. 12若函数 f(x)log
16、a(xb)的图象如图所示，其中 a，b 为常数，则函数 g(x)axb 的图象 大致是() 答案D 解析由 f(x)的图象可知 0a1,0b1， g(x)的图象应为 D. 13 设偶函数 f(x)loga|xb|在(， 0)上单调递增， 则 f(a1)与 f(b2)的大小关系是() Af(a1)f(b2) 答案D 解析因为函数 f(x)是偶函数，所以 b0， 又函数在(，0)上单调递增，所以函数在(0，)上单调递减，则 0a1，所以 1a12. 因为 f(a1)loga|a1|，f(b2)loga2， 且 1a1f(b2) 14已知 f(x)是定义在 R 上的偶函数，且在0，)上单调递增，f
17、1 3 0，则不等式 1 8 log0fx 的解集为_ 答案 0，1 2 (2，) 解析f(x)是 R 上的偶函数， 它的图象关于 y 轴对称 f(x)在0，)上单调递增， f(x)在(，0上单调递减， 由 f 1 3 0，得 f 1 3 0，则函数的大致图象如图所示 111 888 11 log0log, 33 fxxx -或 解得 x2 或 0 x1 2， 原不等式的解集为 0，1 2 (2，) 15已知 f(x) 12ax5a，x0， log7112a5a， 即 a1 2， a1 3 所以1 3a 1 2. 16若不等式 x2logmx0 在 0，1 2 内恒成立，求实数 m 的取值范围 解由 x2logmx0，得 x2logmx，在同一坐标系中作 yx2和 ylogmx 的草图，如图所示 要使 x2logmx 在 0，1 2 内恒成立，只要 ylogmx 在 0，1 2 内的图象在 yx2图象的上方，于是 0m1. 当 x1 2时，yx 21 4， 只要当 x1 2时，ylog m1 2 1 4 1 4 logmm即可， 1 4 1 , 2 m即 1 16m.又 0m1， 1 16m1. 即实数 m 的取值范围是 1 16，1.
